Un insieme infinito di oggetti non ha alcun numero di oggetti.
Infatti non è 1, non è 2, ...., non è "n", non è alcuno.
Quindi infinito non è un numero.
In particolare da ciò segue che due insiemi infiniti non hanno lo stesso numero di oggetti, e al contempo non hanno un diverso numero di oggetti.
Sembrerebbe quindi non si possa dire quale sia più grande, quale più piccolo, o se sono uguali.
Ciò è vero se per poterli confrontare dobbiamo contare i loro oggetti.
Ma non è necessario contare i loro oggetti per confrontarli.
Nel caso di due insiemi finiti di oggetti infatti possiamo dire se sono uguali oppure no ,senza bisogno di contarne gli oggetti.
O meglio, è sufficiente contare fino a uno, che però per gli antichi non equivale a contare.
Per loro numero significava moltitudine, e il primo numero era quindi il 2.
Per gli antichi il numero 1 non "contava".
Per sapere se due insiemi finiti hanno pari moltitudine è sufficiente applicare una corrispondenza " uno a uno".
Se ad ogni oggetto del primo corrisponde un solo oggetto del secondo, e viceversa, allora possiamo dire che i due insiemi posseggono lo stesso numero di oggetti, senza conoscere neanche il numero.
Ma se non occorre conoscere il numero, siccome gli insiemi infiniti non ne hanno, allora questa corrispondenza ci permette di confrontare insiemi infiniti permettendoci di dire se si equivalgono oppure no.
Non hanno un numero , ma sono ancora moltitudini confrontabili.
Ma se sono moltitudini confrontabili, allora hanno una grandezza, che potremmo contrassegnare con un simbolo.
Potremmo anche decidere di chiamare quel simbolo "numero".
Naturalmente si tratterebbe di nuovi numeri, prima sconosciuti, proprio come sconosciuti a lungo come numeri sono stati lo zero e l'uno.
Infinito, si , ma quanto infinito?
Questa domanda sembra avere un senso.
Fin qui non ho detto, credo nulla di nuovo rispetto a quanto reperibile sui testi di matematica, e l'autore è un certo Cantor.
Come la vedo io?
Direi che infinito non equivale ad indefinito.
Ogni infinito ha una sua definizione, a volte in chiaro e a volte nascosta, e se diverse sono le definizioni diversi saranno potenzialmente gli infiniti che ne derivano.
Quindi confrontabili , se si trova un criterio di confronto .
Inventiamo così nuovi numeri, e ciò sembra a prima vista arbitrario, quanto inutile.
Sarebbero come minimo numeri ben strani.
La loro costruzione però paradossalmente esemplifica il modo in cui i numeri nascono.
Ma il modo in cui Cantor crea i nuovi numeri ha a che fare più con la filosofia che con la matematica, e magari io ho postato nella sezione sbagliata.
Si tratta infatti di un balzo del pensiero.
La matematica infatti di per se' si può vedere come la storia di nuovi numeri che si propongono prepotentemente ai matematici, che alla fine sono costretti a subirli.
Così li usano senza ammetterlo.
Poi li ammettono, ma li connotano in modo dispregiativo , come immaginari, complessi, etc...
Quindi infine li accettano completamente.
Ma non è questo il modo, mi pare, in cui sono nati i numeri di Cantor., che se li andati a cercare con un salto del pensiero, senza essere costretto a subirli per necessità di calcolo al fine di risolvere problemi di matematica.
Non ne so' abbastanza da poter dire se questi numeri abbiano una applicazione pratica, ma ci scommetterei.
La loro genesi però mi ha reso finalmente chiaro cosa sia un numero. Come nasce.
Un viaggio verso l'infinito con ritorno al punto di partenza .
Cioè al 2, oppure all'uno, oppure allo zero, secondo come ci pare, o meglio ancora a nessuno.
Perché ciò che non sembra avere una vera fine, non ha forse neanche un vero inizio.
Infine, se l'acquisizione del concetto di numero equivale ad un salto "evolutivo" , Cantor ha eseguito un bis.
La matematica sembra farsi sempre più astratta, e per alcuni sempre più assurda , perché almeno a prima vista sempre meno aderente alla realtà .
Secondo me non c'è mai stata alcuna aderenza alla realtà, se non nella misura in cui non avevamo coscienza della sua origine.
La matematica si applica alla realtà, e sono proprio i suoi successi applicativi , non sempre presenti alla nostra coscienza, ad avercela fatta confondere a volte con essa.
La matematica non è la realtà, ma una sua parte, e vive in un mondo a se', nella misura in cui noi lo siamo.
Salve iano. Che l'infinito sia un concetto (ciò che si può pensare senza mai poter percepire) e non un numero (una notazione convenzionale denotante una misura quantitativa e mai qualitativa), dovrebbero insegnarlo in prima elementare,mentre ci sono "fior" (per modo di dire) di laureati che non lo sanno.
Altro aspetto poco noto è che il concetto di infinito ha significato e DEFINIZIONE rigorosamente sinonimi a quelli di DIO, ASSOLUTO, ESSERE (come verbo) e persino alcuni altri.
Tale DEFINIZIONE COMUNE è "CIO' CHE CONTIENE SENZA ESSERE CONTENUTO DA ALTRO PIU' GRANDE DI SE'".Il fattoche tu sostenga che vi possano essere molteplicità di infiniti mostrerebbe che tu consideri l'infinito stesso un concetto relativo. Ti invito a riflettere sulle sinonimie da me proposte qui sopra.
In alternativa, a cosa mai potrebbe risultare RELATIVO l'infinito ?.
La matematica altro non è che un linguaggio assiomatico avente lo scopo di descrivere in modo "soggettivamente oggettivo" una realtà costruita ad uso e consumo di chi la descrive. Cioè consiste nella creazione di una serie di convenzioni condivise e date per "relativamente oggettive" da parte dei soggetti condividenti. Che poi eventualmente TUTTI condividano tale convenzione........non aggiunge un atomo di verità e realtà a quella che resta una convenzione ed invenzione umana.
Il tutto basato sui concetti filosofici fondamentati (appunto assiomatizzati ma in sè inesplicabili) di "nulla"=0, "uno=tutto")=1, "quanto"=tutti gli altri numeri ed infine "assoluto"=infinito. Saluti.
Citazione di: viator il 03 Maggio 2021, 13:16:12 PM
La matematica altro non è che un linguaggio assiomatico avente lo scopo di descrivere in modo "soggettivamente oggettivo" una realtà costruita ad uso e consumo di chi la descrive. Cioè consiste nella creazione di una serie di convenzioni condivise e date per "relativamente oggettive" da parte dei soggetti condividenti. Che poi eventualmente TUTTI condividano tale convenzione........non aggiunge un atomo di verità e realtà a quella che resta una convenzione ed invenzione umana.
Ciao Viator.
Esiste una conoscenza/percezione che si possano configurare diversamente da così, cioè in forma di assoluti, se non per ignoranza delle loro cause generative?
Certo chi è in cerca della verità, credendosi chissà cosa sia, resterà sempre deluso dal come i processi della conoscenza e percezione appaiano banali, una volta disvelati.
Infatti come ben dici ,essi non aggiungono nulla di nuovo alla verità , ma solo chi aveva questa aspettativa resterà deluso.
Sicuramente da un pezzo i matematici non vanno più alla ricerca di alcuna verità, e se questo concetto mantiene ancora un interesse per me, riguarda solo le cause che possono averlo generato, cosa su cui ho già le mie precise idee.
Se ci occupiamo di matematica e non di filosofia l'infinito è perfettamente definibile. E' definito nell'enumerazione che al suo interno ha una tendenza all'infinito comprensibile senza alcuno sforzo mentale.
E' definito nelle funzioni cosiddette "trascendentali" che danno una veste matematica ad una miriade di fenomeni fisici, sezionando la parte di funzione, finita, che de-finisce il campo di esistenza del fenomeno fisico analizzato.
E' definito nel concetto di "limite", prezioso oggetto matematico da cui prese avvio il calcolo infinetisimale.
E' definito negli infiniti di ordine superiore che correlano le varie specie matematiche e permette perfino di fare operazioni tra infiniti del tipo: infinito numeri interi relativi/infinito numeri interi positivi=2
Per i matematici, 0 e infinito non creano alcun problema. I fisici li intendono come limiti e approssimazioni di misure. Sono solo i filosofi a ricamarci sopra.
Salve Ipazia. Sarebbe stato sufficiente dirsi d'accordo nel trovare che "zero" ed "infinito" risultino appunto concetti e non quantità o numeri come, in desolante semplicità, avevo fatto notare.
Poi ci sarebbe addirittura l'"uno", ia quale sarebbe il concetto sul quale si basa ogni e qualsiasi quantità (la natura contemporaneamente materiale e mistica dell' "uno" ne fa appunto un concetto misto (anzi : "mist-icheggiante) rendendolo sinonimo di TUTTO-DIO ed ASSOLUTO).
Grazie comunque della "spolverata" tecnomatematica che hai voluto dare all'argomento. Salutoni.
Citazione di: viator il 03 Maggio 2021, 17:29:39 PM
Salve Ipazia. Sarebbe stato sufficiente dirsi d'accordo nel trovare che "zero" ed "infinito" risultino appunto concetti e non quantità o numeri come, in desolante semplicità, avevo fatto notare.
Diciamo che Ipazia ha snocciolato tutte quelle applicazioni che non sapevo, ma su cui avevo scommesso.
Meno avrei scommesso che qualcuno non accettasse ancora lo zero come numero.
E' comunque ,per noi occidentali , una acquisizione relativamente recente , infatti, mentre gli indiani lo posseggono da più tempo.
Ma come ho provato a spiegare è interessante il faticoso processo di accettazione di certi numeri, che comunque ormai si può considerare storia passata.
Da un punto di vista filosofico è interessante chiedersi il perché di tanta fatica nell'acquisire tanta "desolante semplicità " che tale però è solo col senno di poi.
Il faticoso percorso di ricerca della verità giunge sempre a nessuna verità, ma solo a "desolanti semplicità ".
Sarebbe però ingeneroso non riconoscere il valore di questi risultati, anche perché illustrano il nostro divenire umano.
Là verità comunque finora è stata una ottima esca per pescare questi pesci.
Caro Viator, ci sarà qualcosa che Ipazia non sappia?
Cerchiamo di farcene una ragione. 😄
A parte gli scherzi, non mi resta che ringraziarla per le sue sempre puntuali risposte.
Salve iano. Citandoti : "Meno avrei scommesso che qualcuno non accettasse ancora lo zero come numero.
...
Caro Viator, ci sarà qualcosa che Ipazia non sappia?
Cerchiamo di farcene una ragione. 😄
A parte gli scherzi, non mi resta che ringraziarla per le sue sempre puntuali risposte".
A) Tu confondi il concetto di numero con quello di cifra. Ma non è grave, e soprattutto sei in numerosissima compagnia.
B) Credo che non esista ciò che Ipazia ignori.
C) Me ne faccio assai lietamente una ragione.
D) Io l'ho appena ringraziata, e vedo che tu concordi con me nel trovarlo sia piacevole che doveroso. Saluti.
Citazione di: viator il 03 Maggio 2021, 17:29:39 PM
Poi ci sarebbe addirittura l'"uno", ia quale sarebbe il concetto sul quale si basa ogni e qualsiasi quantità (la natura contemporaneamente materiale e mistica dell' "uno" ne fa appunto un concetto misto (anzi : "mist-icheggiante) rendendolo sinonimo di TUTTO-DIO ed ASSOLUTO).
Citazione di: iano il 03 Maggio 2021, 18:42:31 PM
Ma come ho provato a spiegare è interessante il faticoso processo di accettazione di certi numeri, che comunque ormai si può considerare storia passata.
Da un punto di vista filosofico è interessante chiedersi il perché di tanta fatica nell'acquisire tanta "desolante semplicità " che tale però è solo col senno di poi.
Il faticoso percorso di ricerca della verità giunge sempre a nessuna verità, ma solo a "desolanti semplicità ".
Sarebbe però ingeneroso non riconoscere il valore di questi risultati, anche perché illustrano il nostro divenire umano.
Là verità comunque finora è stata una ottima esca per pescare questi pesci.
I pesci li ha pescati la filosofia da Platone, peraltro profondamente influenzato dai pitagorici, in poi. Finchè le cabale metafisiche hanno prevalso sulla matematica la "desolante semplicità" è rimasta sepolta sotto un fumus metaphisicus che pareva Milano di notte sotto la nebbia in zona industriale. Il razionalismo rinascimentale e illuminista lo ha dissolto. Con sentiti ringraziamenti agli indiani, perchè senza lo 0 si contano le pecore, o poco più. Le pecore dell'Uno.
Tornando all'infinito scientifico, esso non esiste perché non esiste un al-di-fuori dell'universo e l'universo è finito. La ricaduta filosofica di questa "verità" scientifica è che l'osservatore sarà sempre all'interno dell'universo osservato e la verità possibile è sempre "da dentro" e mai "da fuori". Cadono pertanto tutti i miti legati all'oggettività e gli antimiti legati alla soggettività. Detto ciò, l'apeiron di Anassimandro fu prezioso perché eliminò sul nascere le fole di un universo pret-à-porter, con il suo bravo nume incorporato. Ma oggi sappiamo che quell'universo, pur essendo di dimensioni e consistenza inimmaginabili per un greco evoluto come Anassimandro, non è infinito.
Citazione di: viator il 03 Maggio 2021, 20:54:45 PM
A) Tu confondi il concetto di numero con quello di cifra. Ma non è grave, e soprattutto sei in numerosissima compagnia.
Non direi.
Semmai ho peccato di ottimismo pensando di poter archiviare come senso comune lo zero e l'uno come numeri.
In un sistema n-decimale le cifre sono n.
Se confondessi cifre con numeri nel sistema decimale avremmo solo dieci numeri, o anche solo 8, se da come ho capito, per te le prime due cifre non vanno oltre l'essere strettamente tali, cioè simboli non indicano alcun numero.
Il concetto di numero è cambiato nel tempo, ma non tutti ne accettano le evoluzioni.
La base di partenza sono i concetti di 2,3,4,5, molti, che tutti gli animali sembra posseggano, ma senza essere andati oltre, ad eccezione di noi.
L'operazione del contare associata di solito ai numeri, consiste in effetti nello sviluppare il concetto di molti.
Ma fino a 5 e a partire da 2 "percepiamo" là quantità senza bisogno di contare.
Senza peccare questa volta di ottimismo direi allora che 6,7, 8 e "compagnia contante" ormai possiamo archiviarli come numeri nel nostro sentire comune, mentre zero e uno ancora no. Non per tutti.
Io stesso in questa discussione ho ammesso che acchiappare completamente il concetto di numero è stato per me un percorso personale non breve, che posso dire ormai concluso paradossalmente grazie agli apparentemente cervellotici lavori di Cantor, il quale, smentendo Aristotele ha cercato di dimostrare avere un senso matematico considerare gli infiniti come attuali.
In che senso attuali?
Nel senso che due insiemi infiniti possono confrontarsi fra loro in base a precisi criteri, come Cantor a dimostrato.
Così che si possa dire se sono uguali o diversi, contrariamente al precedente sentire comune, secondo il quale esiste un solo infinito che dunque non può che essere uguale a se stesso.
Ho scritto erroneamente n-decimale.
Avrei dovuto scrivere sistema di base n, essendo il sistema decimale di base 10.
Citazione di: Ipazia il 03 Maggio 2021, 22:52:48 PM
Citazione di: viator il 03 Maggio 2021, 17:29:39 PM
Poi ci sarebbe addirittura l'"uno", ia quale sarebbe il concetto sul quale si basa ogni e qualsiasi quantità (la natura contemporaneamente materiale e mistica dell' "uno" ne fa appunto un concetto misto (anzi : "mist-icheggiante) rendendolo sinonimo di TUTTO-DIO ed ASSOLUTO).
Citazione di: iano il 03 Maggio 2021, 18:42:31 PM
Ma come ho provato a spiegare è interessante il faticoso processo di accettazione di certi numeri, che comunque ormai si può considerare storia passata.
Da un punto di vista filosofico è interessante chiedersi il perché di tanta fatica nell'acquisire tanta "desolante semplicità " che tale però è solo col senno di poi.
Il faticoso percorso di ricerca della verità giunge sempre a nessuna verità, ma solo a "desolanti semplicità ".
Sarebbe però ingeneroso non riconoscere il valore di questi risultati, anche perché illustrano il nostro divenire umano.
Là verità comunque finora è stata una ottima esca per pescare questi pesci.
I pesci li ha pescati la filosofia da Platone, peraltro profondamente influenzato dai pitagorici, in poi. Finchè le cabale metafisiche hanno prevalso sulla matematica la "desolante semplicità" è rimasta sepolta sotto un fumus metaphisicus che pareva Milano di notte sotto la nebbia in zona industriale. Il razionalismo rinascimentale e illuminista lo ha dissolto. Con sentiti ringraziamenti agli indiani, perchè senza lo 0 si contano le pecore, o poco più. Le pecore dell'Uno.
In effetti tutto è cambiato. A Milano la nebbia è sparita, anche se i milanesi la rimpiangono. :D
I pastori chiamano le pecore per nome e quindi non hanno bisogno di contarle.
Ad ogni nome corrisponde una pecora .
Un simbolo ( una cifra) per ogni pecora. Si può fare perché il gregge è sempre finito.
Il concetto di corrispondenza si può considerare primitivo rispetto a quello di numero.
Gli insiemi infiniti si possono mettere quindi in corrispondenza senza doverli contare.
Capito questo qualunque nuovo numero i matematici vorranno inventarsi non sarà un problema accettarlo, e quindi magari trovarne applicazione utile senza problemi di rigetto concettuale.
Non è poco, per quanto ovvio col senno di poi, posto che non per tutti ancora ovvio.
Lo strumento della matematica non è più impastoiato dentro alla realtà, aumentando quindi la sua efficacia nell'incidere sulla realtà.
Non possiamo più confondere l'efficacia della matematica nel descrivere la realtà,incidendovi, con l'essere la realtà fatta di matematica.
Il mezzo con il fine.
So' di non essermi espresso al meglio, ma ci ho provato.
Però per giungere a ciò bisognava prima riuscire a dominare l'infinito.
Salve iano. Citandoti. "Così che si possa dire se sono uguali o diversi, contrariamente al precedente sentire comune, secondo il quale esiste un solo infinito che dunque non può che essere uguale a se stesso".
Cantor si occupa di matematica, non di filosofia. Matematicamente - cioè convenzionalmente - possono esistere infiniti insiemi, ciascuno di estensione infinita.
In logica e filosofia l'infinito - essendo un concetto astratto - incorpora in sè ogni categoria (od insieme) come finita e non può certo possedere dei limiti superati i quali si possa "entrare" in altre categorie infinite. La "coabitazione" di insiemi infiniti li renderebbe in un modo o nell'altro relativi, perciò non infinti. Saluti.
Ciao Viator.
Cantor non aveva il limite di essere un matematico , come tu non dovresti avere il limite di essere un filosofo.
Il dichiarare di esser qualcosa piuttosto che uomini interi in fondo è una moda relativamente recente.
Se si potesse astrarre l'essere filosofo dall'essere uomo, si potrebbe poi provare a cestinare la filosofia, come in effetti alcuni si sono illusi di poter fare.
Ancor più volentieri ancor più nutrita schiera vorrebbe potersi dichiarare del tutto estranea alla matematica, illudendosi parimenti.
Si fa' così la figura della volpe che disdegna l'uva acerba, non sapendo di essere lei stessa la vigna.
Citazione di: viator il 05 Maggio 2021, 21:00:27 PM
In logica e filosofia l'infinito - essendo un concetto astratto - incorpora in sè ogni categoria (od insieme) come finita e non può certo possedere dei limiti superati i quali si possa "entrare" in altre categorie infinite. La "coabitazione" di insiemi infiniti li renderebbe in un modo o nell'altro relativi, perciò non infinti. Saluti.
Non hai bisogno di superare alcun limite.
Dovresti farlo se per confrontare due insiemi infiniti dovessi contarne gli elementi.
Ma Cantor ci suggerisce che per confrontarli non è necessario contare, ma è sufficiente provare a metterli in corrispondenza .
Se si riesce a fare ciò allora li si è confrontati.
Non è possibile superare l'infinito potenziale di Aristotele, ma non è necessario farlo.
Ma se Cantor ha superato Aristotele è perché lo conosceva bene.
Allo stesso modo noi ci superiamo quanto meglio ci conosciamo , e nel farlo ci dividiamo convenzionalmente in matematici, filosofi, scienziati e ciabattini, col rischio poi di convincerci davvero di essere una di quelle cose in modo esclusivo.
Tu infatti escludi che Cantor fosse un filosofo, non perché hai certa notizia che non lo fosse, ma per il fatto che hai certa notizia che fosse un matematico.
L'infinito dei numeri naturali non è diverso dall'infinito dei numeri reali, almeno fino a prova contraria, e Cantor ha trovato quella prova.
Usando lo stesso criterio di confronto ha poi verificato che l'infinito dei numeri razionali invece equivale a quello dei numeri naturali.
Ma cosa significa che due insiemi infiniti sono uguali o diversi?
Si significa che uguali o diversi sostanzialmente , al netto della diversa forma in cui ci appaiono.
In altri termini costruiamo i numeri naturali allo stesso modo in cui costruiamo i numeri razionali, mentre nel costruire i numeri reali usiamo un diverso modo.
La difficoltà nell'accettare ciò credo risieda nel credere che la matematica sia quel che sia, e noi non costruiamo nulla, ma ci limitiamo a scoprirla.
Fatto sta che, seppure così fosse, possiamo davvero dire di aver scoperto qualcosa se sappiamo descriverlo.
Se sappiamo davvero dire cosa abbiamo scoperto.
Puo' succedere però poi di accorgerci che due cose apparivano diverse solo perché si presentavano in sue diverse forme, essendo una cosa sola.
Cantor ci dice che i numeri naturali sono sostanzialmente uguali ai numeri razionali ( quelli con le frazioni).
In effetti se tu provi a disegnare questi due " diversi" insiemi di numeri su una retta, ti accorgerai di poterlo fare in diversi modi.
Il primo è quello che ti verrà naturale.
Disegnerai tanti punti sulla retta a intervalli regolari, uno dopo l'altro, a partire da una origine.
Il secondo consiste nel marcare punti ad intervalli multipli dell'unità, per marcare successivamente quelli che avevi saltato.
Se ci pensi questo secondo modo equivale a quello che faresti volendo illustrare i numeri razionali, marcandoli su una retta.
Quindi che differenza dovrebbe esserci fra numeri naturali e numeri razionali se di fatto li possiamo illustrare allo stesso modo?
Se invece vuoi illustrare i numeri reali ti accorgerai di dover fare qualcosa di diverso.
Non è un esercizio banale perché tu non devi credere che il nostro cervello pensante sia racchiuso dentro perfetta sfera , ma si estende sul tavolo con carta e penna.
Un segmento può dividersi in parti infinite in diversi modi.
Alcuni di questi modi si equivalgono, altri no.
Può succedere di fare cose diverse non rendendoci conto di star facendo la stessa cosa in modi diversi, e viceversa.
Tutti questi modi giungono ad infinito, ma non tutti si equivalgono.
Possiamo dire che si tratta dello stesso infinito solo se crediamo che l'infinito sia qualcosa in se'.
Qualcosa che tutti possiedono senza averlo dovuto costruire.
Gli infiniti matematici devono essere però ben definiti, e ciò equivale di fatto a costruirli, e non esiste un solo modo di farlo , per cui non possiamo garantire a priori di costruire sempre lo stesso infinito.
Nella misura in cui non esiste un infinito in se' allora si dimostra ne esistono diversi.
Nella misura in cui esiste un infinito in se',allora non occorre dimostrare altro.
Bello credere che noi possediamo cose in se' senza aver dovuto far fatica per acquisirle, come se la natura fosse prodiga di regali .
Si capisce allora da dove nasce il mito del paradiso, dove tutto è dato per diritto senza fatica, e se poi costretti a conoscere con fatica, attribuire ciò al nostro esilio da esso, come se avessimo voluto conoscere, peccando, non essendoci necessità "in se" nel conoscere.
Se uno crede in qualcosa a in se' può chiamarlo Dio oppure infinito.
Ma quel nome non è la cosa in se' come la cifra non è il numero.
Salve iano. non per polemica ma per appropriatezza.......io mai ho affermato che Cantor fosse esclusivamente un matematico.
Dicendo che "sta occupandosi di matematica" mi riferivo al fatto che, all'interno dell'argomento qui discusso, le tesi cantoriane riguardavano l'aspetto puramente matematico, tralasciando quello filosofico. Saluti.