Non voglio tediare tutti con teorie matematiche, ma, pur rendendo incoerente l'insieme dei reali, l'infinito viene utilizzato dal punto di vista pratico in numerose applicazioni.
Lo stesso accade con i numeri immaginari (generati dalla radice quadrata di -1, che notoriamente non esiste e che in matematica viene indicata con i) e che vengono utilizzati ad esempio per l'integrale di Poisson in statistica o per diversi algoritmi pratici nell'ingegneria.
Il bello della matematica è proprio quello di riuscire ad utilizzare le astrazioni.
Strano, ma funziona...
Saluti.

Manipolare simboli (come fanno i matematici in pratica) non credo che implichi particolari impegni ontologici. E poi la matematica funzionava anche prima che venisse accolta dalla comunità scientifica l’idea che l’infinito potesse esistere in atto: la matematica non è un’invenzione recente.
Io sto difendendo un punto di vista (quello dell’autore dell’articolo iniziale che ha avviato questa discussione) che non condivido affatto, però cerco di comprenderlo bene (mi incuriosisce), e per ora non sono riuscito a trovare una prova razionalmente ben fondata contro questo approccio e non so dire con certezza se sia stato abbandonato senza essere più sviluppato semplicemente per motivi storici o, come sostieni tu Antares, realmente per motivi legati all’efficacia. Le osservazioni che ho riportato sono il frutto del confronto con le idee di persone che non la pensavano come me e, dopo un rifiuto iniziale di queste idee, in seguito a freddo, ho finito col comprendere le perplessità di queste persone così come un credente può comprendere bene, se almeno parte della sua razionalità non è stata completamente obnubilata dalla fede, le ragioni che spingono un non credente a dubitare dell’esistenza di Dio. Io personalmente credo che il concetto di infinito ed anche la teoria degli insiemi abbiano una certa consistenza, probabilmente per motivi estetici o legati alla mia educazione, o legati alla mia sensibilità religiosa, o chi sa forse legati direttamente al mio istinto (esisterà anche un gene che ti porta a credere o non credere che certe affermazioni sono vere?), però adesso non ho voglia di barare inventandomi ragioni che poi, se sottoposte ad un’analisi più attenta, finiranno col crollare come castelli di carta sottoposti al minimo alito di vento. Il mio intervento è volto a chiarire le ragioni per cui un punto di vista risulta plausibile e non a screditare quello opposto, che come ho già detto condivido. Il bello della filosofia è proprio quello di poter esprimere delle perplessità nei confronti delle idee più consolidate e quindi poter prendere in considerazione anche altre alternative teoriche.
Strano, ma spesso funziona anche questo.

Ciao a tutti

Chiediamoci se il concetto di infinto sia consistente. Ok, ma consistente rispetto a cosa? Alla (poniamo) logica matematica classica (LMC). E tu mi rispondi “Quest’argomentazione non è legittima perché la logica matematica classica già assume il concetto di infinito”.
Ciò è vero, ma se la LMC avesse assunto l’esistenza di qualcosa del tipo “il numero più grande di 5 e più piccolo di 3”? L’intera LMC sarebbe risultata inconsistente, quindi inutilizzabile.

Questo per dirti che (1) la consistenza deve pur essere inserita in un quadro di riferimento, tipicamente LMC, e tale quadro di riferimento deve fare delle assunzioni, altrimenti sarebbe mero vuoto; (2) non tutto può essere assunto in LMC, questo è il caso del “numero più grande di 5 e più piccolo di 3”.

Vorrei fare un parallelo per spiegarmi meglio. Prendiamo il problema: aleph-1 è la cardinalità dei numeri reali? Ciò è indecidibile, non nel senso che noi siamo ignoranti e che non potremo mai sapere se ciò è vero o falso, ma nel senso che è legittimo assumere l’ipotesi del continuo o assumere altre ipotesi: da qui nascono diverse matematiche.
Proprio come ci sono diverse geometrie: dobbiamo assumere il quinto postulato oppure no (e se no, quali?). Anche qui la matematica si biforca.
Scelte fondamentali diverse creano biforcazioni della matematica. “Esistono classi infinite?” Anche la risposta a questa domanda crea queste biforcazioni.

Ma ora prendiamo la matematica nella sua interezza, come l’albero (inteso come “albero matematico”) che rappresenta tutti i vari percorsi. Bene, ora avremo “percorsi radice-foglia” della matematica in cui ci sono insiemi infiniti e finiti, altre in cui gli insiemi infiniti sono proibiti e ci sono solo insiemi finiti, oppure dove ci sono solamente insiemi infiniti.
Entro quest’immagine, cioè prendendo la matematica nella sua interezza, vi sono insiemi infiniti, o meglio: tale concetto è consistente. (Nota che così dicendo non sto affermando che tutto è legittimo perché basterebbe assumerlo da qualche parte nell’albero, infatti non dimentichiamoci che da nessun percorso radice-foglia possiamo dedurre “il numero più grande di 5 e più piccolo di 3” e molti altri enti che sono e rimangono inconsistenti.)


epicurus

Ciao a tutti. Sono un nuovo iscritto.
In poche righe cerco di esprimere il mio parere sull’assunzione e la consistenza dell'infinito.
La consistenza deriva dall'avere il concetto di finito, di limite. Esso proviene dall'esperienza quotidiana. Mi accorgo che la realtà e gli oggetti sono finiti e, legata a questa osservazione, penso anche ad una struttura, ad una “dimensione delle cose” ideale, priva di limiti.
I due concetti sono interdipendenti e nessuno viene prima: il primo lo osservo, l’altro è “nella mia testa”; ma senza il primo potrebbe esserci il secondo (o viceversa)?
Penso all’infinito, ma lo posso pensare e formalizzare solamente dentro le categorie limitate dello spazio e del tempo. La consistenza di tale pensiero – assunto preliminarmente o provato – sarà comunque tale rispetto alla ragione, che elabora un infinito limitato, inevitabilmente inscritto nello spazio-tempo.

Prendo spunto da questo interessante intervento, sia per dare il benvenuto a candido sia per dimostrare come nei miei ultimi interventi io abbia sparato delle grandi castronerie

1) Non basta aggiungere o meno un assioma che rappresenti la legittimita` dell'infinito (come io sostenevo), infatti non esiste un tale assioma. Anche in matematica e logica l'infinito e` assunto in modo implicito (e intuitivo) senza un preciso assioma formalizzato: certo, ci sono delle regole e magari anche degli assiomi che riguardando l'infinito, ma non ve n'e` uno che lo caratterizzi completamente. Cioe`, per esempio, non puo` esistere un assioma che dica "[non] esistono infiemi infiniti".
2) In effetti quello che dice Bub e` corretto: [con mie parole] "se gia` assumiamo la legittimita` dell'infinito, allora e` ovvio che l'infinito sia legittimo".


Messi in risalto i miei errori cerchero` di proporre qualcosa d'alternativo

Partiamo dalla sequenza dei numeri naturali: 0, 1, 2, 3, etc... (per pigrizia non li scrivero` tutti )

Prendiamo un individuo X che non vole assolutamente introdurre l'infinito in matematica (e anche in altri contesti) e domandiamogli: "Quale sarebbe, quindi, il numero piu` grande?". Lui potrebbe rispondere "Non lo so, io so solo che dato un qualsiasi numero posso fare il suo successore".

X ci dice questo perche` neppure lui, piu` o meno implicitamente, puo` rifiutare la coerenza dell'infinito potenziale: la funzione unaria successore(x) e` banalmente una funzione non problematica, infatti c'e` una procedura effettiva per fornire il successore di ogni numero. Quindi almeno la coerenza (o legittimata`, che pare piu` appropriato in questo contesto) dell'infinito potenziale non e` messa in dubbio.

Ma ora, siamo veramente convinti che i due concetti, quello dell'infinito potenziale e quello dell'infinito attuale, siano indipendenti? Cosa rappresenta esattamente l'infinito potenziale (in questo contesto, almeno)? Il poter andare avanti quanto si vuole nella sequenza dei numeri (naturali). Ma che singifica quando si vuole? Se "quanto si vuole" e` da intendere, come dev'essere, "senza fine", allora si sta gia` postulando un infinito attuale. Quindi, quello che voglio sostenere e` che:

a) L'infinito potenziale e` intuitivamente legittimo.
b) L'infinito potenziale presuppone in qualche modo l'infinito attuale.


epicurus

i miei ricordi di logica si confondono.
Se io prendo la cardinalità dei numeri interi (che ho ottenuto tramite il successore(x) ), ho definito in modo univoco l'infinito, o no?

Il termine "infinito" di per sé è ambiguo. Il mio profe di logica mi disse una cosa come questa "Noi non sappiamo cos'è l'infinito in generale, come non sappiamo esattamente cosa voglia dire possedere una bontà infinita. Così in matematica consideriamo un particolare tipo di infinito, l'infinito matematico, appunto".

Quindi non è corretto dire quello che tu affermi perché l'infinito in generale non può essere caratterizzato (univocamente) da un qualche oggetto matematico, proprio perché la vaghezza del termine (i suoi molteplici usi) lo rendono non formalizzabile.

Inoltre, anche limitandoci all'infinito matematico (e trascurando quindi l'infinito generico) non possiamo caratterizzarlo per questi motivi:
1) Cosa significa che la funzione del successore definisce l'infinito (matematico)? Quante volte devo applicarla? La dovrò applicare infinite volte, ma queste "infinite volte" non ha ancora un significato perché stiamo appunto cercando di definire l'infinito.
2) Ci sono diversi gradi di infinito (o di transfinito), denominati aleph: aleph-0 rappresenta la cardinalità dei numeri naturali (e anche interi e razionali, per esempio). La cardinalità dei reali (o la cardinalità delle parti dei naturali) è, invece, è più grande della cardinalità dei naturali.

fascino...infinito qsto tread! Non abbiamo direttamente conoscenza d esso (ma solo indirettamente ad es. il concetto d movimento continuo (vedi paradosso d Zenone) cela l'infinito) e per definirlo e trattarlo dobbiamo far uso d categorie che cerchino d catturarne l'essenza, categorie comunque "accessibili".
In matematica per definire l'infinito in modo formale si parte sempre da concetti elementari ed "opportuni".
In pratica si deve costruire l'infinito imponendo delle restrizioni: i fatti assodati sugli enti "finiti" devono valere sempre e comunque! e quindi si cerca d mantenere questa validità d idee fondamentali e da queste si
costruisce la teoria dell'infinito.
Questo apre la strada a "paradossi" nella teoria dell'infinito. E nn c s deve scnd me stupire d qsto.

(es. dato che c piacerebbe che i n. naturali siano sempre gli stessi indipendentemente dal modo (dalla scelta dell'ordine) in cui si contano ecco allora ecco che il garantire qsta idea intuitiva c porta, in ambito infinito, al famoso paradosso d Galileo. )
Ma preferiamo accettare i paradossi sull'infinito che non magari avere una teoria "intuitiva" dell'infinito che però porterebbe ad idiosincrasie, se presa sul serio, sulle teorie elementari e consolidate sul mondo finito, di più: teorie oltre ke coerenti internamente anche esternamente (esistono modelli reali anche fisici che "provano" la loro correttezza) che derivano direttamente
dall'esperienza sul mondo finito...ke s presume essere esperienza diretta data dai sensi e sulla quale (assiomi iniziali e regole inferenziali a parte (ma dovrà pur esistere un inizio da cui partire no? ) si basa anche la logica dualistica occidentale ke fa da base x dire ciò ke in matematica è o meno coerente.

anche a me sembra però un po' esasperata la qstione sull'infinito attuale vs infinito potenziale. In fondo nella ns mente qnd s parla d infinito alludiamo ad un concetto condiviso e abbastanza preciso!
Ovvio, in pratica noi nn potremmo mai sperimentarlo, però a livello d idee esso c è familiare e connaturao alla natura del pensiero umano.

Se s accetta inoltre xvero l'assioma d scelta l'infinito nn è ke porti a kissà ke difficoltà nella treoria dei numeri! (almeno dal basso della mia ignoranza xquel poco ke ne so).
Il vero problema sta nella teoria degli insiemi (fondamento x la matematica) e sembra sempre riconducibile nn tanto all’infinito, quanto all’autoreferenza ke sta dietro a certi concetti come xes. quello d classe d Russel.

In pratica (anzi..in estrema sintesi) l'infinito nel pensiero della civiltà ha seguito qsti iter:
- concepito cme un qualcosa d cui nn s poteva parlare direttamente (inf. attuale)
- concepito come inf. potenziale ma dando atto che comunque "la somma d infinite parti non nulle,
può anche nn essere infitia!" e formalizzando poi l'idea di limite cn l'analisi epsilon-delta calssica delle scuole.
- concepito nella sua forma attuale con la teo. d Cantor.

m piacerebbe a qsto punto ke i matemtici del forum dicessero la loro e c spiegassero dove e come
nella storia della formalizzzazione matematica dell'infinito s sono dovute prendere xbuone certe idee intuitive eleggendole al rango di assiomi x poter quindi proseguire il cammino nella formalizzazione dell'infito che però non tradisse poi risultati più immediati e consolidati delle teorie acquisite in mabito finito o in ambito intuitivo esteso all'infito potenziale.

ad es. ho fatto una domanda a "Chiedi all'esperto" e ho appurato, cme sospettavo, che il bisogno intuitivo ci fa dire che la retta sia modello x la cardinalità c dell'insieme R, ma nulla d più! infatti chi c garantisce che la retta non nasconda alte sorprese?
cosa ne sappiamo noi sulla retta continua davvero? R, è dimostrato, può exere messo in corrisp 1a1 cn al retta definita come retta "continua".
ma la retta in reltà è contiuna? xchiudere il cerchio si dice: si! (assioma d continuità).
Ma cosa sia davvero la retta (soprattutto se essa possa avere definizioni più ampie che ricomprenderebbero tutte le proprietà d cui gode (xcme la dafiniamo) ma anche d altre e nuove!!! ) nn lo sappiamo.
Analizzando qsti punti critici - dove interviene l’intuito e la necessità d prendere per buone certe idee - da cui s è snodata la ricerca sull'infinito saremmo più consci e critici sulle problematiceh che solleva.
qndi...rinnovo l'invito ai matematici presenti!

E magari vedendo lo sviluppo d cme la matematica ha trattato l’infinito….e criticando dei passaggi…magari viene pure fuori una teoria alternativa cme diceva qualcuno…


Ciao.

Per epicurus:
ti riporto una frase di G. Cantor (Gesammelte Abhandlungen, 1932 - se ne trovano stralci tradotti in italiano sulla rete), che scrisse: "L’infinito potenziale ha solo una realtà presa a prestito dato che un concetto di infinito potenziale rimanda sempre ad un concetto di infinito attuale che lo precede logicamente e ne garantisce l’esistenza".

Ciao

infatti...e qsto dimostra ke i due concetti sn intimamente legati e nn solo complementari o addirittura antitetici.
cioè l'idea d infinito attuale fa scaturire quella d infinito attuale (x es. x ecceterazione o xkè c s rende conto ke operativamente qnd s fanno i conti "si pensa ad un numero grande a piacere".
Ma non è ke cn l'infito potenziale s risolvano le cose...esso cmq rimanda a quello attuale ke è oggettivamente impossibile da "sentire" nelle manete con un unico "colpo d'occhio" ma della cui idea siamo tutti consapevoli a cosa s riferisce...

cme già detto riquoto epicurus xkè anke scnd me è qstione +d terminologia e d autorità dell'ispe dixit la questione dell'infinito potenziale VS attuale...

in pratica qnd s pensa all'inifto xforza d cose lo s descrive in via potenziale cme prima istanza mentale ma qsto fa subito sorgere in noi l'idea attuale (meglio dire astratta e ideale apputno) dell'infinito...e qsta stessa idea, qnd la si pensa, fa sorgere in noi la necessità opertaiva d quantificarla in qualke modo...e qnd utilizziamo le procedure tipiche del contare l'inf. potenziale.

ciao!