Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 19:01:28 PMsarà dimostrata quando "smonterai" a pezzi un anguria e ne ricaverai due di ugual misura e peso .
 la domanda è in che senso è dimostrata? in quale ambito e con quali premesse?
Questi paradossi sono interessanti dal punto di vista logico, ciò non toglie, che sono e rimangono paradossi.

E' la stessa rispettabile posizione di Eutidemo che io ho battezzato ''come matematica del coltello'' , dove è il coltello a fare a pezzi l'anguria.
Ma per avere a disposizione questo coltello bisogna rifiutare l'assioma di scelta di Zermelo.
Una volta rifiutatatolo  avrai a disposizione un coltello col quale tagliare l'anguria come ti pare, ma nel momento in cui andrai a ricomporre i pezzi otterrai sempre la stessa anguria, e non c'è neanche bisogno di tagliare l'anguria, perchè si può dimostrare matematicamente che è così.
Ma il fatto che la matematica dimostra tutto è il contrario di tutto non significa che è contraddittoria, ma che la dimostrabilità di una tesi non è indipendente dagli assiomi assunti.

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 18:51:15 PMveramente Eutidemo ha messo tra virgolette "raddoppiamento della sfera" indicando che è questo enunciato il paradosso. E se parliamo di teoremi allora inserisco un teorema fondamentale della matematica enunciato da Kurt Godel secondo cui esistono enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica può determinare la verità o la falsità dell enunciato.

Vero, ma Godel qui non ci aiuta, perchè la verità dell'enunciato è stata dimostrata.

E' pure possibile che Newton ci credesse veramente nell'esistenza degli infiniti e infinitesimi, ma noi che invece non crediamo esistano fuori dalla matematica, non perciò abbiamo rigettato la sua teoria, ma semmai dovremmo prendere coscienza di come sia utile tenere separata la matematica dalla sua supposta preventiva applicabilità, in base a ciò che si sceglie di assiomatizzare.
Se fossi un matematico direi: lasciateci lavorare.

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 16:50:15 PMun tale paradosso è un semplice esempio di come la matematica, in alcune circostanze , possa portare a una contraddizzione, ovvero un paradosso. Cioè a qualcosa che logicamente sembra corretto ma che poi nella realtà, di fatto, non lo è.
Non lo è di certo nello spazio tridimensionale in cui viviamo , ma è forse possibile in costruzioni matematiche di spazi diversi e con propietà e premesse diverse e con funzioni diverse come gli spazi di hilbert o di banach la cui complessità è al di fuori della mia portata.

Il punto è che non si tratta di un paradosso, e infatti Eutidemo lo ha indicato come ''paradosso''.
La matematica inoltre non porta a contraddizioni, ma il tentativo di dimostrazione di una tesi può portare a contraddizioni, e avremo un teorema quando non giungiamo a contraddizioni, dimostrando in tal modo la tesi.
Nel nostro caso abbiamo propriamente un teorema, cioè una tesi correttamente dimostrata a partire da precise ipotesi, una delle quali è ''l'assioma di scelta'', ed è proprio la presenza di questo assioma, presenza non necessaria perchè libera rimane la scelta degli assiomi, a portare a conseguenze che alcuni poco gradiscono al punto da chiamare un teorema che da quell'assioma correttamente deriva, un ''paradosso''.
''Paradosso'' quindi è da intendersi  come modo dispregiativo di indicare un teorema, che essendo però correttamente dimostrato non ha in sè  nulla di paradossale.

Semplicemente gli autori del cosiddetto ''paradosso'', da intendersi correttamente come teorema, ci dicono: guardate a quali conseguenze porta scegliere di assumere l'assioma di Zermelo,  e considerate dunque se volete mantenere la vostra scelta.
A questo appello finora la maggioranza dei matematici hanno risposto picche.
Perchè? Sono sicuro che avranno avuto i loro buoni motivi per farlo.
E magari noi, non addetti ai lavori, potremmo avere pur competenza a discutere di questi motivi.

Io ho suggerito il seguente motivo in generale:
può sembrare logicamente corretto considerare infinitesimi e infiniti, che però nella realtà non esistono.
Ma se da questo ragionamento si fosse fatto condizionare Newton non avrebbe scritto la sua teoria.

Citazione di: bobmax il 27 Febbraio 2023, 16:23:43 PMRitengo che tra di noi vi sia una distanza forse incolmabile.
E che ciò non dipenda neppure da idee diverse, ma proprio dal differente approccio alla verità.

Nel senso, che mentre per me è indispensabile la fede nella Verità, nel tuo caso la verità è inessenziale, come tu stesso continuamente affermi.
Questo comporta che io avverta un movimento caotico nelle tue parole.
Uno sparare a casaccio, un sentire non maturato, perché tanto di gioco si tratta. Di modo che "casualmente" alcune affermazioni possono pure coincidere con le mie.
Ma nulla di più.

Infatti il paradosso dimostra l'assurdità dei tuoi punti 1 e 2.
Cioè non li conferma affatto come tu invece vorresti.
Siamo l'un l'altro agli antipodi.

E neppure le mie considerazioni sono catastrofiche, anzi tutt'altro.
Ma evidentemente a te così paiono perché, appunto, dal tuo punto di vista la verità è inessenziale.

A questo punto, a prescindere se si concordi o meno con la mia disamina, direi che tra noi vi è veramente poco da discutere.

Ok. Con dispiacere prendo atto del tuo desiderio.

Citazione di: bobmax il 27 Febbraio 2023, 13:50:07 PMIl limite è sia nella misura sia nel misurato.
Perché l'errore è intrinseco nello strumento di misura e pure nell'oggetto misurato.

Infatti è lo stesso concetto di finito ad essere astratto e non corrispondente alla realtà.
La misura, basandosi sul finito, non può che anch'essa essere fallace.

La matematica viene dopo, sia del concetto di finito sia di quello di misura,
E quando la matematica non si rende conto di queste dipendenze... allora si immagina di attualizzare l'infinito!

E così non fa che delirare.
Come il paradosso mostra inequivocabilmente.

Il concetto di finito non corrisponde alla realtà, ma si applica alla realtà.
Non credo esistano concetti che corrispondano alla realtà, ma siamo noi che applicandoli glieli facciamo convenzionalmente corrispondere.
Ciò che può fuorviare  è che non sempre abbiamo coscienza della convenzionale corrispondenza, ed eviterei di avventurarmi a dire cosa viene prima e dopo.
Il paradosso non ci dice che il limite è  nel misurato, né nella misura,  come limite dello strumento di misura , ma nella definizione di misura , per cui relativamente a quella definizione le cose risultano avere una misura oppure no.
Il paradosso di una palla che diventa due palle ci ha distratti dai veri paradossi, che sono due, uno simmetrico all'altro:
1.Si può sezionare ciò che ha misura in parti, in numero finito o infinito, che non hanno misura
2.Si possono comporre parti senza misura, in numero finito o infinito, a formare ciò che ha misura.

Inevitabile non convergere su tutto, ma è singolare come leggendo alcuni tuoi post, ti sento come quello più vicino alle mie idee, e leggendone altri come il più distante.
Sul fatto che l'essere non abbia precisi confini convergiamo, ma divergiamo sulle conseguenze filosofiche, che per te sono sempre catastrofiche e per me mai.
Per quanto mi sforzi non riesco a vedere alcun delirio.

Citazione di: Eutidemo il 27 Febbraio 2023, 10:41:39 AMSono d'accordo con te che il sasso è solo un illusorio epifenomeno dell'ESSERE infinito; però, sotto il suo aspetto fenomenologico, è senz'altro una entità dai confini ben definiti e delimitati.
Come tutto il resto, d'altronde!

E infatti questo è quello che appunto diamo per scontato, ma che scontato non è.
Perchè anche quando i confini sono ben definiti, e non foss'altro perchè li abbiamo stabiliti arbitrariamente, fila tutto liscio, finché non decidiamo di associare una misura a quei confini.
Sembra starno, ma il paradosso in discussione ci dice proprio questo.
Ci dice che in sostanza se per fare la misura usiamo la matematica del coltello il paradosso sparisce, ma se usiamo altre matematiche il paradosso potrebbe presentarsi.
Quindi Eutidemo, insieme agli autori del paradosso si chiedono perchè mai non dovremmo limitarci ad usare la matematica del coltello?
Credo perchè se lo avessimo fatto non si sarebbero sviluppate branche della matematica che hanno avuto e/o potrebbero avere applicazioni cui diversamente dovremmo rinunciare,dicendoci contenti e beati di limitarci a tagliare e spalmare il nostro burro. 
Nelle varie presentazioni che ho trovato in rete del paradosso non ne ho trovato una che avesse il solo scopo finale di stupire, fine a se stesso, anche se tale potrebbe apparirci quando giocoforza siamo costretti a saltare passaggi per noi incomprensibili, ma lo scopo, attraverso lo stupore generato, di invogliare ad approfondire lo studio della matematica, attraverso il quale si potrà scoprire che tutto ciò che diamo per scontato, ben guardare, scontato non vi è mai.
In altri termini non vi è mai nulla di ovvio, ma semmai c'è la necessità di considerare ovvie certe cose, che di fatto saranno tali fino a prova contraria, come ad esempio quando queste ovvietà conducono a paradossi.
a quel punto non ci resta che mantenere o rifiutare le nostre ovvietà in base alla valutazione soggettiva di quanti problemi ci provochino realmente quei paradossi.
O almeno così mi pare di aver capito che fanno i matematici, per cui quella materia, la matematica, che si favoleggia come perfetta e pura, in effetti presenta ai matematici gli stessi problemi che si presentano noi nella vita di tutti i giorni, la quale richiede sempre compromessi fra i quali dover scegliere.
L'assioma della scelta, in un modo o nell'altro ci riguarda tutti.

In conclusione, il credere che ogni cosa abbia una misura intrinseca, nel momento i cui decidessimo di trovare quella misura potremmo avere difficoltà di due tipi, una relativa, nel senso che abbiamo difficoltà nel trovarla, l'altra assoluta, nel senso che non c'è.
Però quel ''non c'è'' è da intendersi relativamente a cosa intendiamo di volta in volta per misura, e che non c'è un modo univoco di intenderla.
Per cui in base a una definizione di misura qualcosa potrebbe avere una misura, e in base a un a un altra non averla.
Se accettiamo l'assioma della scelta la misura è una cosa, se non lo accettiamo è un altra cosa.
Ma sopratutto non si può sindacare né chi lo accetta né chi non lo accetta.
Il paradosso in discussione dovrebbe dissuadere i matematici dall'accettarlo, ma altre motivazioni che noi non conosciamo pesano diversamente sulla loro scelta.
Il consiglio che mi sento di dare è di  non dare un valore alla matematica in base alla sua dimostrata applicabilità.
Per quanto riguarda l'infinitesimo e l'infinito usati da Newton per andare sulla luna, non dovremmo formalizzarci sul fatto che ci appaiono come un ippogrifo, ma sul fatto se quell'ippogrifo ci ha portati sulla luna oppure no.
Non è che l'essere riusciti ad andare sulla luna dimostri che l'ippogrifo esiste,( o quantomeno il problema di esistenza qui si dimostrerà essere fuori luogo), ma dimostra solo che è utile fare uso degli ippogrifi.
Morale della favola: conviene usare il concetto di esistenza con più elasticità di quanto finora abbiamo fatto, perchè è una di quelle cose che ci viene naturale dare per scontate, ma che scontate del tutto non sono mai.
Quello che conta è che qualunque concetto che usiamo ci serva per andare avanti, e quando smette questa funzione può essere ben rivisitato.
Questo può apparirci destabilizzante, ma scordatevi di poter andare avanti senza correre rischi, tanto è vero che quelli che non vogliono correre rischi non hanno altro da proporre che fermarsi, quando non addirittura tornare indietro.

Citazione di: bobmax il 27 Febbraio 2023, 11:04:14 AMNo, il sasso non ha affatto confini ben definiti e delimitati.

Che li abbia è solo una sua semplificazione.
L'indeterminatezza è intrinseca ovunque.

Non vi è nulla, nessun fenomeno, che sia davvero finito.

Concordo.
Tuttavia grazie alla matematica possiamo assegnare un confine di comodo in senso funzionale, in base cioè a quale sperimentazione che coinvolge il sasso possiamo fare.E una volta fatto ciò ,seppure il confine viene stabilito in modo convenzionale non vi è alcuna indeterminazione. O forse si?
vediamo di dare una possibile risposta a questo quesito.

L'indeterminazione intrinsecano che chiami in causa è un altra cosa, ed è relativa ai limiti delle misure, e non del misurato. Finché non siamo noi a stabilirlo in modo convenzionale un sasso teoricamente ha gli stessi confini dell'universo.
Possiamo dire quindi che il sasso ha un confine quando lo vediamo, e questo confine è l'insieme dei punti in cui si riflette l'onda elettromagnetica nel range del visibile, e un altro confine quando lo tocchiamo, che è l'insieme dei punti oltre i quali la nostra pelle non và perchè contrastata dalla forza elettrica che , presente nel sasso, a noi si oppone .
il sasso quindi non ha un volume in sè, ma ha il volume che noi decidiamo in modo ragionevole in base alla nostra sperimentazione su esso.
A questo punto, una volta digerita la convenzionalità del confine del sasso, dovremmo aspettarci almeno, che il sasso abbia un volume preciso.
Dipende, perchè qui si aprono due strade.
Si potrebbe dire che ogni figura geometrica abbia una sua misura dimensionale intrinseca, come di solito sei intende, o si potrebbe dire che ce l'ha solo se, almeno in via teorica possiamo fare questa misura.
In altri termini, può sempre saltare fuori il puntiglioso di turno che dice: affermi che abbia una misura, dimostramelo giungendo a quella misura.
Il problema adesso diventa: come si fà a giungere alla misura?
Chi si incarica di dimostrarlo deve dare adesso una definizione di misura, prima di metterla in atto.
Il paradosso in discussione di fatto illustra che il problema della misura in matematica non è banale, e se andate su internet trovate diverse trattazioni che usano tanti di quei simboli strani che di solito respingono i più, quei più di cui noi siamo buoni rappresentanti.
Si capisce da ciò comunque quantomeno che l'indeterminazione della misura fisica  e il problema della misurabilità in matematica sono due cose che non hanno nulla a che spartire fra loro.
Ma una volta che chi si è assunto il compito della dimostrazione di cui sopra, dopo che abbia definito come si faccia a misurare una lunghezza, un volume, o simili, potrebbe accorgersi che non di tutto riuscirà a calcolare la misura, e non nel senso che ciò sia tanto difficoltoso da risultare di fatto impossibile, ma nel senso che non è possibile in base alla definizione di misura che lui ha dato.

Dove è allora il paradosso, per le nostre povere frullate menti che sperano di trovare diletto nell'affrontarlo?
Nel fatto che da un lato diamo per scontato che ogni cosa abbia la sua misura, anche se non la conosciamo, e dall'altro lato c'è qualcuno che ci dice che partendo da una sfera misurabile, e passando per una sua dissezione in parti non misurabili, possa giungersi , ricomponendole a qualcosa di ancora misurabile, ma con diversa misura da quella di  partenza.
Alla fine se da questa discussione dobbiamo imparare qualcosa è che non possiamo dare sempre per scontato cose che di solito non generano problemi, ma che possono generarli.
In matematica le cose non stanno in modo tanto diverso dalla nostra vita di tutti i giorni, nel senso che si accettano compromessi e li si mantengono finché non si decide che creino problemi inaccettabili.
E sembrerà starno, ma l'assioma della scelta di Zermelo ha provocato finora ai matematici più benefici che problemi, per cui, almeno al momento hanno deciso di tenerselo.

Citazione di: Phil il 26 Febbraio 2023, 14:54:58 PMTrovo che la ragionevole istanza di Eutidemo di poter usare il coltello per l'esperimento matematico tocchi il fulcro della questione: la matematica è solo uno strumento per la comprensione astratta del mondo

Diciamo che i punti di vista fra i matematici sono diversi come è giusto che sia.
La matematica ''del coltello' è certamente ragionevole, ma non perciò è ragionevole dare per scontato che essa sia ''la matematica''.
Ma allora come facciamo intenderci quando parliamo di matematica?
Ognuno deve prima dichiarare la propria appartenenza?
L'importante è capire che il metodo applicato dai matematici per fare matematica è unico, ma dalla sua applicazione derivano diverse discipline matematiche, tutte ugualmente ragionevoli.
Voler fare poi una classifica di merito fra le varie discipline, in base ad esempio alla loro applicabilità è fuorviante secondo me.
Questo potrebbe impedirci ad esempio psicologicamente di trattare l'infinito matematico se non vi è un corrispettivo infinito reale.
Così magari se Newton si fosse fatto condizionare da ciò non avrebbe sviluppato la sua teoria fisica, perchè essa è un applicazione degli infiniti e infinitesimi matematici.

Citazione di: Phil il 26 Febbraio 2023, 14:54:58 PMDa un segmento è possibile prelevare punti in modo da poter "produrre" un secondo segmento di uguale lunghezza? Concettualmente sì (correggetemi se sbaglio), perché i punti di un segmento sono infiniti, quindi possiamo prelevar punti all'infinito e costruire il segmento-doppione, ma nella realtà il segmento bidimensionale nemmeno esiste (così come il punto o l'infinità di rette che lo attraversano).

Questo è un problema interessante in sè ,e non sò se si può fare, ma quello che posso dire con certezza è che, se si potesse fare, e se il segmento di partenza fosse continuo, i due segmenti ottenuti non lo sarebbero, e quindi otterremmo tipi diversi di segmento.
Si porrebbe comunque anche qui un problema di ''scelta''.
Per poter prelevare infiniti punti devo scegliere prima quali prelevare e quali lasciare, ma tale scelta non sarebbe del tutto libera, perchè condizionata dal fatto che devo poter indicare la mia scelta e che non a tutti i punti riesco a dare un nome, e non per il fatto che sono infiniti.
Quindi, non si può fare secondo me, a meno che non si assuma come assioma di poterlo fare, e questo è propriamente l'assioma di scelta di Zermelo, credo.
Laddove invece la scelta si possa indicare (prelevare i punti cui posso dare nome ''numeri naturali'' ad esempio) otterrei segmenti oltre che discontinui di diversa lunghezza, perchè uno mantiene la lunghezza di partenza, e l'altro ha lunghezza zero.

Citazione di: bobmax il 26 Febbraio 2023, 09:41:25 AMGli elementi non misurabili fanno rientrare l'infinito nella questione.
L'assurdo deriva sempre dalla pretesa di maneggiare l'infinito come fosse finito.
È una contraddizione lampante.
Eppure è ciò che fa il tanto osannato Cantor.
Delirio nichilistico.

Solo una precisazione.
Non sono gli elementi non misurabili a far rientrare l'infinito nella questione, ma l'infinito a far entrare nella questione gli elementi non misurabili, perchè è l'infinito ad essere presente nell'assioma di Zermelo.
Il vero problema è che né io, né te, né Eutidemo sappiamo cosa intendono i matematici per elementi non misurabili, o ancor peggio è quando crediamo di saperlo solo perchè ''misurabile'' lo trovi sul vocabolario della lingua italiana..
Ma mi ci gioco le due sfere che da qualche parte c'è una teoria matematica della misurabilità

Citazione di: Pensarbene il 26 Febbraio 2023, 03:58:37 AMPerò le emoticons non sono simboli significativi e non esprimono altro che uno stato d'animo contingente e personale

Tutt'altro che contingente e personale direi, se il significato di un emoticon non ha bisogno di spiegazione alcuna, esempio volutamente scelto in quanto la sua banalità amplifica l'apparente paradosso di vedere cose dove non ci sono, e sopratutto vederle tutti insieme..
Non è cosa banale vedere un volto in un emoticon senza che nessuno te lo spieghi, dandogli tutti lo stesso significato.

Non esalterei l'arte in quanto tale, ponendo in essa speranze di salvezza.
Se nelle nuvole vedi un volto non puoi ricalcarlo, ma se lo vedi sulla parete di una caverna lo puoi fare.
Mi focalizzerei sul perchè vediamo un volto dove non c'è, e se condividiamo il motivo per cui lo vediamo.
Se condividiamo il motivo allora lo vedremo tutti in modo simile quel volto e similmente lo disegneremo , ma non facendo altro che ''ricalcare'' la nostra percezione condivisa.
L'arte inizia con una esplicitazione della nostra percezione, messa nero fumo su parete rocciosa, e prosegue con una evoluzione della percezione stessa, evolvendosi da ciò che è condiviso a ciò che è condivisibile, perpetuando il meccanismo della creazione di una sensibilità condivisa.
Secondo me nel suo evolversi l'arte sta prendendo coscienza del suo punto di partenza, perchè le opere artistiche somigliano oggi a una parte rocciosa.
L'artista non è più soggetto passivo della percezione esplicitata dalla mediazione del supporto materiale, ma crea supporti materiali per provocare e quindi per esplicitare sempre di più la sua percezione.
L'arte è un effetto  della coscienza sull'evoluzione, come lo è il metodo scientifico.
Una esplicita la percezione (arte) e la percezione una volta esplicitata può essere diversamente ricostruita (scienza).
Ma che sia un bene o un male io non lo sò.
Io provo solo amore per l'arte quanto per la scienza e la filosofia, e nell'esprimere questo amore mi sento realizzato.
Non penso sia una buona idea percepirsi come fossimo il diavolo, anche perchè il diavolo non esiste.
Perchè in quanto uomini siamo volubili, per cui non esalterei gli artisti oggi perchè oggi penso che l'arte sia una cosa buona, così come non li metterei al rogo domani se cambiassi idea.

In sostanza, e dopo davvero mi taccio, oggi i matematici ritengono gli assiomi liberi e non sindacabili, diversamente da come li ritenevano ieri, laddove dovevano avere carattere di evidenza.
Il ''paradoosso'' delle sfere ''dimostra solo come questo passaggio concettuale sia stato travagliato, in quanto è stato un tentativo, peraltro fallito, di restaurazione dell'originario concetto di assioma.
Come è possibile che una sfera diventa due sfere?
E' possibile solo se ammetti di non sapere davvero cosa sia una sfera.
Ma non devi offenderti, perchè non lo sò neanche io.
Sò solo che una volta che è stato aggiunto l'assioma della scelta agli assiomi di Euclide, le sfere non sono più quelle di una volta.
Ciò non deve destare preoccupazione però, perchè nessuno ci costringe ad assumere l'assioma della scelta, ma allo stesso tempo non possiamo sindacare chi lo assume.
Quando apparentemente c'è un paradosso, il motivo è solo che qualcuno non ha esplicitato, in buona o cattiva fede, tutti gli assiomi assunti.
Se vuoi tornare a sapere cosa sia una sfera è sufficiente che non accetti l'assioma di scelta, che è cosa diversa dal negarlo.
Gli assiomi non sono né veri né falsi.
E' l'aver ancora mantenuto impropriamente il concetto di verità in matematica a crear confusione.
Ma noi sappiamo bene che è inevitabile esprimere nuovi concetti inizialmente con termini vecchi, e perciò inadeguati ai nuovi.
Inevitabile perciò nella fase di transizione concettuale che si faccia confusione.

Citazione di: Eutidemo il 26 Febbraio 2023, 05:35:16 AM

Ciao Iano.

Il "Teorema di Pitagora" dimostra teoricamente che in ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti; ed infatti, se io disegno "materialmente" un triangolo rettangolo, e poi misuro l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa, nonchè  le aree dei quadrati costruiti sui cateti, posso materialmente constatare che la prima è esattamente identica alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui secondi.

Quando Hausdorff-Banach-Tarski, dopo avermi rivelato "il numero esatto dei pezzi non misurabili utilizzati" (visto che si tratta, secondo loro, di un "insieme finito"), riusciranno a scomporre materialmente una sfera del raggio di un metro, per ricomporne  due che abbiano lo stesso raggio, allora darò loro ragione; altrimenti, per me, le loro formule matematiche non costituiscono nessun dimostrabile "Teorema", ma solo un "Sofisma" matematico.

***

Ma se lo scopo di Hausdorff-Banach-Tarski era invece quello di "dimostrare" che, se da un teorema matematicamente "dimostrato" si può ricavare un "paradosso" come quello del "raddoppio della sfera", allora vuol dire che sono gli "assiomi" a partire dai quali si è dimostrato tale teorema ad essere ''errati", allora io sono perfettamente d'accordo con loro.
***
Per cui, se dall'''assioma di scelta'' formulato da Ernst Zermelo nel 1904 (secondo il quale dato un insieme "I", non vuoto, -aggregato di insiemi- i cui elementi sono a lor volta insiemi non vuoti, è possibile scegliere un elemento per ogni insieme e considerarlo come un rappresentante dell'insieme stesso e costruire con questi rappresentanti un nuovo insieme "II", da sostituire ad "I"), deriva consequenzialmente uno "pseudo paradosso" come quello del "raddoppio della sfera", allora, evidentemente, l'''assioma di scelta'' è errato.
E lo "pseudo paradosso" del "raddoppio della sfera" non è altro che una "demonstratio ex absurdo" da parte di Hausdorff-Banach-Tarski  per dimostrare la fallacità di tale assunto!
***
Un saluto!
***
P.S.
Ringrazio Iano per il riferimento all'''assioma di scelta'' formulato da Ernst Zermelo, che io, invece, avevo colpevolmente trascurato.

***

E' stato un piacere Eutidemo, come sempre, però non insisto avendo già monopolizzato la discussione.
Non si tratta comunque di una dimostrazione per assurdo.
Nelle dimostrazioni per assurdo si dimostra la falsità dell'assunto a partire dagli assiomi. In altri termini l'assunto si dimostra falso se gli assiomi sono ''veri''.
Ho messo ''veri'' fra virgolette perchè non c'è modo alcuno di dimostrare la falsità o la verità degli assiomi, in quanto il punto di partenza arbitrario è sempre quello di assumere gli assiomi come ''veri''.
L'unico modo di annullare una scelta arbitraria è rimangiarsela, e quello che gli autori del teorema speravano, dimostrandolo, è che in ciò i loro colleghi matematici trovassero motivo di rimangiarsi l'assioma della scelta di Zermelo, ma senza riuscirci, perchè l'assioma si è continuato ad usare.
Il fatto che gli assiomi possano essere arbitrari è la conquista della matematica moderna. La scelta degli assiomi non è sindacabile, e ognuno può scegliere i suoi senza dover giustificare la sua scelta, e senza poter criticare scelte altrui diverse.
Ma una volta scelti gli assiomi le conseguenze non sono più arbitrarie, perchè conseguono logicamente a quella scelta inziale.
Saluti.