Ciao Bobmax
Ti ringrazio per le tue considerazioni, perchè mi danno la  conferma definitiva che il mio ragionamento è corretto; ed infatti, avendo letto le tue obiezioni, a me sembra evidente che sei tu che non riesci "a togliere le tue ruote dai binari" dalla dicotomia "osservatore interno/osservatore esterno", per andare là "dove la logica chiama".
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Ed infatti se l'"osservatore interno" A , dopo la risposta del guardiano, "si mette a ragionare", in un certo qual modo, attraverso le sue riflessioni razionali, lui finisce per "dedurre" quello che che Bobmax e Eutidemo, gli "osservatori esterni", sanno benissimo senza dover fare nessun ragionamento; per cui, se hai la pazienza e la cortesia di leggermi attentamente e pacatamente, "sine ira ac studio",  voglio fare un ultimo appello alle tue indubbie facoltà logiche, perchè, in questo dibattito, ho avuto modo di apprezzarle, e le considero indubbiamente superiori alla media.
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Ed infatti hai perfettamente ragione quando scrivi (come anche io ho scritto) che "alla prima domanda le risposte possibili erano due (B o C) alla seconda domanda la risposta possibile è una sola (B)"; su questo non ci piove, tuttavia, se ci rifletti bene, si tratta di una considerazione "correttissima", la quale, però , è assolutamente "irrilevante" sotto il profilo logico, ai fini della soluzione del problema.
Ed infatti in nessun modo essa viene ad invalidare il mio ragionamento, come meglio spiegherò più avanti.
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Quanto, poi, alla tua successiva considerazione, e, cioè, che "l'osservatore gioca un ruolo fondamentale, e, quindi (almeno per lui), la probabilità dipende da ciò che conosce", anche su questo non ci piove; e, oltre a costituire una considerazione "correttissima", per giunta, a differenza della tua prima considerazione, è anche senz'altro  "rilevante" ai fini della soluzione del problema.
Ed infatti, uno conto è quello che il prigioniero A "sa",  ovvero che, pur ignorandolo, può "dedurre" razionalmente, ed un altro conto è quello che sappiamo noi; che siamo "esterni" alla vicenda, e, quindi, vediamo benissimo che le percentuali di A e B sono perfettemante uguali (1/2).
Ma questo A  non lo può "vedere", e quindi è per questo che io mi sono calato nel personaggio.
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Cerca di farlo anche tu!
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Se farai così, ti renderai conto che:
1)
All'inizio, A non può che sperare di avere 1/3 di probabilità di sopravvivenza.
2)
In base alla prima "domanda-risposta", invece, scopre che, fermo restando che lui continua ad avere 1/3 di probabilità di sopravvivenza:
- tra B e C,  dovrà sicuramente morire B, per cui la probabilità di B di sopravvivere si riduce a ZERO;
- il prigioniero A, quindi, si rende conto che il prigioniero C entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3;
3)
- In base alla seconda "domanda-risposta", che A deduce razionalmente in base a ciò che è venuto a sapere dalla prima "domanda-risposta", A si rende conto che:
- anche tra A e B,  dovrà sicuramente morire B, per cui la probabilità di B di  sopravvivere si riduce a ZERO;
- il prigioniero A, quindi, in base allo stesso ragionamento che valeva per C, entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
Non possiamo ovviamente dire che 1/3 di probabilità di sopravvivere di B,  se lo è già cuccato C, per cui per A non ne avanza più niente; ed infatti, qui, non si tratta di "quello che avanza di un pranzo", bensì di due alternative "sottoinsiemistiche" coesistenti e sovrapposte sotto il profilo logico, e non di eventi "prandiali" cronologicamente susseguentesi (B-C e A-B)
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E' questo il punto del mio ragionamento sul quale, secondo me, tu ti "irrigidisci" immotivatamente; mentre invece non dovresti.
Ed infatti, se consideriamo corretto il primo calcolo matematico-probabilistico (sul quale siamo entrambi d'accordo), ne consegue che dobbiamo necessariamente considerare corretto anche il secondo calcolo matematico-probabilistico.
Si tratta delle due facce di una stessa medaglia!
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La circostanza, come tu scrivi: "che alla prima domanda le risposte possibili, da parte del guardiano, erano due (B o C), mentre  alla seconda domanda l'unica  risposta possibile da parte del cervello di A, era (B)", a ben vedere, non ha il benchè minimo riflesso su quello che, comunque, il prigioniero A (l'osservatore interno alla storia) "è di fatto venuto a "sapere"; e non ha alcuna rilevanza se lo sia "è venuto a "sapere" direttamente grazie alla risposta del guardiano, o se, successivamente, lo abbia "dedotto" in base a tale risposta.
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Il che vuol dire che A, cioè l'"osservatore", come tu correttamente lo definisci, ormai "sa" (sia pure per deduzione) che anche "tra lui A e B", dovrà sicuramente morire B, per cui la probabilità di sopravvivere di B, anche sotto tale profilo, si riduce a ZERO ; ma se è così, il prigioniero A, in qualità di "osservatore", non può che concludere che, in questo caso, anche lui è entrato in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui pure la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
La circostanza che "alla prima domanda le risposte possibili erano due (B o C) alla seconda domanda la risposta possibile è una sola (B)", se ben ci rifletti, non può in alcun modo mettere in dubbio tale conclusione dell'"osservatore" A all'interno della storia.
Non vedo proprio come!
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Ma attenzione!
Poichè, l'"osservatore" A si rende conto benissimo che il calcolo matematico che aveva fatto su B-C dopo la risposta del guardiano, pur essendo del tutto corretto rapportato a tale prima ipotesi alternativa (che io chiamo "sottoinsieme 1"), entra in contrasto con l'analogo calcolo matematico che lui è legittimato a fare su A-B, dopo la sua deduzione (che io chiamo "sottoinsieme 2"), e che è anch'essa del tutto corretto rapportato a tale seconda ipotesi alternativa, si rende conto che deve trovare il modo di conciliare tra di loro tali due verità matematiche; in quanto, come è noto, la matematica non è un'opinione, per cui i conti devono sempre tornare.
***
Per cui, visto che è "impossibile" che sia A che C abbiano entrambi i 2/3 di probabilità di sopravvivenza, all'osservatore A non resta che effettuare una "sintesi" tra le due descritte "tesi" (1) e "antitesi" (2), concludendo che:
- se è vero che nei due diversi rispettivi "sottoinsiemi", nel momento in cui B è andato ZERO-CHANCE (sia nell'aternativa B-C che in quella A-B), sia A che C sono saliti ai 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- è anche vero, però, che, "sintetizzando" matematicamente i due diversi "sottoinsiemi" in un "insieme" matematico complessivo ed unitario, ne deve necessariamente conseguire  che sia A che C devono ridiscendere dai 2/3 ad 1/2 di probabilità di sopravvivenza a testa.
Ed infatti, come detto, è "impossibile" che sia A che C abbiano entrambi i 2/3 di probabilità di sopravvivenza,
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Non vedo quale difetto logico ci sia in questo modo di ragionare!
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Però, riflettendo sulla tua "posizione", e considerando che anche tu sei una persona estremamente razionale, e perfettamente padrona della logica, forse ho compreso che la tua riluttanza ad accettare la mia ipotesi di soluzione, è che, come ho detto in premessa, tu non riesci a "deragliare" dai binari:
- osservatore interno
- osservatore esterno
***
Su tale distinzione, in effetti, sono perfettamente d'accordo anch'io!
Però occorre tenere presente che, nel caso di specie:
- se l'"osservatore interno" A , dopo la risposta del guardiano, si mette il cuore in pace, non c'è dubbio alcuno che deve rassegnarsi ad attendersi soltanto un 1/3 di probabilità di sopravvivenza, mentre C 2/3;
- però, se l'"osservatore interno" A , dopo la risposta del guardiano, "si mette a ragionare", in un certo qual modo, attraverso le sue riflessioni razionali (da me descritte), lui può benissimo finire per "dedurre" quello che che Bobamx e Eutidemo, gli "osservatori esterni", sanno invece benissimo senza dover fare nessun ragionamento...e, cioè, che A e B hanno 1/2 di probabilità l'uno di sopravvivere.
Non so se mi sono finalmente spiegato.
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Un saluto!
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Ciao Bobmax
Innanzittuto mi fa piacere che anche tu sia d'accordo con me che, alla seconda domanda di A (reale o meramente ipotetica) il guardiano non potrebbe che rispondere B.

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Quindi, seguimi bene, il prigioniero A:
- non solo viene a sapere che tra C e B, B dovrà certamente morire, così come il guardiano gli ha rivelato;
- ma, sulla base di tale prima informazione, viene anche a dedurre razionalmente che, se chiedesse al guardiano chi dovrà morire tra A e B, costui gli dovrebbe necessariamente rispondere che anche in tal caso a dover certamente morire è B.
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Questo "snodo logico", sul quale mi pare che anche tu sia d'accordo, è fondamentale per comprendere la mia "ipotesi di soluzione"!
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Ed infatti, ragionando in modo "consequenziale":
1)
In base alla prima "domanda-risposta":
- tra B e C,  dovrà sicuramente morire B, per cui la sua probabilità di sopravvivere si riduce a ZERO;
- il prigioniero C, quindi, entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
2)
In base alla seconda "domanda-risposta":
- anche tra A e B,  dovrà sicuramente morire B, per cui la sua probabilità di sopravvivere si riduce a ZERO;
- il prigioniero A, quindi, in base allo stesso ragionamento che valeva per C, entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
***
Ed infatti, se consideriamo corretto il primo calcolo matematico-probabilistico (come certamente è), ne consegue che dobbiamo necessariamente considerare corretto anche il secondo calcolo matematico-probabilistico.
Si tratta delle due facce di una stessa medaglia!
***
Ma poichè è "impossibile" che sia A che C abbiano entrambi i 2/3 di probabilità di sopravvivenza, non ci resta che effettuare una "sintesi" tra le due descritte "tesi" (1) e "antitesi" (2), concludendo che:
- se è vero che nei due diversi rispettivi "sottoinsiemi", nel momento in cui B è andato ZERO-CHANCE, sia A che C sono saliti ai 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- è anche vero, però, che, "sintetizzando" matematicamente i due diversi "sottoinsiemi" in un "insieme" matematico unitario, ne consegue che sia A che C devono necessariamente ridiscendere dai 2/3 ad 1/2 di probabilità di sopravvivenza a testa.
Altrimenti i conti non tornano più!
***
Un saluto
***

Per chi interessa, in questo sito sono riportate le varie soluzioni che, nel tempo, sono state date al paradosso in questione, che, secondo Diogene Laerzio, fu ideato da Eubulide di Mileto ("ψευδόμενος"):
Aristotele
Crisippo
Buridano
Jourdain
Cage
Ockam
http://www.spaziofilosofia.com/paradossi-filosofici/paradossi-filosofici/
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Secondo me, comunque, a parte il resto, sebbene il verbo "mentire" sia intransitivo, la frase "Io sto mentendo", così come concepita da Eubulide, è sostanzialmente "anacolutica"; ed infatti, se qualcuno mi dicesse "Io sto mentendo!", mi verrebbe spontaneo chiedergli: "Stai mentendo riguardo che cosa?".

***

Ciao Iano
Forse potrebbe farlo la "Regina di Cuori" nel famoso racconto di Lewis Carroll; ma, nel mondo reale, penso che neanche Erdoğan punirebbe un suo giannizzero per una "non risposta" a una "non domanda" (sebbene, visto il soggetto io non ne sia poi così sicuro)!

***
Comunque, a parte gli scherzi, vi sarei davvero grato se mi indicaste qualche eventuale errore logico nella mia soluzione.
Ed infatti, in precedenza, avevo ipotizzato per mio conto anche altre soluzioni del paradosso; le quali, però, ad una mia "corrosiva" analisi logica "autocritica", non avevano retto.
Quella che vi ho esposto, invece, almeno per ora ha retto a tutte le mie "autoanalisi critiche"; ma questo non vuol dire affatto che anch'essa non abbia dei difetti logici che mi sono sfuggiti.
Per cui ritengo senz'altro opportuno sottoporla al giudizio altrui, perchè il proprio, per quanto si cerchi di renderlo il più possibile lucido e spassionato, alla fine è sempre un po' "infido"!
***
Un saluto!
***

                              IPOTESI DI SOLUZIONE AL PARADOSSO DEI TRE PRIGIONIERI

Anche tenendo conto di alcune intelligenti ed acute argomentazioni prospettate dagli altri partecipanti al presente "thread", penso di essere pervenuto all'unica ipotesi di soluzione possibile del paradosso dei tre prigionieri; o, quantomeno, a quella che "mi sembra" (con beneficio d'inventario) la migliore sotto il profilo logico.
L'ho fatto calandomi nei panni di A.
***
Sebbene rinchiusi nelle nostre celle, noi prigionieri siamo comunque venuti a conoscenza del fatto che uno di noi tre ha ricevuto la grazia.
Però:
- non conosciamo il nome del fortunato prigioniero;
- sappiamo pure che il guardiano non potrà assolutamente rivelarci, nè direttamente nè indirettamente, chi esso sia.
***
Matematicamente, io già so che tra B e C uno dei due dovrà necessariamente morire, per cui, in un primo momento, ritengo inutile fare domande al riguardo al guardiano; ed infatti, qualunque cosa lui mi risponda, le mie probabilità di sopravvivenza resteranno sempre pari ad 1/3.
***
Però, poi, alla fine mi decido a chiamarlo e gli dico: ""So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo, ma voglio soltanto sapere chi, tra  B e C, è sicuramente destinato a morire domani all'alba".
E lui mi risponde: "Va bene. Tra  B e C, quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B".
***
Pertanto, io, nel ruolo di A:
a)
Non vengo a sapere nulla di nuovo circa la mia personale probabilità di sopravvivere, che resta tale e quale la stessa che avevo prima di fare la domanda (1/3);
b)
Però vengo ad acquisire due nuovi elementi, di cui prima non ero a conoscenza, e, cioè che:
- tra B e C, B dovrà sicuramente morire, per cui la sua probabilità di sopravvivere si riduce in ogni caso a ZERO;
- C, invece, entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
***
E fin qui siamo tutti d'accordo!
***
Dopodichè mi metto a ragionare un po', e mi domando che cosa accadrebbe se io, adesso, chiedessi al guardiano: "Senti, visto che sei stato così gentile, mi potresti dire anche, chi, tra  me A, e B, è sicuramente destinato a morire domani all'alba".
Probabilmente accadrebbe che il guardiano mi manderebbe a quel paese; però, riflettendoci meglio, poi mi rendo conto che, in fondo, sarebbe del tutto superfluo fargli una domanda del genere...perchè io già so "con certezza" che cosa mi risponderebbe, se avesse la pazienza e la gentilezza di farlo.
E fare domande di cui si conosce già la risposta è inutile.
***
Ed infatti:
a)
Se sia io A che B fossimo destinati a morire, il guardiano sarebbe costretto a rispondermi, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", perchè, se mi rispondesse che "quello destinato a morire domani all'alba sei tu, A", indirettamente, mi rivelerebbe che il prigioniero graziato è C, cosa che gli è proibita (perchè se sia io A che B siamo condannati, è ovvio che C si salva).
Rispondendomi, invece, che "tra di voi quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", non escluderebbe affatto l'ipotesi che anche io, però, potrei subire lo stesso destino; lasciando quindi "aperta" tale eventualità, e non rivelandomi, così, chi è il prigioniero graziato.
b)
Se, invece, il prigioniero graziato sono a io A, è ovvio che, a maggior ragione, il guardiano sarebbe costretto a rispondermi, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B"; perchè in tal modo non escluderebbe affatto che anche io "potrei" avere lo stesso destino.
Altrimenti mi rivelerebbe direttamente che il prigioniero graziato sono io, cosa che gli è proibita.
***
Una volta pervenuto a tale conclusione, e, cioè, che ad una mia eventuale domanda il guardiano (per non rivelare chi è il prigioniero graziato) mi dovrebbe "necessariamente" rispondere che, tra me e B, "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", io non potrei in alcun modo sapere se sono salvo o meno; però posso matematicamente calcolare che la mia probabilità di sopravvivenza sale da 1/3 a 2/3, perchè ha assorbito la probabilità di sopravvivenza di B, che si è ridotta a zero anche nel mio caso.
***
Tuttavia non posso certo dimenticare che, in base alla mia originaria domanda al guardiano, anche la probabilità di sopravvivenza di C era salita da 1/3 a 2/3, avendo anch'essa assorbito la probabilità di sopravvivenza di B; la quale, anche nel suo caso, si è ridotta a zero, quando si è effettuato il riscontro del "sottoinsieme" B-C.
***
Ciò premesso, sia pure con beneficio d'inventario, mi sento autorizzato a concludere che:
- se è vero che nei nostri due diversi rispettivi "sottoinsiemi", nel momento in cui B è andato ZERO-CHANCE, sia io A che C siamo saliti ai 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- è anche vero, però, che, "compattando" matematicamente i due diversi "sottoinsiemi" in un "insieme" matematico unitario, ne consegue che sia io A che C dobbiamo necessariamente ridiscendere dai 2/3 ad 1/2 di probabilità di sopravvivenza a testa, altrimenti i conti non tornano più!
***
Però, ovviamente, posso benissimo essere in errore (come anche troppo spesso mi accade)!
***

Ciao Bobmax
Sono d'accordo con te sul fatto che la probabilità è sempre "oggettiva"; ma è tale proprio perchè prescinde dal singolo osservatore, altrimenti sarebbe "soggettiva".
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Intendo "soggettiva" nella misura in cui essa dipende necessariamente dalle condizioni che l'osservatore conosce; o, più esattamente, dipende dalle sue informazioni, le quali possono essere più o meno esatte o più o meno complete.
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Ad esempio, in base alle informazioni ricevute dall'Abwehr sulle condizioni dell'esercito russo, l'OKW tedesco calcolò correttamente che le probabilità di riuscita dell'Operazione Barbarossa sarebbero state superiori all'80%; però tali informazioni, sebbene sostanzialmente esatte, erano tuttavia incomplete, per cui, "in realtà" le probabilità di riuscita dell'Operazione Barbarossa erano inferiori al 50%.
Con il risultato "reale" che ben conosciamo!
***
Allo stesso modo A, dopo la sua domanda, è in possesso di una "informazione incompleta", e, cioè, che tra B e C uno dei due morirà; informazione di cui, peraltro, era già in possesso anche senza dover fare nessuna domanda.
***
Per cui è senz'altro corretto asserire che A,  per quello che ne sa, non può sperare di avere più di 1/3 di probabilità di farcela; d'altronde, da parte sua, C si trova nelle stesse condizioni di A, per cui, se fa anche lui la stessa domanda al guardiano, non può neanche lui sperare di avere più di 1/3 di probabilità di farcela.
E, fin qui, le due aspettative non sono affatto in contrasto tra di loro!
***
Si tenga però presente che nessuno dei due è al corrente che, in base alla domanda che l'altro prigioniero ha fatto al guardiano, che dal punto di vista "soggettivo" dell'altro la sua probabilità di sopravvivenza è invece miracolosamente salita da 1/3 a 2/3; come risulta evidente dalla formulazione del mio "PARADOSSO INTEGRATO".
***
Quindi:
- non essendo affatto contraddittorio che, in base alle loro limitate e incomplete informazioni, ciascuno dei due possa "soggettivamente" presumere che l'altro abbia i 2/3 di probabilità di farcela;
- risulta invece contraddittorio ritenere che "oggettivamente" entrambi, nella realtà effettiva, possano avere i 2/3 di probabilità di farcela.
Questo è palesemente "impossibile"!
***
E' indubbiamente vero che, in base alle informazioni di cui sono in possesso, e ai relativi "calcoli matematici", le "aspettative probabilistiche" di A e C possono essere "soggettivamente" differenti, ed anche matematicamente in contrasto tra di loro; ma se B è destinato a morire, A e C, nel mondo reale, hanno "oggettivamente", la stessa probabilità di salvarsi, pari al 50% l'uno.
Su questo, secondo me, non ci piove.
***
Un saluto!
***

Ciao Phil
Secondo me, la formulazione «tra  B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B» non è affatto ambigua;  ed infatti A aveva premesso al guardiano: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo!".
Per cui è ovvio che il guardiano, rispondendogli  «tra  B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B», non intendeva affatto escludere la possibilità che anche C potesse morire; altrimenti gli avrebbe rivelato chi era il prigioniero graziato, cosa che non poteva fare:
- sia per la premessa;
- sia perchè A stesso non glielo aveva affatto chiesto (precisandogli esplicitamente che non lo voleva sapere).
Semmai, per rendere la cosa ancora più esplicita, avrei potuto scrivere, come risposta del guardiano: "«tra  B e C, quello SICURAMENTE destinato a morire domani all'alba è B».
Nella versione del paradosso da me riportata, tale precisazione non c'era (in quanto ritenuta superflua), ma, tutto sommato, secondo me, ci sarebbe stata bene; per cui, sotto tale aspetto, trovo senz'altro utile il tuo suggerimento.

***
Se, invece, il guardiano avesse risposto solo con un secco «B morirà», il trucco matematico del "sottoinsieme" non avrebbe funzionato; in tal caso, infatti, non ci sarebbe stato alcun dubbio che le probabilità di sopravvivenza di A e C sarebbero state di 1/2 per uno (come anche Baylham sostiene, ed io con lui)!
***
Per quanto invece riguarda la tua risposta circa la seconda versione del problema, penso che anche io avrei risposto più o meno come te; e questo, secondo me, evidenzia in modo solare quale sia il trucco dei "sottoinsiemi" (in sè matematicamente ineccepibile).
Ed infatti, a prescindere da ciò che "si aspettano" A e C, in base alle loro domande artificiosamente "riduttive", alla fine, la loro probabilità di salvarsi o morire, se B è condannato, nella "realtà oggettiva" non può essere che del 50% a testa.
***
Un saluto!
***

Ciao Phil
Il dilemma dei tre prigionieri è stato ideato da Martin Gardner, nel 1959, ed ha generato diverse altre varianti; una di queste è stata impiegata per mettere a punto il gioco finale della popolare trasmissione televisiva a premi statunitese, "Let's Make a Deal", condotta da Monty Hall.
***
Quanto al fatto di  rispondere "a caso" fra B e C, è ovvio che tali lettere dell'alfabeto sono intercambiabili, senza che ciò violi le regole del paradosso; chi sia il graziato non ha alcuna rilevanza, perchè se il guardiano rivela soltanto chi morirà tra B e C, non fornirà alcun indizio al riguardo.
***
E' invece esatto, come tu scrivi, che il guardiano non potrebbe mai rispondere "entrambi", perchè così rivelerebbe indirettamente l'identità del graziato; ma nessuno ha mai messo in dubbio una cosa così ovvia.
***
Quanto al fatto che tu hai evidenziato che il guardiano non risponde con «è solo B a morire» in risposta alla domanda «chi morirà fra B e C?» per chiarire l'ambiguità che aveva portato ragionevolmente Sapa e Viator a considerare la riposta «tra  B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B», non ho ben compreso cosa vuoi dire, ma non ritengo che sia una cosa particolarmente rilevante sulla quale soffermarsi.
***
Quanto alla circostanza che con "svicolare" intendevi che "nell'affermare «B morirà», come da una delle tante versioni del problema, il guardiano non dà invece alcuna informazione su C, evitando di rivelare al prigioniero troppe informazioni preziose, e che, quindi, sarebbe uno svicolare strategico per rispettare le regole del gioco che al contempo non è fuorviante come la risposta comprensiva del «tra» B e C", a mio avviso la precisazione non è affatto fuorviante, ma, anzi, al contrario, puntualizza non che genericamente  «B morirà», ma che sarà proprio lui a morire tra B e C.
Perchè l'essenza del paradosso sta proprio in questo!
***
Quanto alla risposta al secondo quesito, come ho scritto, va bene che tu ritieni che debba essere "al plurale a seconda del punto di vista che assumiamo e delle informazioni che abbiamo"; ma, comunque, questa non costituisce affatto una risposta al secondo quesito, sebbene soltanto l'indicazione della  "modalità" con cui ti proponi di rispondere.
Però non hai ancora risposto!
La domanda era: "Quante sono le probabilità di sopravvivenza che A e C  possono ragionevolmente aspettarsi, dopo aver ricevuto ciascuno l'informazione di cui sopra, a un minuto di distanza l'uno dall'altro, e quante sono quelle reali che effettivamente hanno?"
Rispondi in percentuale (ma non ti preoccupare, perchè io stesso, sinceramente, non saprei ancora che cosa diamine rispondere)
***
Un saluto
***

Ciao Bobmax.
Sul fatto che la probabilità non sia un qualcosa di "appiccicato" ai vari prigionieri, in quanto non è una loro "qualità", sono perfettamente d'accordo con te; anzi, direi che proprio tale considerazione è alla base dei miei ragionamenti.
Così come è alla base dei miei ragionamenti il principio fondamentale per il quale la probabilità :
- è sempre riferita all'"insieme nel suo complesso";
- è sempre distribuita su di esso al 100% a seconda della situazione, a prescindere da eventuali "sottoinsiemi" artificialmente creati dalle domande dell'uno o dell'altro.
***
Sono anche d'accordo con te che  la "situazione" varia a seconda di come variano le "condizioni"; purchè, però, si tratti di "condizioni causali", e, cioè, tali da costituire una effettiva "causa efficiente" della variazione.
Ad esempio, se C morisse d'infarto durante la notte, tale evento sopravvenuto costituirebbe indubbiamente una "causa efficiente"  della variazione delle probabilità di sopravvivenza degli altri due prigionieri; su questo non ci piove!
***
Ma, per tornare al nostro indovinello dei prigionieri, se ci pensi bene, la domanda di A è assolutamente "idiota", perchè è "ovvio" che tra B e C uno dei due deve necessariamente morire; ciò in quanto, fra tutti tre, il "prigioniero graziato" può essere uno solo .
Quindi, cosa diamine lo chiede a fare?
Cosa cambia se la risposta è B o C?
Niente!
Quindi, in  effetti, quale che sia la risposta del guardiano, lui "non viene a sapere assolutamente niente di nuovo, di cui non fosse al corrente già da prima... senza fare nessuna domanda!"
***
Ed infatti, è vero che:
- il prigioniero A viene a sapere che a morire sarà B invece di C, per cui matematicamente B va a 0 probabilità di sopravvivenza mentre C va a 2/3 di probabilità di sopravvivenza;
- ma, per il prigioniero A, si sarebbe verificata la stessa cosa se fosse venuto a sapere che a morire sarebbe stato C invece di B, per cui matematicamente C sarebbe andato a 0 e B a 2/3 di probabilità di sopravvivenza.
Ed infatti, per lui, in base al (correttissimo) calcolo matematico che ben conosciamo e condividiamo, sempre con un misero 1/3 di probabilità si sarebbe ritrovato!
Per cui cosa gliene importa di sapere chi (matematicamente) si è cuccato i due terzi tra B e C?
***
Però, poi, tu fai il seguente ragionamento molto sottile ed intrigante.
"Il fatto che si sa che Tizio sarà giustiziato non è sufficiente. Siamo venuti a saperlo in che modo? È stato scelto a caso Tizio e si è scoperto che sarà giustiziato? In questo caso la probabilità dei due rimanenti è del 50%. Ma se è perché abbiamo chiesto chi tra Tizio e Caio sarà giustiziato, allora Caio ha 2/3."
Questo, come più volte o ribadito anch'io, è senz'altro vero se creiamo artificialmente dei "sottoinsiemi" fittizi creati dalle domande "alternative" e "restrittive" degli uni o degli altri, ma non se teniamo conto della "realtà oggettiva" e "complessiva" della situazione.
***
Ed invero, sotto quest'ultimo profilo, come la metti se:
a) Sempronio ha chiesto chi tra Tizio e Caio sarà giustiziato al solito guardiano;
b) Caio, invece, ha scoperto per caso che  Tizio sarà giustiziato, sentendo chiacchierare tra di loro due sentinelle.
Seguendo il tuo ragionamento, quindi, "nello stesso tempo":
-  le probabilità di salvezza dovrebbero essere di 1/3 per Sempronio e di  2/3 per Caio, in base a quanto "sa" Sempronio (a)
- le probabilità di salvezza dovrebbero essere di 1/2 per Sempronio e di  1/2 per Caio, in base a quanto "sa" Caio (b)
Il che è chiaramente "incongruente", perchè tu stesso, molto giustamente, hai scritto che la probabilità non è un qualcosa di "appiccicato" ai vari prigionieri, bensì un qualcosa di oggettivo.
***
Il che, secondo me, emerge chiaramente anche dal mio PARADOSSO INTEGRATO, di cui attendo ancora una soluzione da parte tua e degli altri (me compreso, che ci sto tutt'ora pensando).
Il quale, forse, sarebbe da integrare ancora, facendo fare la stessa domanda di A e C anche al povero B.
Se vuoi, pensaci tu!
***
Un saluto!
***

Citazione di: Socrate78 il 04 Aprile 2021, 11:48:24 AM
In realtà io documentandomi ho visto che la versione originale è ben diversa da quella riportata da Eutidemo, la richiesta di A infatti sarebbe:" Non ti chiedo di rivelarmi il nome di chi si salverà, ti chiedo soltanto che se tra B e C sarà B a salvarsi fai il nome di C, altrimenti quello di B. Se invece sono io ad essere salvato, lancia SEGRETAMENTE una moneta e fai a caso il nome di B o di C".  Se il termine del paradosso è questo e il guardiano risponde che B morirà, ciò significa che le probabilità di C salgono matematicamente a 2/3 (sommandosi all'1/3 di B), quelle di A ad 1/3, poiché il guardiano potrebbe anche aver lanciato segretamente la moneta!
Ma da un punto di vista logico direi che escludendo B, A e C hanno il 50% di probabilità di salvezza, effettivamente non sempre la stretta matematica segue la logica!

Ci sono varie versioni del paradosso, ed io ho scelto quella che ritenevo più interessante.

Ciao Phil
Le tue argomentazioni, in sè, sono buone, e, anzi, sarebbero ottime se fossimo in presenza di una "simulazione" nell'"ambito della "teoria dei giochi"; ma in questo caso siamo in presenza di un problema di carattere precipuamente "logico", per cui esse risultano assolutamente "fuori luogo"!
Forse avrei dovuto precisare meglio la cosa, ma, data la natura strettamente logica del problema, vecchio di secoli, l'avevo data per scontata.
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Ad esempio, il guardiano non può rispondere con "uno a caso fra B e C", poiché deve rivelare chi effettivamente dovrà morire; altrimenti l'enigma non avrebbe senso logico.
Inoltre, il guardiano "non potrebbe MAI" rispondere affermando che "sarà solo B a morire", perchè anche in tal caso andrebbe contro la premessa; e, cioè, che dei tre prigionieri "due" devono inevitabilmente morire e non uno solo (solo uno è stato graziato).
Quando poi dice che "B morirà", non sta affatto "svicolando", ma sta semplicemente dicendo la verità; cioè, quello che accadrà.
Sei invece nel giusto quando scrivi che "inevitabilmente uno fra B e C morirà e il guardiano non fa altro che confermare tale prevedibile certezza".
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Tutte le tue altre argomentazioni non sono assolutamente congrue, perchè tu parti dal presupposto che il guardiano possa scegliere cosa dire o non dire, oppure o "svicolare"; ed invece non è così, perchè il quesito è di carattere prettamente logico-formale, e, quindi, non consente il tuo tipo di illazioni di carattere psicologico.
Considera, cioè,  come se il guardiano fosse un robot che è stato programmato a non rivelare, neanche indirettamente, il nome del "graziato"; ma che, per il resto, risponde meccanicamente alla domanda che gli fanno, senza alcuna facoltà di mentire (o "svicolare").
Insomma, una cosa del genere!
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Comunque, ciò premesso, non hai risposto al mio quesito integrato: "quante sono le probabilità di sopravvivenza che A e C  possono ragionevolmente aspettarsi, dopo aver ricevuto ciascuno l'informazione di cui sopra, a un minuto di distanza l'uno dall'altro, e quante sono quelle reali che effettivamente hanno?"
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Un saluto
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                                                  PARADOSSO INTEGRATO

a)
Tre prigionieri, A, B e C, in tre celle separate, aspettano tutti e tre la fucilazione per l'alba successiva.
b)
Il guardiano sa che uno dei tre avrà salva la vita, perchè è stato appena graziato; ma ha giurato al re di non rivelare a nessuno dei tre chi di loro ha ricevuto la grazia.
c)
Il prigioniero A chiama il guardiano alla porta della sue cella e gli dice: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo, ma voglio soltanto sapere chi, tra  B e C, è destinato a morire domani all'alba".
d)
Il guardiano, impietosito, per cercare di ridurre la sua ansia, gli risponde: "Va bene. Tra  B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B.
e)
A questo punto, però, il prigioniero C, avendo sentito bisbigliare qualcosa alla porta della cella accanto alla sua (senza aver capito che cosa) chiama anche lui il guardiano alla porta della sue cella e gli dice: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo, ma voglio soltanto sapere chi, tra  A e B, è destinato a morire domani all'alba".
f)
Il guardiano, che comincia un po' a scocciarsi, tuttavia gli risponde: "Va bene. Tra  A e B, quello destinato a morire domani all'alba è B.
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Stando a questo ulteriore "storytelling" enigmistico di mia personale creazione, quante sono le probabilità di sopravvivenza che A e C  possono ragionevolmente aspettarsi, dopo aver ricevuto ciascuno l'informazione di cui sopra, a un minuto di distanza l'uno dall'altro, e quante sono quelle reali che effettivamente hanno?
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La domanda è rivolta a tutti!

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Ciao Bobmax
Sì, ho capito!
Ma il mio dubbio non riguarda affatto il calcolo "matematico", che tu hai molto intelligentemente ed esplicativamente  trasformato in geometrico.
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Ed infatti se ipotizziamo come realmente esistente il "sottoinsieme" B-C, è assolutamente naturale che:
- se B è destinato a morire, il suo 1/3 di probabilità di sopravvivenza va "matematicamente" a C, la cui probabilità di sopravvivenza sale quindi inevitabilmente a 2/3;
- se B è destinato a morire, e la sua probabilità di sopravvivere viene rappresentata da un ipotetico dado a tre facce, la sua impossibilità di salvarsi non elimina la faccia corrispondente, riducendo così il dado a sole due facce, bensì, restando il dado a tre facce,  la terza faccia va ad appannaggio di C, la cui probabilità di sopravvivenza sale quindi inevitabilmente a 2/3;
Se ho ben compreso quanto vuoi dire, lo condivido pienamente; perchè, al riguardo, non ho mai nutrito alcun dubbio!
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Però, al di là dello specifico "storytelling" enigmistico;
- se noi consideriamo la faccenda come se "realmente" si verificasse in un vero e proprio braccio della morte in cui si trovano prigionieri Caio, Tizio e Sempronio;
- e se noi, impedendo a tutti e tre di fare domande imbarazzanti, sapessimo che Tizio non è stato graziato, per cui dovrà inesorabilmente morire;
ne conseguirebbe, senza il benchè minimo dubbio, che Caio e Sempronio hanno le stesse identiche probabilità del 50% di scamparla o di lasciarci la pelle.
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Ed infatti, senza stare tanto a girarci intorno, in estrema sintesi, se di tre prigionieri condannati a morte uno è stato graziato, ma non se ne conosce il nome, però si conosce il nome di colui che dovrà morire, è evidente che gli altri due hanno le stesse probabilità di sopravvivenza!
Non ne staremmo neanche a discutere!
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Lo "storytelling" enigmistico, nei limiti della sua "autoreferenzialità" logico-matematica, è però assolutamente ineccepibile, per cui anche di quello è inutile stare a discutere; è assolutamente "corretto", e per niente "paradossale" (salvo che non lo si cali in una realtà concreta)!
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Un saluto
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P.S.
Qui di seguito cerco di riformulare l'"indovinello" in modo un po' più complesso, alla cui soluzione devo ancora pensare anch'io; vorrei sapere cosa ne pensi tu e gli altri partecipanti al "thread".

Citazione di: Socrate78 il 03 Aprile 2021, 20:40:05 PM
In effetti il fatto che il guardiano abbia risposto che tra B e C quello destinato a morire sarà B non implica affatto che C si salverà, ma soltanto che SICURAMENTE B morirà. Il guardiano infatti non dice nulla riguardo al prigioniero C, tuttavia il solo fatto che egli abbia detto che tra i due (B e C) quello destinato sicuramente a morire è B fa aumentare le probabilità che sia C il graziato, poiché è come se avesse fatto una mezza ammissione secondo cui C si salverà. Di conseguenza mentre prima tutti e tre i prigionieri avevano 1/3 di possibilità di salvarsi, ora le probabilità di B scendono a zero, quelle di C salgono a 2/3 (considerate le parole del guardiano)mentre quelle di A rimangono fisse ad 1/3. E' l'ambiguità delle parole del guardiano a far salire le probabilità matematica!

Sotto un profilo matematico, considerando il "sottoinsieme" B-C, è senz'altro così; ma non credo che c'entri l'ambiguità della risposta del guardiano, che a me sembra inequivoca!

Citazione di: viator il 03 Aprile 2021, 19:26:44 PM
Salve sapa ed Eutidemo. Se voi avete la testa dura, io proprio ne sono privo.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Secondo me è tutto un "ciurlar nel manico" basato semplicemente sulla commistione tra le certezze probabilistiche (NON SULLE PROBABILITA') cui risultavano e risultano legati i tizi prima o dopo l'aver conosciuto il responso del guardiano.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------La certezza probabilistica (concetto che spiegherò in altra circostanza, non avendone ora voglia) risulta identica sia prima di porre il quesito (morirà B o C ?) sia dopo la risposta (morirà B) poichè è una CERTEZZA FATTUALE, cioè insita nella situazione reale esistente prima della domanda posta da A e generatasi nel momento in cui qualcuno ha deciso di irrogare la grazia ad uno dei tre. Ma il fatto è che la prospettiva della grazia è ciò che cambia le carte in tavola a giocoin corso !
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tale certezza probabilistica non consiste nella probabilità di un certo esito al verificarsi di certe cause IGNOTE al momento dello stabilimento del quesito probabilistico. Infatti, nel periodo intercorrente tra lo instaurarsi della volontà di graziare qualcuno (volontà che deve considerarsi avere lo stesso effetto di una futura certezza) ed il momento in cui viene stabilito chi dovrà morire tra B e C..........tutti e tre avevano 1/3 probabilità di poter risultare graziati.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Una volta però che risulta certo il CHI sarà uno dei morituri (B), esso - come termine probabilistico - scompare dal problema perchè non ne è più riguardato............esso automaticamente assume su di sè il 100% (1/1) delle probabilità di risultare tra i due morituri, facendo per ciò stesso aumentare le probabilità di scamparla per gli altri due, dal momento che realizzandosi una probabilità per uno dei componenti del terzetto, la probabilità CONTRARIA - per restanti due, non potrà che aumentare.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------A tal punto non si tratta più di calcolare le probabilità di un evento (che sia la morte o che sia la grazia !) riguardante TRE SOGGETTI, ma solamente DUE SOGGETTI. E' questa la ragione per la quale A e C si ritrovano con il 50% (1/2) ciascuno di probabilità di morire oppure di venir graziati !.

Sono d'accordo sul fatto che, nella "realtà", A e C si ritrovano con il 50% (1/2) ciascuno di probabilità di morire oppure di venir graziati; ma non sono ben sicuro di aver compreso il tuo ragionamento.
Ed infatti, considerando il "sottoinsieme" B-C, matematicamente risulta valida anche la conclusione che le probabilità di sopravvivenza sono del 33% (A) e del 67% (B).