Il problema dei tre nani

[Alexander]

Buongiorno a tutti


sottopongo un problema:



Tre nani, scavando nella miniera, trovano un grosso diamante. Tutti e tre lo vedono nello stesso momento. Decidono di portarlo in superficie, tenedolo in mano a turno affinché nessuno si consideri il padrone del diamante.  Una volta usciti dalla miniera, fattosi ormai notte fonda e buio pesto, devono decidere il da farsi:
Fili vorrebbe vendere il diamante e dividere la somma in tre parti uguali.
Chili vorrebbe dividere in tre parti uguali il diamante, ma non è possibile tagliarlo.
Nili vorrebbe darlo al capovillaggio perché sia usato per il bene comune.
Non sapendo come uscirne per trovare un accordo, e non potendo tirare a sorte a causa del divieto di giocare la sorte imposto dalla religione nanesca, i tre nani decidono di sotterrare il diamante in un terreno sicuro per trovare la soluzione dopo un buon sonno ristoratore.
Al mattino si recano dove hanno sepolto il diamante, ma durante la notte un violento acquazzone ha lavato ogni traccia del punto esatto dov'era  nascosto.
Decidono allora  di dividere in tre parti il terreno, così che ognuno abbia un appezzamento della stessa misura da scavare. Chi trova nuovamente il diamante ne diventa l'unico proprietario. Come fare la divisione, considerando che non è possibile tirare a sorte e che tutti e tre vogliono decidere per primi quale parte scegliere, per non dare alcun vantaggio?

[viator]

Salve Alexander. Questo "dilemma" lo conoscevo già, benchè a me risultasse nominato come "il problema dei tre poveri piccoli imbecilli". La soluzione mi è nota (credo anche a te) ma non narriamola prematuramente. Oltretutto io mi sentirei di doverla narrare con linguaggio estremamente sboccato. Lasciamo quindi libero corso alla svolgersi della seconda (in ordine di diffusione) tra le risorse inesauribili del pianeta (la prima è l'imbecillità). Saluti.

[iano]

Iniziano a scavare insieme in un stesso appezzamento e poi insieme si spostano negli altri.
In questo modo tutti e tre hanno sempre lo stesso appezzamento , senza che gliene venga assegnato alcuno.
Il modo in cui si fa' la divisione è indifferente.
Di fatto non occorrerebbe  alcuna divisione dato che ognuno può scavare dove gli pare,
Il problema infatti non richiede che gli appezzamenti debbano essere assegnati.
Il diamante non è dell' assegnatario del terreno su cui si trova, ma dichi lo trova per primo.
Non so' se sia la soluzione giusta , ma immagino che nel quesito si diano informazioni superflue che lasciano intendere ciò che non è. Cioè spostano la nostra attenzione dal vero problema.
Anzi, in questo caso cercano di farci credere che vi sia un problema, ma il problema  non esiste.
Diciamo che sto cercando di applicare quanto imparato col quesito dei tre prigionieri di Eutidemo.

[Eutidemo]

Ciao Alexander.
Se ho ben capito, stando ai termini del problema, si tratta:
a)
Di tre "piccoli"nani.
b)
Di un "grosso" diamante.
c)
Di "dividere in tre parti uguali il terreno", così che ognuno abbia un appezzamento "della stessa misura" da scavare.
Chi trova nuovamente il diamante ne diventa l'unico proprietario.
Il problema è come fare la divisione, considerando che non è possibile tirare a sorte e che tutti e tre vogliono decidere per primi quale parte scegliere, per non dare alcun vantaggio?
***
Sappiamo che i nani sono piccoli e che il diamante è grande, ma non ci viene detta:
- nè la sua dimensione;
- nè la dimensione del terreno dove esso è stato sepolto;
- nè la sua forma geometrica.
Per cui, al riguardo, mi sembra che possiamo lecitamente suppore quello che ci pare.
***
Ciò premesso, io ritengo che il terreno abbia una forma rettangolare molto lunga e molto stretta, la cui larghezza corrisponde a quella del diamante sepolto; per cui, dividendo "per lungo" tale terreno in parti uguali, e cominciando tutti e tre a scavare contemporaneamente nel punto che preferiscono del loro appezzamento, nessuno di essi sarebbe avvantaggiato nella ricerca del diamante.
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***
Anzi, si potrebbe addirittura ipotizzare che il terreno abbia la stessa identica forma e dimensione del diamante; nel qual caso la soluzione sarebbe ancora più semplice.
***
La mia soluzione, però mi sembra forse un po' "troppo semplice"; il che mi fa dubitare che sia corrispondente a quella ufficiale, la quale, magari, è un tantino più complicata!
***
Tuttavia, sinceramente, a me sembra che la mia soluzione, anche se fosse diversa da quella "ufficiale", dovrebbe comunque risultare abbastanza valida.
O no?
E, se no, perchè?
***
Un saluto!
***

[iano]

@Eutidemo.
Non hai detto come sono stati assegnati gli appezzamenti.
Ma questo non è un problema in effetti.
Non si richiede che gli appezzamenti vengano assegnati.
Si dice solo che non possono essere assegnati a sorte, per fuorviare.
All'inizio del racconto lo vedono insieme.
Come hanno fatto a stabilire di averlo visto insieme?
È un altra stranezza.
Scavavano, ma non hanno scavato il diamante, perché sennò uno lo avrebbe trovato per primo.
Non lo hanno scavato e quindi era di chi lo aveva visto per primo.

[anthonyi]

A me sembra che una soluzione possibile sia definire un punto centrale, a partire dal quale ogni nano inizierà a scavare prendendosi un angolo di 120 gradi definito dalla sua posizione rispetto agli altri, posizione quindi scelta da ciascuno, e senza estrazione a sorte.

[iano]

A me sembra che una soluzione possibile sia definire un punto centrale, a partire dal quale ogni nano inizierà a scavare prendendosi un angolo di 120 gradi definito dalla sua posizione rispetto agli altri, posizione quindi scelta da ciascuno, e senza estrazione a sorte.

Ma così chi prende posizione per primo di fatto ha scelto il suo appezzamento, e gli altri no.
Si richiede una divisione per tre, ma non si richiede esplicitamente che ogni parte venga assegnata, lo si lascia solo intendere.
La divisione va' comunque fatta e se il terreno fosse un cerchio o un triangolo equilatero la tua divisione è corretta.
In definitiva il diamante è di chi lo trova.
Tutte le altre informazioni servono a depistare.
Si dovrà' fare una divisione perché il problema lo richiede, ma nessuna assegnazione, quindi la sorte non viene chiamata in causa per assegnarlo.
Di fatto è stato il temporale a risolvere il problema.
A meno che dire che il diamante è di chi lo trova equivalga a tiralo a sorte, ciò che sarebbe proibito.
Ma anche questo non è un problema.

Il diamante sarà di chiunque scavando da quelle parti lo veda per primo.
I diamanti non sono di "chili" li vede?
Ma mi auguro che la soluzione non stia nei nomi dei nani.😂
A meno che, dire che i diamanti siano di chi li vede non equivalga ad una estrazione a sorte, e quindi la soluzione unica possibile e' che il diamante è di tutti, e chiunque lo trovi deve consegnarlo al capo villaggio.
Quindi non è neanche di chi lo vede per primo.
Il problema è un non problema.
La legge dei nani proibisce la proprietà privata.

[Phil]

Secondo me, il «come fare la divisione»(cit.) si riferisce al come "dividere" i nani fra gli appezzamenti che essi hanno già fatto, supponendo che con «decidono allora  di dividere in tre parti il terreno»(cit.) significhi che lo dividono, ma non sanno poi come abbinarsi a ciascun appezzamento, dato che ciascuno vuole scegliere per primo. Per decidere l'ordine di scelta, senza coinvolgere la sorte, basterebbe concordare una prova fisica (chi lancia un masso più lontano, chi salta più in alto, etc.) e attenersi all'ordine del "podio".
Se, una volta stabilito l'ordine fra i nani, si trattasse di dividere il terreno in parti uguali, senza conoscerne forma ed estensione, proporrei di tralasciare la geometria e di dare in sequenza un "colpo di pala" a testa (non sulla testa, alla Caino), e chi si ritrova il diamante nella pala lo tiene (supponendo che le pale siano uguali, così che ognuno possa potenzialmente scavare 1/3 del terreno totale dando un 1/3 delle palate necessarie totali).

[Eutidemo]

Cosa c'è che non va nella mia ipotesi di soluzione?

[Alexander]

Buongiorno a tutti


I nani sono notoriamente sospettosi e malfidenti.  Questo il problema non lo spiega, ma lo si deduce dal fatto che , per portare il diamante in superficie dal fondo della miniera, fanno a turno affinché "nessuno si consideri il padrone". Pertanto questo esclude la possibilità che si possano rivolgere ad una persona esterna al trio perché attui la divisione del terreno per conto loro. Probabilmente sospettano che la persona eventualmente scelta favorisca qualcuno "più amico". Così , essendo appunto malfidenti, ognuno proporrebbe una persona diversa. Il diamante penso venga "visto nello stesso momento",  perché tutti e tre probabilmente osservavano il crollo delle pietre che lo nascondevano e che stavano picconando. Sembra sia già un miracolo che decidano insieme di dividere il terreno in tre parti. C'è uno sforzo dei tre per arrivare a una soluzione, nonostante tutti i limiti . Questa è la decisione e penso ci si debba attenere a questa per cercare di risolvere il dilemma (questo esclude l'idea di Iano :"Iniziano a scavare insieme in un stesso appezzamento e poi insieme si spostano negli altri"). D'altronde si erano già trovati d'accordo nel fare a turno per portarlo in superficie. In tutte e due le decisione non si avvantaggia nessuno infatti. Però scegliere per primo è indubbiamente un bel vantaggio. Nessuno dei tre sa se qualcuno ricorda "di più"e magari furbescamente lo nasconde, suppongo. La soluzione potrebbe girare intorno a quel "fare a turno"? I nani usano spesso "fare a turno" (anche nella famosa fiaba di Biancaneve i sette nani fanno a turno per entrare nel letto di lei  ). Non viene detto nemmeno come fosse il terreno, se non che si tratta di "un terreno sicuro" e quindi l'ipotesi di Eutidemo mi sembra sia un po' "arbitraria", visto che presume di sapere la forma dello stesso. Non so. Anche fare una prova, magari di tipo fisico, come propone Phil, avvantaggia, in un modo o nell'altro qualcuno dei tre, a seconda del tipo di prova scelta. I tre lavorano insieme e si conoscono bene, presumo. Pensiamoci ancora un po'...C'è quel "fare a turno" che mi ronza fastidiosamente in testa.

[Eutidemo]

Ciao Alexander
Nel problema in questione non vengono minimamente precisate quali fossero:
- le dimensioni del diamante;
- le dimensioni del terreno;
- la forma geometrica del terreno.
Per cui, secondo me, non solo è "lecito", ma, anzi, direi che è senz'altro "necessario" "presumere" da noi tali dati; ed infatti non si può alcun modo dividere in parti uguali una forma geometrica sconosciuta.
E, poichè ci viene lasciata libera scelta al riguardo, io scelgo le dimensioni e la forma che sono le più idonee per risolvere il problema!
***
Pertanto, o si riformula il problema in modo più circostanziato, precisando quali fossero:
- le dimensioni del diamante;
- le dimensioni del terreno;
- la forma geometrica del terreno;
oppure non vedo proprio per quale ragione la mia soluzione non dovrebbe risultare valida.
***
Un saluto!
***

[iano]

Come fare la divisione, considerando che non è possibile tirare a sorte e che tutti e tre vogliono decidere per primi quale parte scegliere, per non dare alcun vantaggio?

La divisione in tre del terreno non è un problema in se'.
Qualunque sia la sua forma saranno possibili diversi modi di dividerlo in tre parti uguali.
Qualunque divisione scelta non penalizza alcuno.
Mettersi d'accordo su quale scegliere non dovrebbe essere dunque un problema.
Ma la frase che ho postato sembrerebbe suggerire che esista almeno un modo fra quelli possibili che risolva il problema dell'assegnazione senza ricorrere alla sorte.
Non  mi sembra però  una strada praticabile, e quindi la frase postata è volutamente fuorviante.
Cerca cioè di sviarci dall comprendere quale sia il vero problema posto.
Ogni nano vuole scegliere per primo, ma tu sottolinei che la chiave della soluzione è quel fare a turno.
La soluzione sarebbe quindi che tutti scegliessero " per primi a turno".
La precedente frase sembra essere  paradossale, a meno che non si escogiti una procedura che , senza chiamare in causa la sorte, gli dia un senso.
Questa procedura , come i nani stessi ci suggeriscono, deve somigliare a quella da loro adottata nel portare su il diamante dalla miniera.
Tutti e tre i nani faranno la scelta per primi, ma nessuno la farà per secondo.
Quindi la faranno contemporaneamente.
Ma l'essere contemporanee comporta che la scelta fatta da ognuno non influenzi la scelta altrui.
Ciò che equivale ad aprire tre bigliettini scritti senza farsi vedere dagli altri con la propria scelta.
Se ognuno ha scelto un terreno diverso l'assegnazione è fatta.
Diversamente si va' avanti finché l'evento risolutore non si verifichi.
Rimane però un problema.
Se l'evento non si verifica alla prima scelta , e i nani nelle successive confermano la loro prima scelta, allora non si arriva mai alla soluzione.
Se questo ragionamento fila il nostro problema si trasforma nel seguente.
Dopo che i nani hanno fatto liberamente a turno la loro prima scelta,,se l'assegnazione non va' in porto, in che modo le loro successive scelte devono essere condizionate di modo che con certezza, cioè dopo un numero massimo determinato di prove, si arrivi all'assegnazione per ogni nano di un diverso terreno?
Le condizioni ovviamente vanno decise prima di fare ogni scelta.
Quindi tutti partono alla pari e hanno pari chance, affidandosi ognuno alla sua scelta, e nessuno alla sorte.

[iano]

Ma forse non occorre neanche condizionare le scelte successive.
Supponiamo di decidere di non fare più di tre prove.
Se nessuna di esse è risolutiva, avendo a disposizione una matrice 3x3, si può decidere, come condizione posta a priori, un calcolo della matrice il cui risultato equivalga all'assegnazione dei terreni.
In effetti credo ci si possa sbizzarrire nel decidere opportune condizioni a priori.
Fatevi avanti , o voi , matematici.😄
Anzi, mi correggo.
Ad ogni prova ogni nano dovrà cambiare scelta. Questa è la condizione.
Ma le prove non saranno più di tre, e l'assegnazione la si calcola sulla matrice.
Infatti avendo una matrice con tutte identiche scelte non ne ricaveremmo nulla.
Anzi ancora. Tagliamo la testa al toro.
I nani aprono contemporaneamente tre bigliettini con tutte e tre le diverse opzioni , ma poste in ordine di preferenza.
Se nessuna delle tre righe nell'ordine di preferenza contiene una soluzione assegnataria possibile, si procede al calcolo matriciale.
Posseggo una mirabile soluzione su quale calcolo adottare, ma non mi basta il margine del foglio per scriverla.
Vostro Fermat. 😂

[Alexander]

Buongiorno a tutti


In effetti il testo del problema appare molto lacunoso. Ha ragione Eutidemo. Forse è per questo che, almeno da quel che si sa, nessuno è riuscito ancora a risolverlo. Aspetto la soluzione "boccaccesca" della quale ha scritto Viator. Secondo me bisogna abbinare la turnazione ai tre appezzamenti di terreno. I tre nani dovrebbero scavare a turno in ogni appezzamento? Così però non avrebbe molto senso la divisione del terreno. Infatti potrebbero vangare a caso nel terreno rispettando il turno. Ma come decidere chi inizia la turnazione? Il problema da risolvere sta lì, mi sembra.

[Eutidemo]

Ciao Alexander
Come ho già detto, io insisto nel pensare che il "trucco" dell'indovinello consista proprio nel fatto che non ci viene indicata nè la dimensione del diamante, nè la dimensione e la "forma geometrica" del terreno; ci viene fornito solo un piccolo "aiutino" in tal senso, dicendoci che:
- il diamante è "grosso";
- i nani (ovviamente) sono "piccoli".

***
Tale "aiutino", secondo me, vuole appunto indurci a capire che il minuscolo terreno (a portata dei nani) ha una forma rettangolare molto lunga e molto stretta, la cui larghezza corrisponde a quella del diamante sepolto; per cui, dividendo "per lungo" tale terreno in parti uguali, e cominciando tutti e tre a scavare contemporaneamente nel punto che preferiscono del loro appezzamento, nessuno di essi sarebbe avvantaggiato nella ricerca del diamante.
Il mio disegno dovrebbe risultare abbastanza esplicativo anche "figurativamente".
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Non c'è nessun bisogno:
- nè di decidere quale appezzamento di terreno spetti all'uno a all'altro;
- nè di decidere chi inizia la turnazione.
Ed infatti ogni appezzamento di terreno offre le stesse "chance" degli altri due di trovare il diamante, e ciascuno dei tre nani, può cominciare a scavarselo dal punto che preferisce.
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Per cui, quale che sia la "soluzione ufficiale" dell'indovinello, non avendo esso precisato  nè la dimensione del diamante, nè la forma geometrica del terreno, secondo me, la mia soluzione non dovrebbe essere soggetta a contestazioni di carattere logico.
O, quantomeno, non riesco a vedere quali!
Comunque adesso sarebbe il momento che tu finalmente ci dessi la "soluzione ufficiale".
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Un saluto!
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