Il problema dei tre nani

[Phil]

Per cui, quale che sia la "soluzione ufficiale" dell'indovinello, non avendo esso precisato  nè la dimensione del diamante, nè la forma geometrica del terreno, secondo me, la mia soluzione non dovrebbe essere soggetta a contestazioni di carattere logico.
[...]Comunque adesso sarebbe il momento che tu finalmente ci dessi la "soluzione ufficiale".

Nella presentazione del problema viene detto che «decidono di portarlo in superficie, tenendolo in mano a turno», per cui se ciascun nano riesce a tenerlo in mano, difficilmente sarà un diamante più grande del nano stesso (peserebbe anche troppo?); quindi la divisione longitudinale di un (ipotetico) terreno largo come il diamante non consentirebbe ai nani di scavare fianco a fianco (per non avere vantaggi), poiché per farlo il diamante dovrebbe essere largo circa come i tre nani, ma se così fosse dubito che ciascuno di loro riuscirebbe a tenerlo in mano.
D'altronde, se anche il diamante fosse grande "solo" come la mano di un nano (che non è un puffo), non lo considereremmo, sia noi che lui, comunque «grosso», per essere un diamante?

P.s.
Alexander ha già scritto

almeno da quel che si sa, nessuno è riuscito ancora a risolverlo. Aspetto la soluzione "boccaccesca" della quale ha scritto Viator.

[Eutidemo]

Per cui, quale che sia la "soluzione ufficiale" dell'indovinello, non avendo esso precisato  nè la dimensione del diamante, nè la forma geometrica del terreno, secondo me, la mia soluzione non dovrebbe essere soggetta a contestazioni di carattere logico.
[...]Comunque adesso sarebbe il momento che tu finalmente ci dessi la "soluzione ufficiale".

Nella presentazione del problema viene detto che «decidono di portarlo in superficie, tenendolo in mano a turno», per cui se ciascun nano riesce a tenerlo in mano, difficilmente sarà un diamante più grande del nano stesso (peserebbe anche troppo?); quindi la divisione longitudinale di un (ipotetico) terreno largo come il diamante non consentirebbe ai nani di scavare fianco a fianco (per non avere vantaggi), poiché per farlo il diamante dovrebbe essere largo circa come i tre nani, ma se così fosse dubito che ciascuno di loro riuscirebbe a tenerlo in mano.
D'altronde, se anche il diamante fosse grande "solo" come la mano di un nano (che non è un puffo), non lo considereremmo, sia noi che lui, comunque «grosso», per essere un diamante?

P.s.
Alexander ha già scritto

almeno da quel che si sa, nessuno è riuscito ancora a risolverlo. Aspetto la soluzione "boccaccesca" della quale ha scritto Viator.

Non avevo fatto per niente caso a tali dettagli; in base ai quali la tua obiezione assolutamente "ineccepibile"!
Prendendone atto, ritiro la mia ipotesi di soluzione, in quanto, in effetti, non si attaglia ai termini del quesito.
Chapeau!

Se e quando me ne verrà un'altra in mente ve la dirò!

[iano]

Non ho idea di quale sia la soluzione ufficiale, però quella da me proposta mi sembra comunque corretta e dimostra che non occorre legare l'assegnazione dell'appezzamento del terreno alla sua divisione .
La divisione del terreno in tre parti uguali è sempre possibile qualunque forma abbia.
Inoltre possono scegliere tutti in modo indipendente, rivelando contemporaneamente la loro scelta.
Nessuno sceglie per secondo.
A me pare un non senso che i nani, uscendo dalla miniera, non si considerino nessuno proprietario del diamante perché lo hanno tenuto in mano a turno.
Chi lo ha preso per primo in mano avrebbe potuto tenerselo, ed essendo malfidemti ... strano che abbiano trovato questo accordo.
Se risolvere il problema consiste nell'escogitare un modo per  non fare intervenire la sorte io una soluzione l'ho trovata.

Un altra stranezza è come abbiano potuto stabilire di averlo visto contemporaneamente?
Seppure possano aver sincronizzato le loro viste per caso, come possono dimostrare che ciò sia avvenuto davvero?
Ognuno , senza poter essere smentito , avrebbe potuto affermare di averlo visto per primo.
Solo chi lo avesse preso in mano per primo avrebbe potuto accampare diritti di possesso, senza poter essere smentito.
Se io fossi stato uno di quei tre nani non mi sarei fidato di chi, per portarlo su a turno, lo avesse preso per primo.
Come hanno deciso chi doveva essere il primo?
Non certo tirando a sorte.

Mi sarei aspettato che decidessero di tenerlo insieme per portarlo fuori dalla miniera.
È possibile che la soluzione sia " a turno" ma io vedo solo quella " contemporaneamente" e non non mi sembra  errata, posto che non si l'unica.

[Eutidemo]

Riesaminando più attentamente il problema, e prendendo atto che, per le ragioni molto acutamente ed esaurientemente esposte da Phil, la mia precedente soluzione non può risultare logicamente valida, cercherò ora di formularne un'altra più confacente; la quale, però presti meno il fianco alle sue giustissime critiche.
***
Ed infatti, sebbene la mia precedente soluzione, in effetti, non funzioni, rimango però convinto che il nocciolo principale del problema stia nel "dividere in tre parti il terreno, così che ognuno abbia un appezzamento della stessa misura da scavare. Chi trova nuovamente il diamante ne diventa l'unico proprietario. Come fare la divisione, considerando che non è possibile tirare a sorte e che tutti e tre vogliono decidere per primi quale parte scegliere, per non dare alcun vantaggio agli altri due."
***
Pertanto, in sostanza, i requisiti richiesti sono fondamentalmente due:
1)
Dividere in tre parti uguali il terreno, così che ognuno abbia un appezzamento della stessa misura da scavare.
2)
La scelta di ciascuno non deve dare alcun vantaggio agli altri due.
***
Secondo me, quindi, occorre soffermare la nostra attenzione sul punto 2), e, cioè, sulla circostanza che, almeno stando a "come è formulato il problema", ciascun nano vuole decidere per primo quale parte scegliere:
- "non" per una mera questione di precedenza o di puntiglio;
- "bensì" semplicemente allo specifico scopo di non avvantaggiare gli altri due nella ricerca del diamante (ed infatti, troviamo  scritto, "per non dare alcun vantaggio agli altri due").
***
Pertanto, se lo specifico scopo è questo, ne consegue che, poichè nessuno di loro tre sa dove è nascosto il diamante, allora va bene qualsiasi divisione in "tre parti uguali" del terreno, cosicchè che ognuno abbia un appezzamento della stessa misura da scavare; però non c'è scritto da nessuna parte che ciascun appezzamento debba essere composto da lotti "contigui", da scegliere "preventivamente".
Pertanto, la divisione del terreno in parti uguali potrebbero farla con una griglia composta da 81 parti del terreno complessivo, concedendo 27 "lotti", o "caselle," da scavare a ciascuno dei 3 nani; ciascuna delle quali contrassegnata da un numero, e perimetrata da un nastro, ma senza assegnare "in anticipo" a nessuno quali siano i suoi 27 "lotti" complessivi.
In tal modo, ciascun nano, senza "scegliere"  preventivamente le  27 caselle che costituiscono il terzo di sua spettanza, potrebbe cominciare a scavare casella per casella dove gli pare; purchè, però, contrassegni una per una con il suo nome, quelle che ha già scavato, e, una volta terminato il numero di caselle che gli compete, si fermi e non prosegua a scavare la ventottesima.
Chi becca, prima o poi, la casella sotto cui è disposto il diamante, se lo tiene!
https://cdn-thumbs.imagevenue.com/f1/05/44/ME1380KR_t.jpg
***

[Phil]

Credo che, anche alla luce delle mancanti informazioni sul terreno, quel «decidono di dividere»(cit.) significhi che lo dividono (così come precedentemente «decidono di portarlo in superficie [...] decidono di sotterrare» significa che compiono di fatto tali azioni) e poi si trovano in dubbio su come abbinarsi a ciascun appezzamento; «fare la divisione»(cit.) significherebbe allora dividere i nani nei rispettivi appezzamenti e ciò spiegherebbe perché del terreno non ci viene detto nulla, essendo già stato diviso ed essendo dunque il problema solo quello di fare gli abbinamenti nano/appezzamento senza tirare a sorte.
In generale, dover dividere in parti uguali un terreno (uno spazio) di cui non si conosce né la forma né l'estensione, non credo possa avvenire tramite soluzioni geometrico-matematiche: ad esempio, se il terreno è molto piccolo diventa difficile suddividerlo in 81 caselle (salvo scavare con un cucchiaino), cosi come se ha una forma irregolare, le caselle (81 o 3 che siano) rischiano di non coprirlo totalmente lasciando fuori dallo scavo gli spazi che "non quadrano" (o eventualmente non "esagonano") nella griglia, ma che potrebbero nondimeno contenere il diamante.
Più che basarsi sul terreno, di cui non sappiamo nulla, credo convenga eventualmente , come detto, basarsi sullo strumento di scavo che può invece essere standard ed uguale per tutti i nani: usando la stessa pala (o pale con identica forma), se ognuno dà un "colpo di pala" dove vuole, il terreno verrà di fatto diviso 1/3 a testa (anche se ogni terzo sarà discontinuo nella superficie), evitando il problema della sua matematizzazione.
Resterebbe la questione dell'ordine con cui devono usare la pala, problema che, secondo me, si può risolvere concordando, come detto, un test fisico che stabilisca un "podio" (è vero che plausibilmente si conoscono, ma è anche vero che non conoscono necessariamente tutte le reciproche "performances"; ad esempio, se penso a due miei amici a caso, non sono certo chi, fra me e loro due, riesca a saltare più lontano, o riesca a colpire un ramo lontano tirando un sasso, etc. si tratta di concordare una prova in cui nessuno dei tre abbia palesi vantaggi).

[atomista non pentito]

Incuriosito dal titolo leggo l'argomento , come quasi sempre , non capisco per cui mi chiedo :
1) Da dove "salta fuori" questo "problema" ( e' un'invenzione di qualche utente , nello specifico Alexander) o ha a che fare con un qualche precedente o  sviluppo filosofico ?
Chiedo perché, sinceramente , lo trovo mal formulato ed incompleto ( se e' una cosa pseudo seria).
2) Non sapendo dove si trova il diamante nel terreno perché si dovrebbe avere un qualche vantaggio a poter scavare in un posto piuttosto che in un altro ? ( se qualcuno lo sa lo spieghi terra terra per favore)
3) Se e' una presa in giro per i "meno" habens come il sottoscritto ebbene ..... e' riuscita

[iano]

@Phil.
A proposito della prova che proponi.

Se si conoscono le diverse abilità dei nani si conoscono le probabilità di vincita di ogni nano.
Ma qualunque siano queste probabilità ciò equivale a tirare a sorte.
Il problema come tutti abbiamo notato sembra presentare qualche pecca espositiva.
Se lo si interpreta alla lettera, la divisione del terreno ( non  si da' esplicitamente  la sua forma perché è implicita  nei dati del problema , oppure perché è libera  ).equivale ad una assegnazione non casuale, ma causale.
Cioè dalla divisione segue l'assegnazione.
Si possono verificare allora due casi.
1.
Il terreno può dividersi in un solo modo che equivalga all'assegnazione, e ciò  deriva da una sola possibile forma.
2.
Si può dividere in diversi modi, ognuno dei quali comporta identiche conseguenze ai fini dell'assegnazione.
Infatti se così non fosse occorrerebbe tirare a sorte il modo. Ciò che non si può fare.

Sembrerebbe quindi che la soluzione stia nelle possibili, ma non libere, forme del terreno.
Ma questi vincoli di forma come possono determinare l'assegnazione riferendosi al terreno ma non ai nani?
Per quello che ne sappiamo i nani differiscono solo nel nome e i nomi non mi sembrano significativi.
O no?

[iano]

Incuriosito dal titolo leggo l'argomento , come quasi sempre , non capisco per cui mi chiedo :
1) Da dove "salta fuori" questo "problema" ( e' un'invenzione di qualche utente , nello specifico Alexander) o ha a che fare con un qualche precedente o  sviluppo filosofico ?
Chiedo perché, sinceramente , lo trovo mal formulato ed incompleto ( se e' una cosa pseudo seria).
2) Non sapendo dove si trova il diamante nel terreno perché si dovrebbe avere un qualche vantaggio a poter scavare in un posto piuttosto che in un altro ? ( se qualcuno lo sa lo spieghi terra terra per favore)
3) Se e' una presa in giro per i "meno" habens come il sottoscritto ebbene ..... e' riuscita

Ogni nano sospetta che gli altri possano in effetti sapere dove sia.
Il temporale sembra aver cancellato  dei riferimenti , ma solo relativamente alla diversa memoria che ogni nano ne ha.
Potrebbe esserci un nano che ricorda bene il posto, ma finge di non saperlo, sperando in questo modo di aggirare il difficile problema dell'assegnazione, non potendosi tirare a sorte. Questo è il motivo per cui chi sceglie per primo potrebbe essere avvantaggiato.

Ognuno qui prova a dare la sua soluzione, e ogni altro la critica.
Però nessuno dice nulla della soluzione da me proposta.
Nessuna critica ne' in positivo, ne' in negativo.

[iano]

In un terreno sicuro.
Che significa?
Il temporale ha tolto i riferimenti , ma non quelli che delimitano il terreno?
In questo senso sicuro?
Certamente no, in quanto il temporale non è stato previsto.
Un terreno sicuro con riferimenti poco sicuri?

[Alexander]

Buonasera Iano


Il problema mi sembra sorga dopo che i tre nani (Chili-Fili-Nili) hanno portato il diamante in superficie. Infatti si trovano concordi nel portarlo , tenendolo a turno, fuori dalla miniera. In questo momento la loro unica preoccupazione sembra quella che "nessuno si senta padrone" e per questo adottano la turnazione. Una volta fuori si trovano in disaccordo su cosa farne. Così lo sotterrano per "dormirci sopra" e decidere l'indomani. Portarlo fuori, tenendolo a turno, non comportava in effetti alcun vantaggio per nessuno dei tre, non avendo stabilito ancora nulla.
Il terreno "sicuro" penso s'intenda come un terreno che i tre sapevano non frequentato, forse conosciuto solo a loro. Il temporale notturno non era evidentemente previsto,  con le sue conseguenze sul terreno stesso. La soluzione del dilemma potrebbe forse trovarsi nel "ragionare come dei nani"? Trovare una soluzione "da nani"?   

[sapa]

Bè, penso che la soluzione più logica, per evitare che i 3 nani tirino a sorte e noi di lambiccarci troppo il cervello, sia che si proceda in ordine alfabetico (prima Chili, poi Fili e infine Nili) o per anzianità nanesca.  O è troppo facile  ?

[viator]

Salve. Vedo che con gli ultimissimi interventi............fuochino fuochetto. Una osservazione : qui in Filosofia siamo entrati nella stagione dei paradossi a raffica. Ma come mai li chiamate paradossi (solo alcuni contengono aspetti paradossali, altri delle assurdità, altri ancora delle contraddizioni) ? Io li chiamerei tutti e solamente DILEMMI ENIGMISTICI. Saluti.

[Phil]

@iano
Proponendo che «si tratta di concordare una prova in cui nessuno dei tre abbia palesi vantaggi»(autocit.) credo ciò non sia assimilabile ad un tirare a sorte: come nel già citato esempio dei miei due amici con cui decidiamo di vedere chi salta più lontano (o altro...), senza avere a priori un'idea chiara di chi sia il favorito (perché non ci conosciamo come saltatori in lungo o altro), l'esito non ha a che fare con la sorte o il caso, ma con determinate qualità dei concorrenti reciprocamente ignorate, oltre che con variabili del momento (condizione di forma fisica, etc.). In fondo, se l'esito di una gara di salto in lungo (o tiro al bersaglio o altro sport) equivalesse a "tirare a sorte", forse non esisterebbero le olimpiadi o magari rischierei di parteciparci anch'io, se solo la sorte mi fosse propizia.

@sapa
Le "istruzioni" premettono che «tutti e tre vogliono decidere per primi quale parte scegliere»(cit.) per cui plausibilmente Fili e Nili non concorderebbero nell'usare il criterio alfabetico, così come i due più giovani non concorderebbero nello scegliere per anzianità o, nel caso della matrice di iano, i due sfavoriti dalla matrice non concorderebbero nell'utilizzarla (e ci sono poche probabilità, poco più del 22% se non sbaglio, che tutti e tre decidano contemporaneamente di abbinarsi ad appezzamenti differenti, fermo restando che mi sembra il tipo di problema che ha una soluzione "secca", non probabilistica); due nani su tre che si oppongono ad un criterio a loro sfavorevole sono pur sempre la maggioranza e suppongo che i nani colleghi di miniera siano tendenzialmente democratici (anche se effettivamente il testo non si esprime al riguardo, per questo ho citato Caino...).

[iano]

@ Ciao Phil.
Nel caso della "matrice" da me proposto nessuno parte svantaggiato.
Tutti scelgono contemporaneamente  alla pari e liberamente.
Nessuno sceglie per secondo quindi nessuno è svantaggiato.
Rimane solo da stabilire se matematicamente si giunga all'assegnazione dopo un numero finito di scelte, e questo è un problema interessante in se'.

Nel caso della prova fisica da te proposta , i nani possono partire alla pari, perché hanno pari abilità o perché non conoscono le loro abilità, ma è impossibile escludere una componente imprevedibile, quindi casuale ,che determini l'esito della prova.
In effetti anche questo è un argomento interessante in se' sul quale non avevo mai riflettuto.


Ma c'è anche la possibilità che le nostre diverse soluzioni proposte siano in effetti simili.
Infatti i nani sceglieranno liberamente , ma facendo appello alle loro abilità mnemoniche.


Gli eventi reali possono essere sufficientemente deterministici , per cui acquista un senso descriverli come tali, ma non possiamo mai escludere l'intervento del caso a rigore, a meno di non metterci in un caso ideale.
La soluzione al problema non a caso si suggerisce essere puramente matematica.
Quindi io ho usato il calcolo, piuttosto che la geometria come sembra suggerire il problema, ma a quanto pare maldestramente.

[iano]

I processi di decisione sono eventi reali in cui non si può escludere mai l'intervento del caso, e ciò che porterà i nani a concordare su una procedura di assegnazione è un evento reale.
A rigore quindi non sembrerebbe esserci una soluzione che escluda la sorte, anche quando non la si invochi volutamente.
Quindi la soluzione dovrebbe somigliare a qualcosa su cui i nani non possono non concordare.
Che non dipenda quindi dalla loro decisione, presentandosi come cosa che quindi non ammette alternative.
Esiste una soluzione unica.
Se si vuole giungere all'assegnazione, e si scopre che esiste matematicamente un solo modo per farlo, non si può che convenire.
Ogni possibilità di scelta deve essere esclusa se vogliamo escludere il caso.
Ogni nano vuole scegliere per primo, quindi nessuno deve scegliere per secondo.
La mia soluzione iniziale era che scegliessero contemporaneamente, il che escludeva che un na non scelga per secondo.
La mia soluzione adesso è che nessuno scelga, ciò che garantisce che nessuno scelga per secondo.
Perché nessuno scelga deve presentarsi ai nani una soluzione unica senza alternative.