Scusate, piccolo errore

Lo "stretching" dello spazio, dovuto alla curvatura, produce una DILATAZIONE della lunghezza nel sistema di quite. Nel caso specifico, poichè la curvatura e la contrazione sono dovute alla stessa causa (rotazione) i due effetti sono opposti ed uguali.  Pertanto la circonferenza vista dall'osservatore non rotante è invariata. Il discorso potrebbe applicarsi alle singole sbarrette dell'esperimento mentale di Einstein. A me sembra tornare.

Buongiorno a tutti. Sono un nuovo iscritto e lasciatemi dire è raro trovare forum di discussione su argomenti di questo tipo. Vorrei dire la mia sul paradosso di Eherenfest. Ho letto l'articolo riportato nell'ultimo post e lo trovo convincente. Ci sono due questioni separate da considerare:
1) l'effetto di contrazione delle lunghezze dovuto allo stato di moto relativo (Relatività Speciale) dovuto alle trasformazioni di Lorentz nello spazio di Minkowsky
2) gli effetti di curvatura dello spazio originati dalla rotazione nel riferimento di quiete, dovuti alla Relatività Generale. 

Effetto 1) seguendo Einstein (! se fosse possibile ....), dividiamo la circonferenza in N tanti piccoli segmenti lineari ad essa tangenti tali che C = N*L e mettiamo su ciascuno un orologio, che saranno tutti in quiete e sincronizzati nel riferimento proprio. Allora, a ciascun segmento applichiamo la relatività speciale.  Visto dal riferimento in moto relativo (non rotante) ogni segmento subirà la contrazione di Lorentz. Saremmo portati a pensare che la circonferenza C' =2*pi*R > n*L'. Qui c'è l'errore. La relazione tra circonferenza e raggio è valida in uno spazio euclideo. E questo ci porta all'effetto 2)

Effetto 2) in virtù del principio di equivalenza, la forza centrifuga equivale ad un campo gravitazionale. Pertanto, l'osservatore rotante è in caduta libera e sperimenta la situazione di forza nulla, nel senso della relatività generale. Riguardo agli orologi posti sulle sbarrette, essi restano sincronizzati anche nello spazio curvo, poichè sperimentano lo stesso "potenziale" (la curvatura rallenta il tempo in RG). Nell'equazione del moto (geodetica) le forze inerziali appaiono come curvatura dello spazio nè più nè meno di un campo gravitazionale. Quindi, nel riferimento di quiete appare un tensore metrico non euclideo con componente spaziale e temporale non nulla, dipendente dal "potenziale" che altro non è che il "potenziale centrifugo". Questo accade anche se si utilizzano coordinate rotanti: la metrica espressa in coordinate rotanti acquista componenti non unitarie e diventa non euclidea. Ma questa è proprio la sostanza della Relatività Generale: campi gravitazionali, rotazioni e forze centrifughe sono equivalenti e generano spazi curvi. La formula della metrica riportata nell'articolo dice proprio questo: è una metrica tipo  Schwarzschild non euclidea.  Pertanto, lo spazio è curvo  e di conseguenza C' non è uguale a 2*pi*R.
Lo "stretching" dello spazio, dovuto alla curvatura, produce una riduzione della lunghezza nel sistema di quite. Nel caso specifico, poichè la curvatura e la contrazione sono dovute alla stessa causa (rotazione) i due effetti sono opposti ed uguali.  Pertanto la circonferenza vista dall'osservatore non rotante è invariata. Il discorso potrebbe applicarsi alle singole sbarrette dell'esperimento mentale di Einstein. A me sembra tornare.

Se ci pensiamo bene, anche lo spazio di Minkowsky non è proprio euclideo: il prodotto scalare che definisce la distanza è diverso da quello dello spazio euclideo: ds²=(cdt)²-(dx²+dy²+dz²) evidentemente diverso dal "teorema di pitagora": ds²=(dx²+dy²+dz²) !!