Riflessioni sulle Scienze

di Alberto Viotto    indice articoli

 

Il paradosso di San Pietroburgo  Marzo 2009

• L’onestà dei casinò
• Il casinò di San Pietroburgo
• Il calcolo dell’utilità attesa
• Chi vuole giocare?
• Il casinò è sempre aperto
• Un rublo oggi oppure molti rubli domani?

 

    In the long run, we’re all dead
(nel lungo termine saremo tutti morti)
John Maynard Keynes

 

L’onestà dei casinò

In ogni gioco di azzardo è possibile calcolare le probabilità medie di vincita. Nel gioco della roulette, ad esempio, ognuno dei trentasette numeri (da zero a trentasei) ha una probabilità di un trentasettesimo di uscire (ammesso che la roulette non sia truccata). Se esce il numero su cui si è scommesso si vince trentasei volte la posta. Dopo ogni giocata, in media, possiamo disporre di trentasei trentasettesimi di quanto abbiamo puntato, circa il novantasette per cento. L’utilità attesa di ciò che avremo dopo la giocata è il novantasette per cento di quello che possedevamo prima.
In tutti i giochi che si praticano in un casinò l’utilità attesa è sempre inferiore ad uno, perché ovviamente il casinò vuole guadagnare: nel caso della roulette, ad ogni giocata il tre per cento mancante va a finanziare il banco. Questo gioco è relativamente più “onesto” di molti altri giochi di azzardo; nel lotto, ad esempio, la probabilità di indovinare un numero è un diciottesimo (si estraggono cinque numeri, da uno a novanta), ma se si indovina si vince soltanto undici volte la posta. L’utilità attesa è undici diciottesimi, circa il sessanta per cento, mentre il quaranta per cento delle giocate va a finanziare il banco (in questo caso, lo Stato).

Le lotterie sono ancora più “disoneste”. La “Lotteria Italia” del 2008 ha incassato circa 92 milioni di euro, ottenuti vendendo più di diciotto milioni di biglietti a 5 euro l’uno, ma ne ha restituiti solo una ventina in premi. L’utilità attesa dell’acquisto di un biglietto era poco più del venti per cento. Tutto il resto, anche in questo caso, è finito allo Stato.

 

Il casinò di San Pietroburgo

Nel casinò di San Pietroburgo, a detta del famoso matematico svizzero Daniel Bernoulli (1700-1782), si praticava un gioco molto particolare, ancora più “onesto” del gioco della roulette. Si tirava una moneta, e se il risultato era croce si vinceva un rublo d’argento; in caso contrario, si tirava un’altra volta. Se il risultato del secondo lancio era croce, si vincevano due rubli d’argento, altrimenti si tirava ancora. Al terzo lancio, la vincita poteva essere di quattro rubli, al quarto di otto e così via, raddoppiando ogni volta.

 

Il calcolo dell’utilità attesa

Proviamo a calcolare l’utilità attesa di ogni giocata. Nel cinquanta per cento dei casi al primo lancio uscirà croce e quindi si vincerà un rublo d’oro. L’utilità attesa dell’uscita di “croce” al primo lancio è quindi di mezzo rublo. Nel restante cinquanta per cento dei casi si procederà ad un nuovo lancio; se uscirà croce (il venticinque per cento dei casi globali) si vinceranno due rubli, per una utilità attesa ancora di mezzo rublo, se uscirà testa si continuerà a giocare. E’ facile calcolare che la probabilità  globale che esca croce al terzo lancio (si vincono quattro rubli d’argento) è del dodici virgola cinque per cento, per una utilità attesa sempre di mezzo rublo. Procedendo nel calcolo si può vedere che, mentre le probabilità si assottigliano, le vincite aumentano nella stessa misura: se esce croce al quarto lancio si ha ancora una utilità attesa di mezzo rublo, uguale a quella dell’uscita al quinto lancio e a tutte le altre.

L’utilità attesa globale corrisponde alla somma di tutte le possibili utilità attese, ognuna di mezzo rublo. Non si può però stabilire un limite al numero di giocate: potrebbe continuare ad uscire testa per un numero di volte altissimo, potenzialmente infinito. La somma di tutte le possibili utilità attese è quindi infinita.

 

Chi vuole giocare?

Poiché l’utilità attesa è infinita, in teoria si dovrebbe essere disposti a pagare qualsiasi cifra per partecipare a questo particolarissimo gioco. In realtà, in contrasto con la teoria del valore atteso, pochi giocatori sono disposti a pagare più di cinque o sei rubli d’oro, una cifra con la quale si può avere una ragionevole probabilità di andare in attivo con una serie non troppo lunga di giocate. La probabilità di ottenere una vincita stratosferica è così bassa che, prima di riuscirci, si dovrebbe giocare un numero di volte inaccettabile.

L’intuizione trova conferma in una simulazione al computer di ventimila giocate. Il grafico riporta il valore medio delle vincite. Si possono notare degli aumenti significativi del valore in corrispondenza di vincite cospicue, mentre normalmente il valore scende in corrispondenza alle più frequenti vincite di uno o due rubli d’argento.

 

 

In media il valore medio delle vincite sale e tende verso un valore infinito, in accordo con la teoria che indica una utilità attesa infinita. La crescita però è lentissima: dopo ventimila giocate si è arrivati ad un valore di circa otto.

 

Il casinò è sempre aperto

Ma perché non giocare ventimila o più volte? Il fattore tempo è cruciale. Immaginiamo che il casinò di san Pietroburgo sia sempre aperto e si giochi senza interruzioni. Si possono fare sessanta giocate all’ora, ipotizzando che ogni giocata duri in media un minuto, millequattrocentoquaranta al giorno. Per arrivare a ventimila giocate (e quindi ad una utilità media di circa otto) servono due settimane di giocate ininterrotte. In un anno si arriverebbe a circa mezzo milione di giocate, con un valore medio previsto vicino a dieci. Anche giocando ininterrottamente per tutta la sua vita, uno scommettitore non può ragionevolmente pensare di andare oltre ad un valore di quindici  o venti.

Esiste, certo, la possibilità di ottenere rapidamente una vincita clamorosa, ma è così bassa che non è neppure il caso di tenerla in considerazione. La probabilità di ottenere al primo colpo una vincita di più di mille rubli (milleventiquattro se esce croce all’undicesima giocata, dopo che è uscito testa per dieci volte consecutive) è di uno su duemilaquarantotto, la probabilità di ottenere una vincita di circa un milione di rubli (con venti lanci consecutivi con risultato “testa”) è di uno su circa due milioni, e così via. Per questo motivo, nessuno sarebbe disposto a pagare una cifra elevata per una possibilità così aleatoria.

 

Un rublo oggi oppure molti rubli domani?

Chi presta denaro richiede sempre un interesse in aggiunta alla restituzione del denaro prestato; in caso contrario potrebbe con uguale profitto nascondere i soldi nel materasso e non correre alcun rischio. Chi prende a prestito è sempre disposto a pagare, alla scadenza, di più di quanto riceve. Più la scadenza è lontana, più l’interesse deve essere elevato.

Un rublo oggi è sicuramente meglio di un rublo domani, perché nel frattempo possiamo farlo fruttare ma, soprattutto, perché potremmo non riaverlo più indietro: il debitore potrebbe non essere più in grado di restituirlo oppure, molto semplicemente, noi stessi potremmo non esserci più.

Se l’interesse viene pagato dopo un periodo di tempo troppo lungo finisce per esserci del tutto indifferente. La nostra vita non è infinita; possiamo avere interesse per il benessere dei nostri eredi ma, nel lunghissimo periodo, anche il destino della nostra civiltà è segnato. Giocare al casinò di San Pietroburgo garantisce un ritorno sempre crescente e che può diventare elevatissimo, ma troppo in là nel tempo per poterci interessare. Come rispose il grande economista John Maynard Keynes a chi gli chiedeva la sostenibilità delle sue teorie a lungo termine, “a lungo termine saremo tutti morti”.

 

    Alberto Viotto

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