Il paradosso delle tre carte di Weaver

[Eutidemo]

Il paradosso delle tre carte di Weaver può essere formulato in varie modi; ma, sostanzialmente, se l'ho ben compreso, consiste in questo:

- abbiamo un bussolotto, o una scatola, con dentro tre carte o tre tessere;

- una carta, o una tessera, ha entrambi i lati bianchi, una entrambi neri e una uno bianco e uno nero;

- se estraiamo una carta, o una tessera, e, guardando un solo lato, esso è bianco, che probabilità c'è che anche l'altro lato sia bianco?

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Secondo Weaver, ed anche in base al "Teorema di Bayes",  sapendo che il lato visibile è bianco, ci troviamo in uno dei seguenti tre casi:

1: Lato visibile Bianco (fronte) e lato non visibile Bianco (retro);

2: Lato visibile Bianco (retro) e lato non visibile Bianco (fronte);

3: Lato visibile Bianco, lato non visibile Nero.

Pertanto, visto che in 2 casi su 3 il lato non visibile è bianco, la probabilità che esso sia effettivamente bianco è del 66,6%.

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Tale ragionamento, formalmente, mi sembra assolutamente corretto; però vorrei valutarlo anche secondo il "Metodo di analisi delle ipotesi confliggenti", da me illustrato in un mio apposito TOPIC.

https://www.riflessioni.it/logos/tematiche-culturali-e-sociali/metodo-di-analisi-delle-ipotesi-confliggenti/

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SPERIMENTALMENTE

A tal fine, consideriamo:

LA TESSERA A), che è nera da entrambi i lati;

LA TESSERA B), che è bianca davanti e nera di dietro;

LA TESSERA C), che è bianca da entrambi i lati.

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E poi mettiamole in una scatola.

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Fatto ciò agitiamo la scatola, come se fosse un bussolotto, ed estraiamo di volta in volta una tessera.

(password: "logos")

https://www.dailymotion.com/video/x8cfqva

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Il risultato è stato che, nelle 26 volte in cui ci è apparso un "lato visibile bianco":

- per 14 volte l'altro lato era nero;

- per 12 volte l'altro lato era bianco.

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Quindi, in questo caso, ed in altri che ho sperimentato con degli amici sostenitori della teoria di Weaver, la sua teoria non sembra affatto funzionare.

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Provateci anche voi!

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Ovviamente, per avere dei risultati davvero "probanti":

- bisognerebbe utilizzare tessere e bussolotti molto più "professionali" e "randomici" di quelli che ho usato io;

- inoltre bisognerebbe effettuare il test almeno qualche centinaio (se non qualche migliaio) di volte.

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Per cui sono io il primo ad ammettere che il mio "videoclip" non dimostra assolutamente niente; sebbene sia quantomeno singolare che altri due o tre esperimenti fatti con degli amici, abbiano dato risultati sempre intorno al 50% (a volte un po' di più, a volte un po' di meno, ma mai con uno scarto significativo).

E la cosa singolare è che le stesse medie, più o meno, si ottengono sia ad occhi chiusi che ad occhi aperti!

Provate anche voi, se vi volete togliere lo sfizio.

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TEORICAMENTE

Sotto il profilo teorico, secondo me, il ragionamento matematico di Weaver funziona perfettamente "contando" astrattamente il numero delle "facce"; però non funziona per niente se teniamo conto  concretamente solo del numero delle "tessere".

Ed infatti:
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1)

Se ci esce una tessere con una  "faccia" bianca, in realtà, le possibili tessere in ballo restano soltanto due (B e C); ed infatti, la tessera con due facce nere (A) esce dal gioco, e serve solo a confonderci le idee.

L'inverso, ovviamente, avviene se ci esce una tessere con una  "faccia" nera!
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2)

Di conseguenza, se le possibili tessere in ballo restano soltanto due (B e C o A e B), la probabilità che esca l'una o l'altra non può che essere mediamente del 50%, a nulla rilevando il colore delle loro facce, che noi lo si conosca o meno.

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Però, come ho detto, quella da me prospettata, è solo un'"ipotesi confliggente"; ed infatti anche il ragionamento di Weaver, a mio parere, configura un'ipotesi matematicamente plausibile.

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P.S.

L'ideale, sarebbe un programma di computer che effettui automaticamente il test per migliaia di volte, e poi verifichi di fatto se è vero che, apparendo un lato visibile bianco,  in 2 casi su 3 anche il lato non visibile è bianco; cioè che  la probabilità statistica che esso sia effettivamente bianco è del 66,6%.

L'ho anche cercato, un programma del genere, ma non l'ho trovato!
Se lo trovate fatemelo sapere e facciamo una prova più seria di quella "casareccia" che ho fatto io

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[Phil]

Se non ho contato male, su 33 estrazioni 26 volte (circa 79%) è uscito un lato visibile bianco, pur essendoci a disposizione 3 lati neri e 3 lati bianchi, quindi con una probabilità per ogni colore del 50% (scostamento del 29%, non poco).
Ironicamente, se guardiamo l'esperimento dal lato nero, la combinazione «NB» è uscita 2 volte, quella «NN» 5 volte, ossia 5 volte su 7 la tessera nera aveva anche l'altro lato nero; si tratta del 71% dei casi, piuttosto affine al 66% previsto.
La probabilità non è la realtà, ma una sua stima sempre più attendibile quanto più il numero di casi tende asintoticamente all'infinito, anche se talvolta, come in queste estrazioni, un campione piccolo (il nero) rappresenta meglio la probabilità standard di una casistica più estesa (quella del bianco, 26 su 33).

Qui un simulatore a base di monete (secondo la versione originale di Bertrand), non di carte: ogni coppia di monete  nella sua scatola rappresenta una carta. Per visualizzare il grafico con le percentuali bisogna selezionare "success frequency in percent" dal menu a tendina e premere il pulsante play (tipicamente triangolare); ogni "new game" produce nuovi grafici basati su mille simulazioni.

[Eutidemo]

Ciao Phil.

Hai ragione, se guardiamo l'esperimento dal "lato" nero, la combinazione "NB" è uscita 2 volte, quella "NN" 5 volte, ossia 5 volte su 7 la tessera nera aveva anche l'altro lato nero; cioè si tratta del 71% dei casi, addirittura superiore al 66% previsto.

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Però non sono affatto d'accordo che  un campione così piccolo (il nero) rappresenti meglio la probabilità standard di una casistica più estesa (quella del bianco, 26 su 33); ed infatti, secondo me, meno una casistica è estesa e meno significative sono le interpretazioni statistiche che se ne possono trarre, mentre più una casistica è estesa e più significative sono le interpretazioni statistiche che se ne possono trarre.

***

Ad esempio:

- se tiriamo in aria la moneta 7 volte, e 5 volte su 7 esce testa, non c'è niente di particolarmente strano;

- ma se, invece, tiriamo in aria la moneta settemila volte, e cinquemila volte su settemila esce testa, la faccenda diventa alquanto sospetta.

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D'altronde, anche tu hai giustamente scritto che: "...la probabilità non è la realtà, ma una sua stima sempre più attendibile quanto più il numero di casi tende asintoticamente all'infinito."

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Ti ringrazio per il LINK, ma a causa della mia scarsa competenza "cibernetica", mi riesce alquanto difficoltoso usarlo; non vorrei trarne risultati aberranti.

Perchè non fai tu stesso due o tre volte il test (almeno per qualche centinaio se non per qualche migliaio di "estrazioni" veloci e automatiche), e poi ci "trasli" e "traduci" nel modo più comprensibile e corretto possibile il risultato al caso delle tessere, per riscontrare se effettivamente, apparendo un lato visibile bianco,  in 2 casi su 3 anche il lato non visibile è bianco?

Cioè, per verificare che  il lato non visibile sia effettivamente bianco è (più o meno) del 66,6%, su un numero davvero consistente di "estrazioni"?

Mi fido ciecamente della tua onestà e della tua competenza!
***

Un saluto!

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[Phil]

Però non sono affatto d'accordo che  un campione così piccolo (il nero) rappresenti meglio la probabilità standard di una casistica più estesa

Lungi da me rovesciare il "buon senso statistico": non a caso ho scritto che «ironicamente [...] talvolta, come in queste estrazioni, un campione piccolo [...] rappresenta meglio la probabilità standard di una casistica più estesa» (autocit.); non stavo sostenendo che questa sia la regola, altrimenti non si capirebbe il riferimento all'ironia (del destino/caso).
Come dire: se lancio la moneta due volte ed una volta esce testa e l'altra croce, ho una rappresentazione (non una conferma) della probabilità standard più attendibile che se faccio 100 lanci ed esce 70 volte croce, non perché l'esito di due lanci sia più attendibile di quello di 100, ma perché la probabilità standard del 50% viene meglio rappresentata da quei due lanci.

Seguono tre serie simulate da 1000 lanci ciascuna; in verticale la percentuale di volte in cui il fronte e il retro sono del medesimo colore ("traducendo" dalle monete alle carte), in orizzontale il numero di estrazioni, la linea blu rappresenta il variare della percentuale al susseguirsi degli esiti di estrazione, la linea gialla segna il 66%:

[Eutidemo]

Ciao Phil.

Innanzittutto di ringrazio per aver effettuato  il test, con tre serie simulate da 1000 estrazioni ciascuna; numero che mi sembra abbastanza consistente per poter risultare significativo.

Da tale triplice test, se in verticale appare la percentuale di volte in cui il fronte e il retro sono del medesimo colore (o solo BB o solo NN), e in orizzontale appare il numero di estrazioni, mi sembra di capire che, "di fatto", la percentuale di volte in cui il fronte e il retro sono del medesimo colore supera "sempre" il 60%; il che, secondo me, dovrebbe essere già di per sè sufficiente a dimostrare "materialmente" la tesi di Weaver.

***

Presumo, però, che quando tu scrivi che il test indica quante volte escono carte nelle quali il fronte e il retro sono del medesimo colore, tu ti riferisca:
- o solo al caso della carta BB
- o solo al caso della carta NN
Ed infatti solo in tale ipotesi sarebbe "materialmente" dimostrata la tesi di Weaver.
***
Se, invece, il test indica quante volte escono carte nelle quali il fronte e il retro sono del medesimo colore, ma indifferentemente BB o NN, mi sembra che il risultato dei grafici indichi una cosa completamente diversa.
***
Ed infatti, se le carte in gioco sono tre:
A) BB
B) NN
C) Doppio colore (cioè, da un lato bianca e dall'altro nera BN o NB)
E' ovvio che, estrandole a sorte:
a)
A) BB e B) NN uscirano complessivamente con una percentuale media del 66%; cioè, in media, due volte su tre.
b)
La carta C) (cioè, da un lato bianca e dall'altro nera BN o NB), uscirà, invece, solo il 33% delle volte; cioè, in media, una volta su tre.
***
Il che è "ovvio", perchè le carte sono in tutto tre.
***
Per cui, secondo me, in tal caso, il test non dimostrerebbe in alcun modo la tesi di Weaver!
***
Ti prego, quindi, di chiarire tale punto, grazie!
***
Un saluto!
***

[Phil]

Il simulatore si basa su tre coppie di monete in tre scatole (oro/oro, oro/argento, argento/argento) anziché tre coppie di lati su tre carte; la domanda a cui risponde la simulazione è «Suppose that the first coin is gold. What is the probability that the second coin is also gold?»(cit), ossia qual è la probabilità che anche la seconda moneta sia d'oro, quando è d'oro la prima estratta. Traslando i risultati alle carte, quella percentuale indica i casi di carta bianca su entrambi i lati quando il primo lato estratto è bianco.

[Eutidemo]

Ciao Phil

Se ho ben capito, le scatole sono tre, delle quali:

A) Contiene due monete d'argento

B) Contiene due monete d'oro

C) Contiene una moneta d'oro e una d'argento.

***

Il che equivale a dire che:

- due scatole su tre contengono due monete dello stesso metallo (A e B);

- solo una scatola su tre, invece, contiene due monete di metalli diversi (C).

***

Se le cose stanno così, è ovvio che, pescando in una scatola a caso, avrò il 66% di probabilità di beccare una scatola che contiene due monete dello stesso metallo.

Di conseguenza:

- supponendo che la prima moneta sia d'oro, le probabilità che anche la seconda moneta sia d'oro sono del 66%;

- supponendo che la prima moneta sia d'argento, le probabilità che anche la seconda moneta sia d'argento sono del 66%.

***

Ho invece solo una probabilità su tre (33%) di scegliere l'unica scatola che contiene due monete di metalli diversi (C).

Per cui:

- supponendo che la prima moneta sia d'oro, le probabilità che  la seconda moneta sia d'argento sono del 33%;

- supponendo che la prima moneta sia d'argento, le probabilità che la seconda moneta sia d'oro sono del 33%.

***

Il che, secondo me, spiega perfettamente i risultati dei tuoi test, e, in fondo, anche il paradosso delle tre carte di Weaver.

***

Ed infatti, se la carta:

A) Contiene due lati bianchi

B) Contiene due lati neri

C) Contiene un lato bianco e un lato nero

ciò equivale a dire che:

- due carte su tre contengono due lati dello stesso colore (A e B);

- solo una carta su tre, invece, contiene due lati di colori diversi (C).

***

Se le cose stanno così, è ovvio che, anche in questa ipotesi, avrò il 66% di probabilità di estrarre a caso una carta di colore uniforme su entrambi i lati (o la carta A o la carta B).

Di conseguenza::

- supponendo che la carta che estraggo abbia un lato bianco, le probabilità che anche l'altro lato sia bianco sono del 66%;

- supponendo che la carta che estraggo abbia un lato nero, le probabilità che anche l'altro lato sia nero sono del 66%;

***

Ho invece solo una probabilità su tre (33%) di scegliere l'unica carta che contiene due lati di colori diversi (C).

***

Il che, secondo me, spiega perfettamente i risultati dei tuoi test, e, in fondo, anche il paradosso delle tre carte di Weaver; ma in modo un po' diverso da come lo spiega lui.

Ed infatti, a mio parere, messe le cose in questi termini, non c'è niente di "paradossale" nella faccenda; la quale, invece, risulta di una ovvietà banale.

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Ma forse mi sbaglio!

***

Un saluto!

***

[Phil]

Sia il test computerizzato che il paradosso di Weaver si riferiscono alla percentuale di probabilità (66%) di avere il secondo lato bianco (o di un determinato colore x), una volta accertato che il primo lato estratto è bianco (o comunque del medesimo suddetto colore x); non si riferiscono alla possibilità di estrarre una carta con due lati del medesimo colore, a prescindere che esso sia bianco o nero (x o y).
Ossia: estraggo una carta con il lato bianco, qual è la probabilità che lo sia anche l'altro? Si potrebbe pensare d'istinto che sia il 50% poiché, esclusa la carta che non ha nemmeno un lato bianco (quella nera su entrambi i lati), le carte restanti con almeno un lato bianco sono due, ma solo una di loro (50%) ha anche l'altro lato bianco. 
Sia Weaver che la simulazione empirica dimostrano invece che la probabilità percentuale è del 66%, perché due lati bianchi sui tre disponibili (66%) sono sulla medesima carta.

[Eutidemo]

Ciao Phil.

Il "qui pro quo", secondo me, sta proprio in questo, in quanto, in realtà, "si estrae sempre una carta" (monocolore o bicolore), e "non si estrae mai un colore"; per cui, se le carte monocolori sono due, mentre quella bicolore è una sola, è ovvio che abbiamo il 66% di probabilità di pescare una carta monocolore, e solo il 33% di probabilità di pescare una carta bicolore.

***

Premesso quanto sopra, il che è fuori di dubbio, ne consegue logicamente che avrò il 66% di probabilità di estrarre a caso una carta di colore uniforme su entrambi i lati (o la carta A o la carta B), perchè sono in tutto due su tre.

***

Di conseguenza:

- supponenendo che la carta che estraggo abbia un lato bianco, le probabilità che anche l'altro lato sia bianco sono, ovviamente, del 66%;

- supponenendo che la carta che estraggo abbia un lato nero, le probabilità che anche l'altro lato sia nero sono, ovviamente, del 66%;

***

Ho invece solo una probabilità su tre (33%) di scegliere l'unica carta che contiene due lati di colori diversi (C).

***

Secondo me, un ragionamento del genere, non è affatto "paradossale", bensì risulta assolutamente "intuitivo" in base alla logica più elementare.

***

Il ragionamento che tu qualifichi come "istintivo" -ma erroneo-, in effetti, è più che altro un "bias" in cui è facilissimo cadere di primo acchito  (in effetti, ci sono caduto anche io); è del tutto "illogico", ma è facile caderci se si ragiona in termini di "lati", e non di "carte"!
L'inganno matematico è tutto lì!

***

Ed infatti è vero che si può di primo acchito pensare che, se si estrae  una carta con il lato bianco la probabilità che lo sia anche l'altro è solo del 50%; questo, poiché, esclusa la carta che non ha nemmeno un lato bianco (quella nera su entrambi i lati), le carte restanti con almeno un lato bianco sono due, ma solo una di loro (50%) ha anche l'altro lato bianco.

Ma è solo un "gioco illusionistico matematico", in cui è facile cadere solo se si ragiona in termini di "lati", e non di "carte": però, in realtà, noi estraiamo le "carte", non i loro "lati", per cui dobbiamo considerare i secondi solo in ragione delle prime!

***

Pertanto, come ho detto, se le carte monocolori sono due, mentre quella bicolore è una sola, è ovvio che abbiamo il 66% di probabilità di pescare una carta monocolore, e solo il 33% di probabilità di pescare una carta bicolore; per cui, stando così le cose:

- se vediamo che la carta estratta ha un lato bianco, è logico dedurne che la probabilità che sia bianco anche l'altro lato è del 66%;

- se vediamo che la carta estratta ha un lato nero, è logico dedurne che la probabilità che sia nero anche l'altro lato è del 66%.

***

Non c'è niente di paradossale in tutto questo!

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Secondo Weaver, invece,  sapendo che il lato visibile è bianco, ci troviamo in uno dei seguenti tre casi:

1: Lato visibile Bianco (fronte) e lato non visibile Bianco (retro);

2: Lato visibile Bianco (retro) e lato non visibile Bianco (fronte);

3: Lato visibile Bianco, lato non visibile Nero.

Pertanto, visto che in 2 casi su 3 il lato non visibile è bianco, la probabilità che esso sia effettivamente bianco è del 66,6%.

***

Tale ragionamento, come avevo detto sin dal principio del mio topic, formalmente è assolutamente corretto; ma, di sicuro, è molto "arzigogolato" e molto poco "intuitivo", così come i moduli dell'"ufficio complicazione delle cose semplici".

Quello che ho esposto io, invece, mi sembra molto più "intuitivo" in base ad una logica che, almeno a me, sembra assolutamente più "elementare"!

***
Ma forse mi sbaglio!
***

Un saluto

***

[Phil]

Il 66% dovuto a 2 carte monocolore su 3 carte totali non va confuso con il 66% di due lati bianchi (sulla stessa carta) rispetto a 3 lati bianchi possibili (su 4 lati totali, avendo una carta, quella bicolore, un lato nero; ovviamente la carta monocolore nera viene esclusa dal calcolo delle probabilità, se il lato estratto è bianco).
Sia Weaver che il simulatore ragionano in termini di lati, non di carte: la domanda non è «quante possibilità ci sono di pescare una carta monocolore?», bensì «una volta pescata una carta ed osservato il colore di solo un suo lato (bianco), potendo così escludere di essere in presenza della carta monocolore dell'altro differente colore (nero), quante probabilità ci sono che anche il retro della carta estratta sia dello stesso colore appena osservato in superficie (carta monocolore bianca)?».
A questo punto non conta che le carte totali siano 3 (o più)*, contano solo le due possibilità (da cui l'ingannevole ed erroneo 50%) fra carta monocolore fronte/retro del colore estratto, bianco (non di un colore a caso), e carta bicolore, in cui il colore del lato nascosto è differente dal lato visibile bianco. Queste due possibilità, una per ogni carta possibile che abbia almeno un lato di quel colore, non hanno egual probabilità, poiché quella monocolore (bianco/bianco nell'esempio), stando anche alla simulazione, tende a presentarsi circa nel 66% dei casi.

*Supponiamo che ci siano 5 carte con una lettera sola incisa su ciascun lato: a/a, a/b, b/b, a/c, c/c; se pesco una carta e leggo su un lato una "b", quante probabilità ci sono che sia la carta "b/b"?

[Eutidemo]

Ciao Phil.

Secondo me il 66% di probabilità dovuto a 2 carte monocolori su 3 carte totali, comporta "necessariamente", sia sotto il profilo logico che sotto quello matematico, che ci sia anche:

- il 66% di probabilità di due lati bianchi (sulla stessa carta) rispetto a 3 lati bianchi possibili (su 4 lati totali, avendo una carta, quella bicolore, un lato nero (ovviamente la carta monocolore nera viene esclusa dal calcolo delle probabilità, se il lato estratto è bianco).

- il 66% di probabilità di due lati neri (sulla stessa carta) rispetto a 3 lati neri possibili (su 4 lati totali, avendo una carta, quella bicolore, un lato bianco (ovviamente la carta monocolore bianca viene esclusa dal calcolo delle probabilità, se il lato estratto è nero).

***

Ragionare in termini di "lati", invece che di "carte", pero, secondo me è solo un trucco illusionistico matematico per far apparire "paradossale" ciò che, invece, ragionando in termine di "carte", è assolutamente "ovvio".

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Ripeto, infatti, che si estraggono le carte, non i lati delle carte!

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La domanda, a mio parere, infatti, è esattamente questa: "quante probabilità ci sono di pescare una carta monocolore?"

E la risposta, ovviamente, è che ci sono il 66% probabilità di pescare una carta monocolore, perchè le carte monocolore sono due, mentre quella bicolore è una sola!

***

Sapendo questo, una volta pescata una carta ed osservato il colore di solo un suo lato (bianco o nero che sia), è ovvio che ci ci sono il 66% di probabilità  che anche il retro della carta estratta sia dello stesso colore appena osservato in superficie (carta monocolore bianca o nera), perchè la probabilità di aver pescato una carta monocolore è il doppio delle probabilità di aver pescato proprio l'unica carta bicolore.

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Se immagini di vedere contemporaneamente i due lati delle carte (o tessere), quello che dico ti risulterà evidente anche dal punto visivo, oltre che concettuale: ed infatti due carte sono monocolori (66%) e una sola è bicolore (33%).

***

Ed ora cercherò di considerare la tua ulteriore ipotesi!

Supponiamo che ci siano 5 carte con una lettera sola incisa su ciascun lato: a/a, a/b, b/b, a/c, c/c; se pesco una carta e leggo su un lato una "b", quante probabilità ci sono che sia la carta "b/b"?

Le probabilità, secondo me, sono 3 su 5, cioè del 60%!

***

Ed infatti, poichè le carte monoalfabetiche sono tre (AA BB CC), mentre quelle bialfabetiche sono solo due (AB AC), se io pesco un carta su un cui lato c'è una B, essendoci 3 probabilità su 5 di aver pescato una carta bialfabetica, ci sono anche  3 probabilità su 5  (60%) che anche l'altro lato sia una B.

***

Il tuo link opera su tre "chance", e non su cinque; per cui, trattandosi di 2 probabilità su 3 (due scatole con monete dello stesso metallo, e solo una scatola con monete di diverso metallo), è ovvio che la percentuale di pescare la scatola con due monete dello stesso metallo siano del 66%.

Ma penso che se il tuo link operasse su cinque "chance", invece che su tre, la percentuale scenderebbe al 60%

https://demonstrations.wolfram.com/BertrandsBoxParadox/

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Ripeto che posso benissimo sbagliarmi (come feci all'inizio, ingannato dai miei "test" casarecci), ma questa volta proprio non riesco a vedere cosa ci sia di erroneo nel mio ragionamento; ed infatti mi pare ovvio che se le carte monocolori sono due, e quella bicolore è una sola, se pesco a caso una carta ci sono due probabilità su tre che sia una di quelle monocolori, per cui la faccia che non vedo sarà dello stesso colore di quella sul retro.

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Un saluto!

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[Phil]

La domanda, a mio parere, infatti, è esattamente questa: "quante probabilità ci sono di pescare una carta monocolore?"

Se questa è la domanda, la risposta, per nulla paradossale come guistamente osservi, è del 66%.
Tuttavia, se parliamo del paradosso di Weaver, per come l'hai citato, la domanda è un'altra:

- se estraiamo una carta, o una tessera, e, guardando un solo lato, esso è bianco, che probabilità c'è che anche l'altro lato sia bianco?

e anche il simulatore si pone la stessa domanda di Weaver:

la domanda a cui risponde la simulazione è «Suppose that the first coin is gold. What is the probability that the second coin is also gold?»(cit), ossia qual è la probabilità che anche la seconda moneta sia d'oro, quando è d'oro la prima estratta. Traslando i risultati alle carte, quella percentuale indica i casi di carta bianca su entrambi i lati quando il primo lato estratto è bianco.

Per quanto riguarda

Supponiamo che ci siano 5 carte con una lettera sola incisa su ciascun lato: a/a, a/b, b/b, a/c, c/c; se pesco una carta e leggo su un lato una "b", quante probabilità ci sono che sia la carta "b/b"?

Le probabilità, secondo me, sono 3 su 5, cioè del 60%!

***

Ed infatti, poichè le carte monoalfabetiche sono tre (AA BB CC), mentre quelle bialfabetiche sono solo due (AB AC), se io pesco un carta su un cui lato c'è una B, essendoci 3 probabilità su 5 di aver pescato una carta bialfabetica, ci sono anche  3 probabilità su 5  (60%) che anche l'altro lato sia una B.

non è rilevante quante siano le carte monoalfabetiche (a/a, b/b, c/c, etc.), perché vengono tutte escluse dal calcolo della probabilità, tranne quella con la lettera estratta. Non ha senso contare quante siano le altre carte monoalfabetiche né quante siano le carte totali: se le carte totali fossero 100 monoalfabetiche differenti (a/a, b/b, c/c, d/d, etc. usando anche simboli e alfabeti alieni) più una bialfabetica "a/b", la probabilità di avere "b/b" pescando una "b", quale sarebbe?
Tutto si riduce, per come Waver pone la questione, a "b/b" ed "a/b" (ossia le uniche 2 carte contenenti una "b"), e il simulatore dimostra che "b/b" è probabile al 66%, non al 50%, a prescindere da quante siano le carte/monete non pertinenti poiché prive di "b".

[Eutidemo]

Ciao Phil

Mi dispiace, ma proprio non riesco a vedere cosa ci sia di erroneo nel mio ragionamento.

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A) IL MIO RAGIONAMENTO

A me pare ovvio che se le carte monocolori sono due, e quella bicolore è una sola, se pesco a caso una carta ci sono due probabilità su tre che sia una di quelle monocolori; per cui, nel 66% dei casi, la faccia che non vedo sarà dello stesso colore di quella che vedo, bianca o nera che essa sia.

Non ripetermi la teoria di Weaver in altre versioni numeriche, ma dimmi in che cosa il mio ragionamento risulterebbe errato!

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B) IL RAGIONAMENTO DI WEAVER

Secondo la teoria di Weaver, avendo le solite tre carte bb, nn, bn, sapendo che il lato visibile è bianco, ci troviamo in uno dei seguenti tre casi:

1: Lato visibile Bianco (fronte) e lato non visibile Bianco (retro);

2: Lato visibile Bianco (retro) e lato non visibile Bianco (fronte);

3: Lato visibile Bianco, lato non visibile Nero.

Pertanto, visto che in 2 casi su 3 il lato non visibile è bianco, la probabilità che esso sia effettivamente bianco è del 66,6%.

***

Come ho scritto, questo mi sembrava un ragionamento formalmente corretto, anche se un po' capzioso; poi, però, così come tu hai provato a vedere cosa succede aumentando il numero delle carte da 3 a 5, io ho provato a ridurle da 3 a 2.

Cosa succede col ragionamento di Weaver in questo caso?

***

Con sorpresa, salvo che io non abbia preso una solenne cantonata (come, purtroppo, spesso mi accade, soprattutto in matematica), mi pare che con due carte, secondo Weaver, dovrebbe accadere esattamente la stessa cosa che accade se in gioco ci sono tre carte.

Cioè:

1: Lato visibile Bianco (fronte) e lato non visibile Bianco (retro);

2: Lato visibile Bianco (retro) e lato non visibile Bianco (fronte);

3: Lato visibile Bianco, lato non visibile Nero.

Pertanto, visto che in 2 casi su 3 il lato non visibile è bianco, la probabilità che esso sia effettivamente bianco è del 66,6%.

***

Trattandosi di due sole carte, invece, è evidente che se il lato visibile è bianco, quello non visibile, al 50%, può essere sia bianco che nero!

***

Secondo me, quindi, per arrivare al 66%, Weaver "conta due volte la stessa carta":

- una prima volta identificando il "Lato visibile Bianco" come se fosse il "Fronte" e il "Lato non visibile Bianco" come se fosse il "Retro";

- una seconda volta identificando il "Lato visibile Bianco" come se fosse il "Retro" e il "Lato non visibile Bianco" come se fosse il  "Fronte".

***

Ma una carta immersa nella vernice bianca è bianca allo stesso modo da entrambi i lati, senza minimamente avere un "Fronte" e un "Retro"; come, invece, ha un "Fronte" e un "Retro" un quadro di Picasso!

***

Forse sono io che mi sbaglio, ma c'è qualcosa nel ragionamento di Weaver che mi suona un po' "sofistico"; sebbene, come ho detto, ritengo le sue conclusioni assolutamente corrette,  anche se per motivi diversi dai suoi.

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Ed infatti,  a mio parere, se le carte monocolori sono due, e quella bicolore è una sola, se pesco a caso una carta ci sono due probabilità su tre che sia una di quelle monocolori; e, di conseguenza, la faccia che non vedo sarà dello stesso colore di quella che vedo, bianca o nera che essa sia con una probabilità del 66% (senza stare a farsi "le pippe mentali" se la faccia che vedo sia il "fronte" o il "retro" della carta).

Mi sembra logico, intuitivo, e per niente paradossale!

Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?

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Un saluto!

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[Phil]

Dipende tutto da quale domanda (ti) poni: per rispondere a quella posta da Weaver (v. sopra) devi usare come unità di misura i lati, non le carte, poiché la domanda che egli pone è appunto basata sui lati. Per questo il simulatore usa due monete a coppie, anziché il fronte e il retro di un'unica moneta: così facendo è più tangibile il calcolo degli elementi che determinano la probabilità. Non è dunque capzioso Weaver quando distingue i due lati bianchi della carta "b/b", sono due lati e vanno contati come tali.
Se invece ignori i lati e (ti) chiedi «quali sono le probabilità di pescare una carta monocolore?», non stai più rispondendo all'interrogativo posto da Weaver (che è totalmente differente, essendo basato sui lati) e giustamente non c'è alcun paradosso apparente: 2/3 sono monocolore, quindi 66%.
La divergenza essenziale fra la tua domanda e quella di Weaver, pur avendo entrambe in questo caso «66%» come risposta, appare chiaramente se aumentiamo il numero delle carte, come proposto in precedenza (v. esempio sopra): in quel caso Weaver ha sempre il 66% di probabilità, mentre la tua domanda muta a seconda del totale delle carte e il numero delle monocolore.

Provo a parafrasare Weaver usando i numeri al posto dei colori, così da (di)mostrare come il computo dei lati sia fondamentale; supponiamo di avere tre carte ognuna delle quali ha un numero segnato su ciascuna faccia: 1-3, 2-5, 4-6; se pesco e leggo un numero pari, quante probabilità ho di avere in mano due lati con numeri pari?
Se rispondi «50%», se fossimo al "gioco dell'oca" ti direi «torna al post #7 e stai fermo un turno (di riflessione)».

[Eutidemo]

Ciao Phil.

La domanda che mi pongo, in verità, è identica a quella di Weaver, e, cioè:

"Abbiamo una busta con tre carte (o tre tessere). Una carta (o una tessera) ha entrambi i lati bianchi, una entrambi neri e una uno bianco e uno nero. Estraggo una carta (o una tessera) e guardo solo un lato. È bianco. Che probabilità ha anche l'altro lato di essere bianco?"

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Cioè, visivamente

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Non c'è scritto da nessuna parte che  "l'unità di misura" debbano essere soltanto "i lati", e non anche le "carte", poiché la domanda che lui pone è basata su entrambi gli elementi; almeno così viene formulata in tutti i siti (vedi sopra).

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Quindi non è affatto vero che io ignoro i "lati" e (mi) chiedo "quali sono le probabilità di pescare una carta monocolore?", invece, esattamente come Weaver, io (mi) chiedo: "Estraggo una <<carta>> (o una tessera) e guardo solo un <<lato>>. È bianco. Che probabilità ha anche l'altro lato di essere bianco?"

E la risposta che diamo, sia io che Weaver (e te), è "il 66%".

Come accadrebbe anche nel caso del "nero".

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Ma io rispondo così in base al semplice buon senso, in quanto, se le carte monocolori sono due, e quella bicolore è una sola, se pesco a caso una carta, e guardo solo un lato, il quale mi risulta bianco,  le probabilità che anche l'altro lato sia bianco sono ovviamente del 66%; se, invece, pescando a caso una carta, e guardando solo un lato, esso mi risulta nero,  le probabilità che anche l'altro lato sia nero sono anche esse, ovviamente, del 66%.

Le "carte" bicolori, infatti, hanno lo stesso colore da entrambi i "lati", e sono 2 su 3 (66%)!

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La mia domanda e la mia soluzione sono identiche a quelle di Weaver, solo che, secondo me non c'è alcun motivo di stare a farsi "le pippe mentali" come fa Weaver, elucubrando se la "faccia visibile" sia il "fronte" o il "retro" della carta, e contando così due volte una stessa carta bicolore, a seconda che lui denomini la "parte visibile" il "fronte" ovvero il "retro" di una stessa carta; il che, come ti ho dimostrato, nel caso di sole due carte ci condurrebbe erroneamente alla stessa conclusione delle tre carte.

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Lo stesso identico discorso, vale "tel quel" anche per le monete.

Ed infatti:

- due scatole su tre contengono due monete dello stesso metallo (A e B);

- solo una scatola su tre, invece, contiene due monete di metalli diversi (C).

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Se le cose stanno così, è ovvio che, pescando in una scatola a caso, avrò il 66% di probabilità di beccare una scatola che contiene due monete dello stesso metallo.

Di conseguenza:

- supponendo che la prima moneta sia d'oro, le probabilità che anche la seconda moneta sia d'oro sono del 66%;

- supponendo che la prima moneta sia d'argento, le probabilità che anche la seconda moneta sia d'argento sono del 66%.

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Ho invece solo una probabilità su tre (33%) di scegliere l'unica scatola che contiene due monete di metalli diversi (C).

Per cui:

- supponendo che la prima moneta sia d'oro, le probabilità che  la seconda moneta sia d'argento sono del 33%;

- supponendo che la prima moneta sia d'argento, le probabilità che la seconda moneta sia d'oro sono del 33%.

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"Mutatis mutandis", il mio ragionamento non cambia; mentre quello di Weaver, pur giungendo alle stesse conclusioni, secondo me si basa su un sofisma per metà "matematico" e per metà "semantico".

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E ora vediamo cosa accade usando i "numeri" al posto dei "colori" o delle "monete"; per cui, come  dici tu, supponiamo di avere tre carte ognuna delle quali ha un numero segnato su ciascuna faccia: 1-3, 2-5, 4-6.

Ciò premesso, tu mi chiedi: "Se pesco (una carta) e leggo (dal mio lato) un numero pari, quante probabilità ho di avere in mano due lati con numeri pari?"

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In effetti, in questo caso, il quesito non è del tutto ben posto, perchè, in realtà:

- tu non vedi dal tuo lato solo un indefinito "numero pari";

- ma, ovviamente,  puoi anche vedere di che "numero pari" si tratta.

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Per cui:

- se vedi che dal tuo lato appare il numero 2, già sai che dall'altro lato c'è il 5;

- se, invece, vedi che dal tuo lato appare il numero 4, già sai che dall'altro lato c'è il 6.

Per cui non hai niente da indovinare!

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Un saluto!

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