Domande in relativita'

[SIMMETRIA]

Salve

Vorrei rivolgermi a coloro che si sentono particolarmente ferrati in questa disciplina invitandoli a rispondere ad eventuali quesiti, domande o dubbi degli interlocutori.

Per iniziare vorrei porre questo quesito:
Consideriamo ds(quadro)=+-ct(quadro)+-(dx+dy+dz) elementi singoli al quadrato.
Per semplificare consideriamo solo l'asse x e due eventi che avvengono nello stesso istante ma in luoghi diversi.La linea nello spazio tempo sara' un segmento parallelo all'asse x.
Prendiamo un vagone ferroviario.
Consideriamo A l'inizio e B la fine.
Da A parte un raggio di luce che arriva a B in un tempo t.
Bene avremo ct-L=0 quindi ds=0 rispettando l'equazione di partenza.(L e' la lunghezza del vagone).
Cioe' i due eventi A e B quando sono raggiunti da un raggio di luce diremo che hanno una distanza luce 0.
Ora immaginiamo che il vagone rispetto ad un sistema di riferimento inerziale k
abbia velocita' v.
Il raggio di luce rispetto k pur essendo sparato da A avra' come sappiamo velocita' c.
Questo ci porta a dedurre che raggiungera' B in un tempo maggiore rispetto a t.
Quindi il valore ct ora sara' superiore ad L. E la loro differenza dara' ds maggiore di zero.
Diremo che ds e' di tipo tempo.(In quanto la differenza e' relazionata con la dilatazione temporale a velocita' v). Quindi v minore di c.
Se invece v fosse maggiore di c il raggio di luce non raggiungerebbe mai B
potremmo allora dire che ds e' minore di 0 e che e' di tipo spazio in quanto ora ct misurerebbe una distanza piu' corta rispetto alla distanza raggiunta al tempo t da B.
Nella realta' e' valida la prima ipotesi cioe' ds tipo tempo.
In questa eventualita' ds e' una invariante.
Perche'?
Lorentz con le sue trasformate ci dice che se considero una velocita' maggiore di v si ha maggiore dilatazione del tempo ma anche maggiore contrazione delle distanze.
Cioe' guardando il nostro vagone aumenta ct ma nello stesso tempo diminuisce la distanza A-B.
Domanda:
E' questa compensazione che lascia ds costante?

[Eretiko]

Simmetria, le trasformate di Lorentz vengono derivate imponendo l'invarianza dell'elemento infinitesimo ds2. Non è una compensazione, come tu la chiami, ma è proprio la conseguenza del principio di relatività. Ovvero non devi vedere l'invarianza del ds2 come conseguenza delle trasformate di Lorentz, ma il contrario.

[SIMMETRIA]

Originalmente inviato da Eretiko

Simmetria, le trasformate di Lorentz vengono derivate imponendo l'invarianza dell'elemento infinitesimo ds2. Non è una compensazione, come tu la chiami, ma è proprio la conseguenza del principio di relatività. Ovvero non devi vedere l'invarianza del ds2 come conseguenza delle trasformate di Lorentz, ma il contrario.

Quindi l'invarianza e' solo un arteficio costruito per comodita' nel senso che nel passaggio da un sistema di riferimento ad un altro una costante semplifica i ragionamenti.
Cio' nonostante dovrebbero quindi essere valide queste riflessioni:

1) Se la luce non avesse le proprieta' che conosciamo tutto il "castello" cadrebbe.

2) Nell'espressione dell'invarianza compare una parte positiva e negativa
che per dare come risultato una costante devono per forza compensarsi
e questo si puo' esprimere dicendo che ad una contrazione dello spazio risponde il tempo dilatandosi.(eventuali numeri immaginari sarebbero solo congetture matematiche per avere sempre il quadrivettore positivo)

3) Cio' che innesca le conseguenze della relativita' e' il termine ct dove t
in un sistema in movimento inerziale si allunga.

4) La conseguenza che ritengo piu' interessante e' che il rapporto ct1/ct
e' solo in funzione del rapporto dei tempi e quindi indipendente da c.
Questo vuol dire che non e' tanto importante il valore di c quanto il suo comportamento e cioe' di non dipendere dal sistema di riferimento.

5) Il termine dsquadro infinitesimo ha la sua valenza quando la geodetica come in un campo gravitazionale e' curva in quanto ci permette in un piccolo spazio di riportarci nella metrica dello spazio piatto.
Non e' necessario in R.R. restringere cosi' il "campo" in quanto abbiamo gia'
un segmento spazio temporale e non una curva.

[Eretiko]

Originalmente inviato da SIMMETRIA

Quindi l'invarianza e' solo un arteficio costruito per comodita' nel senso che nel passaggio da un sistema di riferimento ad un altro una costante semplifica i ragionamenti.

Non direi proprio che è un artificio. E' il ragionamento più semplice che permette di non avere incongruenze con la propagazione dei campi em. Poi il discorso è stato allargato anche ai fenomeni meccanici.

Originalmente inviato da SIMMETRIA

1) Se la luce non avesse le proprieta' che conosciamo tutto il "castello" cadrebbe.

Certo, però la luce è unod ei fenomeni meglio studiati e conosciuti: non credo che siamo molto distanti da come in realtà si comporta la luce.

Originalmente inviato da SIMMETRIA

2) Nell'espressione dell'invarianza compare una parte positiva e negativa
che per dare come risultato una costante devono per forza compensarsi
e questo si puo' esprimere dicendo che ad una contrazione dello spazio risponde il tempo dilatandosi.(eventuali numeri immaginari sarebbero solo congetture matematiche per avere sempre il quadrivettore positivo)

Non è propio in questo modo; l'elemento ds2 non è costante, è invariante (e non è la stessa cosa). L'invarianza riguarda le proprietà metriche dello spazio locale. Il fatto che la coordinata temporale abbia segno opposto a quelle spaziali è una conseguenza delle ipotesi di base (velocità c identica in tutti i sistemi inerziali, e assunzione della misura del tempo tramite la propagazione della luce). L'introduzione dei numeri complessi (in particolare la coordinata temporale immaginaria) è solo un' utile rappresentazione matematica.

Originalmente inviato da SIMMETRIA

3) Cio' che innesca le conseguenze della relativita' e' il termine ct dove t
in un sistema in movimento inerziale si allunga.

Non ho capito bene il tuo ragionamento. Comunque non si può semplicemente ridurre tutto ad effetti compensativi tra coordinate spaziali e temporali.

Originalmente inviato da SIMMETRIA

4) La conseguenza che ritengo piu' interessante e' che il rapporto ct1/ct
e' solo in funzione del rapporto dei tempi e quindi indipendente da c.
Questo vuol dire che non e' tanto importante il valore di c quanto il suo comportamento e cioe' di non dipendere dal sistema di riferimento.

Questo è vero. Aggiungerei anche la proprietà di isotropia della propagazione.

Originalmente inviato da SIMMETRIA

5) Il termine dsquadro infinitesimo ha la sua valenza quando la geodetica come in un campo gravitazionale e' curva in quanto ci permette in un piccolo spazio di riportarci nella metrica dello spazio piatto.
Non e' necessario in R.R. restringere cosi' il "campo" in quanto abbiamo gia'
un segmento spazio temporale e non una curva.

Anche qui non ho capito bene cosa vuoi dire; comunque localmente, lontano da masse, lo spazio è quasi piatto (ma pseudo-euclideo). In ogni caso la nostra conoscenza del "campo" è sempre limitata a regioni locali, a causa del carattere differenziale delle equazioni di campo.

[SIMMETRIA]

Originalmente inviato da Eretiko

Questo è vero. Aggiungerei anche la proprietà di isotropia della propagazione.

Ed e' questa proprieta' che mi fa pensare.
Riprendiamo il nostro vagone con una sorgente di luce in A (inizio del vagone).
Se il vagone rispetto ad un sistema inerziale si muove a velocita' relativistica
succede:
ct diventa ct1 cioe' si crea delta t che rappresenta la dilatazione temporale.
Ma inevitabilmente si crea di pari passo anche un incremento spaziale
delta x.
Per cui delta t e' direttamente proporzionale a delta x .
Penso di non sbagliare se identifico questo incremento delta x come la contrazione di Lorentz.
Cioe' ad una dilatazione temporale come detto si accompagna sempre un percorso in piu' che la luce deve fare per raggiungere B.
Piu' aumenta delta t piu' aumenta delta x.Cioe' piu' c'e' dilatazione temporale piu' cresce delta x e piu' cresce la contrazione.
Perche' mi fa pensare?
Per la proprieta' che giustamente hai ricordato cioe' l'isotropia.
Essendo delta x legato per forza a delta t qualunque direzione che il vagone puo' avere sul sistema inerziale di riferimento ci sara' sempre una contrazione
delle lunghezze associata ad una dilatazione temporale.
Quindi dire che la contrazione e' solo nella direzione parallela al riferimento
e che in direzione normale al riferimento non si ha non e' vero a meno che non si parli solo di prospettiva.