Il numero più grande di tutti

[iano]

Alla "somma di tutti i numeri", non si può aggiungere "+1"; altrimenti non sarebbe più "la somma di tutti i numeri", bensì sarebbe "la somma di tutti i numeri meno un numero" (cioè quello che si aggiunge alla somma di tutti i numeri); per questo, secondo me, almeno in teoria, la "somma di tutti i numeri" è il numero più grande di tutti, perchè la somma è sempre più grande degli addendi, e, qualora se ne aggiungesse un altro, si cadrebbe in contraddizione!

Ma tu intendi la somma di tutti i numeri dove ogni numero compare nell'addizione una sola volta, oppure ogni numero vi appare un numero indefinito di volte?

[iano]

Ciao Viator.

Pur avendo un po' più di cinque anni, lo so anch'io che l'infinito non è un "ente matematico", bensì un "concetto filosofico"; ma non vedo cosa ci sia di male nel considerarlo anche "filosoficamente", invece che solo "matematicamente".

D'altronde anche Dio non è "ente matematico", poichè è "infinito"; ma questo non dimostra che "non esista", o, quantomeno, non significa che "non possa essere almeno concepito"!

Un saluto

La matematica non nasce "imparata" ma si arricchisce nel corso della sua storia pescando nella filosofia e altrove, per cui stando ai matematici OGGI l'infinito è un concetto matematizzato in modo soddisfacente , per quanto rimane sempre una dialettica aperta fra i matematici su qualunque argomento, infinito compreso, ciò che garantisce l'evoluzione della loro materia.
All'inizio neanche l'uno era considerato un numero, e raramente si contava oltre il cinque, perchè dopo il cinque c'era "molti", cioè una quantità indefinita che somiglia ad un infinito agli inizi della sua carriera matematica.
2,3,4,molti e la matematica era tutta lì.

Tutte le tue stimolanti considerazioni nascono da una posizione, questa si prettamente filosofica sulla matematica, che la matematica sia fuori di noi, tutta da scoprire, e per niente da inventare.
Qualcosa che si può solo scoprire, ma che una volta scoperta appaia indiscutibile.
Non è così secondo me, e, seppure la matematica non è filosofia, essa fà parte a pieno titolo della storia dell'evoluzione del pensiero umano.

[Eutidemo]

Salve Eutidemo. Piccolo intoppo, il tuo : prima convieni circa la non matematicità del concetto di infinito...................quindi affermi che esso possa venir elaborato anche matematicamente oltre che filosoficamente. Mah !!. Saluti.

Perchè, secondo te in Dio non "si sommano" tutte le infinite qualità dell'"essere", come scrive Sant'Agostino?
E Pitagora  non elaborava, forse, i suoi assunti anche "matematicamente" oltre che "filosoficamente"?
Quindi non vedo alcun "intoppo"!

[Eutidemo]

Ma tu intendi la somma di tutti i numeri dove ogni numero compare nell'addizione una sola volta, oppure ogni numero vi appare un numero indefinito di volte?

Quando si dice che i numeri sono "infiniti" li si intende in sequenza: 1,2,3,4,5 ecc.
Sennò, come è ovvio, anche il numero 1 può essere ripetuto all'"infinito": 1,1,1,1,1 ecc. (e così anche il 2, il 3 e gli altri)
Ma non è certo questo che si intende quando si parla di "infinità" dei numeri 
In ogni caso, l'"infinità" dei numeri è una cosa, mentre  la "somma di tutti i numeri" è un'altra cosa; la prima, infatti, indica una semplice "serie" numerica, finita o infinita (1,2,3...), la seconda, invece, indica, la "sommatoria dei numeri in serie"  (1+2+3..., non certo 1 + 1 + 1...)
La "somma di tutti i numeri" ti impedisce di fare "più uno", per il semplice fatto che, per definizione, il "+1", è già incluso nella sommatoria di tutti i numeri; se ne fosse escluso, infatti, la "somma di tutti i numeri" non sarebbe più "la somma di tutti i numeri".
E poichè una somma, di qualsiasi entità essa sia, è necessariamente sempre maggiore degli addendi, anche la "somma di tutti i numeri" deve necessariamente essere maggiore di tutti i suoi addendi.
Un saluto!

[Eutidemo]

Ciao Niko.
L'"infinità" dei numeri è una cosa, mentre  la "somma di tutti i numeri" è un'altra cosa; la prima, infatti, indica una semplice "serie" numerica, finita o infinita che essa sia (1,2,3...), la seconda, invece, indica, la "sommatoria dei numeri in serie"  (1+2+3)....
La "somma di tutti i numeri" ti impedisce di fare "più uno", per il semplice fatto che, per definizione, il "+1", è già incluso nella sommatoria di tutti i numeri; se ne fosse escluso, infatti, la "somma di tutti i numeri" non sarebbe più "la somma di tutti i numeri".
E poichè una somma, di qualsiasi entità essa sia, è necessariamente sempre maggiore degli addendi, anche la "somma di tutti i numeri" deve necessariamente essere maggiore di tutti i suoi singoli addendi.
Ma, ovviamente, come ho scritto nel mio primo intervento, le mie sono solo mere elucubrazioni concettuali, che lasciano il tempo che trovano.
Un saluto!

[Eutidemo]

Ciao a tutti!

Non dovete prendere troppo sul serio le mie riflessioni, come se fossero la postulazione di un "teorema", nè, tantomeno, come se fossero l'affermazione di una "verità assoluta" ("matematica" o "filosofica"); ed infatti, si tratta solo di mie "divagazioni intellettuali" in libera uscita, basate sul concetto di "somma" e su quello di "addendi".

Dai quali concetti, secondo me, si può ipoteticamente ed astrattamente estrapolare "il numero più grande di tutti", quale risulta dalla sommatoria di tutti i singoli diversi ed infiniti numeri esistenti; ed infatti la somma è sempre necessariamente maggiore dei singoli addendi che la compongono, anche se essi sono infiniti.

Ma, come avevo già premesso nel mio "topic" iniziale: "ovviamente, si tratta solo di mie elucubrazioni, che lasciano il tempo che trovano! "

***

Peraltro, un "loico" molto sottile, mi potrebbe eccepire: "Ti sbagli, Eutidemo! Ed infatti, anche seguendo il tuo modo di ragionare, esiste un numero ancora più grande della "somma di tutti i numeri" (1+2+3+4+5 ecc.); e, cioè, quello che risulta dalla "moltiplicazione di tutti i numeri!"(1 x 2 x 3 x 4 x 5 ecc.)
 

Ed io non saprei proprio cosa replicare!

***

Un saluto a tutti! 

***

[niko]

Ciao Niko.
L'"infinità" dei numeri è una cosa, mentre  la "somma di tutti i numeri" è un'altra cosa; la prima, infatti, indica una semplice "serie" numerica, finita o infinita che essa sia (1,2,3...), la seconda, invece, indica, la "sommatoria dei numeri in serie" (1+2+3)....

La "somma di tutti i numeri" ti impedisce di fare "più uno", per il semplice fatto che, per definizione, il "+1", è già incluso nella sommatoria di tutti i numeri; se ne fosse escluso, infatti, la "somma di tutti i numeri" non sarebbe più "la somma di tutti i numeri".
E poichè una somma, di qualsiasi entità essa sia, è necessariamente sempre maggiore degli addendi, anche la "somma di tutti i numeri" deve necessariamente essere maggiore di tutti i suoi singoli addendi.
Ma, ovviamente, come ho scritto nel mio primo intervento, le mie sono solo mere elucubrazioni concettuali, che lasciano il tempo che trovano.
Un saluto!

Ma io non ne so molto di matematica, ma ho speso un po' di tempo per darti una risposta "informata" cioe' sono andato su un sito dove scrivono alcuni matematici laureati, ho visto che loro scrivono che a livello puramente descrittivo, sebbene infinito non sia un numero, infinito piu' uno fa infinito, e somma di tutti i numeri tra di loro pure fa infinito, e quindi ne ho dedotto che le due cose, a quanto sembra entrambe vere,  non si escludono affatto a tra di loro,  e un pensatore particolarmente meticoloso potrebbe fare somma di tutti i numeri = infinito, e ancora piu' uno = sempre infinito...

Quindi quello che sostanzialmente ti volevo dire, e' che non c'e' un motivo intrinseco per cui alla somma di tutti non si possa, per gioco o tanto per farlo, aggiungere ancora piu' uno, e avere lo stesso risultato: infinito era il risultato, infinito resta.  Questo e' uno degli effetti controintuitivi dell'infinito, infatti, intuitivamente, e se si trattasse di numeri finiti, sarebbe stato vero quello che affermi e cioe' che "somma di tutti i numeri" e' un numero definitivo, e qualcosa di intrinseco vieta di fare + 1.

Insomma per quanto strano sembri, si può fare più uno alla somma di tutti i numeri, perché la somma di tutti i numeri è infinito, e infinito più uno è sempre infinito.


Link:

https://it.quora.com/Quanto-fa-infinito-1

https://www.mathone.it/somma-numeri-naturali/

[iano]

Ciao a tutti!

Non dovete prendere troppo sul serio le mie riflessioni, come se fossero la postulazione di un "teorema", nè, tantomeno, come se fossero l'affermazione di una "verità assoluta" ("matematica" o "filosofica"); ed infatti, si tratta solo di mie "divagazioni intellettuali" in libera uscita, basate sul concetto di "somma" e su quello di "addendi".

Dai quali concetti, secondo me, si può ipoteticamente ed astrattamente estrapolare "il numero più grande di tutti", quale risulta dalla sommatoria di tutti i singoli diversi ed infiniti numeri esistenti; ed infatti la somma è sempre necessariamente maggiore dei singoli addendi che la compongono, anche se essi sono infiniti.

Ma, come avevo già premesso nel mio "topic" iniziale: "ovviamente, si tratta solo di mie elucubrazioni, che lasciano il tempo che trovano! "

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Peraltro, un "loico" molto sottile, mi potrebbe eccepire: "Ti sbagli, Eutidemo! Ed infatti, anche seguendo il tuo modo di ragionare, esiste un numero ancora più grande della "somma di tutti i numeri" (1+2+3+4+5 ecc.); e, cioè, quello che risulta dalla "moltiplicazione di tutti i numeri!"(1 x 2 x 3 x 4 x 5 ecc.)
 

Ed io non saprei proprio cosa replicare!

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Un saluto a tutti! 

***

Dovresti replicare , anche se era meglio esplicitarlo subito e non lasciarlo sottinteso, che, intendendo tu la somma di tutti i numeri dove ogni numero figura come addendo una e una sola volta, le moltiplicazioni sono da escludere, dato che appunto una moltiplicazione è la ripetizione come addendo di uno stesso numero in genere più volte, a meno che non si moltiplichi per uno.
Infatti la moltiplicazione non è altro che un tipo particolare di somma, dove come addendo appare sempre lo stesso numero più volte.
Il problema è semmai che, anche usando la giusta dizione, la somma di tutti i numeri dove ogni numero appare come addendo  almeno una volta, e non più di una volta, non è il "numero" più grande in assoluto, tralasciando anche il fatto che, come fà notare Niko, non si tratta di un numero.
Noi le tue elucubrazioni comunque le prendiamo sul serio perchè sono molto stimolanti.
Avresti comunque dovuto specificare il numero più grande che si ottiene da addizioni non generali, ma riguardanti un sottoinsieme di tutte le possibili addizioni.

[Eutidemo]

Ciao Iano.

Hai ragione nel dire che io avrei dovuto precisare subito che intendevo la somma di tutti i numeri dove ogni numero figura come addendo una e una sola volta, senza darlo per scontato (anche se poi l'avevo precisato in seguito).

***

Avevo anche pensato di replicare alla mia "auto-obiezione", eccependo che le moltiplicazioni sono da escludere, dato che appunto una moltiplicazione è la ripetizione come addendo di uno stesso numero in genere più volte, a meno che non si moltiplichi per uno; ed, Infatti, come tu giustamente osservi, in un certo senso la moltiplicazione non è altro che un tipo particolare di somma, dove come addendo appare sempre lo stesso numero più volte.

Però mi si potrebbe replicare che moltiplicando ogni numero per il successivo, si ottengono numeri sempre diversi gli uni dagli altri e da tutte le successive moltiplicazioni (a parte l'1);  ad esempio 3x4 = 12, che è un numero diverso sia dal 3 che dal 4, ed è anche diverso anche dal 20, che scaturisce dalla successiva moltiplicazione di 4x5 e così via, che, a sua volta, è diverso sia dal 12, sia dal 3, sia dal 4 sia dal 5.

Quanto alla ripetizione di una "addizione" dello stesso numero, 3x4 può corrispondere tanto a 3+3+3+3, quanto a 4+4+4; per cui il mio obiettore potrebbe eccepirmi la "moltiplicazione" è comunque una operazione diversa dall'"addizione" di singoli numeri.

Ad ogni modo ti ringrazio per avermi suggerito una plausibile replica alla mia "auto-obiezione".

***

Quanto al fatto, come dice Niko, che "la somma di tutti i numeri non è un numero", io capisco perfettamente che cosa intende; però, l'affermazione che "la somma di numeri (pochi o tanti che essi siano) non dia come risultato un numero" mi suona comunque intrinsecamente contraddittoria.

Ed infatti, a prescindere dalla questione specifica, la sommatoria di numeri deve dare per forza un altro numero, e non certo una torta alla panna; così come l'insieme (cioè la somma) di tutti i colori composti, non può che essere a sua volta un colore composto.

***

Un saluto!

***

[iano]

Quanto al fatto, come dice Niko, che "la somma di tutti i numeri non è un numero", io capisco perfettamente che cosa intende; però, l'affermazione che "la somma di numeri (pochi o tanti che essi siano) non dia come risultato un numero" mi suona comunque intrinsecamente contraddittoria.

Ed infatti, a prescindere dalla questione specifica, la sommatoria di numeri deve dare per forza un altro numero, e non certo una torta alla panna; così come l'insieme (cioè la somma) di tutti i colori composti, non può che essere a sua volta un colore composto.

***

Un saluto!

***

Non hai del tutto torto.
Le tue elucubrazioni sono interessanti perchè ripercorrono problematiche che i matematici hanno affrontato nel tempo, risolvendole a modo loro.
Così sono riusciti a trovare un senso per la "somma" di infiniti numeri, ma per distinguerla dalla somma classica che si riferisce a un numero finito di addendi hanno usato altri termini.
Parlano, se la memoria non mi inganna, di serie infinite di numeri che convergono a un numero, oppure divergono a infinito, oppure non convergono e non divergono, per dire che non hanno un comportamento ben definibile, come ad esempio la serie
1-1+1-1+1-1+1..... le cui successive somme parziali sono
1-1=0
1-1+1=1
1-1+1-1=0

Nel caso della tua serie
1+2+3+4+...+n+(n+1)...
essa diverge ad infinito.

Ma la riflessione cui mi hanno portato le tue elucubrazioni, insieme ad una osservazione di Niko, è che gli uomini nella loro storia hanno avuto a che fare con numeri effettivamente sempre più grandi, difficili da scrivere nella notazione in uso al tempo, per cui si sono dovuti inventare notazioni nuove una delle quali è proprio il segno X di moltiplicazione, sebbene usabile solo in caso di addizioni molto particolari, quelle in cui si addiziona più volte lo stesso numero.
Così nel tempo ci siamo inventati sempre nuove notazioni, come quella di potenza, m elevato ad n etc....
Siamo in grado con queste notazioni di scrivere in un breve spazio di foglio la stima di quante stelle e perfino di quanti atomi esistono nell'universo.
Quindi possiamo ben dire che per, quanto il conteggio verso l'infinito non abbia fine, non per questo esso si è arrestato, e siamo così giunti a numeri che hanno poco da invidiare all'infinito in quanto a inconcepibilità; eppure con questi numeri siamo in grado di fare calcoli.
Siamo riusciti  a governare grazie ai nostri simboli ciò che per noi era e rimane inconcepibile.
Siamo partiti da 2,3,4,mollti, dove il molti è ciò che non riusciamo a concepire e a cui quindi non diamo un nome e quindi non associamo un simbolo.
Si tratta di uno schema generale da cui non siamo in effetti usciti e mai usciremo, ma dove la soglia del molti si è spostata sempre più in là, verso sempre nuovi orizzonti a bordo della nostra Enterprise mentale.
Oggi riusciamo a concepire, grazie anche all'aiuto dei simboli, ciò che ieri non eravamo in grado di concepire, ma resterà sempre una soglia oltre la quale sta l'inconcepibile e questo vuol dire che il viaggio della nostra astronave continua.
Secondo Hystoricum ci sono troppe cose che non riescono a spiegarsi se non tirando in ballo gli alieni, e certamente, se i nostri antenati potessero vederci, gli darebbero ragione.

 

[Eutidemo]

Ciao Iano.

Hai ragione!

Ed infatti, per quanto concerne il più grande "numero primo" mai "materialmente" scoperto finora, esso ha oltre 22 milioni di cifre, ed è stato calcolato da Curtis Cooper, professore di informatica particolarmente esperto in materia: ed infatti nel 2013 era stato sempre lui a stabilire il precedente primato, e, cioè, un "numero primo" composto "solo" da 17 milioni di cifre.

Ma non è escluso che in futuro se ne trovi uno ancora più grande.

Un saluto!