Il paradosso dell'area del quadrato

[Eutidemo]

Ciao Phil

Innanzitutto ti ringrazio per il tuo ulteriore intervento, però ti avevo detto che mi accontentavo della tua precedente spiegazione; non puoi certo pretendere di "cavar sangue da una rapa" (cioè dalla mia testa di rapa).

Comunque, riguardo alle tue sensatissime considerazioni, osservo quanto segue:

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1)

Sono perfettamente d'accordo con te che non c'è un calcolo che allo stesso tempo ci dia sia il risultato esatto sia quello approssimato; la mia moltiplicazione era solo un esempio (molto poco calzante).

Però io:

- non ho mai scritto che c'è "un calcolo" per ottenere l'area del quadrato che, allo stesso tempo, ci  dia sia il risultato esatto sia quello approssimato;

- ho invece scritto che mi lascia interdetto il fatto che esistono "due calcoli diversi" per ottenere l'area del quadrato,  uno dei quali ci dà il risultato esatto, mentre l'altro ce lo dà soltanto approssimato.

Non capisco il senso di una cosa del genere!

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2)

Sono anche perfettamente d'accordo con te che, se non hai la misura del lato, ma solo quella della diagonale, puoi soltanto approssimare; invece, se conosci la misura del lato, puoi essere direttamente più esatto.

Però, secondo me, se tu conosci la lunghezza della diagonale del quadrato, puoi facilmente e matematicamente venire a conoscenza anche della lunghezza dei suoi lati attraverso il "teorema di Pitagora"; per cui conoscendo la misura del lato, puoi essere assolutamente "esatto" moltiplicandolo per se stesso.
 Quindi, perchè mai accontentarsi di un calcolo soltanto "approssimato"?

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3)

Infine, sono anche perfettamente d'accordo con te che, nella "realtà fisica" il risultato è differente a seconda di quale "approccio" usi, proprio come con i soldi in tasca.

Ed infatti:

- se mi affido al peso complessivo delle monete, potrò calcolare il loro valore totale solo in modo molto approssimato;

- se invece le conto una ad una (20 cent + 50 cent. + 10 cent. ecc. ecc.), potrò calcolare il loro valore totale in modo assolutamente preciso.

Ma mi sorprende che, nella "realtà matematica" il risultato possa essere differente (approssimato o preciso) a seconda di quale modalità di "calcolo" io utilizzo.

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Tuttavia la colpa non è della matematica, bensì della mia insipienza in tale materia!

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Un saluto!

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[Eutidemo]

Ciao Phil

Ti ringrazio anche per il tuo altro intervento, che non riguarda tanto il "paradosso dei due diversi calcoli per determinare l'area del quadrato" (con risultati differenti), quanto, piuttosto, il fatto che, secondo te, non esistono "numeri inesatti".

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Le tue argomentazioni sono davvero molto interessanti, e, in parte, anche persuasive.

Tutto sta, però:

- a capire cosa si intenda con l'"aggettivo" "inesatto";

- a quale "sostantivo" esso si riferisca.

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1)

L'AGGETTIVO

Tale locuzione, a seconda del contesto in cui viene utilizzata, può significare due cose molto "simili", ma, in realtà, notevolmente "diverse".

Ed infatti:

a) "Errato"

Asserire che la terra è piatta, è una asserzione "inesatta", nel senso che è "errata" (ed infatti la terra è, più o meno, sferica).

b) "Approssimato"

Asserire, invece, che la terra ha una circonferenza di 40.000 km., è una asserzione "inesatta", nel senso che è "approssimata" (ed infatti la circonferenza "esatta" è di 40.075 km).

I linguisti dibattono su quale sia il significato semantico più appropriato; ma, secondo me, tutto dipende dal "contesto", e, soprattutto, dal "sostantivo" a cui si riferisce tale "aggettivo".

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2)

IL SOSTANTIVO

Il "numero" è una entità astratta che indica:

- la quantità degli elementi di un insieme ( n. cardinale 1,2,3);

- il posto di un elemento in una successione ( n. ordinale 1°,2°,3° ).

In particolare, in geometria, il "numero" è il "valore" che si attribuisce ad una "cifra" che esprime la "misura" di una "forma geometrica regolare".

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In tal senso, hai ragione nel dire che, "rigorosamente parlando", non esistono "numeri inesatti"; in quanto, semmai, è "inesatto" il "valore numerico" che si attribuisce ad una "cifra" che esprime una determinata "misura".

"Valore numerico" che può essere:

- "errato";

- "approssimato"

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Parafrasando quello che hai scritto, cioè, l'approssimazione di un "numero" non riguarda quel numero in se stesso, bensì la non esatta corrispondenza del suo "valore numerico", rispetto ad un altro "valore numerico" che indica la "misura" esatta di una determinata forma geometrica.

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Oppure, detto "in soldoni", l'"inesattezza" (e/o l'"approssimazione"), non riguarda mai il "numero" in se stesso, bensì il "rapporto" che c'è tra quel numero e l'entità geometrica che intende misurare.

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Però tu l'hai spiegato molto meglio di me!

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Un saluto!

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[iano]

Andando in parte fuori tema, ciò che a me desta meraviglia, perchè inatteso, è che, per raddoppiare l'area di un quadrato basta costruire un nuovo quadrato sulla sua diagonale. E' come una vera magia senza trucchi.
Più corretto è dire ''per ottenere un quadrato di area doppia'' , perchè a rigore per raddoppiare l'area di un quadrato basta attacargliene uno uguale, ottenendo un rettangolo, che vale come la moltiplicazione dei quadrati, che però non ha  nulla di miracoloso.

[iano]

Tornando in tema, il vero problema non è se un numero è ''esatto'', ma se esiste, e radice di due certamente esiste se è la lunghezza associabile a qualcosa che esiste, la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato uno.
Non esiste dunque perchè ha una lunghezza conoscibile, ma solo una volta appurato che esiste sono autorizzato ad  approssimarne la lunghezza.