Probabilità zero e probabilità tendente allo zero!

[Eutidemo]

Immaginiamo di estrarre una pallina da un bussolotto che contiene 100 sfere numerate da 1 a 100; in tal caso, ovviamente, la probabilità di estrarre una qualsiasi di esse sarà una su cento (1/100).

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Adesso, invece, immaginiamo di estrarre una pallina da un bussolotto "ideale" che contiene:

- non solo le 100 sfere numerate con "numeri interi";

- ma anche tutte le sfere numerate con i "numeri con virgola intermedi" (1,676543, 2,897644, 56,897654, 94,543211, ecc.), i quali numeri, ovviamente, sono infiniti.

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Naturalmente, un bussolotto contenente un numero infinito di palline, non può esistere fisicamente, bensì solo concettualmente.

Però non c'è dubbio che, da un bussolotto ideale che contiene 100 sfere numerate da 1 a 100, compresi tutte le sfere numerate con i "numeri con virgola intermedi", non si potrà mai estrarre la sfera numerata col numero 101; ed infatti, non essendo essa contenuta nel bussolotto, è "impossibile" che essa venga estratta.

Pertanto ci sono "probabilità pari a zero", che venga estratta una sfera numerata 101 .

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Ma che probabilità ci sono che venga estratta una qualsiasi delle 100 sfere numerate da 1 a 100, e non invece una delle infinite sfere numerate con i "numeri con virgola intermedi", le quali pure si trovano nello stesso bussolotto!

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In questo caso non  è affatto "impossibile" che venga estratta la sfera numero 5 (ovvero quella numero 56,897654 o qualunque altra), perchè esse si trovano tutte nel bussolotto; però direi che è una eventualità estremamente improbabile.

Anzi, più che "estremamente improbabile", visto che siamo in presenza di una singola possibilità di estrazione su un "numero infinito" di possibilità di estrazione, io direi che si tratta di una "probabilità tendente allo zero".

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Quanto alla differenza che intercorre tra "probabilità pari a zero" e "probabilità tendente allo zero", essa non è calcolabile in percentuale in 0,...%; per cui resta, sì, un "distinguo" ineccepibile, ma molto vago.

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Voi che ne dite?

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[iano]

La probabilità di estrarre un preciso bussolotto  tende a zero all'aumentare del numero di bussolotti , ma non è il nostro caso in quanto essendo già infinito non può aumentare.
Potremmo allora provare a calcolare là probabilità di estrarre un preciso bussolotto, ma per farlo dovremmo avere il numero totale dei bussolotti e non lo abbiamo perché infinito non è un numero.

[Eutidemo]

Ciao Iano.

Non mi sono spiegato bene, in quanto si tratta di estrarre una singola "pallina" da <<un solo>> "bussolotto " ideale infinitamente capiente.

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Il quale "bussolotto" contiene:

- non solo 100 "palline" numerate con "numeri interi" da 1 a 100;

- ma anche tutte le "palline" numerate con i "numeri con virgola" intermedi ai numeri interi tra da 1 e 100 (1,676543, 2,897644, 56,897654, 94,543211, ecc.).

I quali numeri, ovviamente, sono infiniti.

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Il "bussolotto" è uno solo, non ci sono infiniti "bussolotti".

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Però quel singolo "bussolotto" infinitamente capiente:

- contiene esclusivamente "palline" numerate (con numeri interi o con virgola) tra l'1 e il 100;

- non contiene, invece,  "palline" numerate (con numeri interi o con virgola) oltre il 100, come 101, 102 ecc.

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Ne consegue che, da tale "bussolotto" ideale, non si potrà mai estrarre la "pallina" numerata col numero 101; ed infatti, non essendo essa contenuta nel bussolotto, è assolutamente "impossibile" che essa possa venire estratta.

Pertanto ci sono "probabilità pari a zero", che venga estratta una sfera numerata 101 .

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Però non  è affatto "impossibile" che venga estratta la sfera numero 5 (ovvero quella numero 56,897654 o qualunque altra tra 1 e 100), perchè esse si trovano tutte nel bussolotto; però direi che è una eventualità estremamente improbabile.

Anzi, più che "estremamente improbabile", visto che siamo in presenza di una singola possibilità di estrazione su un "numero infinito" di possibilità di estrazione, io direi che si tratta di una "probabilità tendente allo zero" (o "quasi zero", se preferisci).

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Quanto alla differenza che intercorre tra "probabilità pari a zero" e "probabilità tendente allo zero" (o "quasi zero", se preferisci), essa non è calcolabile in percentuale in 0,...%; per cui resta, sì, un "distinguo" ineccepibile, ma molto vago rispetto a "probabilità pari a zero".

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Quindi, a parte l'equivoco sul termine "bussolotto", mi pare che, in fondo, io e te diciamo la stessa cosa!

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Anzi, tu aggiungi un'ulteriore giustissima considerazione: e cioè che il numero totale delle palline, essendo "infinito", in effetti non è neanche  un "numero", bensì semplicemente un "concetto numerico", espresso dal simbolo dell'8 orizzontale "∞" (per cui non è percentualizzabile)

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Quindi, paradossalmente:

- ogni volta che noi estraiamo una pallina da un bussolotto contenente 100 palline contate, aumenta progressivamente la probabilità di estrazione delle successive;

- ogni volta, invece, che noi estraiamo una pallina da un bussolotto contenente infinite  palline, non aumenta affatto la probabilità di estrazione di nessuna delle successive.

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Il che è uno dei tanti paradossi che derivano dal ricorso al concetto di "infinito".

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Un saluto!

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P.S.

Al riguardo è interessante il seguente LINK:

https://www.facebook.com/MissioneScienza/posts/2501953776528530/

[Ipazia]

L'infinito "scientifico" è una necessità matematica nata dallo studio delle funzioni cosiddette trascendentali che descrivono processi naturali il cui campo di esistenza reale è ovviamente finito, corrispondendo alla funzione trascendentale in una sezione limitata della stessa.

La matematica, che non ha le stesse limitazioni della realtà, può permettersi di estendere tali funzioni fino ai loro limiti matematici, quali 0 o ∞. Il limite (lim) è un altro oggetto necessario dell'analisi matematica.

Nell'attuale discussione, più il numero delle biglie tende a ∞, più la probabilità di estrarne una in particolare tende a 0. Per la biglia non immessa, ovviamente la probabilità è 0.

[iano]

Ciao Eutidemo, si ho fatto confusione coi termini, però non credo che diciamo la stessa cosa.
Tu parli di probabilità nonostante vi siano infinite palline, ma in effetti non ne puoi parlare.
Se però insisti a parlarne non puoi poi che giungere a un paradosso, come in effetti hai fatto.
Per parlare di probabilità nel nostro caso dovresti poterla calcolare, ma non puoi perché infinito non è un numero, e quindi non è ammesso dividere 1 per infinito.
1 diviso infinito sarebbe appunto là probabilità di estrarre una qualunque pallina., ma non è un numero.
I ragionamenti che fai tu però hanno sicuramente un grande interesse.
Infatti secondo me in molti dei quesiti che ci poni sembri riprodurre in modo indipendente i travagli mentali dei matematici dei secoli passati, che si sono poi tradotti nella produzione di nuova matematica. Nel nostro caso specifico hanno prodotto L'analisi matematica, formalizzata malamente da Newton e molto meglio poi da Leibnitz nella forma che usiamo tuttora.
Fondamentale in particolare nell'Analisi è il concetto di limite, per cui possiamo ben dire che all'aumentare del numero delle palline là probabilità di estrarne una qualunque tende "al limite"  a zero, ma non è mai zero, perché le palline non arrivano mai a infinito.

Certo, intuitivamente là probabilità di pescare una pallina che non c'è è zero.
Però bisogna dimostrarlo. Proviamoci allora.
Se le palline che ci sono, sono cento avremo zero diviso cento, che fa' zero.
Bene, lo abbiamo dimostrato.
Ma se le palline sono infinite, sia che ci riferiamo a una di quelle infinite palline, sia che ci riferiamo a una pallina che non c'è, non riusciamo a dimostrarlo.
Infatti, zero diviso infinito quanto fa'?
Fa' nulla, ma non nel senso di zero, ma nel senso che di senso non ne ha.

[Eutidemo]

Ciao Iano.

Non c'è alcun dubbio che la "probabilità" di pescare una pallina che non si trova nel nostro virtuale bussolotto, ad esempio, la 105, è pari "zero"; però, forse, più che di "probabilità", sarebbe più corretto parlare di "possibilità".

Ed infatti, estrarre una pallina che "non si trova" nel nostro virtuale bussolotto, non costituisce un evento più o meno "probabile", bensì si tratta di un evento  che è logicamente "impossibile".

Più che "intuizione" è mera "logica"; ed infatti, se nel bussolotto la pallina 105 non c'è proprio,  è una pallina che non potrà mai essere estratta da là dentro!

E' ovvio!

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Diversamente, estrarre una pallina che invece si trova nel nostro virtuale bussolotto, ad esempio, la numero 5, non è affatto "impossibile"; è vero che, poichè le altre palline, comprese quelle segnate con numeri con virgola, sono infinite, si tratta di un evento estremamente "improbabile", però è senz'altro un evento "possibile".

Anche in questo caso si tratta di mera "logica"; ed infatti, se nel bussolotto la pallina 5 ci sta,  è una pallina che potrà senz'altro essere estratta da là dentro!

Niente lo impedisce!

Ha la stessa identica "probabilità" di poter essere estratta di un'altra qualsiasi pallina.

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Soltanto che, come giustamente osservi tu, si tratta di una "probabilità" infinitesima, che nessuno sarà mai in grado di calcolare.

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Un saluto!

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