per l'errore prospettico :
!!!

(sottoscrivo al 100%)
w.

tu dici che "(2) Se è possibile mettere in corrispondenza 1 a 1 gli elementi di due insiemi, essi contengono lo stesso numero di elementi" e` accettabile o no (come alternativa di "(1) Il sottinsieme proprio di un insieme contiene un numero di elementi inferiore all'insieme").

Ma mi sembra chiaro che 2 sia piu` corretto di 1: 1 e` una osservazione (che tra l'altro si fonda su osservazioni su insiemi finiti) mentre 2 e` una procedura: so di avere 1000 mele, se per ognuna metto vicono un solo euro, so che ho 1000 euro.

in piu` tu dici:"Io credo che l'infinito fisico stia in piedi solo se assumiamo di poter idealmente contare fino all'infinito. [...] Nessun uomo, o successione di uomini, potrà mai contare fino ad aver esaurito i numeri naturali. Di conseguenza l'infinito fisico non si candida neppure per essere un concetto attuale."

Non si puo` dire: "contare fino all'infinito", bensi` si puo` (e si deve) dire "contare senza fine".
Comunque non vedo nessuna contraddizione a pensare all'infinito fisico, in particolare, ad un universo che non ha limiti spaziali.

aggiungo: e` una grandissima conquista quella che lo logica ha conseguito: dimostrare che esisto qualcosa ma che non sappiamo mostrarla.

(una immagine: se ho un libro con un numero di caratteri pari a 10^50 e tutti i caratteri cambiano ogni 0.00001 secondi, e c'e` una parte che non cambia mai che si trova all'inizio "In questo libro c'e` almeno un errore.". la domana e`: "c'e` un errore nel libro?", la risposta corretta e`: "si`, non so quale sia, ma c'e`.)

Caro Epicurus
Sugli insiemi finiti la 2 può essere considerata in qualche senso ovvia o autoevidente (tutto sommato è stata il fondamento del "contare". D'altra parte tu lo fai notare nel tuo messaggio.Tuttavia se si parla di insiemi infiniti non si può contare sulla stessa evidenza per il semplice fatto che nessuno conterà mai all'infinito. La (2), se accettata anche per gli insiemi infiniti porta inevitabilmente alla asserzione che dei sottoinsiemi propri di un insieme infinito hanno lo stesso numero di elementi dell'insieme stesso. Riconoscerai che è una asserzione non ovvia, mica tanto digeribile. Ma il vero punto è che, accettando la (2) per gli insiemi infiniti, si produce UNA teoria dell'infinito matematico. Potrebbero, almeno in linea di principio, essercene altre più interessanti (in matematica esiste solo quello che decidiamo noi). Questo a me pare interessante: che noi discutiamo di un infinito fondato sulla accettazione della due per insiemi infiniti. Insomma noi stiamo discutendo di un infinito preciso, che potremmo indicare come INFINITO(2), cioè quello che emerge se si accetta la 2 per insiemi infiniti.
Sull'infinito fisico tu dici "NON VEDO NESSUNA CONTRADDIZIONE A PENSARE ALL'INFINITO FISICO, IN PARTICOLARE, AD UN UNIVERSO CHE NON HA LIMITI SPAZIALI". Francamente trovo che tu abbia ragione.
Quello che io volevo dire è che vedo delle difficoltà a fare teorie sull'infinito fisico, perchè in ogni caso, dipendono dalle topologie matematiche sottostanti che, haimè, sono matematiche.

Al tuo secondo messaggio non so se sono all'altezza di rispondere. Ci provo, dopo aver sottolineato che l'intuizionismo matematico e tutta la matematica costruttivista è ancora vista come una stranezza. Allora:
la derivazione della matematica dalla logica ha rappresentato il trend degli inizi del '900'. E' chiaro che l'intuizionismo rifiuta questa sudditanza e richiede che il mondo astratto della matematica sia abitato solo da enti che si sappia almeno come costruire. Questo è il punto nodale: gli intuizionisti parlano di un universo matematico differente. A uno può non piacere. La logica intuizionista non pretende di essere la logica, ma solo la versione da usare quando si fa della matematica. Uno può trovarla convincente o no, ma certo nessuno vuole sostituirla alla logica non matematica. E quindi quella che tu giudichi UNA GRANDISSIMA CONQUISTA DELLA LOGICA non viene messa in dubbio dagli intuizionisti finchè non si parla di matematica. In realtà la discussione è diventata attuale da quando si fa molta matematica coi computer, dove la necessità di algoritmi costruttivi diventa un punto nodale.

Ciao
Carlo

Io credo che il problema possa essere risolto volta per volta, assumendo il fatto che, ogniqualvolta ci si trovi di fronte ad una ricorsività dell'infinito, sia opportuno chiederci se non sussista un'altra modalità di impostare il problema.
Prendiamo (1) il caso dell'insieme di tutti gli insiemi, ciascuno dei quali sia costituito di tutti i frazionamenti possibili di una determinata misura intera.
Noi sappiamo che la sommatoria degli elementi di ciascun sottoinsieme rappresenta esattamente il doppio della misura espressa dall'insieme.
Otteniamo questo risultato svolgendo un passaggio al limite.
Ne consegue, quindi il paradosso che un sottoinsieme, certamente "finito", può avere tutti i suoi elementi correlati con gli elementi dell'insieme, certamente "infinito" che lo contiene.
Così, infatti, poniamo (per l'unità) 1/2 in relazione con 2, 1/3 con 3, e così via.
Il problema è che abbiamo tacitamente e inconsapevolmente ammesso di poter applicare a ciascun sottoinsieme l'ipotesi del continuo, senza curarci del fatto se essa venga impiegata anche al riguardo dell'insieme principale (per il quale vale, invece, il "saltus" discreto da un elemento all'altro.

Ora prendiamo l'insieme di tutti gli insiemi ciascuno dei quali comprenda tutte le cifre di cui è composta la radice quadrata di ogni numero primo (unità esclusa).
Apparentemente ciascun sottoinsieme può correlare ogni cifra con tutti gli insiemi (numeri primi) e parrebbero entrambi equivalenti.
Sennonchè... abbiamo dovuto escludere l'unità !
Se escludiamo l'unità, noi escludiamo, concettualmente, la commensurabilità stessa di tali insiemi: ossia, non possiamo ammettere l'unità al fine di computare e correlare, ma poi escluderla nel momento in cui individuiamo "tutti" gli elementi propri dell'insieme madre.
Petitio principii.

x ermete:

- tu dici che l'algoritmo della biettività forse non è applicabile all'infinito, tu dici che non si può contare all'infinito. Questo è vero ma (contrariamente a quanto sostiene dade) l'infinito è composto da sottoinsiemi finiti: se non si dovesse accettare tale procedimento (almeno per ora) non vedrei cosa potrei accettare. (che poi che il sottoinsieme abbia cardinalità uguale ad all'insieme sia strano siamo tutti daccordo (cantor non accettò questa sua scoperta) ma ci rendiamo conto che per risolvere molti problemi ciò funziona).

- accetto la tua idea che sarebbe interessante creare un'altra teoria dell'infinito: tutto quello che è costruibile in matematica deve esser costruito (ma ricordiamo che stiamo parlando del mondo e quindi sarà bene usare una teoria dell'infinito che tenga conto del mondo (almeno per quanto ne sappiamo ora: magari in futuro si dorà cambiare teoria)).

- sull'infinito fisico concordiamo

- io sto studiando informatica (anche se alle prime armi. e tu, hai studiato informatica?) e capisco cosa vuodi dire in fondo al tuo intervento. io riconosco che l'intuizionismo in matematica sia molto fruttoso, ma credo che la natura principale della matematica sia funzionale, quindi se creiamo teorie matematiche 'fantomatiche' ma che servono, allora non vedo perchè non crearle.

- il mio esempio del libro vuole dimostrare che possiamo sapere cose senza poterle mostrare: ciò può essere utile nel mondo, anche se non abbiamo metodi algoritmici per trovare la soluzione.


x leibnicht: potresti chiarire meglio ciò che hai detto, specificando bene il collegamento con questo argomento?
scusa la mia 'durezza' di cervello...

Mi sembra che abbiamo individuato il più increscioso tra tutti i problemi che il concetto di infinito (sia esso impiegato in matematica, in fisica o in filosofia): ossia come si possa transitare ad esso "utilizzando" enti finiti (siano essi numeri, oppure quantità, oppure elementi logici).
Nei due esempi che ho citato è possibile "decostruire" l'illusione ottica di questo "salto", salto che si produce, in apparenza, verificando che un semplice operatore consente di immergere nell'infinito enti finiti che lo compongono.
Se questo "salto" non discendesse da una pseudologia o da una paralogia, allora noi potremmo effettivamente "costruire" il concetto di infinito.
Come ho cercato di mostrare, tuttavia, almeno in questi due casi, esistono errori procedurali di fondo che smascherano l'apparente successo.
In pratica: posto che non è possibile "costruire" il concetto di infinito semplicemente computando in successione (perchè ciò richiederebbe - si suppone - l'infinito del tempo), l'unica possibilità di farlo parrebbe essere quella di riferirlo ad un operatore che agisca ricorsivamente su di un ente, od insieme, finito.
Ma, almeno nei due esempi citati, ciò avviene solo per effetto di un paralogismo.

Del resto, la questione è incresciosa: dal momento che, ogni qual volta sviluppiamo un integrale, noi "utilizziamo" effettivamente il concetto di infinito.
E con un integrale noi ricaviamo quantità assai concrete, capaci di misurare il lavoro di una macchina e prevederne gli impieghi.
Ora, come è possibile che si possa affrontare un problema partendo da dati finiti e giungere a soluzioni finite transitando attraverso un'entità matematica che non siamo in grado di "costruire" ?

La mia personale opinione è che il concetto di infinito non sia un vero concetto, ma una pura architettura rappresentativa.
Quanto all'infinito "fisico", esso non è neppure rappresentabile in quanto tale, ma solo in quanto "tutto", costituendo per ciò un significante diverso.

La mia personale opinione è che il concetto di infinito non sia un vero concetto, ma una pura architettura rappresentativa.
Quanto all'infinito "fisico", esso non è neppure rappresentabile in quanto tale, ma solo in quanto "tutto", costituendo per ciò un significante diverso.

Ovviamente l'infinito matematico e` un'architettura rappresentativa, questo perche` facente parte della matematica, che e` un mero sistema di rappresentazione (il piu` gran sistema di rappresentazione!).

Poi tu dici che 'infinito fisico' deve essere inteso come tutto, cioe` nel senso che se dico "Ho ucciso tutti gli esseri umani" equivale a "Ho ucciso un numero infinito di esseri umani"?

Occorre distinguere l'uso nella lingua del termine "tutto": quello cui farei riferimento come unico significante del mondo universo è il sostantivo "tutto".
Ossia il tutto senza determinazioni categoriche.

io vedo la necessità di avere un termine che sta per 'successione senza fine', quindi si è legittimati ad utilizzare tale termine.

se non si vuole che sia 'infinito', questo non è un problema, potrei chiamarlo 'sfinito'.



P.S. la domanda "l'Universo è finito nello spazio o infinito?" è secondo te (non falsa bensì) insensata?