Il paradosso dell'area del quadrato

[iano]

Confesso che questa mi era sfuggita; puoi darmi il riferimento per cortesia?
Cosa ne pensi del mio paradosso del quadrato?

Se parlo di Platone è perchè anche un ignorante come, stante la sua popolarità, si illude di conoscerne il pensiero, ma ben mi guardo dal darti riferimenti, perchè per i motivi di cui sopra non ne ho mai dati.
Ma in sostanza credo che il noto ''trucchetto'' che usa Platone di immaginare un mondo delle cose perfette separato dal mondo delle cose perfette, dove le imperfette sono un approssimazione delle perfette, si può ripetere pari pari senza uscire dall'ambito della matematica, cioè restando nelle stesso mondo, laddove diciamo che un numero irrazionale si può imperfettamente rappresentare con un numero razionale, anche detta appunto sua approssimazione.
L'imperfezione sta nel fatto che in questo modo stiamo facendo corrispondere a un numero razionale preciso una possibile infinità di numeri irrazionali, perchè infiniti numeri irrazionali possono parimenti approssimarsi con lo stesso numero razionale.
Un modo più corretto di rappresentare un numero irrazionale è farlo corrispondere a una serie infinita di numeri razionali, così ad esempio pi greco corrisponde alla successione 3-3,1-3,14...etc, laddove erroneamente quell'etc potrebbe equivalere a un lavarsene le mani.
In effetti non è un modo di lavarsene le mani, se io, non indicando l'intera successione dei numeri razionali, perchè essendo infiniti non posso farlo, indichi come fare ad ottenere ogni possibile numero della successione.
E' un modo se vuoi di tentare di far digerire il vituperato infinito, per me più che accettabile,e che consiste nel dare un numero finito di istruzioni per costruire una successione infinita, ma senza costruirla di fatto mai per intero.
Poi tu puoi decidere di tenerti il tuo paradosso dei quadrati, però ho cercato di indicarti così dove meglio devi cercarlo, e devi cercarlo a quanto pare nella madre di tutti i paradossi, che è l'infinito.
Come si fà allora ad ottenere correttamente il quadrato di un numero irrazionale?
Non certo moltiplicando una sua approssimazione per se stessa, ma ottenendo la successione di numeri razionali che lo rappresenta perfettamente (fatto salvo il problematico infinito) a partire dalla successione di numeri razionale da ''moltiplicare per se stessa''.
Sul come farlo esattamente sorvolo, perchè una idea ce l'ho, ma qui è meglio davvero andarsi acerbare i riferimenti per non rischiare di dire castronerie.
Spero comunque che il concetto sia adesso chiaro.

[iano]

Confesso che questa mi era sfuggita; puoi darmi il riferimento per cortesia?
Cosa ne pensi del mio paradosso del quadrato?

Se parlo di Platone è perchè anche un ignorante come, stante la sua popolarità, si illude di conoscerne il pensiero, ma ben mi guardo dal darti riferimenti, perchè per i motivi di cui sopra non ne ho mai dati.
Ma in sostanza credo che il noto ''trucchetto'' che usa Platone di immaginare un mondo delle cose perfette separato dal mondo delle cose perfette, dove le imperfette sono un approssimazione delle perfette, si può ripetere pari pari senza uscire dall'ambito della matematica, cioè restando nelle stesso mondo, laddove diciamo che un numero irrazionale si può imperfettamente rappresentare con un numero razionale, anche detta appunto su approssimazione.
L'imperfezione sta nel fatto che in questo modo stiamo facendo corrispondere a un numero razionale preciso una possibile infinità di numeri irrazionali, perchè infiniti numeri irrazionali possono parimenti approssimarsi con lo stesso numero razionale.
Un modo più corretto di rappresentare un numero irrazionale è farlo corrispondere a una serie infinita di numeri razionali, così ad esempio pi greco corrisponde alla successione 3-3,1-3,14...etc, laddove erroneamente quell'etc potrebbe equivalere a un lavarsene le mani.
In effetti non è un modo di lavarsene le mani, se io, non indicando l'intera successione dei numeri razionali, perchè essendo infiniti non posso farlo, indichi come fare ad ottenere ogni possibile numero della successione.
E' un modo se vuoi di tentare di far digerire il vituperato infinito, per me più che accettabile,e che consiste nel dare un numero finito di istruzioni per costruire una successione infinita, ma senza costruirla di fatto mai per intero.
Poi tu puoi decidere di tenerti il tuuo paradosso dei quadrati, però io ho cercato di indicarti così dove meglio devi cercarlo, cioè dove si origina, e devi cercarlo a quanto pare nella madre di tutti i paradossi, che è l'infinito.
Anche se secondo me tutti i paradossi matematici hanno origine nel credere che il concetto di numero sia fissato, e non in continuo divenire, che è l'errore che ha fatto Pitagora, il quale non accettava i numeri irrazionali per il motivo che, chissà perchè, credeva già di conoscerli tutti i numeri, per cui quello credeva di dover disconoscere.
In sostanza è l'errore di credere che il concetto di numero possa rappresentarsi con un elenco di numeri.

[Eutidemo]

Ciao Iano.

Quello che scrivi è tutto vero; ma, in questo caso, non si tratta di un paradosso dovuto al concetto di "infinito" o agli "infinitesimali" (che sono un'altra cosa), come il paradosso della "Freccia" o quello di "Achille e la tartaruga", bensì di una "contraddizione" tra due formule matematiche che partono entrambi da numeri finiti, limitati e ben definiti: 2 METRI!

***

Ed infatti, avendo un quadrato di due metri lineari "esatti" di lato:

.

a)

Se moltiplichiamo lato per lato, otterremo che il quadrato avrà un'area di 4,00 metri quadrati "esatti".

.

b)

Se, invece, basandoci "sugli stessi identici  due lati di 2 mt esatti", ricaviamo, per mezzo della loro ipotenusa, la diagonale del quadrato, in base alla formula della diagonale alla seconda potenza diviso 2, otterremo che il quadrato avrà un'area di 3.97 metri quadrati "approssimati".

.

***

Il che dovrebbe essere logicamente impossibile!

***

Un saluto!

***

[iano]

Tu scrivi:
''Ma mi sembra logicamente "impossibile" che, uno stesso quadrato, abbia nello stesso tempo un'area di 4 mq "precisi", e, nello stesso tempo, anche, un'area 3.97 metri quadrati "approssimati", a seconda che, basandosi sugli stessi due lati, si ricorra a due diverse formule matematiche universalmente accettate come valide per determinare l'area dello stesso identico quadrato.''

Difficile capirti, ma non mi arrendo.
Un area non è un numero, ma possiamo fare corrispondere un numero ad un area.
Viceversa un numero non è un area, ma possiamo fare corrispondere un area a un numero.
Chiamiamola operazione di corrispondenza.
Non sempre in matematica un operazione ammette il suo inverso.
Ad esempio l'operazione 0/4=0 non ammette inverso, perchè 4/0=?.
Radice di due= Pippo, dove Pippo è un numero preciso, o se preferisci esatto, irrazionale.
Questa operazione ammette l'inverso.
Pippo al quadrato= 2.
La domanda che capirei e che mi aspetterei è: come faccio a svolgere in colonna una operazione per la quale dovrei scrivere infinite cifre?

Possiamo anche fare corrispondere un numero ad un altro numero, e chiamare questa, se vogliamo ''operazione di approssimazione'', ma la corrispondenza fra numeri non ha nulla di aprrosimmato.
Posso fare anche una corrispondenza fra numeri razionali e irrazionali facendo corrispondere a un numero irrazionale un numero razionale, ma questa operazione non ammette l'inverso, perchè ad un numero razionale corrispondono infiniti numeri irrazionali.
Posso chiamarla operazione di approssimazione, perchè posso chiamarla come mi pare, ma non essendo ammessa l'operazione inversa, non posso risalire dal numero corrispondente al numero di partenza, perchè per poterlo fare dovrei avere una corrispondenza, come dicono i matematici, biunivoca.

.

Ad un area corrisponde un numero, ma a un numero corrispondono infinite aree, per cui a partire dall'area posso risalire al numero, ma a partire dal numero non posso risalire all'area, perchè non vi è una corrispondenza biunivoca fra numeri e aree.

[iano]

Il vero problema nello studio della matematica è che chi la studia, non essendo una tabula rasa, avrà difficolta a capire, se ciò che è scritto nel libro di matematica non corrisponde a ciò che è scritto nella sua tabula.
In altri termini la confidenza che abbiamo con la matematica non ci aiuta a capirla quando vogliamo approfondirla.
Non riusciamo a risolvere un problema per il motivo che a volte non ci è chiaro il problema, ma credendo invece di averlo chiaro entriamo in un circolo vizioso dal quale è difficile uscire.
Noi pensiamo di dover capire la matematica, e invece dobbiamo riscrivere la tabula.
Così quando l'operazione và a buon fine, partiamo per risolvere un problema risolvendone un altro.
All'inizio il problema sembra essere quello di approfondire la corrispondenza fra tabula e matematica, finché non ci arrendiamo a riscrivere la tabula, non perchè la tabula abbia qualcosa di sbagliato, ma perchè essa stessa è il risultato di continue riscritture.
Di certo non aiuta difendere la tabula come difenderemmo la nostra reputazione.
Meglio non concentrasi su ciò che è scritto nella tabula, identificandoci con lo scritto, ma sul come come e perchè essa venga ogni volta riscritta.
Quella dei numeri irrazionali è stata una riscrittura notevole, ma forse partire da quella riscrittura non aiuta.
Forse all'inizio è più facile capire non come i numeri irrazionali siano stati ammessi nel club dei numeri, ma come ad esempio vi sia stato ammesso l'uno, perchè nessun numero viene ammesso per diritto di nascita, e l'uno ha dovuto faticare per essere ammesso.
Il tuo stesso esempio tradisce ciò, se mi permetti.
Tu non sei partito dall'esempio più semplice possibile, un quadrato di lato uno, ma un quadrato di lato due, perchè evidentemente per te due è ''più numero'' di uno.
Confessati. per te, two is medius che one.
L'uno lo sopporti, ma non lo vedi di buon occhio, non ne parliamo poi dello zero.
Ma proprio questa è la storia della matematica la storia della fatica che hanno fatto i numeri ad essere ammessi in un club esclusivo, ma che di esclusivo non ha invece nulla, perchè  fà fare lunghissime anticamere, ma alla fine ammette tutti.

Perchè non riesco a capirti?
Perchè la riscrittura della mia tabula è andata avanti, e non riesco più quindi a confrontarla con la tua, immagino, se non in parte.
Il problema fondamentale è che la nostra percezione è legata a ciò che è scritto sulla nostra tabula, quindi se la vuoi riscrivere devi provare a distaccarti dalla tua percezione particolare.
Ma prima devi capire che il problema non è capire la matematica, ma riscrivere la tabula.

[baylham]

La prima risposta di bobmax è chiara e ineccepibile dal punto di vista matematico.
La diagonale del quadrato è pari a √8 o 2√2, un numero irrazionale. Se sostituisci questo numero con un qualunque numero decimale è ovvio che non otterrai esattamente l'area di partenza. Matematicamente non c'è alcuna contraddizione.

[iano]

La prima risposta di bobmax è chiara e ineccepibile dal punto di vista matematico.
La diagonale del quadrato è pari a √8 o 2√2, un numero irrazionale. Se sostituisci questo numero con un qualunque numero decimale è ovvio che non otterrai esattamente l'area di partenza. Matematicamente non c'è alcuna contraddizione.

Esatto.
Non puoi risalire con operazione inversa al numero da cui sei partito, se sostituisci il risultato dell'operazione con un numero diverso.
Se ad esempio sostituisci pi greco con treequattordici, perchè in matematica, diversamente dalla vita reale non si accettano compromessi.
Due cose sono completamente uguali, o completamente diverse, senza vie di mezzo.

[Eutidemo]

Ciao Iano.

Anche io non riesco a capirti, ma, sicuramente, non per colpa tua, bensì:

- a causa della mia "ignoranza" in matematica e geometria;

- a causa del mio "scarso quoziente intellettivo" in matematica e geometria.

***

Ed infatti io non riesco assolutamente a comprendere come sia possibile che:

- partendo dagli stessi dati (cioè un quadrato con un metro per lato, e con una diagonale ricavata da due suoi lati col teorema di Pitagora);

- applicando, a tali dati, due formule matematiche universalmente riconosciute come valide (lato per lato, e ipotenusa al quadrato diviso due);

si possano ottenere due quadrati di area diversa, una delle quali esatta (4 mq), e l'altro di area solo approssimata (3,97 mq).

***

E non riesco neanche a capire perchè gli altri intervenuti non rilevino in alcun modo tale (per me) evidente incongruità!

***

Ed infatti:

.

1)

Sono perfettamente d'accordo con te che "possiamo", anzi, "dobbiamo" fare corrispondere un area ad un "numero", il quale ce ne dà la" misura".

Ma, secondo me, ad una "stessa area" non possono corrispondere due "numeri diversi", cioè due "misure diverse"; perchè ciò vorrebbe dire che "un'area è diversa da se stessa".

Il che andrebbe contro il "principio di non contraddizione"!

.

2)

Poi tu scrivi: "Radice di due= Pippo, dove Pippo è un numero preciso, o se preferisci esatto, irrazionale. Questa operazione ammette l'inverso. Pippo al quadrato= 2,00"

Ma Pippo non è affatto un "numero preciso", che moltiplicato per se stesso dia 2,00!

Ed infatti a me non risulta affatto che la radice quadrata di due, cioè 1,41...("approssimato") moltiplicata per due sia uguale a 2,00 ("esatto"); bensì a me pare che corrisponda ad 1,98...("approssimato"); il quale è un numero che "si approssima" molto a 2,00, ma, tuttavia, non è 2,00.

E' solo "circa" 2,00!

***

Il che, a mio parere, è una cosa molto diversa!

***

.

3)

Ed infatti, poi, tu stesso giustamente scrivi: "Posso chiamarla operazione di approssimazione, perchè posso chiamarla come mi pare, ma non essendo ammessa l'operazione inversa, non posso risalire dal numero corrispondente al numero di partenza, perchè per poterlo fare dovrei avere una corrispondenza, come dicono i matematici, biunivoca."

Per cui, tu stesso ammetti che la radice di due non è affatto un numero "preciso", o se preferisci "esatto", perchè tale operazione NON ammette l'inverso; ed infatti Pippo al quadrato non dà affatto 2.00 ("esatto"), bensì 1,98...("approssimato").

.

***

Da tutto ciò, a me pare che tu, sia pure implicitamente e involontariamente, non fai che confermare il mio "paradosso"; ma, come ho scritto in premessa, probabilmente sono io che continuo a non capire.

Perdonami!

***

Un saluto!

***

-

[Eutidemo]

Il vero problema nello studio della matematica è che chi la studia, non essendo una tabula rasa, avrà difficolta a capire, se ciò che è scritto nel libro di matematica non corrisponde a ciò che è scritto nella sua tabula.
In altri termini la confidenza che abbiamo con la matematica non ci aiuta a capirla quando vogliamo approfondirla.
Non riusciamo a risolvere un problema per il motivo che a volte non ci è chiaro il problema, ma credendo invece di averlo chiaro entriamo in un circolo vizioso dal quale è difficile uscire.
Noi pensiamo di dover capire la matematica, e invece dobbiamo riscrivere la tabula.
Così quando l'operazione và a buon fine, partiamo per risolvere un problema risolvendone un altro.
All'inizio il problema sembra essere quello di approfondire la corrispondenza fra tabula e matematica, finché non ci arrendiamo a riscrivere la tabula, non perchè la tabula abbia qualcosa di sbagliato, ma perchè essa stessa è il risultato di continue riscritture.
Di certo non aiuta difendere la tabula come difenderemmo la nostra reputazione.
Meglio non concentrasi su ciò che è scritto nella tabula, identificandoci con lo scritto, ma sul come come e perchè essa venga ogni volta riscritta.
Quella dei numeri irrazionali è stata una riscrittura notevole, ma forse partire da quella riscrittura non aiuta.
Forse all'inizio è più facile capire non come i numeri irrazionali siano stati ammessi nel club dei numeri, ma come ad esempio vi sia stato ammesso l'uno, perchè nessun numero viene ammesso per diritto di nascita, e l'uno ha dovuto faticare per essere ammesso.
Il tuo stesso esempio tradisce ciò, se mi permetti.
Tu non sei partito dall'esempio più semplice possibile, un quadrato di lato uno, ma un quadrato di lato due, perchè evidentemente per te due è ''più numero'' di uno.
Confessati. per te, two is medius che one.
L'uno lo sopporti, ma non lo vedi di buon occhio, non ne parliamo poi dello zero.
Ma proprio questa è la storia della matematica la storia della fatica che hanno fatto i numeri ad essere ammessi in un club esclusivo, ma che di esclusivo non ha invece nulla, perchè  fà fare lunghissime anticamere, ma alla fine ammette tutti.
Perchè non riesco a capirti?
Perchè la riscrittura della mia tabula è andata avanti, e non riesco più quindi a confrontarla con la tua, immagino, se non in parte.
Il problema fondamentale è che la nostra percezione è legata a ciò che è scritto sulla nostra tabula, quindi se la vuoi riscrivere devi provare a distaccarti dalla tua percezione particolare.
Ma prima devi capire che il problema non è capire la matematica, ma riscrivere la tabula.

Io non sono partito da un quadrato di lato 1, bensì da un quadrato di lato 2, semplicemente perchè la radice quadrata di 1 è un numero razionale, mentre la radice  quadrata di 2 è un numero irrazionale; ed è da questo che scaturisce il paradosso di una stessa area diversa da sè stessa, a seconda delle formule di calcolo dell'area adottate.

P.S. Inoltre  un quadrato di lato 1 potrebbe dare luogo ad un altro paradosso, che, avrei voluto non dover affrontare (ma che forse affronterò in un apposito topic).

[Eutidemo]

Ciao Baylham.

Sono perfettamente d'accordo sia con te che con Bobmax.

***

E, cioè, che, nel caso di un quadrato di due metri di lato:

- la diagonale del quadrato è pari a √8, il quale è  un numero irrazionale "I";

- se si sostituisce questo numero irrazionale  con un qualunque numero decimale per "approssimazione", ad es. 2,82 , è ovvio che non si otterrà mai esattamente l'area di partenza.

Ma questi sono esattamente i due presupposti sui quali di basa il mio paradosso!

***

Ed infatti, innanzitutto occorre considerare che, se non si sostituisse un "numero irrazionale"  con un qualunque corrispondente "numero decimale" per "approssimazione", ad es. 3,14, allora sarebbe impossibile calcolare l'area di un qualsiasi cerchio; ed infatti nessun cerchio ha un'area assolutamente esatta!

***

In altre parole, il "π" è "utilizzabile" (più che "sostituibile") solo in forma decimale approssimata!

***

E, se è possibile usare il "π" in forma "approssimata", non vedo perchè questo non dovrebbe essere possibile con qualsiasi altro "numero irrazionale"; come, appunto, la diagonale del quadrato  pari a √8, parimenti  "approssimata"  per due cifre a 2,82; dalla quale scaturisce un quadrato di dimensioni "approssimativamente" simili a quelle dello stesso quadrato ottenuto moltiplicando lato x lato,  ma non certo "uguali".

Ma mentre le aree dei cerchi sono tutte approssimate, mi pare strano che l'area di taluni quadrati possa essere contemporaneamente sia "esatta" sia "approssimata" (e, quindi, dissimile)!

***

A me sembra un risultato paradossale, ma, probabilmente (anzi, sicuramente) questo dipende dalla mia "insipienza" matematica.

***

Un saluto!

***

[Phil]

mi pare strano che l'area di taluni quadrati possa essere contemporaneamente sia "esatta" sia "approssimata" (e, quindi, dissimile)!

Il paradosso ci sarebbe se due quadrati aventi lo stesso lato avessero due aree esatte differenti, ma se un'area viene calcolata prima in modo esatto e poi approssimato è normale che abbiamo due valori differenti per la stessa figura (altrimenti non sarebbero appunto un calcolo approssimato e uno esatto).
Se dici che nel tuo portafoglio ci sono circa (approssimazione) otto euro, non è un paradosso se poi, contando esattamente, dici che ce ne sono 7,94. Con l'area del quadrato è lo stesso, solo che la cifra tonda è esatta (4), quella con la virgola è approssimata (3,97) per difetto, avendo "sacrificato" nel calcolo, ossia tolto (da cui il valore inferiore) alcune cifre dei numeri irrazionali.
Sarebbe paradossale se diminuendo per approssimazione il valore di un numero, ciò non influisse diminuendo anche il risultato finale (almeno per il tipo di calcoli di cui qui si parla).

[Eutidemo]

Ciao Phil

Chapeau!

Alla fine hai trovato un argomento sufficientemente semplice e convincente, tale da riuscire ad essere compreso anche da un ignorante in matematica e in geometria come il sottoscritto; il quale, a dire la verità, oltre che essere ignorante in matematica e in geometria, è anche un po' tonto.

Grazie per la tua pazienza!

***

Ed invero, come tu giustamente osservi, un vero paradosso ci sarebbe se due quadrati aventi lo stesso lato avessero "due aree esatte differenti"; ma se un'area viene calcolata prima in modo esatto e poi approssimato è normale che abbiamo due valori differenti per la stessa figura (altrimenti non sarebbero appunto un calcolo approssimato e uno esatto).

***

Molto persuasivo e calzante è anche il tuo esempio del portafoglio!

***

Però, allora, non sono molto perspicui quasi tutti i siti di matematica, laddove si afferma categoricamente che l'area del quadrato si trova dividendo per due la diagonale elevata al quadrato, senza precisare che tale risultato è sempre e comunque "inesatto"; ed infatti, se è vero che la misura della DIAGONALE di un QUADRATO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura del suo lato per la radice quadrata di 2, siccome la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, qualsiasi risultato che ne consegue è per forza INESATTO!

***

Per cui, a cosa diavolo serve una formula del genere, che ci dà un risultato "inesatto", quando è molto più semplice moltiplicare un lato per se stesso, che ci dà invece sempre un risultato "esattissimo"?

Sarebbe come "pesare" le monete che sono nel portafoglio, invece di "contarle"!

***

Grazie ancora ed un saluto!

***

[Eutidemo]

Ciao Phil.

L'unico dubbio che mi rimane è che l'"approssimazione fisica" è una cosa diversa dall'l'"approssimazione matematica".

Ed infatti:
.

a)

Il numero di soldi contenuto in un portafoglio, non può essere contemporaneamente "impreciso" <<e>> "preciso", se non a causa della nostra insufficiente conoscenza del suo contenuto; basta aprirlo e controllare dentro, ed allora potremo riscontrare immediatamente quale sia il numero esatto di soldi in esso contenuti.
.

b)

L'area del quadrato del mio esempio, invece, può essere nello stesso tempo "imprecisa" <<e>> "precisa", a seconda della formula matematica adottata per calcolarla.
.

***

Il che mi lascia ancora un po' perplesso, perchè se una stessa forma geometrica può essere calcolata in modo preciso in un determinato modo, che senso ha dire che, però, può essere calcolata in modo impreciso in un altro modo?

Mi ricorda un po' il paradosso del "Gatto di Schrödinger!

***
.

***
Certo, posso dire che:
- 234 x 156 = 36.504 costituisce un risultato "preciso" della moltiplicazione;
mentre
- 234 x 156 = 36.503, invece, costituisce un risultato "impreciso" della moltiplicazione, ma "molto approssimato a quello esatto."
Ma che senso ha?
***

.
***

Però non voglio insistere a rompere le scatole, sia a te che agli altri intervenuti nel mio topic, in quanto, tutto sommato (pur con le mie residue stupide perplessità), ribadisco che la tua precedente spiegazione mi è sembrata abbastanza perspicua.

Per cui me ne accontento, e ti esonero da ulteriori interventi esplicativi!
***
.

***

Grazie ancora e ciao!

***

[Phil]

L'area del quadrato del mio esempio, invece, può essere nello stesso tempo "imprecisa" <<e>> "precisa", a seconda della formula matematica adottata per calcolarla.

***

Il che mi lascia ancora un po' perplesso, perchè se una stessa forma geometrica può essere calcolata in modo preciso in un determinato modo, che senso ha dire che, però, può essere calcolata in modo impreciso in un altro modo?

Il tempo dell'affermazione o del calcolo è il fattore dirimente: non c'è un calcolo che allo stesso tempo ti dia sia il risultato esatto che quello approssimato.
Tutto dipende dalle informazioni di partenza: se non hai la misura del lato, ma solo quella della diagonale, puoi approssimare; invece, se conosci la misura del lato, puoi essere direttamente più esatto. Se hai a disposizione entrambe le misure, potrai scegliere quale usare, ma non avrai mai nello stesso tempo (nello stesso calcolo) un risultato sia approssimato che esatto.
Il risultato è dunque differente a seconda di quale "approccio" usi, proprio come con i soldi in tasca: se ti affidi alla memoria (la sottovaluto solo a scopo esemplificativo), te li ricorderai in modo approssimato; se invece puoi contarli, avrai il risultato preciso; ciò non toglie che, pur dopo averli contati, potrai comunque approssimare affermando che hai circa x euro.
Riguardo l'utilità pragmatica dell'approssimazione credo torni utile il caso del campo da dividere, nel senso che a volte è meglio approssimare a cifra tonda, piuttosto che ereditare un appezzamento circolare la cui area catastale sia un ostico numero irrazionale (come calcolarne il valore e le tasse senza approssimazione?).

[iano]

Però, allora, non sono molto perspicui quasi tutti i siti di matematica, laddove si afferma categoricamente che l'area del quadrato si trova dividendo per due la diagonale elevata al quadrato, senza precisare che tale risultato è sempre e comunque "inesatto"; ed infatti, se è vero che la misura della DIAGONALE di un QUADRATO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura del suo lato per la radice quadrata di 2, siccome la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, qualsiasi risultato che ne consegue è per forza INESATTO!

***

Non esistono numeri inesatti.
L'approssimazione di un numero non è quel numero, ma un altro numero col quale lo approssimiamo, ed entrambi sono numeri esatti, ma diversi.
Il fatto che durante un calcolo si decida di sostituire un numero ''esatto'' con un altro ''esatto'', dal valore prossimo, è un fatto di convenienza, che non pregiudica ''l'esattezza'' dei numeri coinvolti nell'operazione.
Che poi ogni divulgazione scientifica contenga approssimazioni và da sè, e convengo con te che ciò possa essere molto frustrante, perchè se alcune sono inevitabili in quanto necessarie semplificazioni con funzione appunto divulgativa, altre sono ben evitabili.
Ma l'arte del divulgatore scientifico, và da sè, e fra le più difficili in assoluto perchè c'è una bella differenza fra sapere le cose e saperle spiegare così alla fine a volte ti rimane il dubbio se chi ce le spiega le abbia veramente capite.
Non rimane altro da fare che consultare diverse divulgazioni sullo stesso tema, che è una bella fatica, ma di solito paga.

Se io fossi un divulgatore scientifico non userei l'espressione ''numero esatto'', perchè potrei indurre qualcuno a credere che vi siano anche numeri non esatti.