Il paradosso dell'area del quadrato

[Eutidemo]

Mi dovete scusare, ma il "demone della matematica", in compagnia del "demone della geometria", debbono recentemente avermi "invasato"; forse perchè in gioventù li avevo trascurati troppo.

Così, questa notte, nel dormiveglia, mi hanno tormentato con un (presunto) "paradosso dell'area del quadrato"; il quale, da sveglio, ho cercato di risolvere razionalmente da solo, ma senza riuscirci.

Per cui adesso io tormento voi, sperando che riusciate a spiegarmi:

- laddove si nasconda l'erronea impostazione del mio ragionamento.

- laddove io abbia sbagliato qualche semplice calcolo.

Sempre che abbiate voglia di stare a perderci tempo!

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Consideriamo (beninteso non, materialmente, in "fisica", bensì in "geometria") un quadrato che ha un lato lungo due metri lineari "esatti"; il quale, quindi, come ho imparato alle elementari, avrà un'area di quattro metri quadrati "esatti".

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Ed ora dividiamolo per due, nel modo più semplice possibile; e, cioè, tagliandololo a metà con la "diagonale AC".

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Per ottenere la lunghezza sua "diagonale AC",  che lo taglia in due parti uguali, dobbiamo rifarci al "Teorema di Pitagora";  il quale afferma che in un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (lato opposto all'angolo retto) equivale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti (gli altri due lati del triangolo, che, nel nostro caso, corrispondono a due lati del quadrato).

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Dal "Teorema di Pitagora" possiamo quindi  pervenire alla formula che ci permetterà di calcolare il valore della diagonale del quadrato.

E cioè:

- visto che  AC² = AB² + BC²;

- visto che si tratta di un quadrato, i lati sono tutti congruenti fra loro, dunque AB = BC = lato;

- per cui AC² = lato² + lato² ;

- e pertanto, per ottenere la diagonale AC, basterà calcolare la radice quadrata del quadrato costruito sull'ipotenusa (AC = √(lato² + lato²) = √2lato² = lato√2).

In conclusione, quindi,  giungiamo alla conclusione che la diagonale del quadrato corrisponde anche al lato 2 moltiplicato per la √2.

Cioè: 2 x 1,41(4213562373095...) cioè, "circa" 2,82... metri lineari.

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Ed infatti la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale: 1,41...

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D'altronde, anche la radice quadrata del  quadrato costruito sull'ipotenusa, cioè la radice quadrata di 8 mq, ci dà circa il doppio dello stesso numero irrazionale  di 1,41(4213562373095..,e, cioè, 2,82(842712474619...), che pure è un numero irrazionale.

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Ma io, dai miei ricordi scolastici, sapevo se è nota la misura della diagonale del quadrato, per calcolare l'area del quadrato, si deve elevare la misura della diagonale alla seconda e dividere il risultato per 2, secondo la nota formula matematica: cioè, 2,82 x 2,82 = 7,95 :2 = 3,97 (tutto "I")

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Abbiamo così un "risultato paradossale", e, cioè, che avendo a disposizione un quadrato (geometrico) di due metri lineari "esatti" di lato:
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a)

Se moltiplichiamo lato per lato, otterremo che il quadrato avrà un'area di 4,00 metri quadrati "esatti".
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b)

Se, invece, basandoci sugli stessi due lati, ricaviamo, per mezzo della loro ipotenusa, la diagonale del quadrato, in base alla formula di cui sopra, otterremo che il quadrato avrà un'area di 3.97 metri quadrati "approssimati".
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Ma mi sembra logicamente "impossibile" che, uno stesso quadrato, abbia nello stesso tempo un'area di 4 mq "precisi", e, nello stesso tempo, anche, un'area 3.97 metri quadrati "approssimati", a seconda che, basandosi sugli stessi due lati, si ricorra a due diverse formule matematiche universalmente accettate come valide per determinare l'area dello stesso identico quadrato.

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Per cui, i casi sono tre:

a)

O io ho sbagliato completamente l'impostazione del mio ragionamento.

b)

O non ho sbagliato completamente l'impostazione del mio ragionamento, ma ho sbagliato qualche calcolo.

c)

Oppure c'è un contrasto tra:

- la formula per calcolare l'area del quadrato moltiplicando la lunghezza di un lato per la lunghezza dell'altro;

- la formula per calcolare l'area del quadrato ricavandolo dalla lunghezza dell'ipotenusa;

- il teorema di Pitagora.

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Ritengo molto più probabili le ipotesi sub a) o b); nel qual caso gradirei molto se qualcuno, molto più esperto di me in matematica, mi spiegasse il mio errore/i.

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[bobmax]

a)
Non sei coerente con i tuoi presupposti iniziali.

Inizi con l'esatto, vai nell'approssimato, e poi prenderesti di tornare nell'esatto!

Ciò è incoerente, l'esatto deriva sempre e comunque dall'esatto. Mai dall'approssimato.

La diagonale è √8. Questo è il valore esatto.

Vuoi l'area?
Elevi √8 al quadrato, dividi per 2

Vuoi tornare ai lati?
Elevi √8 al quadrato, dividi per 2 e fai la radice quadrata.

Se invece approssimi la diagonale, allora pure i lati dovranno necessariamente essere approssimati.

[atomista non pentito]

Devo ricordarmi di evitare di leggere i teoremi di Eutidemo et cetera ( kopfschmerz) tuttavia sono bellissimi ed e' stupendo che una Persona nel dormiveglia abbia questo tipo di stimoli.
Un grande
P.S. Non ci provo neanche  a rispondere , gia' non capisco perché si voglia calcolare l'area di un quadrato non facendolo lato per lato , e non ho mai digerito i quadrati sui cateti.

[Eutidemo]

Ciao Bobmax

Tu scrivi: "La diagonale è √8. Questo è il valore esatto."

Ma non è così, perchè la radice quadrata di 8 è un "numero irrazionale"; e, quindi, è senz'altro un "valore inesatto".

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Elevando al quadrato 2,82 (I), otteniamo 7,95 (I), che, diviso per due, da 3,97 (I).

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Per cui, avendo un quadrato di due metri lineari "esatti" di lato:
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a)

Se moltiplichiamo lato per lato, otterremo che il quadrato avrà un'area di 4,00 metri quadrati "esatti".
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b)

Se, invece, basandoci "sugli stessi identici  due lati di 2 mt esatti", ricaviamo, per mezzo della loro ipotenusa, la diagonale del quadrato, in base alla formula di cui sopra, otterremo che il quadrato avrà un'area di 3.97 metri quadrati "approssimati".

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Per cui non è affatto vero, come tu scrivi che:

- "L'esatto deriva sempre e comunque dall'esatto", perchè, in questo caso, l'"inesatto" (l'ipotenusa) scaturisce matematicamente dall'"esatto" (il lato)

- "Se approssimi la diagonale, allora pure i lati dovranno necessariamente essere approssimati", perchè, in questo caso, ad una diagonale "approssimata", corrispondono dei lati assolutamente "esatti".
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Ed infatti io sono matematicamente pervenuto ad una "diagonale approssimata", partendo da due lati che non sono affatto "approssimati", bensì sono assolutamente "esatti"!

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Detto in altre parole, non sono io che "scelgo di approssimare la diagonale", in quanto "è la diagonale a scaturire automaticamente approssimata" per conto suo; il che si verifica matematicamente, estraendo la radice quadrata del quadrato costruito sull'ipotenusa, ottenuto sommando i quadrati costruiti sui cateti, secondo il teorema di pitagora (cateti che hanno due metri "esatti" di lato).

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Un saluto!

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[bobmax]

√8 è un valore esatto.
È la sua soluzione approssimata che è inesatta.
Infatti è sufficiente utilizzare √8 e non una sua approssimazione.

I numeri irrazionali sono esatti.
Non è mai esatto il loro calcolo.

Anche se non riesci a calcolare esattamente la diagonale, ciò non vuol dire che √2 del lato non sia esatto.

Confondi la pratica con la grammatica.

[Eutidemo]

Ciao Atomista Pentito (di aver letto il mio topic).

Mi dispiace di averti fatto venire il mal di testa -addirittura in tedesco-, leggendo il mio topic; però, come si suol dire "mal comune mezzo gaudio", perchè, scrivendolo, il mal di testa era venuto anche a me!

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Quanto al fatto che una persona nel dormiveglia abbia questo tipo di stimoli (il che è vero, e non una battuta), forse dovrebbe suggerire a tale persona di andare in visita da uno psichiatra; ma da uno veramente bravo!

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Quanto al "grande", forse il tuo è un refuso: una "r" al posto di una "l" (come spesso viene definita la mia testa)

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Ed invero, conoscendo il lato esatto di un quadrato, e, quindi, la sua area esatta con una semplice moltiplicazione (2x2), solo una "testa di glande" come il sottoscritto poteva arrovellarsi a trovare la diagonale del quadrato (approssimata), per ricavarne un'area (approssimata) dello stesso quadrato, diversa da quella esatta.

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Un saluto!

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[Eutidemo]

Ciao Bobmax.

Tu scrivi che "I numeri irrazionali sono esatti"; il che, invece, è assolutamente "inesatto", come potrai riscontrare in qualsiasi libro di matematica.

Ed infatti, considerato che la rappresentazione decimale dei numeri irrazionali è spesso infinita e non può mai essere espressa come un numero finito, ne consegue matematicamente, logicamente e grammaticalmente, che "i numeri irrazionali non sono mai esatti, ma solo approssimati"

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Inoltre, dire che i numeri irrazionali sono esatti, ma non è mai esatto il loro calcolo, è una contraddizione in termini; che non ha alcun senso nè matematico nè logico.

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Tanto più che, poi, ammetti che non è possibile calcolare esattamente la diagonale; il che vuol proprio dire dire che √2 del lato non è esatto, ma solo "approssimato".

Tanto è vero che √2 è utilizzato proprio come esempio per rappresentare il simbolo "circa".

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Ora devo uscire e torno tardi perchè ceno fuori; quindi spero di non avere altri dormiveglia del genere questa notte, perchè non credo che gli altri commensali mi consentiranno di parlare di questa roba.

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Un saluto

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[bobmax]

È la rappresentazione che è inesatta.
Non il numero in sé.
E, come dico, √2 è esatto.
Solo che non è esprimibile esattamente

[bobmax]

Confondi il calcolo con il concetto.
Così ti ritrovi nell'assurdo, inevitabile, di non poter risalire all'esatto dall'approssimato.

I concetti van tenuti ben fermi.
La logica lo pretende.
In caso contrario non può che nascere la confusione.

[Eutidemo]

Ciao Bobmax

Dire che "è la rappresentazione ad essere inesatta, e non il numero in sè, per cui √2 è esatto", non è logicamente corretto come dire che, nell'Otello di Gassman "è la rappresentazione di Jago effettuata da  Salvo Randone ad essere malvagia, e non Salvo Randone  in sè, per cui Salvo Randone  è buono".

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Ed infatti:

- mentre è possibile distinguere l'attore Salvo Randone dal personaggio (Jago) che lui "rappresenta";

- come diamine è possibile distinguere un numero dalla sua "rappresentazione"?

Non ci riuscirebbe neanche Schopenhauer!

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Il tuo, quindi, per quanto indubbiamente  "elegante" è solo un "artifizio sofistico" privo di qualsiasi efficacia dimostrativa!

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Hai invece perfettamente ragione quando scrivi che "i concetti van tenuti ben fermi, perchè lo pretende la logica; in caso contrario non può che nascere la confusione".

Però è un consiglio che tu dovresti seguire per primo!

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Bada bene che io sono il primo a pensare che, nel mio ragionamento, ci sia qualcosa che non "quadra"; ma non certo per quello che scrivi tu!

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Comunque ti ringrazio per aver provato a chiarirmi le idee; anche se con scarsa fortuna.

Non è colpa tua se i tuoi argomenti non mi convincono affatto; per cui non devi offenderti se dissento da essi in modo così drastico!

Ti rinnovo infatti la mia stima, perchè, di solito, trovo le tue argomentazioni (quasi) sempre molto convincenti!

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Un saluto!

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[bobmax]

Eutidemo, percepisco nei tuoi scritti la buona intenzione, e questo è ciò che davvero conta.

Nessuno eccelle in ogni campo.
I feedback che riceviamo nella vita ci confermano dove meglio riusciamo e dove meno.

La tua capacità di memorizzare e correlare le informazioni, in tanti ambiti, mi ha sempre meravigliato.
Ritengo che tu abbia la rara facoltà di chiarire l'esistente.
Ho però la impressione che questa tua erudizione chiarificatrice diventi a sua volta un ostacolo. E che addirittura ti causi indirettamente sofferenza.

Perché il nostro sapere cattura noi stessi nelle sue spire.
E più queste sono forti e avvolgenti e più ci è difficile uscirne per guardare il tutto dall'esterno.

Donde nasce questa tua ricerca, in ambiti a te ostici, se non dalla insoddisfazione per il tanto che sai?
Non nasce forse dalla percezione di una mancanza importante?

Tuttavia sei ancora troppo aggrappato al tuo sapere.
E così insisti nel distinguere il fenomeno dall'Essere. Confondi l'approssimato col l'esatto.

Questo avviene perché il semplice è coperto da una spessa coltre del complicato.

Non vi è nessun fenomeno che non sia Essere!
Che altro mai sarebbe?

Non è giunto il momento per noi di tirare le somme, e vedere finalmente il trascendente che è sostanza di ogni cosa?
Non dobbiamo forse prepararci per tornare all'Uno?

[iano]

- come diamine è possibile distinguere un numero dalla sua "rappresentazione"?

Non ci riuscirebbe neanche Schopenhauer!

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Platone però c'è riuscito.

[Eutidemo]

Platone però c'è riuscito.

Confesso che questa mi era sfuggita; puoi darmi il riferimento per cortesia?
Cosa ne pensi del mio paradosso del quadrato?

[Eutidemo]

Ciao Bobmax

A parte la mia "rara facoltà di chiarire l'esistente", che mi sembra che tu "sopravvaluti" in modo davvero "eccessivo", per il resto sono pienamente d'accordo su tutto il resto che hai scritto in questo post.

Soprattutto sul fatto che "non vi è nessun fenomeno che non sia (manifestazione transeunte dell') ESSERE", e che per noi "è ormai giunto il momento di tirare le somme, e di prepararci per tornare all'Uno".

Per me non ci manca molto!

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Un saluto!

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[bobmax]

Vedi come insisti?
"Manifestazione transeunte"...
Evidentemente per marcare la differenza.

Molla l'osso che tieni stretto, non vi può essere nessuna reale differenza!
Ci sei solo tu e... Dio.
Finché ci sei.

PS
Qualsiasi numero è esatto.
Per il fatto stesso che è.
L'approssimazione non è nel numero in sé, ma nel suo rapporto con altro.
√2 è esatto.
1,41 è esatto.
√2 = 1,41 è una approssimazione.