Il "paradosso delle palle"

[Eutidemo]

Il paradosso di Banach-Tarski, detto anche "il paradosso delle palle", è stato dimostrato per la prima volta da Stefan Banach e Alfred Tarski nel 1924.

Tale paradosso consiste nel "raddoppiamento di una sfera" ("doubling the ball"), con cui si stabilisce che, adoperando l'"assioma della scelta", è possibile prendere una sfera nello spazio a tre dimensioni, suddividerla in un "insieme finito" di "pezzi non misurabili" e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio della sfera originale.

In altre parole, secondo tale paradosso, una palla a tre dimensioni Euclidee è "equiscomponibile" in due copie di se stessa, aventi le stesse identiche dimensioni.

***

Non è assolutamente mia intenzione mettere qui in discussione la formula matematica fornita al riguardo da Stefan Banach e Alfred Tarski.

***
Nè intendo contestare il contenuto delle varie ed ottime spiegazioni fornite al riguardo su vari siti INTERNET; ed infatti, ovviamente, non sono in grado nè di contestare nè di condividire quello che è al di là delle mie facoltà di comprensione.

Ed infatti, se qualcuno mi dicesse che اثنين زائد اثنين يساوي أربعة, che in arabo vuol dire che "due più due fa quattro", io non sarei assolutamente in grado di dargli nè torto nè ragione; ma non per colpa sua, bensì semplicemente perchè io ignoro la lingua che lui sta usando.

Pertanto, ammettendo con vergogna la mia "totale" ignoranza in materia, oltre che la mia abissale "carenza in matematica", ritengo di poter fare soltanto due banali considerazioni "generaliste" al riguardo; scusandomi in anticipo per la probabile "infantilità" delle mie osservazioni (dico sul serio, non ironicamente).

.

SOTTO IL PROFILO FILOSOFICO

Personalmente, non riesco proprio a concepire un "insieme finito" di "pezzi non misurabili"; perchè se un pezzo "non è misurabile", secondo me vuol dire che è "un punto" (sennò sarebbe misurabile), e allora è come dire che ogni sfera è costituita da "punti infiniti"; nel qual caso, secondo me, qualsiasi palla a tre dimensioni Euclidee è "equiscomponibile" non solo in due copie di se stessa, bensì in infinite palle delle stesse dimensioni (in quanto sono tutte costituite dallo stesso numero infinito di punti).

Vabbè che qui entrerebbe in ballo il concetto di "equipotenza"; ma lasciamo perdere per non complicare troppo la questione.

Comunque, cosa c'entrino le rotazioni e le traslazioni, per riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio della sfera originale, non riesco assolutamente a capirlo.

.

SOTTO IL PROFILO FISICO

Considerando la questione sotto il profilo fisico (nel quale, però, sono parimenti ignorante), a quanto mi risulta:

- la "comprimibilità" è la proprietà per cui un corpo subisce una diminuzione di volume in conseguenza di un incremento della pressione che subisce sulla sua pressione di contorno;

- la "decomprimibilità", all'inverso, è la proprietà per cui un corpo subisce un aumento di volume in conseguenza di una diminuzione della pressione che subisce sulla sua pressione di contorno.

***

Ad esempio, se in un contenitore sotto vuoto si "decomprime" con uno stantuffo un cilindro pieno d'aria di 10 cm di base per 5 cm di altezza, che si trova alla base del contenitore (A), finiremo per avere nello stesso contenitore due cilindri pieni d'aria sovrapposti della stessa dimensione di 10 cm di base per 5 cm di altezza (B e C); l'unica differenza è che nel primo l'aria sarà più compressa, mentre nei due successivi sarà più decompressa.

***

Per cui, se da un palloncino pieno d'aria con coefficiente di compressione 2 (A), si tolgono le sue componenti molecolari, e le si trasferiscono in due altri palloncini con un più basso coefficiente di compressione 1 (B e C), poichè si tratta delle stesse molecole, ma più espanse, ecco che i tre palloncini avranno un volume uguale.

***

A dire il vero, paradosso di Banach-Tarski non parla di una sfera "vuota", ma di una sfera "piena"; ma se la sfera è piena d'"aria", poichè  "l'aria" non corrisponde affatto al "vuoto", il confronto dovrebbe reggere egualmente; ed infatti la "densità" della materia può essere maggiore o minore, ma sempre di "materia" si tratta (e non di "vuoto").

.

CONCLUSIONE

Premesso:

- che della spiegazione matematica del paradosso Banach-Tarski non ci ho capito niente (e non ci capirei niente neanche se me la rispiegaste cento volte come ad un bambino delle elementari, per cui lasciate perdere);

- che le mie considerazioni, in quanto fatte da un ignorante in materia, probabilmente valgono meno di niente;

ciò premesso, se qualcuno di voi sa darmi una risposta per me comprensibile vorrei soltanto sapere se il paradosso Banach-Tarski può essere applicabile fisicamente anche con i solidi oltre che con i gas (come nel mio esempio); e, in caso affermativo, in quale modo.

Cioè, esiste veramente un modo,  riguardo ad un'anguria, di suddividerla "fisicamente" in un "insieme finito" di "pezzi non misurabili"; e poi, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, di riassemblarne le fette in modo da ottenere due angurie dello stesso raggio dell'anguria originale?

Per me, che sono appassionato di cocomeri, costituirebbe davvero un bel risparmio!

P.S.

Per favore, fatemelo materialmente vedere come si fa usando un coltello, e non con formule matematiche o argomentazioni astratte.

Grazie!

***

[Phil]

Per favore, fatemelo materialmente vedere come si fa usando un coltello, e non con formule matematiche o argomentazioni astratte.

Temo ciò sia impossibile, perché da quanto ho capito è un paradosso che si basa proprio sull'astrazione matematica e non è fisicamente replicabile esaustivamente su oggetti manipolabili.
Per affrontare seriamente la questione c'è forse questo video (dico «forse» perché non l'ho guardato per intero, ma a salti):
https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA
Chiaramente qui non c'è "obbligo di opinione": puoi dire di concordare con la dimostrazione (perché ti fidi o l'hai capita), puoi dire di non essere d'accordo (seguendo i matematici che non apprezzano l'assioma della scelta) o puoi (tertium) semplicemente non trovare interessante/comprensibile la spiegazione, per cui prendi solo nota dell'esistenza matematica di tale paradosso.
In conclusione pare che la conservazione della massa impedisca l'insolita "mitosi" dell'anguria, o almeno quella della sua polpa, però il paradosso spiega come sia possibile moltiplicare pani e pesci, se si avesse il potere di violare le leggi della natura pur seguendo quelle della matematica teoretica.

[Eutidemo]

Ciao Phil.

Penso anch'io che, purtroppo, nè i cocomeri nè le palle siano fisicamente duplicabili; salvo riuscire a dimezzarne la "compressione", per ricavarne due che abbiano entrambi lo stesso "volume",  ma metà della "densità molecolare".

Il che, salvo il caso di alcuni gas (come l'aria), non credo sia possibile per i solidi; come risulta evidente dalla seguente tabella.

***

Quanto al tuo interessantissimo video, prende in considerazioni vari paradossi e vari trucchi; ma, per quanto concerne il paradosso di Banach-Tarski, il presentatore non duplica  una "palla", bensì una "banconota".

Però è evidente che si tratta di un "gioco di prestigio", perchè, guardando i "numeri di serie", si vede benissimo che le banconote sono due fin dal principio:

Quindi, purtroppo, non solo non sono duplicabili i cocomeri, ma neanche le banconote.

***

Quanto alla teoria matematica di Banach-Tarski, non posso nè condividerla ne respingerla, perchè non ho le competenze necessarie e sufficienti per comprenderla in pieno.

***

Un saluto

***

[Phil]

Quanto al tuo interessantissimo video, prende in considerazioni vari paradossi e vari trucchi; ma, per quanto concerne il paradosso di Banach-Tarski, il presentatore non duplica  una "palla", bensì una "banconota".

Per il processo paradossale di duplicazione della sfera, la spiegazione inizia circa al minuto 8:10 del video; buona visione.

[Eutidemo]

Ciao Phil.

Scusami, ma sono stato ingannato dal fatto che il presentatore, dopo aver titolato "Il paradosso di Banach-Tarski", aveva mostrato il trucco delle due banconote; poi, invece, aveva cominciato a parlare di numeri, e, quindi, credevo che avesse cambiato discorso (che, tra l'altro, non non sono riuscito a seguire molto bene, e, quindi, ho interrotto).

Invece, dal minuto 8:10 del video, lui entra effettivamente nel merito del raddoppio della sfera; però devo confessare che non ci ho capito molto.

Non per colpa del video, che è fatto molto bene, ma per colpa mia; che, in questo campo, sono molto scadente (mi mancano proprio gli elementi di base).

***

Grazie e un saluto!

***