Citazione di: Alberto Knox il 16 Agosto 2024, 11:54:16 AMSe lo spazio è infinito allora deve essere in grado di darsi conto, mentalmente, di tale distanza. Ma noi non ce la facciamo.

E' potenzialmente infinito, cioè si allunga alla bisogna, e se anche la mente ha un limite, il limite di oggi non è quello di domani, e sopratutto quello di oggi non è quello di ieri, sennò a cosa sarebbe servito tutto questo allenamento filosofico del pensiero, se non perchè la mente di Zeuss continuasse a figliare?

Citazione di: Alberto Knox il 16 Agosto 2024, 11:16:09 AMSecondo me sarebbe più onesto dato che noi siamo finiti e di conseguenza lo spazio mentale è finito.

Se lo affermi ti assumi l'onere di dimostrare che è finito, e dire che è finito perchè noi lo siamo non è quella dimostrazione.
Mentre se rimani sull'indefinitezza ti togli l'onere della prova.
Abbiamo creduto che lo spazio reale fosse dritto e ci siamo trovati con uno spazio curvo, ammettendo in subordine di poter applicare lo spazio dritto a livello locale, un livello molto ristretto da cui abbiamo derivato un idea di spazio assoluta, in quanto creduta unica.
Abbiamo imparato qualcosa da ciò?
Se invece adesso diciamo che lo spazio reale è curvo, non abbiamo imparato nulla, ricadendo nello stesso errore, solo perchè abbiamo esteso la località in cui interveniamo, che è quello di voler far coincidere le nostre geometrie con la realtà, mentre esse sono solo delle relativamente utili applicazioni sulla realtà.
Ciò potrà anche non essere intuitivo, ma davvero vogliamo che l'intuito sia il nostro limite?
Molti infatti qui mi pare che intendano in effetti il far filosofia lo stare dentro i limiti dell'intuito, ammettendolo come unica fonte di conoscenza, rinunciando alle altre che pur vi sono.
Possiamo accettare che a ciò la filosofia si riduca?

Abbiamo pur parlato di direzioni e versi infiniti o indefiniti, e di rette come direzioni, ma mi sembrava chiaro si trattasse di una voluta imprecisione di linguaggio.
Allora precisiamolo.
Un direzione è ben definita da una retta, che può essere infinita, la retta che indica la direzione, non la direzione.
Chiedo scusa se sono stato impreciso nell'esprimermi, ma è proprio questa imprecisione implicita nel linguaggi verbali che la matematica con varia fortuna cerca di scongiurare, senza perciò demonizzarli, perchè essa stessa linguaggio che abbisogna di un metalinguaggio, la lingua parlata.
Non si può seguire fattivamente una rigorosa dimostrazione formale senza spiegazioni informali a nota, ma allo stesso tempo siamo stati capaci di delegare queste rigorose dimostrazioni a un computer al quale non devi spiegare nulla, perchè tanto non rischia di non capirci, visto che è assodato che non capisca nulla.

Citazione di: Alberto Knox il 16 Agosto 2024, 11:03:10 AMMi si deve semplicemente spiegare perchè la direzione di una retta deve essere considerata infinita. A me pare che bisogna considerla infinita in senso relativo al postulato e non in senso assoluto.

E' quello che ho detto.
Uno spazio matematico che applichiamo alla realtà.
Tu che avevi capito?
Due rette parallele non si incontrano mai nello spazio mentale, ma nella realtà   si incontrano nel punto che delimita di fatto l'applicabilità della geometria di Euclide.
Oltre quel punto conviene applicare le geometrie non euclidee nelle quali due rette parallele si incontrano.

Citazione di: Alberto Knox il 16 Agosto 2024, 09:50:12 AMno iano, la mia domanda era sincera,  io lo chiesto perchè non lo so!

però vediamo, una retta è una direzione e una semiretta indica il verso della direzione.  ok, dove? se indico una direzione la indico nello spazio e nel tempo . Ora lo spazio della geometria è uno spazio mentale? o è un pensiero astratto dove tener conto delle leggi dello spazio/tempo? io sostituirei la parola infinito con "estensione indefinita".

Estensione indefinita mi va bene, ma bisogna precisare se necessariamente indefinita oppure convenientemente indefinita.
Se lo spazio è mentale o reale è la madre di tutte le domande.
Per me è uno spazio mentale che applichiamo alla realtà.
Nello specifico stiamo facendo una gran discussione sulla retta che è un elemento della geometria euclidea che è applicabile a una realtà locale. Cioè l'utilità della applicazione della geometria euclidea alla realtà si esaurisce fra casa e scuola, casa e supermercato, casa e palestra.
Altro che direzioni e versi infiniti.....,
Porti a pisciare il cane in direzione piazza dei quattro canti, e l'applicazione della retta alla realtà è ''finita'' là.

Citazione di: Il_Dubbio il 16 Agosto 2024, 08:20:33 AMQui in ballo c'è solo la comprensione dell'infinito, non se è ammesso o accettabile.

Ora ti faccio un contro esempio. Ammettiamo che tu stia considerando solo un infinito potenziale.
L'universo per esempio potrebbe essere potenzialmente infinito.
Io ti chiedo: questo oggetto ora è finito o infinito?

Un universo potenzialmente infinito è infinito o finito?

Dovresti rispondermi: finito, in quanto stai cercando di ridurre un concetto che non riesci a comprendere, in un altro più comprensibile.
Ma ovviamente un oggetto infinito non può essere finito. Quindi di cosa stiamo parlando?

Stiamo parlando dell'infinito potenziale come costruzione mentale,  esplicabile in quanto costituita da un numero di passi finiti, e in quanto bene definiti, reiterabili.
Dove si arresta questa costruzione?
Non si arresta essendo reiterabile, cioè questa costruzione non è una operazione che va a compimento.
In quali modi può avvenire questa costruzione?
In diversi modi, per cui diverso sarà il risultato della costruzione, cioè esistono infiniti potenziali diversi perchè diversamente costruiti, a meno che non si dimostri che le diverse costruzioni non si equivalgono, che siano cioè solo formalmente diverse, ma che le diverse forme si equivalgano logicamente, per cui il risultato delle diverse costruzioni è lo stesso, anche quando diversamente nominato.
Mettere in corrispondenza biunivoca due insiemi, dove ogni elemento ha un nome che gli abbiamo dato noi, significa di fatto evidenziare la relatività di questa nominazione, e la corrispondenza biunivoca equivale di fatto a rinominare ogni elemento di un insieme dandogli il nome del corrispondente elemento.

Tu puoi comprendere l'infinito come ti pare soggettivamente.
Ma gli altri cosa se fanno del tuo infinito soggettivo, se non riesci a comunicarlo?
Allora cercherai di dargli una definizione per comunicarlo agli altri, che magari non esaurirà la comprensione che hai avuto dell'infinito, ma che è comunicabile e perciò eventualmente condivisibile, e nulla vieta che un domani tu riesca a precisare meglio l'oggetto della tua intuizione.
Quello che è importante capire è che una volta tentata la definizione dell'oggetto della tua intuizione, la intuizione bisogna metterla da parte per iniziare a fare matematica, almeno finché non ritieni di dover rivedere meglio la tua definizione, per percorrere ancora un nuovo campo della matematica.
L'infinito non esiste perchè io lo intuisco, ma se ne ho l'intuizione questa deve essere nata da qualcosa, un qualcosa che non deve essere necessariamente l'infinito stesso.
L'infinito esiste quando lo definisco, o do le istruzioni per costruirlo, e le istruzioni posso darle perchè sono finite, ed essendo perciò finita l'operazione che devo compiere seguendo le istruzioni, essa è reiteratile, cioè potenzialmente senza una fine.

Citazione di: Ipazia il 16 Agosto 2024, 07:41:51 AMFrustrante per un grande numero diviso per zero scoprire, al momento della sua morte, che vale come il numero più piccolo diviso per zero. Avendo entrambi come risultato un'identica infinità di nulla.

Ma lo sai meglio di me che la divisione per zero non è ammessa, come non è ammesso sommare gli infiniti non essendo numeri ( fatto salvo che non lo abbia fatto Cantor che ad ogni infinito ha dato un ordinale).

Citazione di: Ipazia il 16 Agosto 2024, 07:41:51 AMGli "infiniti di ordine superiore" fanno parte del paradosso e paradossando un poco difficile sarebbe confutare che l'infinito dei numeri primi è uguale alla somma dell'infinito dei numeri primi pari e dispari. Mentre l'infinito dei numeri decimali è infinitamente più grande dell'infinito dei numeri primi. (La dimostrazione si ottiene prendendo sezioni numeriche significative delle rispettive serie i cui estremi numerici coincidano: 1-2; 1-10; ... e procedendo per induzione verso l'infinito)

Intendevi forse numeri interi, e il resto comunque non mi è chiaro.

Citazione di: Ipazia il 16 Agosto 2024, 07:41:51 AMCome già dissi, infinito e zero, sono paradossi matematici non aventi corrispettivi in natura.

Tutti questi paradossi sono stati risolti non richiedendo più agli enti matematici di avere dei corrispettivi in natura.

Citazione di: Eutidemo il 16 Agosto 2024, 06:14:49 AM

Trovando la soluzione a questo enigma, troverete anche quella ad alcune problematiche prospettate, da qualcuno di voi, nel mio THREAD sulla SEMIRETTA!

Ne dubito.
Sicuramente ti riferisci ai numeri decimali con periodo dopo la virgola.
Riusciresti a fare la stessa magia con i numeri razionali indicati come numeratore fratto denominatore?
No.
Riusciresti a farlo rinominando i numeri razionali?
Ovviamente no, essendo i numeri indipendenti dal nome che gli diamo.
Un insieme di numeri non cambia infatti se rinominiamo i suoi elementi.
Una rinominazione dei numeri razionali è la notazione decimale.
All'interno della stessa nominazione lo stesso numero, quando ciò non crea equivochi, può essere diversamente nominato.
Ad esempio il ''secondo nome'' di 2 è 1 virgola 9 periodico.
Non bisogna identificare i numeri con il loro nome.
Non bisogna confondere il dito che indica la luna con la luna.
Una cosa è il numero, e altro il simbolo che lo indica.

Citazione di: Il_Dubbio il 16 Agosto 2024, 01:02:12 AMse faccio la somma di infiniti numeri pari con infiniti numeri dispari ho come risultato infinito
Se considero solo infiniti numeri pari il risultato è infinito. Quanti sono i numeri interi? Infiniti.
Non cambia il risultato se aggiungo un infinito o lo tolgo da un numero infinito.

Gli infiniti non possono sommarsi, però le conclusioni cui sei giunto sono corrette.
Vediamo se riesco fare un esempio, scorretto, ma che renda l'idea.
Consideriamo l'insieme dei numeri interi
a,b,c,....
Rinominando i suoi elementi avremo
A,B,C,...
Rinominiamoli ancora
a,A,b,B,....
L'insieme non cambia se rinominiamo i suoi elementi.
Altro esempio:
1,3,5,...
2,4,6,...
1,2,3,4,...
Lo abbiamo rinominato più volte, ma è sempre lo stesso insieme.

E' vero che intuitivamente gli infiniti possono sommarsi, ma l'intuito in matematica non è più ammesso.
Se pensi di potere sommare gli infiniti devi dire come si fà, nero su bianco.
Non basta dire che è ovvio.
L'intuito può portare a risultati paradossali.
Come facciamo a sommare gli infiniti?
Quali tasti del computer dobbiamo pigiare?

Citazione di: Alberto Knox il 16 Agosto 2024, 00:51:31 AMma allora la domanda non è più  sulla semiretta ma sull infinito dei numeri .Se c'è un attributo che non è possibile dare ad una linea retta o semiretta è propio l'infinito. Perchè una retta dovrebbe essere infinita ? perchè gli mettiamo i trattini? perchè sono infiniti punti ed ad ogni punto viene associato un numero? è per questo?

Il disegno della retta non è la retta.
Una retta è una direzione, e una  sua semiretta indica un verso nella direzione.
 Come possono una direzione o un verso essere finiti?
Già i punti di un segmento sono infiniti.
Tu sai come fare ad associare ad ogni punto un numero?

Citazione di: Il_Dubbio il 15 Agosto 2024, 22:00:56 PMsenza una spiegazione migliorativa, direi che questa affermazione sta ad indicare proprio quello che cercavo di mettere in evidenza. E cioè che c'è differenza sostaziale fra un infinito potenziale ed uno attuale. In un infinito potenziale i numeri interi sono sempre maggiori delle parti che lo compongono (pari e dispari). In un infinito attuale ciò non è piu vero.

Eventualmente bisognerebbe dimostrare il contrario...sparare a caso non serve a nessuno.

Eventualmente dovresti dare un esempio di infinito attuale nel quale ciò non e più vero.
Oppure intendi che ''l'infinito dove ciò non è più vero'' sia la tua definizione di infinito attuale?

Citazione di: Ipazia il 15 Agosto 2024, 21:47:57 PMAnche gli infiniti hanno le loro gerarchie: l'infinito di numeri interi è di ordine superiore rispetto agli infiniti dei numeri pari o dispari che sono dello stesso ordine.

Per Cantor l'infinito dei numeri interi è dello stesso ordine dell'infinito dei numeri pari.
Il suo criterio è quello della corrispondenza biunivoca, ma se la cosa risultasse ostica,  proviamo a dirlo in un altro modo, impreciso, ma che renda l'idea.
Proviamo a costruire l'insieme dei numeri interi.
Per farlo dobbiamo dare un nome ai suoi elementi per distinguerli ognuno da ogni altro.
Non c'è ovviamente un solo modo di scegliere questi simboli, e un modo vale l'altro.
Possiamo  ad esempio scegliere
il simbolo 1 per il primo elemento dell'insieme, il simbolo 2 per il secondo........
Per esteso
1,2,3,4,5, 6,....,

Oppure possiamo scegliere altri simboli
2,4,6,8,10,12,..., da non confondersi con l'insieme dei numeri pari, dove 2 è il primo simbolo scelto, 4 il secondo e cosi via,...
L'insieme non cambia se usiamo simboli diversi, ovviamente.
Nel secondo caso, non avendo voglia di inventarmi simboli nuovi, ho usato parte di simboli che avevo inventato.
Questa però è solo una magia da quattro soldi, con la quale volevo sottolineare che insiemi che hanno lo stesso ordine di infinito si costruiscono sostanzialmente allo stesso modo.
CIOE', SONO I DIVERSI MODI DI COSTRUIRE GLI INFINITI,   A CARATTERIZZARLI, E L'INSIEME DEI NUMERI INTERI E DEI NUMERI PARI SI COSTRUISCONO ALLO STESSO MODO.
L'infinito per me è solo potenziale, e va costruito un elemento dopo l'altro.
Per me non esiste l'infinito attuale, ma esiste un processo di costruzione, finito, ma reiteratile , essendo ben definito, e la cui reiterazione non ha un compimento.

Potremmo in effetti se del modo in cui si è evoluta la matematica siamo coscienti, criticando non la matematica in modo generico , ma la sua evoluzione.
Però consideriamo che restando dentro i limiti della intuizione, coerentemente non dovremmo usare la calcolatrice presente come app sul nostro computer.
Non accettare questi limiti infatti è equivalso a poter delegare i nostri calcoli ad una macchina priva di intuizione.
Chi ha costruito questa macchina ha avuto una grande intuizione, che dell'intuizione si potesse fare a meno.

Citazione di: Eutidemo il 15 Agosto 2024, 12:26:44 PMSe prendi "due insiemi finiti", non coincidenti tra di loro, non puoi metterli in "corrispondenza biunivoca" tra di loro (cioè uno ad uno); vale a dire che, se prendi le dita di una mano e le dita di una mano con qualche dito tagliato, non le puoi certo mettere in "corrispondenza biunivoca" .

Forse l'uso del termine ''coincidenti'' non è azzeccato.
Se hai due insiemi finiti con le stesso numero di elementi puoi metterli sempre in corrispondenza biunivoca fra loro, e viceversa se puoi metterli in corrispondenza biunivoca fra loro allora hanno lo stesso numero di elementi.
Quindi  senza sapere quale sia il numero dei loro elementi, puoi sapere se hanno lo stesso numero di elementi, oppure un numero diverso.
Abbiamo quindi due diversi modi di confrontare due insiemi, per dire  se contengono lo stesso numero di elementi oppure no.
Uno è provare a contarli, e l'altro è provare a mettere i loro elementi in corrispondenza biunivoca, e almeno apparentemente otteniamo risultati fra loro concordi.
Possiamo perciò dire che sono equivalenti?
Per dirlo occorrerebbe non fermarsi ai casi singoli, a prove parziali, ma ottenere una prova generale, che valga per ogni caso, ciò che equivale ad una dimostrazione di equivalenza.
Hanno ragione i matematici a pretendere tale pignoleria per qualcosa che appare così autoevidente?
Si, perchè hanno prova del fatto che l'evidenza può ingannare.
Ed eccone la prova.
Un metodo, contare, non può applicarsi agli insiemi infiniti, mentre l'altro quello della corrispondenza biunivoca, come ha dimostrato Cantor, invece si.
Possiamo dire dunque equivalenti due metodi che hanno diversi campi di applicazione?
No!
Dovremo allora sceglierne uno, ad esempio quello della corrispondenza biunivoca, fatta questa scelta non potremo più dire che due insiemi si equivalgono se hanno lo stesso numero di elementi avendoli contati.
E' in base a questa scelta che possiamo confrontare gli insiemi infiniti e dire ad esempio che hanno lo stesso numero di elementi senza doverli contare, e liberi dall'obbligo di dover dire il numero.
In effetti poi questo numero Cantor lo dice, ma è un nuovo tipo di numero, che prima di Cantor non esisteva.
La matematica in effetti procede inventandosi sempre numeri nuovi, ma la nostra intuizione sui numeri è rimasta ferma ai numeri naturali, o al massimo a quelli frazionari ( che infatti, guarda il caso, hanno lo stesso numero di Cantor) ed ecco perchè non possiamo più usare l'intuizione in matematica, se non con grande cautela.
Sicuramente non possiamo più usarla in modo esclusivo.

Se ci limitiamo agli insiemi finiti si può dimostrare che contare e far corrispondere si equivalgono, ma noi perchè dovremmo accettare questi limiti?
Perchè dovremmo costringere la matematica in generale a restare dentro il limiti della nostra intuizione?
Se noi decidiamo di restarci possiamo criticare i matematici perchè non ci sono restati?