Il paradosso del barbiere.

[Socrate78]

Il paradosso del barbiere è uno dei più famosi paradossi formulati dal filosofo e logico Bertrand Russell nel 1902 e il suo riferimento è la teoria matematica degli insiemi. Il paradosso ha questa formulazione: "In una piccola cittadina vi è un solo barbiere, un uomo ben sbarbato, che rade solo ed unicamente tutti gli uomini del villaggio che non radono se stessi. Ora la domanda è: chi rade il barbiere?". Ora, dall'esame del paradosso viene fuori che nessuno può radere il barbiere, eppure egli è ben sbarbato.
Infatti se il barbiere viene raso da qualcun altro, egli rientrerebbe nel gruppo di coloro che non si radono da soli e quindi viste le premesse dovrebbe farsi la barba. Se invece il barbiere rade se stesso, allora non può radersi, visto che egli rade solo gli abitanti del villaggio che non si radono da soli.  In ogni modo la si vede quindi si cade in un'antinomia insolubile. Il barbiere però rappresenta l'insieme degli insiemi che NON appartengono a se stessi. La domanda anche qui è: un tale insieme appartiene a se stesso oppure no? Verrebbe da rispondere di SI, visto che è comunque un insieme, ma il problema sta nel fatto che contiene tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi,  quindi anche questo super-insieme non dovrebbe essere elemento di se stesso per appartenere a se stesso! E' come il barbiere che per radere se stesso non deve radersi.
Bertrand Russell risponde con un'asserzione contraddittoria, cioè quella secondo cui un siffatto insieme appartiene a se stesso SE e solo SE NON appartiene a se stesso, una contraddizione appunto.  Bertrand Russell formulò il paradosso del barbiere in una lettera al logico Gottlob Frege che aveva appena approntato una teoria completa degli insiemi, e tale lettera mise in crisi il logico tedesco costringendolo a rivedere le sue teorie.
Per quanto riguarda il paradosso, la soluzione che si è tentata di fare sarebbe quella secondo cui il barbiere, viste le premesse, non può esistere, oppure che sia una donna, anche se ciò va contro le premesse che parlano di un uomo. Tuttavia dire che il barbiere non può esistere non mi sembra una soluzione, ma semmai un aggirare il paradosso. Una soluzione potrebbe essere quella secondo cui al barbiere, per qualche disfunzione ormonale, non cresca la barba e quindi non abbia bisogno di radersi.
Secondo voi qual è la soluzione migliore del paradosso?

[iano]

Credo che Russell abbia messo in crisi se stesso, oltre che Frege, invalidando il suo proprio  tentativo  di fondazione  della matematica fatto a partire dalla teoria degli insiemi di Frege.
Russell ha dimostrato di essere un genio, perché solo un genio sa' andare contro le sue convinzioni profonde messe inoltre già sulla carta avendone tratto tutte le conseguenze, è già pronte per la stampa.. Quando si dice amore per la verità, questo sì intende.
La soluzione poi l'ha trovata Goedel con i suoi teoremi.
La mia impressione è che per comprendere la sostanza di quei teoremi non occorra necessariamente impelagarsi in questioni tecniche, e che la difficoltà nel comprenderli risieda piuttosto nella difficoltà ad immedesimarsi pienamente nelle convinzioni profonde che Russell possedeva, cosa che sembra invece i saggi di divulgazione sull'argomento diano per scontata. Infatti nei limiti, pur pesanti, in cui li comprendo , non mi sembrano rivoluzionari, ma quasi ovvi.
Segno che la mia generazione non è quella di Russell, essendo ogni generazione immersa nelle sue ovvietà come i pesci nel mare.
Da un punto di vista puramente filosofico sarebbe interessante capire come facciano certe convinzioni profonde a costituirsi. Cioè, quale sia la genesi dell'ovvio.
Cioè di ciò che ci appare a tutti tale, finché un genio non lo  mette cin dubbio illustrandone  la paradossalità , aiutato in ciò Russell dall'essere un filosofo oltre che un matematico.

[Eutidemo]

Ciao Socrate78 e Iano.
Il "paradosso del barbiere", è una esemplificazione del "paradosso degli insiemi che non contengono se stessi"; lo formulò Bertrand Russell quando stava lavorando a una delle idee centrali della "teoria degli insiemi", un metodo formale per definire e trattare i "raggruppamenti concettuali" di qualunque genere.
Secondo tale teoria, "per ogni proprietà è possibile definire, e deve necessariamente esistere,   un insieme".
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Gli "insiemi" più generali, sono gli "insiemi di insiemi", in quali si dividono in due categorie:
- gli insiemi che contengono se stessi (ad esempio, l'insieme dei concetti è esso stesso un concetto)
- gli insiemi che non contengono se stessi (ad esempio, l'insieme dei gatti non è un gatto).
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Ciò premesso, visto che, per esclusione, esistono "soltanto" tali due categorie di insiemi, Russel si chiese a quale delle due appartenesse "l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono a se stessi ".
Ovviamente, tale insieme, per definizione, non rientra tra gli "insiemi che contengono se stessi";  per cui dovrebbe, per esclusione rientrare, nell'"l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono a se stessi", e, cioè, dovrebbe contenere se stesso in quanto insieme.
Però, se così fosse, diventando un "insieme che contiene se stesso", cesserebbe di essere "un insieme che non contiene se stesso", da cui il seguente paradosso formulato da Russel: "L'insieme di tutti gli insiemi che non contengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso".
Il "paradosso del barbiere", costituisce un "corollario" di tale antinomia.
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Per superare il suo "paradosso dell'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi", Russel confutò il "principio di astrazione".
Ritenne, cioè che si debba respingere la convinzione :
- che esista un insieme corrispondente a ogni predicato;
- che, quindi, per ogni asserzione di una proprietà o di una caratteristica, esista necessariamente un insieme i cui elementi possiedono quella proprietà o caratteristica.
In parole povere, Russel giudicò privi di significato i predicati che danno origine a conseguenze contradditorie, nel senso che non producono un insieme.
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Cioè, se ho ben capito, così come non è possibile descrivere una figura geometrica come "cerchio quadrato", poichè le nozioni di quadrato e di cerchio sono tra loro contradditorie, allo stesso modo non si può descrivere un insieme in termini di caratteristiche contradditorie.
Il che vale tanto per il "paradosso degli insiemi che non contengono se stessi", quanto per il suo corollario esemplificativo denominato il "paradosso del barbiere".
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La soluzione offerta da Bertrand Russel per il suo "paradosso degli insiemi" è simile, sotto questo aspetto, alla soluzione proposta da Alfred Tarski per il "paradosso del mentitore".
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Secondo alcuni, peraltro, esistono altri modi di superare la contraddizione presente nel paradosso di Russel; uno dei quali comporta la costruzione teorica degli insiemi basata su una "logica a più valori" e non sulla "logica classica a due valori" (vero o falso).
In un sistema di questo genere, la negazione assume un significato diverso da quello tradizionale, ed è quindi possibile per un insieme:
- sia essere elemento di se stesso;
- sia non essere elemento di se stesso.
Ma, personalmente, non mi riesce in alcun modo possibile superare il "principio di non contraddizione"; ed infatti, la cosa mi renderebbe impossibile ragionare nell'unico modo che mi è stato concesso da madre natura.
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Un saluto!
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[viator]

Salve. Qui dentro c'è qualcuno che, nonostante i tempi di Covid, vorrebbe mantenere in vita il Forum attraverso la respirazione "bocca a bocca".

Pensa di poterlo fare attraverso la continua, insistente riesumazione di argomenti già svolti (almeno a mia memoria). Ora siamo alla speculazione enigmistica la quale sarebbe costretta a sostituire la speculazione filosofica.

Per quanto riguarda il presente tema : https://www.riflessioni.it/logos/tematiche-filosofiche-5/sari-il-barbiere/ . Saluti.