Il problema dei tre nani

[Alexander]

Buongiorno Iano e tutti



cit.I processi di decisione sono eventi reali in cui non si può escludere mai l'intervento del caso, e ciò che porterà i nani a concordare su una procedura di assegnazione è un evento reale.
A rigore quindi non sembrerebbe esserci una soluzione che escluda la sorte, anche quando non la si invochi volutamente.


Sono d'accordo. I nani non escludono la sorte, ma non possono "tirare la sorte", perché vietato dalla religione nanica (o nanesca).  Non possono cioè determinare attivamente la sorte. Essere soggetti passivi della sorte non è invece vietato dalla loro religione che vieta solo il giocarla, ovviamente. La soluzione del dilemma non può escluderla. Se anche evitano la sorte nella decisione di dividere in tre parti il terreno, è la sorte che lo farà ritrovare ad uno dei tre. E' una riflessione interessante sulla casualità.


cit.Perché nessuno scelga deve presentarsi ai nani una soluzione unica senza alternative.


Non so se il problema ha un'unica soluzione possibile. Di fatto debbono concordare qualcosa. Il concordare qualcosa, senza dare un vantaggio ad uno dei tre, sappiamo essere già stato usato come pratica dai tre nel portare il diamante in superficie. Senza arrivare a concordare qualcosa il problema è irrisolvibile. Anche per decidere, per esempio, di affidarsi a qualcosa/qualcuno di esterno al trio lo debbono per forza concordare.

[sapa]

@iano
Proponendo che «si tratta di concordare una prova in cui nessuno dei tre abbia palesi vantaggi»(autocit.) credo ciò non sia assimilabile ad un tirare a sorte: come nel già citato esempio dei miei due amici con cui decidiamo di vedere chi salta più lontano (o altro...), senza avere a priori un'idea chiara di chi sia il favorito (perché non ci conosciamo come saltatori in lungo o altro), l'esito non ha a che fare con la sorte o il caso, ma con determinate qualità dei concorrenti reciprocamente ignorate, oltre che con variabili del momento (condizione di forma fisica, etc.). In fondo, se l'esito di una gara di salto in lungo (o tiro al bersaglio o altro sport) equivalesse a "tirare a sorte", forse non esisterebbero le olimpiadi o magari rischierei di parteciparci anch'io, se solo la sorte mi fosse propizia.

@sapa
Le "istruzioni" premettono che «tutti e tre vogliono decidere per primi quale parte scegliere»(cit.) per cui plausibilmente Fili e Nili non concorderebbero nell'usare il criterio alfabetico, così come i due più giovani non concorderebbero nello scegliere per anzianità o, nel caso della matrice di iano, i due sfavoriti dalla matrice non concorderebbero nell'utilizzarla (e ci sono poche probabilità, poco più del 22% se non sbaglio, che tutti e tre decidano contemporaneamente di abbinarsi ad appezzamenti differenti, fermo restando che mi sembra il tipo di problema che ha una soluzione "secca", non probabilistica); due nani su tre che si oppongono ad un criterio a loro sfavorevole sono pur sempre la maggioranza e suppongo che i nani colleghi di miniera siano tendenzialmente democratici (anche se effettivamente il testo non si esprime al riguardo, per questo ho citato Caino...).

Ciao Phil, hai ragione, il presupposto è che tutti e 3 i nani vorrebbero decidere per primi in quale parte del terreno scavare, ma poichè sono convinto che sia una condizione irrisolvibile, ho preferito interrogarmi sul motivo che spinge il narratore a indicare i nomi dei 3 nani. Può darsi che sia un indizio irrilevante, ma io ho il difetto di cercare sempre  la strada più semplice. Un saluto.

[Eutidemo]

Questa volta "mi sembra" di aver rispettato i termini della questione: che cosa c'è che non va nella mia seconda ipotesi di soluzione?

[Phil]

Questa volta "mi sembra" di aver rispettato i termini della questione: che cosa c'è che non va nella mia seconda ipotesi di soluzione?

Per una considerazione sui "nani geometri" v. post #19, secondo capoverso.

[Eutidemo]

Ciao Phil.
Scusa, il tuo capoverso mi era sfuggito.
Sulla tua precedente obiezione mi sono detto perfettamente d'accordo; ma su questa assolutamente no!
***
Ed infatti:
1)
Se colui che formula il problema non specifica la forma geometrica del terreno, consente implicitamente al solutore di ipotizzare quella che preferisce.
2)
In ogni caso, in subordine, non è affatto vero che, se un terreno ha una forma irregolare, le caselle (81 o 3 che siano) rischiano di non coprirlo totalmente lasciando fuori dallo scavo gli spazi che "non quadrano" (o eventualmente non "esagonano") nella griglia, ma che potrebbero nondimeno contenere il diamante.
Ed infatti qualsiasi "agrimensore" ti confermerà che, quale che sia la forma di un terreno, anche il più irregolare del mondo, esso può "sempre" essere suddiviso in "particelle esattamente uguali"; le quali, anche disgiuntamente (cioè in modo non contiguo nè limitrofo), possono essere frazionate in "pari misura" tra proprietari diversi.
Ed è sempre stato così, fin dai tempi dell'"actio finium regundorum".
3)
A parte questo, come tu stesso hai giustamente eccepito alla mia precedente soluzione, il terreno non può essere talmente piccolo da doverlo scavare con un cucchiaino; per cui non ci vedo nulla di difficoltoso nel  suddividerlo in 81 caselle.
Comunque lo si può suddividere anche in un numero minore (o maggiore) di caselle, di qualsiasi forma, anche diversa l'una dall'altra, purchè esse siano:
- ciascuna della stessa estensione;
- divisibili in tre gruppi, anch'essi, ovviamente, della stessa estensione complessiva;
- in modo non contiguo o limitrofo.
***
Chiarito quanto sopra, poichè nessuno dei tre nani sa dove è nascosto il diamante, allora occorre fare:
- non una preventiva "divisione in proprietà" del terreno,  già "predelimitata" per ciascun nano;
- bensì una "suddivisione meramente fisica" del terreno, in tre parti uguali, frazionate in più o meno numerose caselle discontinue, senza alcuna preventiva assegnazione a nessuno dei tre nani.
In tal modo, ogni nano ha a disposizione un numero "uguale" e "casuale" di lotti della stessa misura da scavare, uno dopo l'altro; ciascuno dei quali contrassegnato da un numero, e perimetrato da un nastro...ma senza "preventivamente" assegnare "in anticipo" a nessuno quali siano i suoi "lotti".
In tal modo, ciascun nano, senza alcuna necessità di "scegliere"  preventivamente il terzo di sua spettanza, può cominciare a scavare, casella per casella, là dove gli capita, anche "a macchia di leopardo"; purchè, però, contrassegni una per una con il suo nome quelle che ha già  inutilmente scavato, e, una volta terminato il numero di caselle che gli spetta, si fermi e non prosegua a scavare nessuna delle altre.
Chi becca, prima o poi, la casella sotto cui è disposto il diamante, se lo tiene!
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***
Oppure, ancora più semplicemente, potremmo anche dire che i tre nani hanno la facoltà di scavare liberamente là dove vogliono; un quarto nano, però, dall'elicottero, controlla che nessuno dei tre copra con le sue buche più di un terzo del terreno complessivo.
Quando ha raggiunto tale limite, senza trovare il diamante, viene avvisato via radio, e allora deve smettere di scavare.
***
Se hai giocato qualche volta a "battaglia navale", forse ti sarà più facile capire quello che intendo dire; e che "mi sembra" rispettare in pieno i termini del problema, e, tutto sommato, anche risolverlo.
***
Un saluto!
***

[Phil]

@Eutidemo
Sicuramente un terreno, con qualunque forma e qualunque grandezza, può essere diviso in un certo numero di parti con estensione uguale; tuttavia con l'espressione «nani geometri» alludevo non a caso proprio a come, qualora il terreno sia di forma irregolare, tali nani-minatori dovrebbero essere anche un po' geometri (e dotati magari di appositi strumenti di misurazione) per eseguire la giusta divisione.
Non sono certo che questo tipo di problemi consenta solitamente colpi di fantasia (come il nano in elicottero) o di personalizzare ad hoc e a piacimento le informazioni mancanti (come la forma del terreno), o forse è invece proprio per questo che la soluzione tarda ad arrivare (fra i nani minatori-geometri e i nani che danno un colpo di pala a testa, nel mio piccolo, mi sembra più verosimile la seconda).

[Alexander]

Buon sabato a tutti



I nani ragionano da nani, mentre noi da esseri umani, per questo ci portano fuori strada.  Sappiamo che la turnazione ha permesso di portare in superficie il diamante senza che nessuno se ne senta il padrone. Il problema non dice come abbiano deciso, senza tirare a sorte, chi doveva portarlo per primo. Chi cioè ha dato inizio alla turnazione. La decisione al momento , non avendo ancora stabilito cosa farsene del diamante, non comportava infatti vantaggio per nessuno dei tre. Adesso si trovano nell'impasse di decidere ed escogitano una soluzione "nanesca", visto che ognuno teme di dare un vantaggio se non può scegliere per primo e sono discordi sul cosa fare del diamante.
Si fanno allora portare tre grossi contenitori della stessa misura. Poi si incappucciano nello stesso momento (Fili --> Chili-->Nili---> Fili). Resisi ciechi iniziano a scavare la superficie del  terreno a turno, iniziando da chi toccava dopo l'ultimo che aveva portato il diamante in superficie, continuando così la turnazione della sera prima. Un colpo di pala a turno alla volta e portano il terreno nei tre grossi contenitori, dividendolo in tre. I nani ragionano da nani minatori: un appezzamento non è una misura estesa e delimitata, ma una quantità di terreno (un pezzo). Ottenuta la divisione della superficie del terreno in tre parti uguali e toltisi i cappucci, iniziano a turno a scavare nei contenitori, continuando la turnazione solita (inizia chi tocca dopo l'ultimo che ha ultimato la divisione del terreno portandolo nei contenitori). Ogni nano scava una palata alla volta, un contenitore a turno alla volta , iniziando dall'ultimo che hanno riempito (procedimento inverso). Chi trova il diamante per primo, diventa l'unico proprietario.


Appezzamento ha come sinonimi anche: terreno- terra- pezzo. I nani hanno diviso il terreno in tre parti uguali. Ognuno ha la stessa misura di terreno da scavare. Il termine "appezzamento" che ho usato per ingarbugliare il dilemma non è del tutto proprio, ma se scrivevo "tre parti" la soluzione era troppo semplice. Essendo però un problema da me ideato dovrò eventualmente modificarlo per renderlo più corretto nella terminologia. Penso che inserirò al posto di "appezzamento" un sinonimo come "pezzo".Si accettano suggerimenti.
Anche la soluzione da me ideata è open e quindi aperta a eventuali critiche, rilevamento di contraddizion eventuali con il testo " beta", ecc.
Vi ringrazio per le risposte e il tempo perso sopra.

[Phil]

Ricapitolando le mie perplessità:
- se, come indicato nel testo, «tutti e tre vogliono decidere per primi quale parte scegliere»(cit.), difficile supporre che tutti concordino nel seguire l'ordine del passa-mano fatto per portare il diamante fuori dalla caverna: i due nani che sanno che non decideranno per primi (e vorrebbero invece farlo) non concorderebbero con la proposta di seguire l'ordine del passa-mano (e, come detto, due nani su tre, sono una maggioranza)
- non sapendo le dimensioni del terreno, che potrebbero quindi anche essere molto estese, non è intuitivo pensare di poterlo dividere adeguatamente in tre contenitori: fino a che profondità si scava? come gestire tre contenitori potenzialmente enormi (sapendo che per un nano è facile che qualcosa sia «enorme»)?
- la procedura del bendaggio (che richiederebbe molta fiducia reciproca sul non alzare la benda), poi travaso e rinvaso, forse è superflua: senza spostare un quantità ignota (enorme o minuscola che sia) di terra, basta dare una palata a testa direttamente sul campo e questo verrà man mano scavato in tre parti uguali: dopo 3 palate, ognuno avrà scavato circa la stessa quantità di terra, quando saranno state date 99 palate, ognuno ne avrà date 33, etc. Per risolvere l'enigma dell'ordine di scavo, basta avere tre pale uguali e dare i colpi di pala simultaneamente (nascerebbe tuttavia un problema se due nani volessero scavare sullo stesso punto, forse risolvibile "premiando" il nano che ha dato l'ultimo colpo di pala più vicino al punto conteso; se il punto conteso è invece quello della prima palata, allora forse torna utile seguire l'ordine del passa-mano, se proprio non si vuole fare un duello nanesco di competizione fisica o di abilità).

P.s.
Nel testo "beta", eviterei la ripetizione di quei «decidono di...» (che mi ha tratto in inganno) ed aggiungerei, se si vuole tenere la tua soluzione, qualche informazione o allusione che lasci intendere che la terra da scavare non è molta (così da rendere plausibile l'idea di dividerla in tre contenitori).
Grazie a te per l'indovinello.

[viator]

Salve alexander. Citando : "......visto che ognuno teme di dare un vantaggio se non può scegliere per primo e sono discordi sul cosa fare del diamante.".

Vedi che a pensar male si fa peccato ma.............. Sin dall'esordio io avevo parlato di "poveri" (perchè privi di diamanti)......"piccoli" (perchè nani)...........imbecilli (perchè privi di elementare buonsenso)..........ed ora devo pure ribadire "incoerenti egoisti" (perchè all'inizio avrebbero voluto donare i proventi della vendita del diamante, imbecillescamente smarrito perchè interrato di notte in luogo "sicuro".......mentre ora ciascuno di loro si rintana nel più infantilmente ridicolo dei capricci.............).


Quando - sempre all'inizio - affermavo di di conoscere questo quesito-paradosso-dilemma, non intendevo certo riferirmi alla sua "soluzione" o "risposta", le quali non possono esistere in via logica.



Intendevo invece appunto sottolineare la mia conoscenza (constatazione) della intrinseca assurdità del voler raccontare una favola inverosimile, completamente fantasiosa, piena di contraddizioni logiche...........................per poi sottoporla alla ricerca di un suo impossibile esito logico. Comunque auguri e saluti.

[Alexander]

Buongiorno Phil


Quando riflettevo sui vostri interventi notavo le debolezze del testo, che ho veramente buttato giù di getto. "Appezzamento" non era un termine del tutto corretto (anche se non del tutto sbagliato) e poteva trarre un inganno. Giusta la tua osservazione sul fatto che avrei dovuto spiegare che il diamante non poteva essere sepolto in profondità e che la terra da scavare non era molta. Manca infatti una descrizione del terreno (ritenuto semplicemente " sicuro"). E' la prima volta che scrivo una cosa simile e mi accorgo che non è facile per niente. Mentre lo scrivevo avevo voglia di fare qualcosa di irrisolvibile (e probabilmente  lo sarebbe stando ai termini del testo beta) per giocarvi un tiro mancino. Poi però ho cominciato anch'io, visto l'interesse suscitato a cercare di scovare una soluzione plausibile. Ed è stato interessante farlo. La soluzione si regge abbastanza, ma non del tutto, come hai fatto notare. Forse modificando il testo del problema si reggerebbe meglio.


Buon pomeriggio anche a Viator


Mi spiace che il problema non sia stato interessante per te. Non è molto semplice ideare qualcosa. L'immaginazione e la fantasia sono necessarie, per non seguitare sempre a risolvere problemi o paradossi famosi su cui si sonno scervellati grandi pensatori. Apprezza almeno l'umiltà con cui l'ho proposto, consapevole dei suoi limiti.

[viator]

Salve alexander. Ma ci mancherebbe altro. La fantasia è strumento fecondo e prodigioso, del quale io ad esempio mi sento particolarmente privo (l'altra mia grande carenza - ma l'elenco sarebbe sterminato - sarebbe poi anche la sensibilità artistica).

D'altra parte (o appunto ?) esistono tematiche ed angolazioni a me care le quali invece non interesseranno mai te o molti altri.

Le mie sono state solo opinioni relative all'argomento, non alla persona. Stammi bene.

[iano]

L'idea di base è geniale, Alexander.
Ma svilupparla non era per nulla facile.
Anche la soluzione "a turno" zoppica parecchio.
Non mi quadrava, come ho fatto notare, che nessun nano si considerasse padrone perché lo avevano portato a turno.
Mi sarei aspettato che lo avessero portato insieme, e che la soluzione fosse quindi contemporaneamente .
Quindi ho proposto che tutti e tre decidessero per primi, quindi nessuno per secondo, quindi contemporaneamente.
Così invece che con la soluzione del problema , adesso ci troviamo con due problemi.
Uno è quello di dare una veste coerente alla formulazione del tuo, perché merita di averla.
L'altro, se volete , è quello di risolvere il problema della matrice che io avevo proposto come soluzione.
La tua idea di base comunque è ottima.
Divedere un qualcosa che tutti intenderanno come una divisione geometrica, mentre la soluzione è dividerlo fisicamente.
Abbandonerei l'idea del terreno e dei nani. Occorre qualcos'altro.
Ma cosa? Pensiamoci.
Comunque bravo.


Col senno di poi la divisione geometrica non poteva essere risolutiva con certezza, quindi da scartare.
C'è infatti sempre la possibilità che il diamante si trovi sulle linee di confine decise, comunque vengano decise.


Adesso però risolvimi tu il problema della matrice, così impari.😅

[Eutidemo]

Ciao Phil
Guarda che nello stesso indovinello viene chiaramente precisato che i tre nani hanno deciso  di "dividersi" il terreno, così che "ognuno abbia un appezzamento della stessa misura da scavare"; per cui non mi sono affatto inventato io che i nani siano in grado di fare una cosa del genere.
E, se lo fanno nel modo che dico io, secondo me il problema è oggettivamente risolto!
***
Un saluto!
***

[iano]

Ciao Eutidemo.
Ma che differenza fa' fra dividere in 3, 9, oppure 81?
Secondo tue ammissioni tu non conosci la matematica, ma questo ovviamente non ti impedisce di intuirla.
Infatti quello che hai intuito è il calcolo integrale che consiste appunto nel dividere una forma nota qualsiasi secondo una griglia a maglie sempre più fitte con un errore che si riduce all'infittirsi delle maglie, annullandosi all'infinito.
Per questo avevo affermato che qualunque sia la forma del terreno è sempre possibile dividerla in tre parti uguali.
Sul come procedere esattamente nel calcolo non saprei per miei limiti, avendo aggiunto il mio intuito al tuo.
Però mi sembra evidente che, se posso calcolare esattamente l'area di qualunque forma posso anche dividerla esattamente per tre.
Ma rimane sempre la possibilità che, una volta fatta la divisione, il diamante lo si trovi poi su una linea di confine , e questo avrebbe dovuto metterci sull'avviso che una divisione geometrica non fosse la giusta soluzione.

[Eutidemo]

Ciao Iano.
La mia soluzione consiste nel "dividere idealmente" il terreno in 3, 9, oppure 81 parti, ma evitando accuratamente di attribuire preventivamente le parti divise in "proprietà specifica" dell'uno o dell'altro.
Per dirla giuridicamente, cioè, la divisione avviene per "quote ideali" dell'intero, e non per "parti specifiche"; cioè, un po' come nella comunione legale di un immobile fra tre persone, le quali detengono la "quota percentuale di un terzo" del tutto, ma non le "singole stanze".
In tal modo, non bisogna affatto decidere quali delle 81 particelle (o di meno o di più) appartengono all'uno o all'altro, ma ciascuno comincia a scavare là dove gli capita, finchè non ha consumato la quota di particelle che gli spetta.
Chi per primo, scavando una particella,  trova anche uno solo spigolo del diamante, il diamante è suo, anche se si trova sulla linea di confine di un'altra particella; non essendo la proprietà suddivisa in parti specifiche, infatti, la cosa non ha la benchè minima rilevanza.
***
A dire il vero, nella casistica giuridica del cosiddetto "ritrovamento del tesoro" in un terreno comune, qualcosa del genere si è già verificato nella realtà; ed è stato risolto nel modo da me sopra descritto.
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Un saluto
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