Quanti elementi contiene l'insieme di tutti gli insiemi privi di elementi?

[Aristippo di Cirene]

Originalmente inviato da Alexis Honlon

@Aristippo di Cirene:

certamente si può pensare di farlo, ovvero pensare un sistema di assiomi per la teoria degli insiemi senza l' assioma dell' estenzionalità, ma bisogna definire cosa intendiamo dire. Due insiemi, se hanno gli stessi elementi, non sono uguali? Oppure, per essere uguali, avere gli stessi elementi non sufficiente per parlare di identità? Oppure qualcos'altro? Senza poi considerare che dobbiamo dimostrare che un sistema senza assioma di estenzionalità non sia contraddittorio.

@and1972rea:

Sì, posso essere d'accordo con la sua definizione di insieme. Va però ricordato che il concetto di insieme è considerato primitivo e semplice, nell' ambito matematico: primitivo, perchè teoricamente non suscettibile di una definizione vera e propria; semplice, perchè non composto da altre parti. Quindi quando parliamo di insieme è come se dicessimo sempre "ma lo sai cos'è" - al massimo cambiamo quello che diciamo per farci capire. Comunque, personalmente proporrei una cosa del genere, per poter capire cosa sia un' insieme: un' insieme è una intenzionalità di una serie estenzionale di elementi.

Genericamente, l' insieme vuoto viene inserito come insieme senza elementi, ovviamente non è un insieme non insieme. Ciò non di meno, l' insieme vuoto è un' estenzionalità "senza alcun elemento" cui segue un intenzionalità di nessun elemento. In tal senso, non vi è alcuna contraddizione nel concetto di insieme vuoto. (In genere l' insieme vuoto lo usiamo nella vita quotidiana quando diciamo cose tipo "non c'è nessuna papera" - l' insieme delle papere non ha alcun elemento; oppure, se pensate che i numeri siano insiemi, l' insieme vuoto è lo zero).

@ Ulysse:

Stessa cosa di commento scritta sopra.

In senso lato, mi dovreste dire, quando non accettate l' assioma di estenzionalità, cosa avete in mente di fare. In pratica: in quale sintassi ritenete che la domanda ad inizio post sia derivabile e che sia una fbf?

In senso lato, comunque:

Supponiamo una versione forte della proposta, ovvero due insieme non sono uguali se hanno gli stessi elementi. Prendiamo l' insieme x, composto da elmenti k,z,q... se accettiamo l' ipotesi, allora l'insieme x non è uguale all' insieme x, il che significherebbe che ogni insieme è diverso da se stesso, cosa che passa agli elementi dell' insieme: ogni elemento non è uguale a se stesso. Quindi un insieme non è uguale sè stesso - anzi: ci sono infiniti insiemi che hanno stessa estenzionalità ed intenzionalità che sono diversi fra di loro.

Appurato che non potete dimostrare che un' insieme è uguale a sè stesso vi chiedo: cosa pensate significhi che due insiemi sono uguali?

Possiamo pensare che due insiemi siano uguali se hanno la stessa estensione e la stessa intensione. Se x e y hanno la stessa estensione ma diversa intensione, allora c'è un senso in cui possiamo dire che x e y sono diversi. Questo significa rendere conto delle nostre intuizioni linguistiche. Il principio di estensionalità è utile per alcuni scopi, ma non rende conto di alcune nostre intuizioni.

E cmq perché non sarebbe possibile dimostrare che un insieme è uguale a se stesso? Non è che "due insiemi non sono uguali se hanno gli stessi elementi". Smplicemente non sono uguali se sono uguali soltanto estensionalmente e non intensionalmente. Ora consideriamo un caso: x e y sono differenti dal punto di vista intensionale ma uguali dal punto di vista estensionale. Possiamo dire che x e y sono diversi, in un senso di "uguaglianza" che richieda la soddisfazione della congiunzione di uguaglianza intensionale ed estensionale. Però, in questo caso abbiamo che x è uguale a x, perché x condivide con x sia l'estensione che l'intensione. Lo stesso vale per y.

Poi, se ci accorgiamo che un sistema assiomatico con il principio di intensionalità come schema di assiomi è contraddittorio allora possiamo semplicemente dire che tale sistema assiomatico non è abbastanza potente da render conto di alcune nostre intuizioni relative al concetto di uguaglianza. Potremmo apportare magari aggiustamenti per potenziarlo, aggiungere assiomi, ecc.. La dinamica è sempre quella, ed è la stessa che si incontra nel passaggio dalla logica classica alle logiche non classiche. La logica classica è adatta per rendere conto dei ragionamenti matematici, ma non di quelli del senso comune o di qualche automa dotato di una certa forma di intelligenza artificiale, ecc. La logica classica non è mica l'unica logica disponibile..

[Alexis Honlon]

L'obiezione riguardo l'intensionalità, ovvero di considerare due insiemi uguali se e solo se hanno la stessa intenzionalità ed estenzionalità è interessante: in questa maniera viene risolto il problema dell' uguaglianza dello stesso insieme (l'intensionalità lo renderebbe uguale).

Non è possibile dimostrare, intendevo dire, l'uguaglianza dello stesso insieme nel caso in cui si neghi il principio di estenzionalità, dato che è quello che viene usato appunto per vedere se due insiemi sono uguali.

Comunque sia, la sua controrisposta risolverebbe la mia obiezione, e lo riconosco. Ho tuttavia bisogno di tempo per valutare con maggiore precisione cosa comporti la proposta di avanzare l'uguaglianza degli insiemi, oltre che a stessa estenzionalità, anche a stessa intenzionalità.

Tuttavia, ho qualche dubbio riguardo al fatto che sia possibile avere la stessa estenzionalità e differente intenzionalità; ma si tratta solo di dubbi, come ho detto sopra devo rifletterci.

Concordo ovviamente nel dire che la logica classica non è l'unica logica disponibile.