Si tratta di un antico "problema", che io definisco un "paradosso" per il fatto che, personalmente, la soluzione matematica "unanimemente" fornita da tutti i siti da me visitati, non è mai riuscita a convincermi del tutto; ma la colpa, ovviamente, non è certo della matematica, bensì del sottoscritto, che in tale materia è sempre stato un somaro.
Ciò che, però, trovo paradossale è che la spiegazione matematica (almeno quella che ho trovato io), è molto semplice; la cosa strana è che, sebbene mi sembri di averla compresa benissimo, tuttavia non riesce a convincermi lo stesso.
***
La questione è nota.
a)
Tre prigionieri, A, B e C, in tre celle separate aspettano tutti e tre la fucilazione per l'alba successiva.
b)
Il guardiano sa che uno dei tre avrà salva la vita, perchè è stato appena graziato; ma ha giurato al re di non rivelare a nessuno dei tre chi di loro ha ricevuto la grazia.
c)
Il prigioniero A chiama il guardiano alla porta della sue cella e gli dice: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo, ma voglio soltanto sapere chi, tra B e C, è destinato a morire domani all'alba".
d)
Il guardiano, impietosito, per cercare di ridurre la sua ansia, gli risponde: "Va bene. Tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B.
***
Quante sono le probabilità di sopravvivenza che A ha può ragionevolmente aspettarsi, dopo aver ricevuto tale informazione?
Tutti i matematici mi confermano unanimemente che le sue probabilità restano sempre esattamente pari ad 1/3.
***
Ed infatti, se ho ben capito la spiegazione più semplice (che è l'unica alla mia portata):
- all'inizio, le probabilità dei tre A, B e C sono di 1/3 per uno;
- dopo la rivelazione del guardiano, quelle di C salgono ai 2/3, perchè, visto che tra lui e B a lasciarci la pelle sarà B (probabilità di sopravvivenza zero), C può sommare al suo 1/3 il 1/3 di B.
- quindi, se di 3/3 sappiamo che 2/3 adesso competono a C, vuol dire che A sempre con misero 1/3 si ritrova.
https://cdn-thumbs.imagevenue.com/51/2a/ca/ME136MX8_t.jpg
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Ho trovato su INTERNET spiegazioni matematiche molto più complicate di quelle di cui ho cercato di riprodurre l'immagine (sperando che sia leggibile), ma tutte concludono che A rimane sempre con 1/3 di probabilità di sopravvivere.
***
Tale soluzione la trovo matematicamente ineccepibile, ma non riesce assolutamente a convincermi!
Ed infatti, se B è destinato a morire, ciò significa che "uno degli altri due" è stato graziato; per cui il 1/3 di B, secondo me, dovrebbe andare in parti uguali sia ad A che a C, le cui probabilità divengono quindi di 1/2 a testa.
***
La circostanza che A abbia chiesto "chi, tra B e C, è destinato a morire domani all'alba", e non "chi, tra A, B e C, è destinato a morire domani all'alba", secondo me, non limita affatto l'assorbimento della percentuale tra B e C, che resta comunque tra B e A-C; ed infatti la domanda di A, è, sì, alternativa tra B e C, ma le "chance" reali di salvezza restano probabilisticamente le stesse per i due residui "possibili graziati".
***
Detto in modo più semplice, se B deve morire (e, quindi, ai nostri fini, è come se fosse già morto), il graziato può essere a caso sia A che C , perchè su tale casualità la domanda fatta da A non incide minimamente; A e C, quindi, secondo me, hanno entrambi un 50% a testa di probabilità di cavarsela.
Ed infatti, quando il giorno successivo vedono dalle loro celle che B viene giustiziato nel cortile, mi sembra assurdo sostenere che la probabilità di morire di A sia rimasta del 33% e quella di C del 67% fino al momento in cui B è morto, e poi si sia equilibrata per entrambi al 50% subito dopo che gli hanno sparato.
Non ha senso!
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Però non mi sembra possibile che "tutti i matematici" (nei siti più disparati) siano in errore quando asseriscono unanimemente che ad A resta la percentuale di 1/3 mentre a C va quella di 2/3; quindi mi sembra evidente che in errore devo per forza esserci io! (dico sul serio)
Però mi preoccupa di non riuscire in alcun modo ad uscire dal mio "bias"!
***
Peraltro, visto che qualunque risposta il guardiano gli avesse dato (tra B e C muore B, oppure tra B e C muore C) il povero A si sarebbe trovato sempre con un 33% di probabilità di salvarsi, che cosa glielo avrebbe chiesto a fare?
***
Ma se il guardiano risponde ad A che tra B e C morirà B, le probabilità di sopravvivenza sono A) 0, B) 0 e C) 100, visto che a scamparla sarà 1 solo e si sa già che è C . Il guardiano non si accorge che la domanda di A è un tranello, comunque lui risponderà rivelerà la verità. Se infatti avesse risposto "moriranno entrambi", A sarebbe stato sicuro di cavarsela. Così come la risposta che uno degli altri 2 è salvo equivale alla condanna a morte per il terzo. O sbaglio qualcosa?
Salve sapa. Ma guarda che la domanda posta da A era "voglio soltanto sapere chi, tra B e C, è destinato a morire", domani all'alba".--------------------------------------------------------
Perciò "moriranno entrambi" non è da considerare risposta pertinente. (Stiamo trattando di dilemmi logici, non di conversazioni personali tra condannato e guardiano).--------------------------------------------------------------
Riepilogando, se la risposta vera ed efficace è "domani B sarà destinato a morire", ne deriva che il graziato risulterà in C (il quale, sulla base di una corretta interpretazione della risposta del guardiano, risulta escluso dai morituri contenuti nell'insieme "A+B").--------------------------------------------------------
Infatti la domanda di A non risultava in "B domani è destinato a morire ?", quesito che avrebbe lasciato aperta l'eventualità che NON SOLAMENTE B fosse destinato a morire.----------------------------------------------------------Pertanto C è il graziato e A+B sono i morituri. Per la contabilità probabilistica.......vedete voi, visto che io sono quasi analfabeta. Saluti.
È lo stesso problema da te proposto anni fa. Anche se allora riguardava tre cappelli.
B non è estratto a caso rivelando così che è uno dei condannati.
B viene tolto proprio in quanto è uno dei condannati!
Se fosse stato estratto a caso e si fosse rivelato condannato, questa estrazione avrebbe eliminato pure la probabilità di B di essere salvo.
E questa probabilità di 1/3 sarebbe stata ripartita tra A e C al 50% ciascuno.
Invece poiché tra B e C almeno uno deve per forza morire. Togliere uno che è certamente condannato non fa ridistribuire la probabilità di salvezza di B su tutti i rimanenti.
Ma solo tra i rimanenti del sottogruppo in cui B è stato svelato morituro.
Per cui la probabilità del sottogruppo B+C che era di 2/3 va tutta a C.
Citazione di: viator il 03 Aprile 2021, 16:06:50 PM
Salve sapa. Ma guarda che la domanda posta da A era "voglio soltanto sapere chi, tra B e C, è destinato a morire", domani all'alba".--------------------------------------------------------
Perciò "moriranno entrambi" non è da considerare risposta pertinente. (Stiamo trattando di dilemmi logici, non di conversazioni personali tra condannato e guardiano).--------------------------------------------------------------
Riepilogando, se la risposta vera ed efficace è "domani B sarà destinato a morire", ne deriva che il graziato risulterà in C (il quale, sulla base di una corretta interpretazione della risposta del guardiano, risulta escluso dai morituri contenuti nell'insieme "A+B").--------------------------------------------------------
Infatti la domanda di A non risultava in "B domani è destinato a morire ?", quesito che avrebbe lasciato aperta l'eventualità che NON SOLAMENTE B fosse destinato a morire.----------------------------------------------------------Pertanto C è il graziato e A+B sono i morituri. Per la contabilità probabilistica.......vedete voi, visto che io sono quasi analfabeta. Saluti.
Infatti, viator, concordo con te. La premessa era che "
Tre prigionieri, A, B e C, in tre celle separate aspettano tutti e tre la fucilazione per l'alba successiva." e la domanda "...ma voglio soltanto sapere chi, tra B e C, è destinato a morire domani all'alba". Quindi, per me che son sempre stato un testone, la soluzione più ovvia è che, l'indomani all'alba, moriranno A e B, mentre C se ne andrà a casa.
Salve sapa ed Eutidemo. Se voi avete la testa dura, io proprio ne sono privo.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Secondo me è tutto un "ciurlar nel manico" basato semplicemente sulla commistione tra le certezze probabilistiche (NON SULLE PROBABILITA') cui risultavano e risultano legati i tizi prima o dopo l'aver conosciuto il responso del guardiano.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------La certezza probabilistica (concetto che spiegherò in altra circostanza, non avendone ora voglia) risulta identica sia prima di porre il quesito (morirà B o C ?) sia dopo la risposta (morirà B) poichè è una CERTEZZA FATTUALE, cioè insita nella situazione reale esistente prima della domanda posta da A e generatasi nel momento in cui qualcuno ha deciso di irrogare la grazia ad uno dei tre. Ma il fatto è che la prospettiva della grazia è ciò che cambia le carte in tavola a giocoin corso !
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tale certezza probabilistica non consiste nella probabilità di un certo esito al verificarsi di certe cause IGNOTE al momento dello stabilimento del quesito probabilistico. Infatti, nel periodo intercorrente tra lo instaurarsi della volontà di graziare qualcuno (volontà che deve considerarsi avere lo stesso effetto di una futura certezza) ed il momento in cui viene stabilito chi dovrà morire tra B e C..........tutti e tre avevano 1/3 probabilità di poter risultare graziati.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Una volta però che risulta certo il CHI sarà uno dei morituri (B), esso - come termine probabilistico - scompare dal problema perchè non ne è più riguardato............esso automaticamente assume su di sè il 100% (1/1) delle probabilità di risultare tra i due morituri, facendo per ciò stesso aumentare le probabilità di scamparla per gli altri due, dal momento che realizzandosi una probabilità per uno dei componenti del terzetto, la probabilità CONTRARIA - per restanti due, non potrà che aumentare.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------A tal punto non si tratta più di calcolare le probabilità di un evento (che sia la morte o che sia la grazia !) riguardante TRE SOGGETTI, ma solamente DUE SOGGETTI. E' questa la ragione per la quale A e C si ritrovano con il 50% (1/2) ciascuno di probabilità di morire oppure di venir graziati !.
In effetti il fatto che il guardiano abbia risposto che tra B e C quello destinato a morire sarà B non implica affatto che C si salverà, ma soltanto che SICURAMENTE B morirà. Il guardiano infatti non dice nulla riguardo al prigioniero C, tuttavia il solo fatto che egli abbia detto che tra i due (B e C) quello destinato sicuramente a morire è B fa aumentare le probabilità che sia C il graziato, poiché è come se avesse fatto una mezza ammissione secondo cui C si salverà. Di conseguenza mentre prima tutti e tre i prigionieri avevano 1/3 di possibilità di salvarsi, ora le probabilità di B scendono a zero, quelle di C salgono a 2/3 (considerate le parole del guardiano)mentre quelle di A rimangono fisse ad 1/3. E' l'ambiguità delle parole del guardiano a far salire le probabilità matematica!
Salve Socrate78. Sei sicuro di avere letto con attenzione l'esordio di Eutudemo ? Il guardiano avrebbe risposto : "Va bene. Tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B".La domanda di (-A-) non era "B è destinato a morire domani ?" (la coerente risposta alla quale non avrebbe implicato alcuna informazione sul destino di (-C-)).Quindi se viene affermato che tra i due l'uno (-B-) è destinato a morire........................secondo te l'altro potrebbe aver avuto potenzialmente il medesimo destino ??. Saluti.
Ciao Bobmax :)
Mi sto davvero rimbambendo, perchè non ricordavo minimamente che si trattava dello stesso problema dei tre cappelli che avevo proposto io stesso anni fa.
:(
***
Ma la cosa che più mi preoccupa circa la mia salute mentale, è che, a differenza del caso della roulette:
- in questo caso condivido perfettamente il tuo ragionamento, e, cioè, che, matematicamente, la probabilità del sottogruppo B+C che era di 2/3 va tutta a C (come, in verità, avevo scritto anch'io nel mio primo intervento);
- tuttavia, paradossalmente, mi convince anche la diversa soluzione che sia A che C abbiano le stesse identiche probabilità di sopravvivere, cioè 1/2 ciascuno.
***
La mia seconda convinzione deve "necessariamente" essere errata, ma allora come mai non riesco a persuadermene?
***
Una spiegazione potrebbe consistere nel fatto che la prima soluzione è di tipo "razionale" ma anche alquanto "controintuitiva"; per cui, "di primo acchito", è facile essere indotti a pensare che che sia A che C abbiano le stesse identiche probabilità di sopravvivere, cioè 1/2 ciascuno.
***
Ma il guaio è che, sia pur riflettendoci razionalmente, a me tale seconda soluzione sembra risultare anch'essa perfettamente valida.
Quindi:
- o sono io che sto perdendo il lume della ragione, perchè è impossibile essere convinti di due cose incompatibili tra di loro;
- oppure si tratta di due cose che, in realtà, non sono affatto incompatibili tra di loro.
Per cui ora farò il temerario tentativo di un'ardita "coincidentia oppositorum".
***
Forse l'"inghippo" sta nel fatto che, come "correttamente" scrivi tu, "poiché tra B e C almeno uno deve per forza morire, togliere uno che è certamente condannato non fa ridistribuire la probabilità di salvezza di B su tutti i rimanenti, bensì solo tra i rimanenti del <<sottogruppo>> in cui B è stato svelato morituro"; e, cioè, su C, la cui probabilità di sopravvivenza sale quindi a 2/3.
Non fa una piega, ma, a ben vedere, nella realtà "fisica" il "sottoinsieme" B-C non esiste, in quanto si tratta soltanto di un'"ipotesi raggruppatoria" meramente "verbale" contenuta nella domanda di A; nella realtà fisica esiste solo un "insieme", e, cioè A-B-C.
***
Per cui cerchiamo di vedere come starebbero "realmente" le cose se A non avesse fatto la sua domanda, e noi sapessimo soltanto che B è destinato a morire (unico "postulato" certo); in tal caso è evidente che le probabilità di sopravvivenza di A e C sarebbero senz'altro del 50% per uno.
Su questo non ci piove!
***
Allora, adesso, ipotizziamo che non A, bensì C chieda al guardiano: ""So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo, ma voglio soltanto sapere chi, tra B e A, è sicuramente destinato a morire domani all'alba".
Il guardiano, ovviamente, risponderebbe: "Tra A e B quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B".
Per cui, poiché tra A e B almeno uno deve per forza morire, togliere uno che è certamente condannato non fa ridistribuire la probabilità di salvezza di B su tutti i rimanenti, bensì solo tra i rimanenti del "sottogruppo" in cui B è stato svelato morituro; e, cioè, su A, la cui probabilità di sopravvivenza sale quindi a 2/3.
***
Ma, ovviamente, non è possibile che, nella "realtà fisica", dopo l'ipotetica domanda di A aumentino le probabilità di sopravvivenza di C, mentre invece, dopo l'ipotetica domanda di C aumentino le probabilità di sopravvivenza di A; ed infatti, in entrambi i casi, l'unica cosa certa è che B deve morire, per cui le "reali" probabilità di sopravvivenza di A e di C restano sempre del 50% ciascuno, a prescindere da chi faccia la domanda o di chi non la faccia.
***
In tal modo, il ragionamento matematico resta salvo, perchè, effettivamente, se ragioniamo in base al concetto di "sottoinsieme", esso è perfettamente valido e coerente; se invece, non teniamo conto del "sottoinsieme", artificialmente ipotizzato dalla domanda, bensì dell'"insieme" reale dei tre prigionieri, secondo me risulta perfettamente valida e coerente anche l'altra soluzione.
***
Non sono affatto sicuro che questo mio temerario tentativo di rendere compatibili le due soluzioni possa considerarsi corretto; anzi, tutto sommato sarei propenso a pensare di no, perchè, altrimenti, ci avrebbe pensato già qualcun altro prima di me.
Però, almeno per ora, non mi viene in mente altro!
***
Un saluto :)
***
Citazione di: viator il 03 Aprile 2021, 19:26:44 PM
Salve sapa ed Eutidemo. Se voi avete la testa dura, io proprio ne sono privo.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Secondo me è tutto un "ciurlar nel manico" basato semplicemente sulla commistione tra le certezze probabilistiche (NON SULLE PROBABILITA') cui risultavano e risultano legati i tizi prima o dopo l'aver conosciuto il responso del guardiano.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------La certezza probabilistica (concetto che spiegherò in altra circostanza, non avendone ora voglia) risulta identica sia prima di porre il quesito (morirà B o C ?) sia dopo la risposta (morirà B) poichè è una CERTEZZA FATTUALE, cioè insita nella situazione reale esistente prima della domanda posta da A e generatasi nel momento in cui qualcuno ha deciso di irrogare la grazia ad uno dei tre. Ma il fatto è che la prospettiva della grazia è ciò che cambia le carte in tavola a giocoin corso !
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tale certezza probabilistica non consiste nella probabilità di un certo esito al verificarsi di certe cause IGNOTE al momento dello stabilimento del quesito probabilistico. Infatti, nel periodo intercorrente tra lo instaurarsi della volontà di graziare qualcuno (volontà che deve considerarsi avere lo stesso effetto di una futura certezza) ed il momento in cui viene stabilito chi dovrà morire tra B e C..........tutti e tre avevano 1/3 probabilità di poter risultare graziati.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Una volta però che risulta certo il CHI sarà uno dei morituri (B), esso - come termine probabilistico - scompare dal problema perchè non ne è più riguardato............esso automaticamente assume su di sè il 100% (1/1) delle probabilità di risultare tra i due morituri, facendo per ciò stesso aumentare le probabilità di scamparla per gli altri due, dal momento che realizzandosi una probabilità per uno dei componenti del terzetto, la probabilità CONTRARIA - per restanti due, non potrà che aumentare.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------A tal punto non si tratta più di calcolare le probabilità di un evento (che sia la morte o che sia la grazia !) riguardante TRE SOGGETTI, ma solamente DUE SOGGETTI. E' questa la ragione per la quale A e C si ritrovano con il 50% (1/2) ciascuno di probabilità di morire oppure di venir graziati !.
Sono d'accordo sul fatto che, nella "realtà", A e C si ritrovano con il 50% (1/2) ciascuno di probabilità di morire oppure di venir graziati; ma non sono ben sicuro di aver compreso il tuo ragionamento.Ed infatti, considerando il "sottoinsieme" B-C, matematicamente risulta valida anche la conclusione che le probabilità di sopravvivenza sono del 33% (A) e del 67% (B).
Citazione di: Socrate78 il 03 Aprile 2021, 20:40:05 PM
In effetti il fatto che il guardiano abbia risposto che tra B e C quello destinato a morire sarà B non implica affatto che C si salverà, ma soltanto che SICURAMENTE B morirà. Il guardiano infatti non dice nulla riguardo al prigioniero C, tuttavia il solo fatto che egli abbia detto che tra i due (B e C) quello destinato sicuramente a morire è B fa aumentare le probabilità che sia C il graziato, poiché è come se avesse fatto una mezza ammissione secondo cui C si salverà. Di conseguenza mentre prima tutti e tre i prigionieri avevano 1/3 di possibilità di salvarsi, ora le probabilità di B scendono a zero, quelle di C salgono a 2/3 (considerate le parole del guardiano)mentre quelle di A rimangono fisse ad 1/3. E' l'ambiguità delle parole del guardiano a far salire le probabilità matematica!
Sotto un profilo matematico, considerando il "sottoinsieme" B-C, è senz'altro così; ma non credo che c'entri l'ambiguità della risposta del guardiano, che a me sembra inequivoca!
Sì Eutidemo, ho anch'io difficoltà nel tenere ferma la soluzione.
Se fosse stato C a chiedere, sarebbe stato A ad avere i 2/3.
L'inghippo è secondo me da ricercarsi nel comprendere quale azione viene effettivamente fatta.
Perché qui irrompe l'impossibile nel campo del probabile.
Ma in che modo vi irrompe?
Se immaginiamo un ipotetico dado a tre facce. Questa impossibilità di B di salvarsi non elimina la faccia corrispondente, riducendo così il dado a sole due facce. Ma lascia le tre facce, imponendo però che nel caso uscisse B questa uscita andrebbe a appannaggio di un'altra determinata faccia. Che nel tema proposto è C.
È una forzatura dovuta all'impossibile che non modifica la distribuzione delle probabilità ma la loro attribuzione.
Chiedo scusa, ma continuo a pensare che ci sia un errore o nelle premesse, oppure nella formulazione della domanda.La premessa, infatti, è che i condannati saranno fucilati domani all' alba, ma 1 dei 3 è stato graziato.Se il condannato A chiede al guardiano " ...chi tra B e C sarà fucilato domani all'alba" e il guardiano risponde "B", a casa mia vuol dire che C non sarà giustiziato domani all'alba. Il che significa che o le date delle esecuzioni sono state cambiate, oppure C ha avuto la grazia e ad essere fucilati domani all'alba saranno A e B.
Diversamente, la domanda di A al guardiano sarebbe dovuta essere: "Dimmi se uno tra B e C sarà giustiziato", che però sarebbe una domanda inutile, perchè è chiaro che tra B e C almeno 1 sarà fucilato domani all'alba.Io continuo a pensare che A abbia trovato il modo giusto per far rivelare al guardiano, senza fargli tradire il giuramento, chi è il graziato. E purtroppo, viene a sapere che non sarà lui a scamparla.
È la formulazione della domanda che non è chiarissima, ma il quesito è squisitamente matematico.
Se avesse chiesto "Dimmi almeno uno tra B e C che sarà giustiziato" sarebbe stato più chiaro.
Ma il concetto è questo.
Se invece avesse chiesto "Dimmi almeno uno di noi tre che sarà giustiziato" allora la probabilità sarebbe stata 1/2.
Ciao Bobmax :)
Sì, ho capito!
Ma il mio dubbio non riguarda affatto il calcolo "matematico", che tu hai molto intelligentemente ed esplicativamente trasformato in geometrico.
***
Ed infatti se ipotizziamo come realmente esistente il "sottoinsieme" B-C, è assolutamente naturale che:
- se B è destinato a morire, il suo 1/3 di probabilità di sopravvivenza va "matematicamente" a C, la cui probabilità di sopravvivenza sale quindi inevitabilmente a 2/3;
- se B è destinato a morire, e la sua probabilità di sopravvivere viene rappresentata da un ipotetico dado a tre facce, la sua impossibilità di salvarsi non elimina la faccia corrispondente, riducendo così il dado a sole due facce, bensì, restando il dado a tre facce, la terza faccia va ad appannaggio di C, la cui probabilità di sopravvivenza sale quindi inevitabilmente a 2/3;
Se ho ben compreso quanto vuoi dire, lo condivido pienamente; perchè, al riguardo, non ho mai nutrito alcun dubbio!
***
Però, al di là dello specifico "storytelling" enigmistico;
- se noi consideriamo la faccenda come se "realmente" si verificasse in un vero e proprio braccio della morte in cui si trovano prigionieri Caio, Tizio e Sempronio;
- e se noi, impedendo a tutti e tre di fare domande imbarazzanti, sapessimo che Tizio non è stato graziato, per cui dovrà inesorabilmente morire;
ne conseguirebbe, senza il benchè minimo dubbio, che Caio e Sempronio hanno le stesse identiche probabilità del 50% di scamparla o di lasciarci la pelle.
***
Ed infatti, senza stare tanto a girarci intorno, in estrema sintesi, se di tre prigionieri condannati a morte uno è stato graziato, ma non se ne conosce il nome, però si conosce il nome di colui che dovrà morire, è evidente che gli altri due hanno le stesse probabilità di sopravvivenza!
Non ne staremmo neanche a discutere!
***
Lo "storytelling" enigmistico, nei limiti della sua "autoreferenzialità" logico-matematica, è però assolutamente ineccepibile, per cui anche di quello è inutile stare a discutere; è assolutamente "corretto", e per niente "paradossale" (salvo che non lo si cali in una realtà concreta)!
***
Un saluto :)
***
P.S.
Qui di seguito cerco di riformulare l'"indovinello" in modo un po' più complesso, alla cui soluzione devo ancora pensare anch'io; vorrei sapere cosa ne pensi tu e gli altri partecipanti al "thread".
PARADOSSO INTEGRATO
a)
Tre prigionieri, A, B e C, in tre celle separate, aspettano tutti e tre la fucilazione per l'alba successiva.
b)
Il guardiano sa che uno dei tre avrà salva la vita, perchè è stato appena graziato; ma ha giurato al re di non rivelare a nessuno dei tre chi di loro ha ricevuto la grazia.
c)
Il prigioniero A chiama il guardiano alla porta della sue cella e gli dice: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo, ma voglio soltanto sapere chi, tra B e C, è destinato a morire domani all'alba".
d)
Il guardiano, impietosito, per cercare di ridurre la sua ansia, gli risponde: "Va bene. Tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B.
e)
A questo punto, però, il prigioniero C, avendo sentito bisbigliare qualcosa alla porta della cella accanto alla sua (senza aver capito che cosa) chiama anche lui il guardiano alla porta della sue cella e gli dice: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo, ma voglio soltanto sapere chi, tra A e B, è destinato a morire domani all'alba".
f)
Il guardiano, che comincia un po' a scocciarsi, tuttavia gli risponde: "Va bene. Tra A e B, quello destinato a morire domani all'alba è B.
***
Stando a questo ulteriore "storytelling" enigmistico di mia personale creazione, quante sono le probabilità di sopravvivenza che A e C possono ragionevolmente aspettarsi, dopo aver ricevuto ciascuno l'informazione di cui sopra, a un minuto di distanza l'uno dall'altro, e quante sono quelle reali che effettivamente hanno?
***
La domanda è rivolta a tutti!
;)
***
[Riguardo la prima versione del paradosso]
Nel chiedere chi morirà fra B e C, il prigioniero A non considera che se è lui stesso il graziato, il guardiano non può che rispondergli con uno a caso fra B e C, poiché non può rivelare ad A che è lui il destinato a salvarsi (rispondendo «entrambi»); se invece è uno fra B e C ad essere il graziato, il guardiano risponderà indicando il "morituro" della coppia. Da notare che il guardiano infatti non risponde affermando «sarà solo B a morire», ma solitamente svicola con un generico «B morirà» (non sono sicuro che la versione citata da Eutidemo, con il guardiano che risponde «tra B e C morirà B» sia quella originale; quel «tra», infatti si presta anche all'interpretazione implicitamente escludente suggerita da viator e sepa).
Inevitabilmente uno fra B e C morirà e il guardiano non fa altro che confermare tale prevedibile certezza; la coppia B e C ha 2/3 di probabilità di contenere il graziato, ma è il guardiano ad avere un ruolo fondamentale: non potendo rivelare chi si salverà dei due, risponderà sempre indicando l'altro; qualora fosse stato B il graziato, il guardiano non avrebbe potuto che rispondere «C morirà».
Se C chiede al guardiano «chi si salverà fra A e B?», si crea una situazione solo apparentemente simmetrica a quella in cui è A a fare la domanda su B e C: se è certo che B morirà, è anche certo che nel rispondere, dovendo nascondere l'identità del graziato, il guardiano ha possibilità diverse a seconda di chi gli pone la domanda, poiché in un caso potrà scegliere di chi rivelare la morte, in un altro caso, sarà costretto ad indicare l'unica persona che morirà. Ad esempio, supponiamo che il graziato sia C: quando A chiede chi morirà fra B e C il guardiano può rispondere solo «B» (essendo C il graziato); se invece è C a chiedergli chi morirà fra B e A, il guardiano può rispondere sia con «A» che con «B».
Se A avesse chiesto «chi morirà fra me e B?» (oppure «chi morirà fra me e C?») avrebbe forse avuto più probabilità di avere un verdetto chiaro o un po' rincuorante: se fosse stato l'altro, ovvero B (o C) il graziato, il guardiano avrebbe dovuto confessare ad A che sarebbe stato lui a morire (verdetto chiaro); se invece il guardiano avesse risposto dichiarando la morte di B (o C, a seconda della domanda) allora A avrebbe avuto, se non erro, i soliti 2/3 di possibilità di essere il graziato e avrebbe dormito forse un po' più sereno.
In realtà io documentandomi ho visto che la versione originale è ben diversa da quella riportata da Eutidemo, la richiesta di A infatti sarebbe:" Non ti chiedo di rivelarmi il nome di chi si salverà, ti chiedo soltanto che se tra B e C sarà B a salvarsi fai il nome di C, altrimenti quello di B. Se invece sono io ad essere salvato, lancia SEGRETAMENTE una moneta e fai a caso il nome di B o di C". Se il termine del paradosso è questo e il guardiano risponde che B morirà, ciò significa che le probabilità di C salgono matematicamente a 2/3 (sommandosi all'1/3 di B), quelle di A ad 1/3, poiché il guardiano potrebbe anche aver lanciato segretamente la moneta!
Ma da un punto di vista logico direi che escludendo B, A e C hanno il 50% di probabilità di salvezza, effettivamente non sempre la stretta matematica segue la logica!
Sì Eutidemo, ma la probabilità non è un qualcosa di appiccicato ai vari prigionieri. Non è una loro qualità.
La probabilità è sempre riferita all'insieme nel suo complesso.
Ed è sempre 100% distribuita a seconda della situazione.
E la situazione cambia a seconda di come variano le condizioni.
Ma le condizioni sono sempre e soltanto ciò che si sa ora.
Occorre prestare attenzione a ciò che "veramente" si sa.
Il fatto che si sa che Tizio sarà giustiziato non è sufficiente.
Siamo venuti a saperlo in che modo?
È stato scelto a caso Tizio e si è scoperto che sarà giustiziato?
In questo caso la probabilità dei due rimanenti è del 50%.
Ma se è perché abbiamo chiesto chi tra Tizio e Caio sarà giustiziato, allora Caio ha 2/3.
Il calcolo della probabilità è pur sempre basato sulle informazioni che si hanno a disposizione, quindi dipende quale prospettiva (con annesse informazioni) assumiamo: A, per quel che sa, si aspetta di avere 1/3 di probabilità e anche C, per quel che sa, si aspetta di averne 1/3 (se sono appassionati di statistica); noi osservatori esterni, per quel che sappiamo (ovvero escludendo B), sappiamo che A e C hanno ognuno il 50% (e loro concorderebbero, se sapessero cosa la guardia ha detto ad entrambi); il carceriere, per quel che sa, non parla nemmeno di probabilità, ma di ragionevole certezza.
Citazione di: Phil il 04 Aprile 2021, 12:16:16 PM
Il calcolo della probabilità è pur sempre basato sulle informazioni che si hanno a disposizione, quindi dipende quale prospettiva (con annesse informazioni) assumiamo: A, per quel che sa, si aspetta di avere 1/3 di probabilità e anche C, per quel che sa, si aspetta di averne 1/3 (se sono appassionati di statistica); noi osservatori esterni, per quel che sappiamo (ovvero escludendo B), sappiamo che A e C hanno ognuno il 50% (e loro concorderebbero, se sapessero cosa la guardia ha detto ad entrambi); il carceriere, per quel che sa, non parla nemmeno di probabilità, ma di ragionevole certezza.
No, noi sappiamo che C ha 2/3.
Proprio per le condizioni che conosciamo.
Ciao Phil
Le tue argomentazioni, in sè, sono buone, e, anzi, sarebbero ottime se fossimo in presenza di una "simulazione" nell'"ambito della "teoria dei giochi"; ma in questo caso siamo in presenza di un problema di carattere precipuamente "logico", per cui esse risultano assolutamente "fuori luogo"!
Forse avrei dovuto precisare meglio la cosa, ma, data la natura strettamente logica del problema, vecchio di secoli, l'avevo data per scontata.
***
Ad esempio, il guardiano non può rispondere con "uno a caso fra B e C", poiché deve rivelare chi effettivamente dovrà morire; altrimenti l'enigma non avrebbe senso logico.
Inoltre, il guardiano "non potrebbe MAI" rispondere affermando che "sarà solo B a morire", perchè anche in tal caso andrebbe contro la premessa; e, cioè, che dei tre prigionieri "due" devono inevitabilmente morire e non uno solo (solo uno è stato graziato).
Quando poi dice che "B morirà", non sta affatto "svicolando", ma sta semplicemente dicendo la verità; cioè, quello che accadrà.
Sei invece nel giusto quando scrivi che "inevitabilmente uno fra B e C morirà e il guardiano non fa altro che confermare tale prevedibile certezza".
***
Tutte le tue altre argomentazioni non sono assolutamente congrue, perchè tu parti dal presupposto che il guardiano possa scegliere cosa dire o non dire, oppure o "svicolare"; ed invece non è così, perchè il quesito è di carattere prettamente logico-formale, e, quindi, non consente il tuo tipo di illazioni di carattere psicologico.
Considera, cioè, come se il guardiano fosse un robot che è stato programmato a non rivelare, neanche indirettamente, il nome del "graziato"; ma che, per il resto, risponde meccanicamente alla domanda che gli fanno, senza alcuna facoltà di mentire (o "svicolare").
Insomma, una cosa del genere!
***
Comunque, ciò premesso, non hai risposto al mio quesito integrato: "quante sono le probabilità di sopravvivenza che A e C possono ragionevolmente aspettarsi, dopo aver ricevuto ciascuno l'informazione di cui sopra, a un minuto di distanza l'uno dall'altro, e quante sono quelle reali che effettivamente hanno?"
***
Un saluto
***
Citazione di: Socrate78 il 04 Aprile 2021, 11:48:24 AM
In realtà io documentandomi ho visto che la versione originale è ben diversa da quella riportata da Eutidemo, la richiesta di A infatti sarebbe:" Non ti chiedo di rivelarmi il nome di chi si salverà, ti chiedo soltanto che se tra B e C sarà B a salvarsi fai il nome di C, altrimenti quello di B. Se invece sono io ad essere salvato, lancia SEGRETAMENTE una moneta e fai a caso il nome di B o di C". Se il termine del paradosso è questo e il guardiano risponde che B morirà, ciò significa che le probabilità di C salgono matematicamente a 2/3 (sommandosi all'1/3 di B), quelle di A ad 1/3, poiché il guardiano potrebbe anche aver lanciato segretamente la moneta!
Ma da un punto di vista logico direi che escludendo B, A e C hanno il 50% di probabilità di salvezza, effettivamente non sempre la stretta matematica segue la logica!
Ci sono varie versioni del paradosso, ed io ho scelto quella che ritenevo più interessante.
Salve. L'ho detto e lo ripeto, Le probabilità cambiano in modo opinabile una volta che - PUR MANTENENDO FERMI I PRESUPPOSTI QUANTITATIVI DEL DILEMMA - si introducano VARIAZIONI QUALITATIVE (morte oppure grazia).
La situazione logica che si genera è del tutto identica a quella che si verifica nel "gioco delle tre carte", in cui - dopo che un giocatore ha scelto sulla base della evidenza sensoriale la carta giusta............il "banco" cambia lestamente la situazione che stava alla base della scelta del giocatore stesso, quindi "dimostra" che il giocatore non aveva indovinato e che il "banco" ha ragione. Saluti.
Citazione di: bobmax il 04 Aprile 2021, 12:30:15 PM
No, noi sappiamo che C ha 2/3.
Proprio per le condizioni che conosciamo.
Mi riferivo alla seconda versione proposta da Eutidemo, quella in cui noi sappiamo che il guardiano dice ad A che fra C e B morirà B e sappiamo che dà la stessa informazione a C (riferendosi ad A e B); credo che questo equivalga al guardiano che dice «fra A, B e C morirà B», dunque, per noi osservatori esterni, restano solo A e C con il 50% (sbaglio?).
@EutidemoQuesto problema è una variante del Monty Hall (citato nella discussione sulle probabilità): il guardiano ha l'obbligo di non rivelare il graziato come il conduttore ha l'obbligo di non rivelare dov'è il premio; quindi con rispondere "a caso" fra B e C,
qualora A sia il graziato, intendevo che può rispondere sia con l'uno che con l'altro, senza che ciò violi le regole del paradosso (non che risponda senza considerare chi sia il graziato, il cui anonimato è la preoccupazione primaria del guardiano). Se il guardiano rispondesse "come un
robot", di fronte al quesito su chi morirà
fra B e C, qualora fosse A il graziato, non risponderebbe forse con uno a caso dei due (B o C), oppure rivelerebbe indirettamente l'identità del graziato rispondendo meccanicamente «entrambi»?
Ho evidenziato che il guardiano
non risponde con «è solo B a morire» in risposta alla domanda «chi morirà fra B e C?» per chiarire l'ambiguità che aveva portato ragionevolmente
sepa e
viator a considerare la riposta «tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B»(cit.) come l'ìmplicita ammissione che sia C il graziato (con "svicolare" intendevo che nell'affermare «B morirà», come da versione standard del problema, il guardiano non dà invece alcuna informazione su C, evitando di rivelare al prigioniero troppe informazioni preziose; è uno svicolare strategico per rispettare le regole del gioco che al contempo non è fuorviante come la risposta comprensiva del «tra»).
La risposta al secondo quesito, come ho scritto, è inevitabilmente plurale a seconda del punto di vista che assumiamo (e delle informazioni che abbiamo).
Ciao Bobmax.
Sul fatto che la probabilità non sia un qualcosa di "appiccicato" ai vari prigionieri, in quanto non è una loro "qualità", sono perfettamente d'accordo con te; anzi, direi che proprio tale considerazione è alla base dei miei ragionamenti.
Così come è alla base dei miei ragionamenti il principio fondamentale per il quale la probabilità :
- è sempre riferita all'"insieme nel suo complesso";
- è sempre distribuita su di esso al 100% a seconda della situazione, a prescindere da eventuali "sottoinsiemi" artificialmente creati dalle domande dell'uno o dell'altro.
***
Sono anche d'accordo con te che la "situazione" varia a seconda di come variano le "condizioni"; purchè, però, si tratti di "condizioni causali", e, cioè, tali da costituire una effettiva "causa efficiente" della variazione.
Ad esempio, se C morisse d'infarto durante la notte, tale evento sopravvenuto costituirebbe indubbiamente una "causa efficiente" della variazione delle probabilità di sopravvivenza degli altri due prigionieri; su questo non ci piove!
***
Ma, per tornare al nostro indovinello dei prigionieri, se ci pensi bene, la domanda di A è assolutamente "idiota", perchè è "ovvio" che tra B e C uno dei due deve necessariamente morire; ciò in quanto, fra tutti tre, il "prigioniero graziato" può essere uno solo .
Quindi, cosa diamine lo chiede a fare?
Cosa cambia se la risposta è B o C?
Niente!
Quindi, in effetti, quale che sia la risposta del guardiano, lui "non viene a sapere assolutamente niente di nuovo, di cui non fosse al corrente già da prima... senza fare nessuna domanda!"
***
Ed infatti, è vero che:
- il prigioniero A viene a sapere che a morire sarà B invece di C, per cui matematicamente B va a 0 probabilità di sopravvivenza mentre C va a 2/3 di probabilità di sopravvivenza;
- ma, per il prigioniero A, si sarebbe verificata la stessa cosa se fosse venuto a sapere che a morire sarebbe stato C invece di B, per cui matematicamente C sarebbe andato a 0 e B a 2/3 di probabilità di sopravvivenza.
Ed infatti, per lui, in base al (correttissimo) calcolo matematico che ben conosciamo e condividiamo, sempre con un misero 1/3 di probabilità si sarebbe ritrovato!
Per cui cosa gliene importa di sapere chi (matematicamente) si è cuccato i due terzi tra B e C?
***
Però, poi, tu fai il seguente ragionamento molto sottile ed intrigante.
"Il fatto che si sa che Tizio sarà giustiziato non è sufficiente. Siamo venuti a saperlo in che modo? È stato scelto a caso Tizio e si è scoperto che sarà giustiziato? In questo caso la probabilità dei due rimanenti è del 50%. Ma se è perché abbiamo chiesto chi tra Tizio e Caio sarà giustiziato, allora Caio ha 2/3."
Questo, come più volte o ribadito anch'io, è senz'altro vero se creiamo artificialmente dei "sottoinsiemi" fittizi creati dalle domande "alternative" e "restrittive" degli uni o degli altri, ma non se teniamo conto della "realtà oggettiva" e "complessiva" della situazione.
***
Ed invero, sotto quest'ultimo profilo, come la metti se:
a) Sempronio ha chiesto chi tra Tizio e Caio sarà giustiziato al solito guardiano;
b) Caio, invece, ha scoperto per caso che Tizio sarà giustiziato, sentendo chiacchierare tra di loro due sentinelle.
Seguendo il tuo ragionamento, quindi, "nello stesso tempo":
- le probabilità di salvezza dovrebbero essere di 1/3 per Sempronio e di 2/3 per Caio, in base a quanto "sa" Sempronio (a)
- le probabilità di salvezza dovrebbero essere di 1/2 per Sempronio e di 1/2 per Caio, in base a quanto "sa" Caio (b)
Il che è chiaramente "incongruente", perchè tu stesso, molto giustamente, hai scritto che la probabilità non è un qualcosa di "appiccicato" ai vari prigionieri, bensì un qualcosa di oggettivo.
***
Il che, secondo me, emerge chiaramente anche dal mio PARADOSSO INTEGRATO, di cui attendo ancora una soluzione da parte tua e degli altri (me compreso, che ci sto tutt'ora pensando).
Il quale, forse, sarebbe da integrare ancora, facendo fare la stessa domanda di A e C anche al povero B.
Se vuoi, pensaci tu!
***
Un saluto! :)
***
Ciao Phil :)
Il dilemma dei tre prigionieri è stato ideato da Martin Gardner, nel 1959, ed ha generato diverse altre varianti; una di queste è stata impiegata per mettere a punto il gioco finale della popolare trasmissione televisiva a premi statunitese, "Let's Make a Deal", condotta da Monty Hall.
***
Quanto al fatto di rispondere "a caso" fra B e C, è ovvio che tali lettere dell'alfabeto sono intercambiabili, senza che ciò violi le regole del paradosso; chi sia il graziato non ha alcuna rilevanza, perchè se il guardiano rivela soltanto chi morirà tra B e C, non fornirà alcun indizio al riguardo.
***
E' invece esatto, come tu scrivi, che il guardiano non potrebbe mai rispondere "entrambi", perchè così rivelerebbe indirettamente l'identità del graziato; ma nessuno ha mai messo in dubbio una cosa così ovvia.
***
Quanto al fatto che tu hai evidenziato che il guardiano non risponde con «è solo B a morire» in risposta alla domanda «chi morirà fra B e C?» per chiarire l'ambiguità che aveva portato ragionevolmente Sapa e Viator a considerare la riposta «tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B», non ho ben compreso cosa vuoi dire, ma non ritengo che sia una cosa particolarmente rilevante sulla quale soffermarsi.
***
Quanto alla circostanza che con "svicolare" intendevi che "nell'affermare «B morirà», come da una delle tante versioni del problema, il guardiano non dà invece alcuna informazione su C, evitando di rivelare al prigioniero troppe informazioni preziose, e che, quindi, sarebbe uno svicolare strategico per rispettare le regole del gioco che al contempo non è fuorviante come la risposta comprensiva del «tra» B e C", a mio avviso la precisazione non è affatto fuorviante, ma, anzi, al contrario, puntualizza non che genericamente «B morirà», ma che sarà proprio lui a morire tra B e C.
Perchè l'essenza del paradosso sta proprio in questo!
***
Quanto alla risposta al secondo quesito, come ho scritto, va bene che tu ritieni che debba essere "al plurale a seconda del punto di vista che assumiamo e delle informazioni che abbiamo"; ma, comunque, questa non costituisce affatto una risposta al secondo quesito, sebbene soltanto l'indicazione della "modalità" con cui ti proponi di rispondere.
Però non hai ancora risposto!
La domanda era: "Quante sono le probabilità di sopravvivenza che A e C possono ragionevolmente aspettarsi, dopo aver ricevuto ciascuno l'informazione di cui sopra, a un minuto di distanza l'uno dall'altro, e quante sono quelle reali che effettivamente hanno?"
Rispondi in percentuale (ma non ti preoccupare, perchè io stesso, sinceramente, non saprei ancora che cosa diamine rispondere)
***
Un saluto :)
***
Citazione di: Eutidemo il 04 Aprile 2021, 15:05:14 PM
Quanto al fatto che tu hai evidenziato che il guardiano non risponde con «è solo B a morire» in risposta alla domanda «chi morirà fra B e C?» per chiarire l'ambiguità che aveva portato ragionevolmente Sapa e Viator a considerare la riposta «tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B», non ho ben compreso cosa vuoi dire, ma non ritengo che sia una cosa particolarmente rilevante sulla quale soffermarsi.
Il senso del «tra», nella risposta «tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B»(cit.) è ambiguo perché quel «tra» può venire inteso in modo escludente oltre che insiemistico, ovvero (come già osservato da
sepa) se si afferma che tra B e C, muore B, è sensato anche supporre implicitamente che C non muoia (diverso, e più chiaro, è invece rispondere solo con un secco «B morirà», evitando di usare il sibillino «tra»); quel «tra» può ben essere interpretato come «
aut» esclusivo oltre che come «
vel» inclusivo, per dirla alla latina. La domanda di A è ciò che, magari in buona fede, innesca l'ambiguità, perché chiedendo chi muore
fra i due (intendendo «fra» insiemisticamente, «considerati
assieme»), tale domanda può essere intesa anche come allusione all'ipotesi che solo uno dei due muoia (salvo ricevere la risposta «entrambi», risposta che è tuttavia impossibile in questo caso). Ad esempio, se qualcuno ti chiedesse «quale auto verrà rottamata fra quella Panda e quella Punto?» e tu rispondessi «
fra quella Panda e quella Punto, la Panda è quella che verrà rottamata», molti dedurrebbero che le Punto non lo sarà (per cui se il gioco fosse indovinare quale auto non verrà rottamata, penserebbero d'aver trovato, per esclusione, la risposta, soprattutto sapendo che non puoi rivelare esplicitamente quale non sarà rottamata). Ovviamente, chi conosce già il "gioco" intuisce più facilmente il senso di quel «tra», ma chi lo legge per la prima volta può ben pensare che si tratti di una questione più semplice e meno probabilistica di quanto sia nelle intenzioni di chi lo propone.
Per quanto riguarda le domande sulla seconda versione del problema:
Citazione di: Eutidemo il 04 Aprile 2021, 15:05:14 PM
"Quante sono le probabilità di sopravvivenza che A e C possono ragionevolmente aspettarsi, dopo aver ricevuto ciascuno l'informazione di cui sopra,
se ho bene inteso quell'«aspettarsi» (riflessivo, quindi A si aspetta un esito, C si aspetta un esito):
Citazione di: Phil il 04 Aprile 2021, 12:16:16 PM
A, per quel che sa, si aspetta di avere 1/3 di probabilità e anche C, per quel che sa, si aspetta di averne 1/3 (se sono appassionati di statistica)
poi
Citazione di: Eutidemo il 04 Aprile 2021, 15:05:14 PM
quante sono quelle reali che effettivamente hanno?
se per «reali» intendi probabilità basate su tutti i dati disponibili, ovvero quelli che abbiamo noi osservatori/giocatori, allora:
Citazione di: Phil il 04 Aprile 2021, 12:16:16 PM
noi osservatori esterni, per quel che sappiamo (ovvero escludendo B), sappiamo che A e C hanno ognuno il 50% (e loro concorderebbero, se sapessero cosa la guardia ha detto ad entrambi)
Citazione di: Phil il 04 Aprile 2021, 13:43:46 PM
Citazione di: bobmax il 04 Aprile 2021, 12:30:15 PM
No, noi sappiamo che C ha 2/3.
Proprio per le condizioni che conosciamo.
Mi riferivo alla seconda versione proposta da Eutidemo, quella in cui noi sappiamo che il guardiano dice ad A che fra C e B morirà B e sappiamo che dà la stessa informazione a C (riferendosi ad A e B); credo che questo equivalga al guardiano che dice «fra A, B e C morirà B», dunque, per noi osservatori esterni, restano solo A e C con il 50% (sbaglio?).
Avevo capito male. Pensavo ti riferissi al problema originale.
Penso anch'io che in questo caso per gli osservatori esterni vi sia il 50% sia per A sia per C.
In quanto per l'osservatore esterno l'informazione ricevuta coincide con l'aver tolto B dalla terna.
Ciao Eutidemo, la probabilità è sempre oggettiva.
Ma non nel senso che è una realtà che prescinde dall'osservatore.
È oggettiva nel senso che la probabilità dipende necessariamente dalle condizioni che l'osservatore conosce.
Date certe condizioni ecco la probabilità!
Così come scrive Phil.
Di modo che, se la stessa domanda l'avesse fatta pure B e la risposta fosse stata C, noi osservatori esterni a conoscenza delle tre risposte potremmo dire che A sarà graziato al 100%.
Mentre ognuno dei tre prigionieri dovrà invece necessariamente stimare la propria probabilità a 1/3.
La probabilità dipende sempre dalle condizioni conosciute. Non è mai "reale" nel senso di fattuale.
Tanto è vero che quando diventa 100% non è più in effetti probabilità ma un fatto.
Salve bobmax. Citandoti : "Di modo che, se la stessa domanda l'avesse fatta pure B e la risposta fosse stata C, noi osservatori esterni a conoscenza delle tre risposte potremmo dire che A sarà graziato al 100%.
Mentre ognuno dei tre prigionieri dovrà invece necessariamente stimare la propria probabilità a 1/3".
E' tutto giusto ma purtroppo rappresenta una visione parzialedel problema probabilistico : hai considerato le probabilità relative agli osservatori esterni, poi hai considerato le probabilità per ciascuno dei TRE coinvolti.
Manca una importante considerazione : quella relativa ai SOLI DUE che dovranno morire..............le cui probabilità di morte - dopo la risposta del guardiano - risultano passare da 1/3 a 1/2 ciascuno. E' questo il dato la cui incertezza ha mosso -A- nel suo porre la propria domanda al guardiano. Saluti.
Tuttavia Viator, i due che dovranno morire hanno una probabilità del 100% ciascuno di morire.
Difatti non è più una questione di probabilità.
Per il guardiano, che sa come stanno le cose, non vi sono probabilità ma solo certezze.
Per noi che osserviamo da fuori vi è la certezza, e non la probabilità, che B muoia, mentre vi è la probabilità del 50% che muoia A e la stessa per B (paradosso integrato)
Mentre per A, per B e per C la propria probabilità di morire è 2/3.
(paradosso integrato)
Ciao Eutidemo. Mi riferisco alla prima formulazione.
Appoggiandomi alle critiche di Phil, mi chiedo quanto della difficoltà nell'accettare la soluzione proposta non derivi dal fatto che hai scelto forse una versione del problema non felice.
Infatti a rigore la domanda di A è irricevibile dal guardiano, perché incompleta.
A infatti esclude il caso che sia B che C muoiano entrambi.
Se fossi stato il guardiano non avrei risposto pensando a una domanda trabocchetto.
Ma, se tuttavia il guardiano ha risposto, come facciamo a considerare corretta la risposta a una domanda formulata in modo errato?
La tua seconda formulazione eredità quindi le stesse mie critiche.
Tuttavia , volendola tenere in piedi questa formulazione , se il calcolo delle probabilità muta in base alle informazioni date dal guardiano, tu stesso hai ammesso che il guardiano non sta dando alcuna informazione, affermando una ovvietà. Sapevamo già, senza bisogno che il guardiano c'è lo dicesse, che almeno uno fra B e C sarebbe stato destinato a morire.
Ma se non c'è nessuna nuova informazione allora non muta là probabilità.
Si può anche dimostrare , se ancora occorresse, che non abbiamo alcuna nuova informazione .
Infatti qualunque conclusione traiamo dal sapere che B morirà , giusta o sbagliata che sia, dovremmo trarla ugualmente per coerenza dal sapere che sia invece C a morire.
Cosa cambia per A sapere chi fra B e C morirà?
Quindi che differenza fa' sapere chi sia a morire fra B e C in base alle conclusioni che ne possiamo trarre?
Quindi la risposta te la sei data da solo.
Là probabilità non muta , e rimane quindi 1/3 ,perché non sono cambiate le informazioni a nostra disposizione.
Riassumendo credo che la "morale" del problema sia la seguente.
Se disponiamo di una nuova informazione, prima di ricalcolare la probabilità, accertiamoci che sia davvero una nuova informazione, e non sia invece una informazione che avevamo già, ma formulata diversamente , tanto da sembrarci nuova.
Inizio ad appassionarmi a questi problemi che Eutidemo ama proporre, tanto che, con una certa presunzione, inizierei a stilare un vademecum che ci aiuti a risolvere con metodo i prossimi che vorrà' proporci:
1. Disponendo di tutte le informazioni necessarie per trovare la soluzione, averne in aggiunta di non necessarie può portare fuori strada .
2. Avere pure solo le informazioni necessarie, ma ridondanti, cioè le stesse informazioni diversamente formulate, può ugualmente fuorviare.
Quindi la soluzione si trova facilmente se si riesce, cosa meno facile, a riformulare il problema sfrondandolo dal non necessario, magari introdotto volutamente ad arte , per portarci fuori strada.
Ciao Phil :)
Secondo me, la formulazione «tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B» non è affatto ambigua; ed infatti A aveva premesso al guardiano: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo!".
Per cui è ovvio che il guardiano, rispondendogli «tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B», non intendeva affatto escludere la possibilità che anche C potesse morire; altrimenti gli avrebbe rivelato chi era il prigioniero graziato, cosa che non poteva fare:
- sia per la premessa;
- sia perchè A stesso non glielo aveva affatto chiesto (precisandogli esplicitamente che non lo voleva sapere).
Semmai, per rendere la cosa ancora più esplicita, avrei potuto scrivere, come risposta del guardiano: "«tra B e C, quello SICURAMENTE destinato a morire domani all'alba è B».
Nella versione del paradosso da me riportata, tale precisazione non c'era (in quanto ritenuta superflua), ma, tutto sommato, secondo me, ci sarebbe stata bene; per cui, sotto tale aspetto, trovo senz'altro utile il tuo suggerimento.
;)
***
Se, invece, il guardiano avesse risposto solo con un secco «B morirà», il trucco matematico del "sottoinsieme" non avrebbe funzionato; in tal caso, infatti, non ci sarebbe stato alcun dubbio che le probabilità di sopravvivenza di A e C sarebbero state di 1/2 per uno (come anche Baylham sostiene, ed io con lui)!
***
Per quanto invece riguarda la tua risposta circa la seconda versione del problema, penso che anche io avrei risposto più o meno come te; e questo, secondo me, evidenzia in modo solare quale sia il trucco dei "sottoinsiemi" (in sè matematicamente ineccepibile).
Ed infatti, a prescindere da ciò che "si aspettano" A e C, in base alle loro domande artificiosamente "riduttive", alla fine, la loro probabilità di salvarsi o morire, se B è condannato, nella "realtà oggettiva" non può essere che del 50% a testa.
***
Un saluto! :)
***
Ciao Bobmax :)
Sono d'accordo con te sul fatto che la probabilità è sempre "oggettiva"; ma è tale proprio perchè prescinde dal singolo osservatore, altrimenti sarebbe "soggettiva".
***
Intendo "soggettiva" nella misura in cui essa dipende necessariamente dalle condizioni che l'osservatore conosce; o, più esattamente, dipende dalle sue informazioni, le quali possono essere più o meno esatte o più o meno complete.
***
Ad esempio, in base alle informazioni ricevute dall'Abwehr sulle condizioni dell'esercito russo, l'OKW tedesco calcolò correttamente che le probabilità di riuscita dell'Operazione Barbarossa sarebbero state superiori all'80%; però tali informazioni, sebbene sostanzialmente esatte, erano tuttavia incomplete, per cui, "in realtà" le probabilità di riuscita dell'Operazione Barbarossa erano inferiori al 50%.
Con il risultato "reale" che ben conosciamo!
***
Allo stesso modo A, dopo la sua domanda, è in possesso di una "informazione incompleta", e, cioè, che tra B e C uno dei due morirà; informazione di cui, peraltro, era già in possesso anche senza dover fare nessuna domanda.
***
Per cui è senz'altro corretto asserire che A, per quello che ne sa, non può sperare di avere più di 1/3 di probabilità di farcela; d'altronde, da parte sua, C si trova nelle stesse condizioni di A, per cui, se fa anche lui la stessa domanda al guardiano, non può neanche lui sperare di avere più di 1/3 di probabilità di farcela.
E, fin qui, le due aspettative non sono affatto in contrasto tra di loro!
***
Si tenga però presente che nessuno dei due è al corrente che, in base alla domanda che l'altro prigioniero ha fatto al guardiano, che dal punto di vista "soggettivo" dell'altro la sua probabilità di sopravvivenza è invece miracolosamente salita da 1/3 a 2/3; come risulta evidente dalla formulazione del mio "PARADOSSO INTEGRATO".
***
Quindi:
- non essendo affatto contraddittorio che, in base alle loro limitate e incomplete informazioni, ciascuno dei due possa "soggettivamente" presumere che l'altro abbia i 2/3 di probabilità di farcela;
- risulta invece contraddittorio ritenere che "oggettivamente" entrambi, nella realtà effettiva, possano avere i 2/3 di probabilità di farcela.
Questo è palesemente "impossibile"!
***
E' indubbiamente vero che, in base alle informazioni di cui sono in possesso, e ai relativi "calcoli matematici", le "aspettative probabilistiche" di A e C possono essere "soggettivamente" differenti, ed anche matematicamente in contrasto tra di loro; ma se B è destinato a morire, A e C, nel mondo reale, hanno "oggettivamente", la stessa probabilità di salvarsi, pari al 50% l'uno.
Su questo, secondo me, non ci piove.
***
Un saluto! :)
***
Ciao Eutidemo.
La probabilità è il risultato di un calcolo.
Non è un qualcosa che esiste di per se stesso.
Questo calcolo segue una logica che è oggettiva.
La logica infatti prescinde dal soggetto.
Oggettivamente, dato ciò che si conosce, il calcolo delle probabilità conduce allo stesso risultato.
La probabilità perciò è oggettiva perché chiunque, nelle stesse condizioni di conoscenza!, deve necessariamente giungere allo stesso risultato.
È lo stato dell'osservatore a determinare il calcolo delle probabilità.
Non esiste una probabilità reale che prescinde dallo stato dell'osservatore.
Di reale ci sono solo i fatti!
Mentre tu confondi le probabilità con i fatti.
I fatti prescindono da ciò che si sa, perciò dallo stato di conoscenza dell'osservatore, le probabilità no.
Citazione di: Eutidemo il 05 Aprile 2021, 05:37:15 AM
Ciao Phil :)
Secondo me, la formulazione «tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B» non è affatto ambigua; ed infatti A aveva premesso al guardiano: "So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo!".
Per cui è ovvio che il guardiano, rispondendogli «tra B e C, quello destinato a morire domani all'alba è B», non intendeva affatto escludere la possibilità che anche C potesse morire; altrimenti gli avrebbe rivelato chi era il prigioniero graziato, cosa che non poteva fare:
la risposta è ambigua come lo è la domanda.
Una domanda non ambigua , nel senso che ad essa il guardiano è certamente autorizzato a rispondere, è :"dimmi almeno uno dei due che sia destinato a morire".
Una possibile risposta è :" almeno B è destinato a morire"
Il guardiano è autorizzato a dare questa risposta.
Infatti con essa non aggiunge nulla a ciò che A già non sappia di rilevante.
Quindi non sta rivelando nulla che non rispetti le consegne del re.
Non avendo nessuna nuova informazione rilevante A non può modificare le sue aspettative.
1/3 erano e un 1/3 restano.
Il motivo per cui il problema sembra trasformarsi in un paradosso consiste nell'attribuire rilevanza ad una informazione che rilevanza non ha.
Chi ha escogitato il problema volutamente intendeva indurci in errore ad illustrazione della nostra facilità a cadere in inganno in questioni che riguardino là probabilità.
Citazione di: Eutidemo il 05 Aprile 2021, 06:54:09 AM
Ciao Bobmax :)
Sono d'accordo con te sul fatto che la probabilità è sempre "oggettiva"; ma è tale proprio perchè prescinde dal singolo osservatore, altrimenti sarebbe "soggettiva".
***
Intendo "soggettiva" nella misura in cui essa dipende necessariamente dalle condizioni che l'osservatore conosce; o, più esattamente, dipende dalle sue informazioni, le quali possono essere più o meno esatte o più o meno complete.
***
Le condizioni di partenza note su cui impostare il calcolo cosa hanno a che fare con la soggettività?
Le informazioni devono essere sufficienti per impostare un calcolo, non complete, e che siano esatte in un problema puramente teorico lo si da' per scontato, a meno che non risultino ambigue perché il problema è mal formulato.
@ Eutidemo.
Seppure la matematica , di cui la teoria delle probabilità è parte, possa nascere da una intuizione soggettiva, essa è oggettiva .
La matematica non è validata o meno dal fatto che trovi pratica applicazione.
Le verifiche in matematica si fanno, ma non sono di tipo pratico. Si può parlare di matematica corretta solo se tale viene giudicata dalla comunità dei matematici in seguito alle loro verifiche.
In un certo senso quindi anche la matematica è vera fino a prova contraria, ma le prove sono verifiche di correttezza formale, non di corretta applicabilità pratica.
Tu hai buon diritto nell'affermare che non prendi per buona una previsione probabilistica se non ne provi la validità pratica personalmente, e qui si che c'entra la soggettività.
Non è che tu sei digiuno di nozioni matematiche, tutt'altro, ma è che tu ti rifiuti liberamente di accettare di assumere il punto di vista della matematica, la quale non richiede prove di applicabilità sul campo.
In questo senso soltanto la matematica è oggettiva, cioè vera a meno di errori formali sempre rimediabili attraverso verifiche che sono parte del mestiere del matematico.
Il vero problema "pratico" della matematica è che le verifiche su alcune sue branche sono molto difficili , e pochi matematici riescono ad adempiervi, per cui poche saranno le verifiche che confermino l'oggettività di quella branca di matematica.
Ma non è questo il caso della branca della teoria delle probabilità che può apparire ostica solo a noi, non addetti ai lavori.
Si può rimediare a ciò con l'intuito, consci però della sua fallacita' illustrata bene dai problemi che tu sovente ci proponi, oppure affidandosi al non credo se non provo, consci però di non stare facendo in tal modo matematica.
Siccome poi la teoria delle probabilità trova ampie amplificazioni pratiche , è facile confondere la pratica con la teoria.
Il problema che tu ci hai posto è puramente teorico e richiede di essere correttamente formalizzato.
Noi, nella improbabile parte di matematici, abbiamo rilevato, a seguito di nostre verifiche, che ben formulato non è, e non è cosa su cui si può sorvolare.
Non possono esserci informazioni volutamente sottintese , omesse perché ovviamente deducibili da tutti.
Perché allora si che, deducendo ognuno a suo modo, la questione si fa' soggettiva.
Citazione di: Eutidemo il 05 Aprile 2021, 05:37:15 AM
Se, invece, il guardiano avesse risposto solo con un secco «B morirà», il trucco matematico del "sottoinsieme" non avrebbe funzionato; in tal caso, infatti, non ci sarebbe stato alcun dubbio che le probabilità di sopravvivenza di A e C sarebbero state di 1/2 per uno (come anche Baylham sostiene, ed io con lui)!
La risposta «B morirà» non inficia né la prima versione (in cui viene infatti spesso usata, come puoi controllare in rete), né la seconda. Il sottoinsieme resta tale perché è impostato dalla domanda; parafrasando: nell'insieme B + C chi morirà? B morirà (quindi il suo 1/3 di probabilità "ricade" su C).
Le probabilità diventano 1/2 non affermando «B morirà», ma se si è a conoscenza che la guardia dice «fra B e C morirà B» e «fra A e B morirà B» (come già discusso con
Bobmax, v. post #28).
IPOTESI DI SOLUZIONE AL PARADOSSO DEI TRE PRIGIONIERI
Anche tenendo conto di alcune intelligenti ed acute argomentazioni prospettate dagli altri partecipanti al presente "thread", penso di essere pervenuto all'unica ipotesi di soluzione possibile del paradosso dei tre prigionieri; o, quantomeno, a quella che "mi sembra" (con beneficio d'inventario) la migliore sotto il profilo logico.
L'ho fatto calandomi nei panni di A.
***
Sebbene rinchiusi nelle nostre celle, noi prigionieri siamo comunque venuti a conoscenza del fatto che uno di noi tre ha ricevuto la grazia.
Però:
- non conosciamo il nome del fortunato prigioniero;
- sappiamo pure che il guardiano non potrà assolutamente rivelarci, nè direttamente nè indirettamente, chi esso sia.
***
Matematicamente, io già so che tra B e C uno dei due dovrà necessariamente morire, per cui, in un primo momento, ritengo inutile fare domande al riguardo al guardiano; ed infatti, qualunque cosa lui mi risponda, le mie probabilità di sopravvivenza resteranno sempre pari ad 1/3.
***
Però, poi, alla fine mi decido a chiamarlo e gli dico: ""So che uno di noi tre avrà salva la vita, ma so anche che tu non puoi rivelarci chi è; quindi io non ti chiedo questo, ma voglio soltanto sapere chi, tra B e C, è sicuramente destinato a morire domani all'alba".
E lui mi risponde: "Va bene. Tra B e C, quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B".
***
Pertanto, io, nel ruolo di A:
a)
Non vengo a sapere nulla di nuovo circa la mia personale probabilità di sopravvivere, che resta tale e quale la stessa che avevo prima di fare la domanda (1/3);
b)
Però vengo ad acquisire due nuovi elementi, di cui prima non ero a conoscenza, e, cioè che:
- tra B e C, B dovrà sicuramente morire, per cui la sua probabilità di sopravvivere si riduce in ogni caso a ZERO;
- C, invece, entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
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E fin qui siamo tutti d'accordo!
***
Dopodichè mi metto a ragionare un po', e mi domando che cosa accadrebbe se io, adesso, chiedessi al guardiano: "Senti, visto che sei stato così gentile, mi potresti dire anche, chi, tra me A, e B, è sicuramente destinato a morire domani all'alba".
Probabilmente accadrebbe che il guardiano mi manderebbe a quel paese; però, riflettendoci meglio, poi mi rendo conto che, in fondo, sarebbe del tutto superfluo fargli una domanda del genere...perchè io già so "con certezza" che cosa mi risponderebbe, se avesse la pazienza e la gentilezza di farlo.
E fare domande di cui si conosce già la risposta è inutile.
***
Ed infatti:
a)
Se sia io A che B fossimo destinati a morire, il guardiano sarebbe costretto a rispondermi, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", perchè, se mi rispondesse che "quello destinato a morire domani all'alba sei tu, A", indirettamente, mi rivelerebbe che il prigioniero graziato è C, cosa che gli è proibita (perchè se sia io A che B siamo condannati, è ovvio che C si salva).
Rispondendomi, invece, che "tra di voi quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", non escluderebbe affatto l'ipotesi che anche io, però, potrei subire lo stesso destino; lasciando quindi "aperta" tale eventualità, e non rivelandomi, così, chi è il prigioniero graziato.
b)
Se, invece, il prigioniero graziato sono a io A, è ovvio che, a maggior ragione, il guardiano sarebbe costretto a rispondermi, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B"; perchè in tal modo non escluderebbe affatto che anche io "potrei" avere lo stesso destino.
Altrimenti mi rivelerebbe direttamente che il prigioniero graziato sono io, cosa che gli è proibita.
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Una volta pervenuto a tale conclusione, e, cioè, che ad una mia eventuale domanda il guardiano (per non rivelare chi è il prigioniero graziato) mi dovrebbe "necessariamente" rispondere che, tra me e B, "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", io non potrei in alcun modo sapere se sono salvo o meno; però posso matematicamente calcolare che la mia probabilità di sopravvivenza sale da 1/3 a 2/3, perchè ha assorbito la probabilità di sopravvivenza di B, che si è ridotta a zero anche nel mio caso.
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Tuttavia non posso certo dimenticare che, in base alla mia originaria domanda al guardiano, anche la probabilità di sopravvivenza di C era salita da 1/3 a 2/3, avendo anch'essa assorbito la probabilità di sopravvivenza di B; la quale, anche nel suo caso, si è ridotta a zero, quando si è effettuato il riscontro del "sottoinsieme" B-C.
***
Ciò premesso, sia pure con beneficio d'inventario, mi sento autorizzato a concludere che:
- se è vero che nei nostri due diversi rispettivi "sottoinsiemi", nel momento in cui B è andato ZERO-CHANCE, sia io A che C siamo saliti ai 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- è anche vero, però, che, "compattando" matematicamente i due diversi "sottoinsiemi" in un "insieme" matematico unitario, ne consegue che sia io A che C dobbiamo necessariamente ridiscendere dai 2/3 ad 1/2 di probabilità di sopravvivenza a testa, altrimenti i conti non tornano più!
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Però, ovviamente, posso benissimo essere in errore (come anche troppo spesso mi accade)!
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:)
Eutidemo se tu ti immedesimii con A , io mi immedesimo con il re e impietosito do' a te la grazia , mentre ancora devo decidere se tagliare o meno la lingua al guardiano, visto che dando una non risposta a una non domanda ha rischiato di eludere le mie consegne.😅
Ciao Iano :)
Forse potrebbe farlo la "Regina di Cuori" nel famoso racconto di Lewis Carroll; ma, nel mondo reale, penso che neanche Erdoğan punirebbe un suo giannizzero per una "non risposta" a una "non domanda" (sebbene, visto il soggetto io non ne sia poi così sicuro)!
;D
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Comunque, a parte gli scherzi, vi sarei davvero grato se mi indicaste qualche eventuale errore logico nella mia soluzione.
Ed infatti, in precedenza, avevo ipotizzato per mio conto anche altre soluzioni del paradosso; le quali, però, ad una mia "corrosiva" analisi logica "autocritica", non avevano retto.
Quella che vi ho esposto, invece, almeno per ora ha retto a tutte le mie "autoanalisi critiche"; ma questo non vuol dire affatto che anch'essa non abbia dei difetti logici che mi sono sfuggiti.
Per cui ritengo senz'altro opportuno sottoporla al giudizio altrui, perchè il proprio, per quanto si cerchi di renderlo il più possibile lucido e spassionato, alla fine è sempre un po' "infido"!
***
Un saluto! :)
***
Ciao Eutidemo
Alla seconda domanda di A il guardiano non può che rispondere B, come giustamente tu osservi.
Di modo che la risposta nulla aggiunge a ciò che A già conosce.
E ciò che conosce è che tra C e B, B dovrà certamente morire.
Alla prima domanda il guardiano era libero di rispondere B oppure C, l'unica condizione è che fosse un morituro.
Ma alla seconda domanda la risposta B è inevitabile.
Di modo che la probabilità di A resta 1/3 e C 2/3.
Questo è il punto di vista di A e nostra che conosciamo quanto A.
Ma non il punto di vista di C, per il quale ognuno dei tre ha 1/3.
Diverso sarebbe stato il caso in cui la prima domanda fosse stata: "Dimmi chi morirà tra A, B e C"
In questo caso la risposta B avrebbe comportato una probabilità di 1/2 per A di sopravvivere.
Se la seconda domanda la fa invece C (senza che A possa sentire la risposta) allora, per noi esterni, le probabilità tornano a 1/2 sia A che C.
Solo per noi osservatori esterni però.
Perché per A e per C la probabilità di sopravvivenza di se stessi resta 1/3.
Ciao Bobmax :)
Innanzittuto mi fa piacere che anche tu sia d'accordo con me che, alla seconda domanda di A (reale o meramente ipotetica) il guardiano non potrebbe che rispondere B.
:)
***
Quindi, seguimi bene, il prigioniero A:
- non solo viene a sapere che tra C e B, B dovrà certamente morire, così come il guardiano gli ha rivelato;
- ma, sulla base di tale prima informazione, viene anche a dedurre razionalmente che, se chiedesse al guardiano chi dovrà morire tra A e B, costui gli dovrebbe necessariamente rispondere che anche in tal caso a dover certamente morire è B.
***
Questo "snodo logico", sul quale mi pare che anche tu sia d'accordo, è fondamentale per comprendere la mia "ipotesi di soluzione"!
***
Ed infatti, ragionando in modo "consequenziale":
1)
In base alla prima "domanda-risposta":
- tra B e C, dovrà sicuramente morire B, per cui la sua probabilità di sopravvivere si riduce a ZERO;
- il prigioniero C, quindi, entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
2)
In base alla seconda "domanda-risposta":
- anche tra A e B, dovrà sicuramente morire B, per cui la sua probabilità di sopravvivere si riduce a ZERO;
- il prigioniero A, quindi, in base allo stesso ragionamento che valeva per C, entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
***
Ed infatti, se consideriamo corretto il primo calcolo matematico-probabilistico (come certamente è), ne consegue che dobbiamo necessariamente considerare corretto anche il secondo calcolo matematico-probabilistico.
Si tratta delle due facce di una stessa medaglia!
***
Ma poichè è "impossibile" che sia A che C abbiano entrambi i 2/3 di probabilità di sopravvivenza, non ci resta che effettuare una "sintesi" tra le due descritte "tesi" (1) e "antitesi" (2), concludendo che:
- se è vero che nei due diversi rispettivi "sottoinsiemi", nel momento in cui B è andato ZERO-CHANCE, sia A che C sono saliti ai 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- è anche vero, però, che, "sintetizzando" matematicamente i due diversi "sottoinsiemi" in un "insieme" matematico unitario, ne consegue che sia A che C devono necessariamente ridiscendere dai 2/3 ad 1/2 di probabilità di sopravvivenza a testa.
Altrimenti i conti non tornano più!
***
Un saluto :)
***
No Eutidemo, il tuo secondo calcolo è errato.
Perché mentre alla prima domanda le risposte possibili erano due (B o C) alla seconda domanda la risposta possibile è una sola (B).
Diverso il caso se la seconda domanda la avesse fatta C.
Perché in questo caso le risposte possibili sarebbero state due (A o B).
L'osservatore gioca un ruolo fondamentale!
La probabilità dipende sempre dall'osservatore, da ciò che conosce.
Anche qui, come con la roulette, non riesci a togliere le tue ruote dai binari per andare dove la logica chiama.
Ciao Bobmax :)
Ti ringrazio per le tue considerazioni, perchè mi danno la conferma definitiva che il mio ragionamento è corretto; ed infatti, avendo letto le tue obiezioni, a me sembra evidente che sei tu che non riesci "a togliere le tue ruote dai binari" dalla dicotomia "osservatore interno/osservatore esterno", per andare là "dove la logica chiama".
***
Ed infatti se l'"osservatore interno" A , dopo la risposta del guardiano, "si mette a ragionare", in un certo qual modo, attraverso le sue riflessioni razionali, lui finisce per "dedurre" quello che che Bobmax e Eutidemo, gli "osservatori esterni", sanno benissimo senza dover fare nessun ragionamento; per cui, se hai la pazienza e la cortesia di leggermi attentamente e pacatamente, "sine ira ac studio", voglio fare un ultimo appello alle tue indubbie facoltà logiche, perchè, in questo dibattito, ho avuto modo di apprezzarle, e le considero indubbiamente superiori alla media.
***
Ed infatti hai perfettamente ragione quando scrivi (come anche io ho scritto) che "alla prima domanda le risposte possibili erano due (B o C) alla seconda domanda la risposta possibile è una sola (B)"; su questo non ci piove, tuttavia, se ci rifletti bene, si tratta di una considerazione "correttissima", la quale, però , è assolutamente "irrilevante" sotto il profilo logico, ai fini della soluzione del problema.
Ed infatti in nessun modo essa viene ad invalidare il mio ragionamento, come meglio spiegherò più avanti.
***
Quanto, poi, alla tua successiva considerazione, e, cioè, che "l'osservatore gioca un ruolo fondamentale, e, quindi (almeno per lui), la probabilità dipende da ciò che conosce", anche su questo non ci piove; e, oltre a costituire una considerazione "correttissima", per giunta, a differenza della tua prima considerazione, è anche senz'altro "rilevante" ai fini della soluzione del problema.
Ed infatti, uno conto è quello che il prigioniero A "sa", ovvero che, pur ignorandolo, può "dedurre" razionalmente, ed un altro conto è quello che sappiamo noi; che siamo "esterni" alla vicenda, e, quindi, vediamo benissimo che le percentuali di A e B sono perfettemante uguali (1/2).
Ma questo A non lo può "vedere", e quindi è per questo che io mi sono calato nel personaggio.
***
Cerca di farlo anche tu!
***
Se farai così, ti renderai conto che:
1)
All'inizio, A non può che sperare di avere 1/3 di probabilità di sopravvivenza.
2)
In base alla prima "domanda-risposta", invece, scopre che, fermo restando che lui continua ad avere 1/3 di probabilità di sopravvivenza:
- tra B e C, dovrà sicuramente morire B, per cui la probabilità di B di sopravvivere si riduce a ZERO;
- il prigioniero A, quindi, si rende conto che il prigioniero C entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3;
3)
- In base alla seconda "domanda-risposta", che A deduce razionalmente in base a ciò che è venuto a sapere dalla prima "domanda-risposta", A si rende conto che:
- anche tra A e B, dovrà sicuramente morire B, per cui la probabilità di B di sopravvivere si riduce a ZERO;
- il prigioniero A, quindi, in base allo stesso ragionamento che valeva per C, entra in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
Non possiamo ovviamente dire che 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, se lo è già cuccato C, per cui per A non ne avanza più niente; ed infatti, qui, non si tratta di "quello che avanza di un pranzo", bensì di due alternative "sottoinsiemistiche" coesistenti e sovrapposte sotto il profilo logico, e non di eventi "prandiali" cronologicamente susseguentesi (B-C e A-B)
***
E' questo il punto del mio ragionamento sul quale, secondo me, tu ti "irrigidisci" immotivatamente; mentre invece non dovresti.
Ed infatti, se consideriamo corretto il primo calcolo matematico-probabilistico (sul quale siamo entrambi d'accordo), ne consegue che dobbiamo necessariamente considerare corretto anche il secondo calcolo matematico-probabilistico.
Si tratta delle due facce di una stessa medaglia!
***
La circostanza, come tu scrivi: "che alla prima domanda le risposte possibili, da parte del guardiano, erano due (B o C), mentre alla seconda domanda l'unica risposta possibile da parte del cervello di A, era (B)", a ben vedere, non ha il benchè minimo riflesso su quello che, comunque, il prigioniero A (l'osservatore interno alla storia) "è di fatto venuto a "sapere"; e non ha alcuna rilevanza se lo sia "è venuto a "sapere" direttamente grazie alla risposta del guardiano, o se, successivamente, lo abbia "dedotto" in base a tale risposta.
***
Il che vuol dire che A, cioè l'"osservatore", come tu correttamente lo definisci, ormai "sa" (sia pure per deduzione) che anche "tra lui A e B", dovrà sicuramente morire B, per cui la probabilità di sopravvivere di B, anche sotto tale profilo, si riduce a ZERO ; ma se è così, il prigioniero A, in qualità di "osservatore", non può che concludere che, in questo caso, anche lui è entrato in possesso del 1/3 di probabilità di sopravvivere di B, per cui pure la sua probabilità di sopravvivere aumenta a 2/3.
La circostanza che "alla prima domanda le risposte possibili erano due (B o C) alla seconda domanda la risposta possibile è una sola (B)", se ben ci rifletti, non può in alcun modo mettere in dubbio tale conclusione dell'"osservatore" A all'interno della storia.
Non vedo proprio come!
***
Ma attenzione!
Poichè, l'"osservatore" A si rende conto benissimo che il calcolo matematico che aveva fatto su B-C dopo la risposta del guardiano, pur essendo del tutto corretto rapportato a tale prima ipotesi alternativa (che io chiamo "sottoinsieme 1"), entra in contrasto con l'analogo calcolo matematico che lui è legittimato a fare su A-B, dopo la sua deduzione (che io chiamo "sottoinsieme 2"), e che è anch'essa del tutto corretto rapportato a tale seconda ipotesi alternativa, si rende conto che deve trovare il modo di conciliare tra di loro tali due verità matematiche; in quanto, come è noto, la matematica non è un'opinione, per cui i conti devono sempre tornare.
***
Per cui, visto che è "impossibile" che sia A che C abbiano entrambi i 2/3 di probabilità di sopravvivenza, all'osservatore A non resta che effettuare una "sintesi" tra le due descritte "tesi" (1) e "antitesi" (2), concludendo che:
- se è vero che nei due diversi rispettivi "sottoinsiemi", nel momento in cui B è andato ZERO-CHANCE (sia nell'aternativa B-C che in quella A-B), sia A che C sono saliti ai 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- è anche vero, però, che, "sintetizzando" matematicamente i due diversi "sottoinsiemi" in un "insieme" matematico complessivo ed unitario, ne deve necessariamente conseguire che sia A che C devono ridiscendere dai 2/3 ad 1/2 di probabilità di sopravvivenza a testa.
Ed infatti, come detto, è "impossibile" che sia A che C abbiano entrambi i 2/3 di probabilità di sopravvivenza,
***
Non vedo quale difetto logico ci sia in questo modo di ragionare!
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Però, riflettendo sulla tua "posizione", e considerando che anche tu sei una persona estremamente razionale, e perfettamente padrona della logica, forse ho compreso che la tua riluttanza ad accettare la mia ipotesi di soluzione, è che, come ho detto in premessa, tu non riesci a "deragliare" dai binari:
- osservatore interno
- osservatore esterno
***
Su tale distinzione, in effetti, sono perfettamente d'accordo anch'io!
Però occorre tenere presente che, nel caso di specie:
- se l'"osservatore interno" A , dopo la risposta del guardiano, si mette il cuore in pace, non c'è dubbio alcuno che deve rassegnarsi ad attendersi soltanto un 1/3 di probabilità di sopravvivenza, mentre C 2/3;
- però, se l'"osservatore interno" A , dopo la risposta del guardiano, "si mette a ragionare", in un certo qual modo, attraverso le sue riflessioni razionali (da me descritte), lui può benissimo finire per "dedurre" quello che che Bobamx e Eutidemo, gli "osservatori esterni", sanno invece benissimo senza dover fare nessun ragionamento...e, cioè, che A e B hanno 1/2 di probabilità l'uno di sopravvivere.
Non so se mi sono finalmente spiegato.
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Un saluto! :)
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Caro Eutidemo
Apprezzo anch'io la tua passione per la ricerca del vero.
Quando però accenno alla sofferenza, che considero inevitabile nella ricerca della Verità, parlo per esperienza.
Perché è inevitabile la sofferenza?
Perché nella ricerca della Verità è pressoché impossibile evitare di appropriarsene convincendoci di possederla!
In questo modo la Verità invece che possederci diventa "nostra".
È l'affermazione dell'io, che però è un'illusione.
Quando poi realizziamo che eravamo in errore, che la nostra non era che tracotanza, allora, se rimane in noi ancora un po' di fede nella Verità, non può che sopraggiungere la sofferenza.
Sofferenza che provai anche nel cercare di risolvere il problema che ponesti allora relativo ai tre cappelli...
Perché all'inizio pretendevo di aver com-preso! E invece sbagliavo...
In questa nostra discussione devo perciò cercare di non mettermici io.
Perché in gioco non ci sono io, che in buona sostanza neppure esisto per davvero, ma l'affermazione del vero.
Vero che prescinde da me, senz'altro, ma che "devo" testimoniare, anche se non ne comprendo neppure il perché.
Ho fatto questa premessa perché la considero fondamentale.
Nel post successivo cercherò di spiegare dove sta il tuo errore.
Caro Bobmax. :)
Apprezzo anch'io la tua passione per la ricerca del vero; però, almeno nel mio caso, quando io, alla fine, riesco a realizzare di essere in errore, in me non sopraggiunge affatto la "sofferenza" (come dici tu), bensì sopravviene in me il "sollievo" di riuscire a rendermene conto.
***
Ed infatti, prima della mia ultima "ipotesi di soluzione", ne avevo trovate altre due, delle quali, specie la seconda, mi sembrava abbastanza convincente; però, quando poi, alla fine, "controargomentando" da solo contro me stesso, mi sono accorto che, invece, si trattava di una soluzione fallace, mi sono rallegrato per aver avuto l'elasticità mentale di riuscire ad ammetterlo.
***
Cercare di farsi convincere dalle argomentazioni altrui, invece, presenta nel contempo:
- un ostacolo;
- un vantaggio.
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Ed infatti:
a)
L'ostacolo, di eminente "carattere psicologico", consiste nel cosiddetto "effetto gara", da cui siamo un po' tutti influenzati in una discussione; cioè, come se, in un confronto logico, quello che soprattutto contasse, fosse di dare "scacco matto" dialettico all'avversario, invece di pervenire ad una vertà condivisa, il più vicino possibile a quella effettiva.
b)
Il vantaggio, invece, che è precipuamente di "carattere logico", consiste nel fatto che l'interlocutore può prospettarci degli aspetti della questione, i quali, invece, a noi, anche "controargomentando" contro noi stessi, erano sfuggiti; ed infatti, come è naturale, quattro occhi vedono meglio di due.
***
Sono infatti d'accordo con te che l'affermazione dell'"io", inteso come "ego" freudiano, sia una pericolosa illusione; e, in fondo, penso che sia la principale ragione di tutti i guai (sia di quelli nostri che di quelli altrui)!
***
Quanto al fatto che il nostro "io" non esiste, sono d'accordo con te sul fatto che non esiste come verità ultima ("noumenica"), essendo semplicemente l'"epifenomeno" di qualcosa di diverso e più grande; ma questo è un altro discorso che ci farebbe andare decisamente "off topic".
***
Quanto, infine, al fatto che nel tuo post successivo cercherai di spiegarmi dove si annida il mio errore, ringraziandoti in anticipo della cosa, ti prometto:
- che non mi intestardirò nella mia ipotesi di soluzione, se troverò logicamente convincenti le te argomentazioni;
- che non ti ingannerò, dicendoti per compiacenza che le trovo logicamente convincenti, se, invece, non dovessero convincermi per niente.
***
Però ti prego di seguire passo passo il mio ragionamento ipotetico, per confutarne i singoli passi logici che tu ritieni fallaci, altrimenti, come le volte scorse, ho difficoltà a seguirti.
***
Un saluto! :)
***
Ciao Eutidemo
Bobmax e Eutidemo non sanno affatto che A ha 1/2!
Ma sanno, attraverso il calcolo delle probabilità e in base a ciò che conoscono, che A ha 1/3.
Perché quello che loro conoscono e lo stesso di A.
Il tuo errore consiste che giustamente ammetti che la seconda domanda di A non può avere che come risposta B, epperò... NO!
Questo è ciò che fai.
Ti contraddici e persisti nella tua contraddizione senza cercare minimamente di comprendere ciò che scrivo.
Ci credo che non soffri!
Come puoi soffrire se la contraddizione non ti fa un baffo?
Così come con la roulette: gli eventi sono indipendenti epperò no!
La contraddizione non è una questione di opinione, è un problema grave! Bistrattandolo si impedisce ogni reale comunicazione.
La probabilità non è un qualcosa che si possiede, ma è il risultato di un calcolo.
Questo calcolo deriva dai dati conosciuti.
In funzione di ciò che si conosce si calcolano le probabilità.
Dire che Tizio aveva una probabilità che poi è stata presa da un altro è solo un modo di dire.
Perché la probabilità è solo il risultato di un calcolo. Risultato che cambia al variare dei dati conosciuti.
Nella fattispecie, vorrei elencare le probabilità di sopravvivenza dei tre prigionieri in funzione dei dati conosciuti.
Queste probabilità dipendono perciò da chi conosce e da che cosa costui conosce.
Tutti conoscono che solo uno sopravvivrà e che il guardiano non può far sapere chi sarà.
Solo il prigioniero che fa la domanda viene a conoscenza della riposta. E chiaramente noi esterni.
* A chiede al guardiano di conoscere almeno uno che morirà tra B e C
La risposta è B
(Il guardiano poteva rispondere B o C)
Calcolo delle probabilità di sopravvivenza:
Fatto da noi esterni: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da A: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da B: A 1/3, B 1/3, C 1/3
Fatto da C: A 1/3, B 1/3, C 1/3
* A fa una seconda domanda al guardiano per conoscere almeno uno che morirà tra A e B
La risposta è B
(il guardiano non poteva che rispondere B, in caso contrario avrebbe svelato chi si salverà)
Calcolo delle probabilità di sopravvivenza:
Fatto da noi esterni: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da A: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da B: A 1/3, B 1/3, C 1/3
Fatto da C: A 1/3, B 1/3, C 1/3
* Invece di A la seconda domanda la fa C chiedendo di conoscere almeno uno che morirà tra A e B
La risposta è B
(il guardiano poteva rispondere A o B senza svelare il graziato)
Calcolo delle probabilità di sopravvivenza:
Fatto da noi esterni: A 1/2, B 0, C 1/2
Fatto da A: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da B: A 1/3, B 1/3, C 1/3
Fatto da C: A 2/3, B 0, C 1/3
* La seconda domanda la fa invece B chiedendo di conoscere almeno uno che morirà tra A e C
La risposta è C
(il guardiano poteva rispondere A o C senza svelare il graziato)
Calcolo delle probabilità di sopravvivenza:
Fatto da noi esterni: A 1, B 0, C 0
Fatto da A: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da B: A 2/3, B 1/3, C 0
Fatto da C: A 1/3, B 1/3, C 1/3
Ciao Bobmax :)
Non ci siamo assolutamente!
Ed infatti sei tu che cadi in "palese" contraddizione, non rendendoti conto che se il calcolo matematico-probabilistico vale per B-C deve ovviamente valere anche per A-B; con il ragionamento che logicamente ne consegue, e che tu in nessun modo sei riuscito a confutare, neanche in minima parte.
***
Anzi, senza offesa, a me sembra che i casi possono essere soltanto due:
- o, prendendo fischi per fiaschi, non hai minimamente compreso il mio ragionamento, come si evince dal fatto che la tua replica non ha nessuna reale connessione logica con quello che ho scritto io (giusto o sbagliato che esso sia);
- oppure lo hai compreso benissimo, ma, non trovando il modo per confutarlo in modo appropriato, per mero puntiglio "scantoni per la tangente", facendo delle considerazioni che non hanno assolutamente alcuna attinenza nè nulla che vedere con quello che ho scritto io (giusto o sbagliato che esso sia).
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Pertanto, in entrambe le ipotesi, ritengo inutile per entrambi proseguire nella "diatriba".
Finiamola qui!
Però ti ringrazio comunque, perchè la totale assenza di argomenti validi da parte tua, tali da poter destituire di fondamento logico il mio ragionamento, mi conforta alquanto nel presumere che esso, forse, potrebbe davvero essere giusto; ed infatti, se non ci sei riuscito tu, con la tua indubbia competenza, a trovare in esso un reale difetto, è probabile che difetti non ne abbia per davvero.
Forse!
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Comunque, resto aperto a qualsiasi critica, da parte di chiunque; a condizione, però, sia pertinente a quella che "effettivamente è" la mia "ipotesi di soluzione", e non a quella che "ci si mmagina che essa sia".
In ogni caso, non mancherò di cercare di "falsificarla" io stesso, come sempre cerco di fare; e come ho fatto con successo con le mie due precedenti ipotesi.
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Un saluto! :)
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Ciao Bobmax :)
Perdonami, perchè ho visto il tuo successivo post solo dopo aver risposto al precedente; per cui, in tale mia risposta, non ne ho potuto tenere conto.
Quindi non tenere conto di quello che ho scritto lì, perchè potrebbe essere superato!
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Ora non ho tempo per leggere il tuo ultimo post, perchè sto uscendo di casa; però, almeno a colpo d'occhio, mi sembra che stavolta tu, "per la prima volta", sia entrato in modo davvero dettagliato e perspicuo nel merito della mia ipotesi di soluzione.
Se così fosse, ti ringrazio anticipatamente, sia che la tua esposizione finisca per convincermi (come mi auguro, dopo averti fatto perdere tutto questo tempo) oppure no.
Solo questo chiedevo!
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Spero di poterti rispondere domani, se ci riesco.
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Un caro saluto!
*** :)
Ciao Eutidemo
Mi è difficile "scantonare".
Non per mio merito, ma perché quando mi capita poi la sofferenza arriva implacabile.
Diciamo che è un po' un dono un po' una maledizione...
Ciao Bobmax. :)
Sono senz'altro d'accordo con te sul fatto che la probabilità deriva da un calcolo, ovviamente basato:
- sui dati conosciuti direttamente;
- sui dati dati dedotti logicamente dai dati conosciuti.
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Sono anche perfettamente d'accordo con te che, affermare "che Tizio aveva una probabilità che poi è stata presa da un altro" è solo un modo di dire colloquiale; come io stesso avevo già sottolineato con il mio esempio degli "avanzi del pranzo".
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Ciò premesso, sono anche d'accordo con te sul fatto che le probabilità dipendono da "chi" conosce e da "che cosa" costui conosce; ad esempio, il guardiano, conoscendo il nome di chi verrà graziato, sa benissimo che gli altri due hanno "zero" probabilità di sopravvivere (il che, più che una "probabilità", in effetti è una "certezza").
***
Questo è il calcolo più semplice da fare, e dimostra anche che:
- più completo ed esauriente è il "che cosa" qualcuno conosce;
- e più il suo calcolo delle probabilità risulterà corretto.
Ed infatti è ovvio che il "calcolo delle probabilità" che può fare il guardiano (ammesso che lo vogliamo chiamare così in senso lato), è molto più esatto di quello che possono fare i prigionieri, visto che solo lui sa chi dei tre verrà graziato.
***
Allo stesso modo, quindi, siamo anche perfettamente d'accordo sul fatto che:
a)
Il calcolo delle probabilità di sopravvivenza dei tre prigionieri che è in grado di fare il prigioniero A dopo la risposta che gli dà il guardiano, dà luogo seguente risultato: A1/3, B/0, C2/3 (se A si fermasse qui).
b)
Il calcolo delle probabilità di sopravvivenza dei tre prigionieri che è in grado di fare il prigioniero B, che non conosce tale risposta dà luogo al seguente risultato: A1/3, B/1/3, C1/3.
c)
Il calcolo delle probabilità di sopravvivenza dei tre prigionieri che è in grado di fare il prigioniero C, che non conosce tale risposta dà luogo al seguente risultato: A1/3, B/1/3, C1/3.
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Il che conferma quanto avevo premesso, e, cioè, che:
- più completo ed esauriente è il "che cosa" qualcuno conosce;
- e più il suo calcolo delle probabilità risulterà maggiormente vicino alla effettiva ed oggettiva "chance" di azzeccarci.
Come accade anche in una guerra o in una battaglia!
Ed infatti, anche solo in base alla risposta del guardiano, A sa già qualcosina di più di quello che sanno gli altri due (almeno riguardo a B e C).
***
Ed ora veniamo ai tuoi calcoli.
***
1)
A chiede al guardiano di conoscere almeno uno che morirà tra B e C
La risposta è B
(Il guardiano poteva rispondere B o C, ma la cosa non ci interessa)
Calcolo delle probabilità di sopravvivenza:
Fatto da noi esterni: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da A: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da B: A 1/3, B 1/3, C 1/3
Fatto da C: A 1/3, B 1/3, C 1/3
ESATTO!!!
;)
2)
A fa una seconda domanda al guardiano, o meglio, ne deduce da solo l'ovvia risposta che ne riceverebbe, per conoscere almeno uno che morirà tra A e B
La risposta è B (in quanto il guardiano non poteva che rispondere B, in caso contrario avrebbe svelato chi si salverà)
Calcolo delle probabilità di sopravvivenza:
Fatto da noi esterni: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da A: A 1/3, B 0, C 2/3
Fatto da B: A 1/3, B 1/3, C 1/3
Fatto da C: A 1/3, B 1/3, C 1/3
ERRATO!!!
:(
Ed infatti è matematicamente EVIDENTE che, se tra A e B a morire sarà sicuramente B, ne consegue che l'esatto calcolo della probabilità, è il seguente:
Fatto da noi esterni: A 2/3, B 0, C 1/3
Fatto da A: A 2/3, B 0, C 1/3
Fatto da B: A 1/3, B 1/3, C 1/3
Fatto da C: A 1/3, B 1/3, C 1/3.
***
Ed infatti:
- date le stesse identiche premesse, e, cioè, che se tra X e Y, deve sicuramente morire X, allora Y acquisisce i 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- ne consegue logicamente che il calcolo non può variare se a X e Y, attribuiamo prima le lettere B e C, e poi le lettere A e B.
Questo mi sembra matematicamente evidente!
3)
La seconda domanda la fa invece B chiedendo di conoscere almeno uno che morirà tra A e C
La risposta è C
(il guardiano poteva rispondere A o C senza svelare il graziato)
Calcolo delle probabilità di sopravvivenza:
Fatto da noi esterni: A 1, B 0, C 0
Fatto da A: A 1/3, B 0, C 2/3 (se si limita alla prima risposta del guardiano senza fare ulteriori deduzioni, altrimenti NO)
Fatto da B: A 2/3, B 1/3, C 0
Fatto da C: A 1/3, B 1/3, C 1/3
PARZIALMENTE ESATTO!!! (ma irrilevante e confondente)
***
In conclusione, tu non hai fatto altro che esporre dei calcoli (in parte corretti e in parte errati), i quali, però, non hanno minimamente tenuto conto delle mie argomentazioni; e, quindi, non hanno scalfito neanche un po' le mie conclusioni.
***
Ed infatti, quello che tu dovevi confutare, con un tuo ragionamento, ma che, invece, non hai minimamente sfiorata, era la mia seguente deduzione (o meglio, la deduzione che è benissimo in grado di fare anche A, in base a ciò che sa):
- se è vero che se tra B e C, dovrà sicuramente morire B, la probabilità di B di sopravvivere si riduce a ZERO e quella di C aumenta a 2/3;
- allora è anche vero che se tra A e B dovrà sicuramente morire B, la probabilità di B di sopravvivere si riduce a ZERO e quella di A aumenta a 2/3.
***
Ed invero, indubbiamente, le due proposizioni "Simul stabunt aut simul cadunt!", in quanto, come già detto:
- date le stesse identiche premesse, e, cioè, che se tra X e Y, deve sicuramente morire X, allora Y acquisisce i 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- ne consegue logicamente che il calcolo non può variare se a X e Y, attribuiamo prima le lettere B e C, e poi le lettere A e B.
***
La circostanza che A e C non possano, ovviamente, disporre entrambi della stessa probabilità di sopravvivenza di 2/3, si spiega in modo molto naturale con il fatto che i due calcoli sono del tutto "corretti", solo all'interno dei due "sottoinsiemi" B-C ed A-B, ma non lo sono più se considerati nell'ottica dell'"insieme complessivo" A B C; che A non conosce direttamente, ma a cui perviene con il "ragionamento" da me illustrato.
***
Ed infatti:
- se l'"osservatore interno" A , dopo la risposta del guardiano, si mettesse il cuore in pace, non c'è dubbio alcuno che dovrebbe rassegnarsi a sperare soltanto in un 1/3 di probabilità di sopravvivenza, mentre C, secondo i suoi giusti calcoli, verrebbe a disporre dei 2/3;
- però, se l'"osservatore interno" A , dopo la risposta del guardiano, "si mette a ragionare" come ho detto io, attraverso le sue riflessioni razionali, può benissimo finire per "dedurre", e, quindi, per "conoscere" ulteriori dati, i quali "superano", "ampliandola", la conoscenza precedente, e, quindi, gli consentono di effettuare un calcolo delle probabilità più corretto del precedente.
E, cioè, che sia lui che C hanno entrambi lo stesso 50% di probabilità di sopravvivere, se è vero che, tra ciascuno di loro due, B dovrà sicuramente morire.
***
Se non affronti tale "specifico" aspetto del mio ragionamento, per dimostrare in che cosa è fallace, allora ritengo inutile qualsiasi tua ulteriore "divagante" replica; ed infatti non voglio farti perdere altro tempo.
Anzi, mi scuso di quello che ti ho fatto già perdere.
:(
***
Un saluto :)
***
La risposta alla seconda domanda di A non può che essere B. Questo A lo SA!
E lo sa già alla prima risposta.
Di modo che la risposta alla seconda domanda non aggiunge NULLA a ciò che A già CONOSCE!
Affermare che però A se si mette a cogitare finisce per conoscere qualcosa in più... è solo una contraddizione.
Mi stupisce che nessuno qui intervenga.
Spero solo che il motivo sia che nessuno legga, o che leggendo non sia interessato, o reputi inutile intervenire.
In caso contrario, che amarezza...
Ciao Bobmax. :)
La risposta alla seconda domanda aggiunge a ciò che A già sapeva una ulteriore conoscenza deduttiva; e, cioè, che, poichè tra lui e B quello che dovrà sicuramente morire è B, ne consegue che, come è già accaduto nell'alternativa del "sottoinsieme" B-C, anche nel suo caso la probabilità di sopravvivenza sale ai 2/3.
***
Ed infatti, indubbiamente, le due proposizioni "Simul stabunt aut simul cadunt!", in quanto, come già detto:
- date le stesse identiche premesse, e, cioè, che se tra X e Y, deve sicuramente morire X, allora Y acquisisce i 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- ne consegue logicamente che il calcolo non può variare se a X e Y, attribuiamo prima le lettere B e C, e poi le lettere A e B.
Non ti pare?
***
Ovviamente sarebbe però una contraddizione supporre che A e C possano disporre entrambi della stessa probabilità di sopravvivenza di 2/3; ma questo si spiega in modo molto naturale con il fatto che i due calcoli sono del tutto "corretti" solo all'interno dei due diversi "sottoinsiemi" valutativi B-C ed A-B.
D'altronde anche i prigionieri B e C, effettuando il calcolo delle probabilità "dal loro punto di vista", correttamente presumono di avere 1/3 di probabilità a testa; il che è esatto, e non è affatto in contraddizione con il calcolo di A.
Soltanto che quest'ultimo ha più informazioni di loro, e, quindi, fa un calcolo differente; e, naturalmente, "più vicino al vero", perchè sa che B deve in ogni caso morire (cosa che gli altri due ignorano).
***
Quello che confonde le idee, è il passaggio da un "livello di conoscenza minore", ad un "livello di conoscenza maggiore" (sia in base alle informazioni ricevute che in base al proprio ragionamento); e, inoltre, passando da un "sottoinsieme" ad un altro "sottoinsieme"
Ma i calcoli dei vari detenuti, non sono affatto in contraddizione tra di loro, se vengono considerati nell'ottica dell'"insieme complessivo" A B C; che A non conosce direttamente, ma a cui perviene con il "ragionamento" da me illustrato.
***
E' invece una contraddizione affermare che A, se si mette a "cogitare", non possa conoscere qualcosa in più; perchè non è così, come mi sembra di aver ampiamente dimostrato.
***
Tuttavia, continuando a "rimuginare" sul problema, e cercando di "autocontraddirmi da solo", "forse" una pecca nel mio ragionamento l'ho trovata; però ancora non ne sono sicuro.
Se e quando ne avessi conferma, non mancherò di informarti al riguardo; ma fino ad allora non stare a perdere tempo con me.
Per ora, è meglio finirla qui!
***
Un saluto! :)
***
Concordo che vada distinto fra l'acquisizione di una informazione nuova, come quando A scopre che fra B e C, morirà almeno B (informazione che A non sapeva prima di porre la domanda, sapeva solo che uno dei due sarebbe morto, ma non chi), rispetto all'uso di quell'informazione per conclusioni che non aggiungono nuova conoscenza, come quando A considera che fra lui e B morirà almeno B: la morte di B è informazione già nota dopo la prima domanda, sarebbe stato un ampliamento di conoscenza se A avesse scoperto che fra lui e B sarebbe morto solo B, ma ciò non può esser confessato dal guardiano, quindi l'unica informazione nota, dopo la seconda domanda, resta ancora la medesima (B morirà).
In un certo senso, è come se il guardiano non rispondesse alla seconda domanda di A, perché si limita a ripetere esattamente l'informazione precedente che, essendo già acquisita da A, non può produrre nuova conoscenza solo tramite la sua ripetizione al medesimo destinatario (è un po' come se qualcuno mi chiedesse «domattina a colazione berrai latte o acqua?» e io rispondessi «acqua», poi la stessa persona mi chiedesse «domattina a colazione berrai acqua o spremuta?» e io rispondessi ancora «acqua»; questa seconda risposta non aggiunge nuova conoscenza, se consideriamo che quell'«o» non è escludente, ma è, come detto, un «vel» latino in senso insiemistico non escludente).
Dopo la prima domanda, considerando che il guardiano non può rivelare due morituri (perché comporterebbe rivelare indirettamente chi è il graziato), le risposte disponibili sono esaurite per il guardiano; quindi ad ogni ulteriore domanda di A, la riposta sarà sempre «B morirà». Se A gli chiedesse come seconda domanda «fra A e C chi morirà?», il guardiano potrebbe rispondere solo "svicolando" (nel senso strategico chiarito in precedenza) con «B morirà» o restare in silenzio. Sapendo che il guardiano può rivelare un solo morituro, la prima domanda è quella che sancisce il sottoinsieme con 2/3 di probabilità, mentre ogni ulteriore domanda, se posta dal medesimo prigioniero, non aggiunge nuova conoscenza/informazioni, tuttavia se posta invece da un altro prigioniero (per il quale è la prima domanda, mentre per noi osservatori è la seconda) ridistribuisce le probabilità (almeno agli occhi di noi osservatori) anche se la rispota è la medesima, poiché non era scontato che lo fosse (come invece è qualora il medesimo prigioniero faccia due domande).
Quindi (secondo me):, se, come prima domanda, A chiede chi morirà fra B e C, egli resta con 1/3 di probabilità di salvarsi (e scopre chi morirà fra i due); se come prima domanda chiede chi morirà fra lui e B (o C) o scopre di essere destinato a morire o si ritrova con 2/3 di possibilità di essere graziato (v post #16); se A e C interrogano il guardiano rispettivamente su B+C e B+A ed egli risponde ad entrambi «B morirà», per noi osservatori e per ciascuno di loro, se riescono a passarsi l'informazione, la probabilità diventa del 50% sia per A che per C (v. post #19).
Che differenza fa se è C oppure il guardiano a dire ad A «fra te e B morirà B»? L'informazione è la stessa, ma mentre se è il guardiano a dirlo ad A si tratta di un'informazione forzatamente ridondante rispetto alla prima domanda di A, che ha già stabilito i 2/3 (il guardiano non può aggiungere altre informazioni per non svelare il graziato), qualora sia invece C a riferire tale informazione ad A si tratta di un'informazione che sarebbe potuta essere differente: rispondendo alla prima domanda di C, chi morirà fra A e B, il guardiano aveva in teoria la possibilità di poter rispondere «A», senza svelare nulla, ma invece ha "ripartito" i 2/3 di possibilità di salvezza fra A e B tutti a favore di A (che aveva saputo che i 2/3 B+C erano "ricaduti" su C, quindi, se C gli rivela la risposta che ha ricevuto dal guardiano, può concludere di avere il 50% come C, perché sa che quanto detto a C non era una ridondante scelta forzata per il guardiano, essendo la prima domanda di C).
Ciao Phil. :)
Nella mia ipotesi di soluzione, il prigioniero A, dopo la sua prima domanda, si chiede che cosa accadrebbe se lui chiedesse di nuovo al guardiano: "Senti, visto che sei stato così gentile, mi potresti dire anche, chi, tra me A, e B, è sicuramente destinato a morire domani all'alba".
Probabilmente accadrebbe che il guardiano lo manderebbe a quel paese; però, riflettendoci meglio, A si rende conto che, in fondo, sarebbe del tutto superfluo stare a fargli una domanda del genere...perchè lui già può sapere "con certezza" che cosa gli risponderebbe il guardiano, se avesse la pazienza e la gentilezza di farlo.
E fare domande di cui si conosce già la risposta è inutile.
***
Ed infatti:
a)
Se sia A che B fossero destinati a morire, il guardiano sarebbe costretto a rispondere ad A, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", perchè, se gli rispondesse che "quello destinato a morire domani all'alba sei tu, A", indirettamente, gli rivelerebbe che il prigioniero graziato è C, cosa che gli è proibita (perchè se sia A che B sono condannati, è ovvio che C si salva).
Rispondendogli, invece, che "tra di voi quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", non escluderebbe affatto l'ipotesi che anche A, però, potrebbe subire lo stesso destino; lasciando quindi "aperta" tale eventualità, e non rivelandogli, così, chi è il prigioniero graziato.
b)
Se, invece, il prigioniero graziato fosse A, è ovvio che, a maggior ragione, il guardiano sarebbe costretto a rispondergli, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B"; perchè in tal modo non escluderebbe affatto che anche A "potrebbe" avere lo stesso destino.
Altrimenti gli rivelerebbe direttamente che il prigioniero graziato è lui, cosa che gli è proibita.
***
Una volta che A è pervenuto a tale conclusione di carattere deduttivo, e, cioè, che ad una sua eventuale domanda il guardiano (per non rivelare chi è il prigioniero graziato) gli dovrebbe "necessariamente" rispondere che, tra lui A e B, "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", il prigioniero A non potrebbe in alcun modo sapere se lui è salvo o meno; però adesso, A è matematicamente in grado di calcolare che la sua probabilità di sopravvivenza sale da 1/3 a 2/3, perchè ha assorbito la probabilità di sopravvivenza di B, che si è ridotta a zero anche nel suo caso....così come era capitato nel caso B-C di cui alla sua originaria domanda al guardiano.
***
Tuttavia A non può certo dimenticare che, in base alla sua originaria domanda al guardiano, e alla sua risposta, anche la probabilità di sopravvivenza di C era salita da 1/3 a 2/3, avendo anche C assorbito la probabilità di sopravvivenza di B; la quale, anche nel suo caso, si è ridotta a zero, quando si è effettuato il riscontro del "sottoinsieme" B-C.
***
Pertanto:
- se è vero che nei loro due diversi rispettivi "sottoinsiemi" (B-C e B-A), nel momento in cui B è andato ZERO-CHANCE, sia A che C sono saliti ai 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- è anche vero, che non è possibile che A e C abbiano entrambi, contemporaneamente, i 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- per cui, "compattando" matematicamente i due diversi "sottoinsiemi" in un "insieme" matematico unitario, ne consegue che sia A che C devono necessariamente ridiscendere dai 2/3 ad 1/2 di probabilità di sopravvivenza a testa, altrimenti i conti non tornano più!
***
Ragionando passo passo così, secondo me, e partendo dalla prima risposta avuta dal guardiano, A non può che pervenire da solo a tale conclusione; senza dover chiedere altro nè al guardiano nè agli altri prigionieri!
***
Un saluto! :)
***
Se A si attiene alle informazioni ottenute dalla prima riposta fornitagli dal guardiano, la "soluzione" resta quella comunemente accettata, ovvero quella iniziale (2/3 a C, 1/3 ad A); qualunque discorso interiore o ipotesi che A possa rimuginare, senza ottenere ulteriori informazioni da C o dal guardiano, non toglie che, stando alle informazioni disponibili, per lui C ha ancora 2/3 e lui 1/3. Non a caso, C arriva a 2/3 solo quando viene comunicata ad A l'informazione che B morirà (nuova informazione, nuova probabilità), mentre se A si autoinclude poi in un sottoinsieme con B, dopo aver saputo la prima risposta del guardiano, non ha di fatto nessuna nuova informazione che possa alterare la probabilità (diverso, come detto, è se C gli comunica l'esito della sua domanda a cui il guardiano avrebbe potuto rispondere anche diversamente; v. post precedente).
Secondo me, si tratta di valutare la differenza fra i due sottoinsiemi: quello B+C influenza il calcolo della probabilità alla luce della nuova informazione che il guardiano fornisce (B morirà), mentre l'insieme A+B a cui A pensa in seguito, non si basa di fatto su nessuna nuova informazione (né "rivelazione" del guardiano) che possa alterare la probabilità precedentemente instaurata. Detto altrimenti: se C ha 2/3 perché nell'insieme B+C morirà B, non credo che riconfermare la morte di B in A+B, senza che fosse a priori possibile affermare la mortalità di A (per non rivelare troppo), debba rendere meno probabile la sopravvivenza di C (da 2/3 a 1/2).
Da quel che ho capito, il valore di 1/3 di ogni prigioniero è "in gioco" nelle domande solo se può essere oggetto di risposta da parte del guardiano: iniziano tutti con 1/3, poi quando fra B e C si rivela (ad A) che il morituro è B, allora C eredita 1/3 da B e va a 2/3 (B e C erano entrambi in gioco come possibili risposte del guardiano); se poi C chiede chi muore fra A e B, sono A e B in gioco, perché il guardiano potrebbe infatti rispondere A o B, e se risponde B, considerando che il suo 1/3 era stato già ereditato da C, ecco che la metà dell'1/3 di B va diviso anche con A (quindi sia A che C hanno 3/6, ovvero 1/2). Tuttavia, nel caso della seconda domanda di A, verbalmente espressa o meno, non è possibile che la risposta sia A (dunque A non è in gioco), quindi in fondo c'è in gioco solo 1/3 di B; se non fosse che tale probabilità di sopravvivenza è stata già ereditato da C, e (almeno secondo me) non può essere ereditata da (né condivisa con) A perché egli non è realmente in gioco nella seconda domanda (non essendo contemplato come possibile risposta).
Ciao Phil. :)
Non c'è dubbio alcuno che, se A si limita alle informazioni ottenute dalla prima riposta fornitagli dal guardiano, la "soluzione" resta quella comunemente accettata, ovvero quella iniziale (2/3 a C, 1/3 ad A).
***
Ma, come ho scritto più volte, si può attingere alla "conoscenza" sia sulla base delle "informazioni" ricevute, sia sulla base delle "deduzioni" che da esse possono logicamente ricavarsi; e, finchè non mi dimostri che la deduzione di A è errata, per me essa rimane pienamente valida con le conclusioni che logicamente ne scaturiscono (cioè, nel "sottoinsieme" A-B, A 2/3 - B 0 ).
***
Ovviamente, come ho scritto anch'io più volte, l'ulteriore (ineccepibile) deduzione di A sul "sottoinsieme A-B", non toglie affatto che, stando soltanto alla risposta del guardiano, nel "sottoinsieme B-C", C abbia 2/3 e A 1/3.
Sono entrambi calcoli probabilistici perfettamente corretti, limitandoli, però, ciascuno al suo "sottoinsieme"; questo, in quanto la modalità di calcolo non può essere diversa per A-B e B-C (separatamente considerati).
Questo non è possibile!
Ed infatti:
- date le stesse identiche premesse, e, cioè, che se tra X e Y, deve sicuramente morire X, allora Y acquisisce i 2/3 di probabilità di sopravvivere;
- ne consegue logicamente che il calcolo non può variare se a X e Y, attribuiamo prima le lettere B e C, e poi le lettere A e B.
Questo mi sembra matematicamente evidente!
***
Però, ovviamente, tali calcoli vengono necessariamente "superati" (non "smentiti") da una superiore "sintesi insiemistica", che ne concilii le risultanze; così come meglio spiegherò più avanti...e che, anzi, tu hai spiegato molto meglio di me!
***
E vero, come tu scrivi, che A, autoincludendosi in un sottoinsieme A-B, dopo aver saputo la prima risposta del guardiano, non ha di fatto ricevuto nessuna nuova "informazione"; però può senz'altro ricavare dalla prima "informazione" ricevuta al guardiano una sua ulteriore valida "deduzione", da cui emerge logicamente quello che il guardiano dovrebbe "necessariamente" rispondergli se lui gli facesse l'ulteriore domanda che sappiamo.
Ed infatti, ed è qui che ti sbagli (e su cui io e Bobmax siamo invece d'accordo), non è affatto vero che "il guardiano avrebbe potuto rispondere anche diversamente".
Assolutamente NO!
***
Ed infatti:
a)
Se sia A che B fossero destinati a morire, il guardiano sarebbe costretto a rispondere ad A, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", perchè, se gli rispondesse che "quello destinato a morire domani all'alba sei tu, A", indirettamente, gli rivelerebbe che il prigioniero graziato è C, cosa che gli è proibita (perchè se sia A che B sono condannati, è ovvio che C si salva).
Rispondendogli, invece, che "tra di voi quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", non escluderebbe affatto l'ipotesi che anche A, però, potrebbe subire lo stesso destino; lasciando quindi "aperta" tale eventualità, e non rivelandogli, così, chi è il prigioniero graziato.
b)
Se, invece, il prigioniero graziato fosse A, è ovvio che, a maggior ragione, il guardiano sarebbe costretto a rispondergli, come nella prima risposta, che "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B"; perchè in tal modo non escluderebbe affatto che anche A "potrebbe" avere lo stesso destino.
Altrimenti gli rivelerebbe direttamente che il prigioniero graziato è lui, cosa che gli è proibita.
***
Per cui non è affatto vero che, alla seconda domanda, il guardiano potrebbe rispondere come gli pare; ciò, in quanto la sua ulteriore risposta è inesorabilmente condizionata dalla prima, e dal suo vincolo di non poter rivelare il nome del prigioniero graziato.
Fino a qui, infatti, io e Bobmax siamo perfettamente d'accordo!
***
Di qui in poi, invece, non siamo più d'accordo, perchè, secondo me, una volta che A è pervenuto a tale conclusione di carattere deduttivo, e, cioè, che ad una sua eventuale domanda il guardiano (per non rivelare chi è il prigioniero graziato) gli dovrebbe "necessariamente" rispondere che, tra lui A e B, "quello destinato sicuramente a morire domani all'alba è B", il prigioniero A non potrebbe in alcun modo sapere se lui è salvo o meno; però adesso, secondo me, A è matematicamente in grado di calcolare che la sua probabilità di sopravvivenza sale da 1/3 a 2/3, perchè ha assorbito la probabilità di sopravvivenza di B, che si è ridotta a zero anche nel suo caso....così come era capitato nel caso B-C di cui alla sua originaria domanda al guardiano.
Attenzione: tutto ciò, ovviamente, considerando sin qui separati i due "sottoinsiemi"!
***
Con quel che ne consegue!
***
Ciò premesso, e su cui ti invito a riflettere attentamente, tu hai perfettamente ragione nel ritenere che, se C ha 2/3 di probabilità di sopravvivere (perché nel "sottoinsieme" B+C morirà B e quindi lui assorbirà il suo 1/3), non ne consegue affatto che la morte di B nel "sottoinsieme" A+B debba rendere meno probabile la sopravvivenza di C (da 2/3 a 1/2); però, ragionando allo stesso modo, dovresti anche comprendere se A ha 2/3 di probabilità di sopravvivere (perché nel "sottoinsieme" A+B morirà B e quindi lui assorbirà il suo 1/3), non ne consegue affatto che la morte di B nel "sottoinsieme" B+C debba rendere meno probabile la sopravvivenza di A (da 2/3 a 1/2).
***
Quello che ti sfugge è che il calcolo delle aspettative di vita di ciascun prigioniero, varia a seconda dei diversi "sottoinsiemi" considerati; i quali sono determinati non solo dalle "informazioni" che ciascuno dei tre prigionieri possiede, ma anche dalle "deduzioni" che ciascuno di essi può logicamente fare in base a tali "informazioni".
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Quanto al resto, dici bene quando scrivi che il valore di 1/3 di ogni prigioniero è "in gioco" nelle domande solo se può essere oggetto di risposta da parte del guardiano; ma sei in errore quando scrivi che chi ha ricevuto una determinata risposta dal guardiano (A), non possa ricavare da tale risposta ulteriori deduzioni che aumentino il suo grado di conoscenza della situazione.
Tutto dipende da come reagisce il suo cervello!
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Ed infatti:
- se il prigioniero A , dopo la risposta del guardiano, si mette il cuore in pace, non c'è dubbio alcuno, come giustamente dici tu, che deve rassegnarsi ad attendersi soltanto un 1/3 di probabilità di sopravvivenza, mentre C 2/3;
- però, se il prigioniero A, dopo la risposta del guardiano, "si mette a ragionare", attraverso le sue riflessioni razionali (da me descritte), lui può benissimo "dedurre" ben altro che non sia il mero contenuto informativo della prima risposta.
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A questo punto, però, tu fai un ragionamento molto interessante, che, sebbene, a mio parere, non invalidi minimamente quanto ho scritto sopra (perchè non c'entra niente), è tuttavia meritevole di attenta considerazione.
Vediamo se ho capito bene quello che vuoi dire:
1)
A B e C iniziano tutti con 1/3, poi quando fra B e C si rivela (ad A) che il morituro è B, allora C eredita 1/3 da B e va a 2/3 (B e C erano entrambi in gioco come possibili risposte del guardiano).
ESATTO!!!
2)
Se poi C chiede chi muore fra A e B, sono A e B in gioco, perché il guardiano potrebbe infatti rispondere A o B, e se risponde B, considerando che il suo 1/3 era stato già ereditato da C, ecco che la metà dell'1/3 di B va diviso anche con A (quindi sia A che C hanno 3/6, ovvero 1/2).
ESATTO!!!
3)
Tuttavia, nel caso della seconda domanda di A, verbalmente espressa o meno, non è possibile che la risposta sia A (dunque A non è in gioco), quindi in fondo c'è in gioco solo 1/3 di B; se non fosse che tale probabilità di sopravvivenza è stata già ereditato da C, e (almeno secondo me) non può essere ereditata da (né condivisa con) A perché egli non è realmente in gioco nella seconda domanda (non essendo contemplato come possibile risposta).
ERRATO!!!
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Ed infatti, il difetto del tuo ragionamento, peraltro ineccepibile, è che tu mescoli tra di loro prospettive diverse, ovvero, come io preferisco dire, "sottoinsiemi diversi"; il che non è logicamente accettabile.
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Però, secondo me, il tuo ragionamento diventa molto più perspicuo e soddisfacente del mio, nel momento della "sintesi finale" che A, alla fine, fa dei due "sottoinsiemi" di cui è venuto a conoscenza:
1) B-C (in base alla prima risposta del guardiano)
Nel quale il 1/3 di B viene assorbito interamente da C, il quale, quindi, per così dire, perviene al possesso dei 2/3 delle probabilità di sopravvivere.
2) B-A (in base alla seconda risposta del guardiano, che A è in grado di dedurre da sè senza fargli nessuna domanda)
Nel quale il 1/3 di B viene assorbito interamente da A, il quale, quindi, per così dire, perviene al possesso dei 2/3 delle probabilità di sopravvivere.
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A questo punto, io avevo semplicemente detto che A e C, non potendo ovviamente contare ciascuno sui 2/3 delle probabilità di sopravvivere, al momento della sintesi dei due "sottoinsiemi", dovevano necessariamente accontentarsi di 1/2 a testa; però non avevo matematicamente spiegato "come".
Cosa che, invece, hai egregiamente spiegato tu.
Chapeau!
:)
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Ed infatti, come tu molto giustamente osservi, al momento della sintesi dei due "sottoinsiemi", il prigioniero B (per così figurativamente dire), il suo 1/3 di probabilità di sopravvivere lo deve "spartire equamente" tra B e C; per cui, come tu correttamente calcoli, la metà dell'1/3 di B va diviso sia con A che con C.
Quindi sia A che C hanno vanno ai 3/6, ovvero ad 1/2.
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Come, appunto, volevasi dimostrare!
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Un saluto! :)
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PRINCIPIO DELL'ENUNCIATO IMPLICITO
Ma forse tutto questo, molto più semplicemente, poteva essere detto facendo ricorso al "principio dell'enunciato implicito"; e, cioè, che se Tizio afferma che "X" è vero, e se la verità di X" comporta che debba essere vero anche "Y", allora è come se Tizio avesse detto che è vero pure "Y".
Il che ricorda (un po') il "principio della proprietà transitiva"; e, cioè, che, laddove a, b e c sono arbitrari elementi di A, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora anche a è in relazione anche con c.
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Quindi, con riferimento alla mia "Ipotesi di soluzione del paradosso dei tre prigionieri":
- se il guardiano, in seguito alla domanda espressa di A, afferma che tra B e C, deve sicuramente morire B;
- ciò comporta che, qualora egli dovesse rispondere anche ad una sua ipotetica successiva domanda riguardo a chi tra B e A deve sicuramente morire, dovrebbe di nuovo "necessariamente" rispondere B (per il "principio dell'enunciato implicito");
- pertanto, il prigioniero A, già in base alla prima risposta del guardiano, è benissimo in grado di arguire razionalmente che tra A, B e C, visto che B deve comunque morire in ciascuna delle due ipotesi, le probabilità di A e C divengono del 50% a testa.
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Ovvero, volendo sintetizzare al massimo, se è vero che tra C e B deve morire B e che tra A e B deve sempre comunque morire B, questo equivale a dire che tra A, B e C, a morire sarà sempre e comunque B.
Per cui A e C hanno il 50% di probabilità di sopravvivere a testa!
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Grazie Phil per il tuo esserci.
Lasciami pure osservare che questo tuo intervenire mostra, a mio parere, la tua fede nella Verità.
Non perché tu abbia "ragione", dicendo ciò che vanamente sto scrivendo pure io. Non è questo il punto!
Fede nella Verità non significa affatto aver ragione.
Potresti aver torto, così come io mi potrei trovare a realizzare di non aver compreso proprio nulla!
Ma non è in gioco la Verità. La Verità basta a se stessa, ci mancherebbe...
In gioco è la nostra fede. Che ci fa esporre, per affermare ciò che ora è per noi vero!
Con amore e tremore...
Noi siamo questa stessa fede. Se c'è siamo, se non c'è non siamo.
@EutidemoPer quanto riguarda la seconda domanda di A, formulata o meno vocalmente,
non ho affermato che il guardiano ha libertà di scelta (v. post precedenti): è nel caso della
prima domanda di
C, che il guardiano ha due opzioni per rispondere, duplicità di opzioni che rende sensato "spostare" 1/3 da B a C, a differenza proprio di quanto accade con la seconda domanda/deduzione di A in cui, secondo me, non si "sposta" la probabilità proprio perché
non era possibile rispondere diversamente. Questo è l'assunto base che regge l'ipotesi (su cui non scommetterei la testa) del discorso che ho abbozzato; se lo trovi «errato» alla luce dell'"assioma" generico che formuli con x e y, non ho confutazioni matematiche da proporti, sebbene, nel mio piccolo, non credo che tale "assioma" possa funzionare a prescindere dalle possibilità di risposta, che qualora si riducano ad una singola risposta forzata, come nel caso della
seconda domanda/deduzione di
A, rendono tale "assioma" non pertinente in questo contesto.
La conclusione
Citazione di: Eutidemo il 09 Aprile 2021, 11:20:52 AM
se è vero che tra C e B deve morire B e che tra A e B deve sempre comunque morire B, questo equivale a dire che tra A, B e C, a morire sarà sempre e comunque B.
Per cui A e C hanno il 50% di probabilità di sopravvivere a testa!
non è compatibile con la soluzione
standard, (già spiegata in precedenza e reperibile
online) se intendi che è A a pensare questa conclusione basandosi sulla prima domanda; se la intendi dal punto di vista dell'osservatore, concordo (sin dal post #19).
@bobmaxSono intervenuto perché volevo chiarire ulteriormente alcuni aspetti di questo
divertissement probabilistico; senza fede e senza verità, solo per il diletto di trastullarmi i neuroni con ipotesi da profano in materia.
Ciao Phil e Bobmax. :)
Non ho mai inteso di mettere in dubbio la soluzione standard, (già da me spiegata in precedenza e reperibile online); la quale, se ci si accontenta della prima risposta del guardiano, e ci si ferma lì, è assolutamente ineccepibile.
La mia ipotesi, invece, va un po' più avanti, sostenendo che tale prima risposta contiene implicitamente anche quella che necessariamente dovrebbe essere la risposta alla seconda domanda (espressa o meno) di A; stando alla quale, secondo me, se ne deduce inequivocabilmente che A è perfettamente in grado di capire da solo che lui e C hanno il 50% di probabilità a testa di sopravvivere.
Poichè, sinora, non mi è stato prospettato il benchè minimo argomento logico tale da destituire di fondamento tale mia deduzione logica, non posso che continuare ad attenermi ad essa.
Ovviamente, fino a prova contraria!
Per cui proverò a proporla su un sito di enigmistica, e poi vi farò sapere il risultato.
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Un saluto ad entrambi! :)
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POST SCRIPTUM
Ho sottoposto la mia ipotesi di soluzione a mio figlio, che è ingegnere, il quale mi ha risposto così.
"Papà, hai ragione...ma sei un imbecille!"
"Che vuoi dire?"
"Voglio dire che è vero che nella risposta del guardiano è "implicito" il fatto che anche tra A e B, il prigioniero B deve necessariamente morire; ciò, in quanto, se successivamente interrogato in proposito, il guardiano, non potrebbe rispondere diversamente per tenere segreto il nome del prigioniero graziato.
Per cui è inutile starglielo a chiedere, visto che A lo può benissimo capire da sè in base a quello che già sa!
Però il tuo stucchevole balletto delle frazioni di 1/3 che salgono a 2/3 e poi ridiscendono, e così via, è inutile e confonde soltanto le idee.
Ed infatti, senza stare tanto a girarci intorno, una volta accertato che tra B e C è il prigioniero B che deve comunque morire, e che la stessa cosa deve accadere anche tra A e B, è come dire che, poichè tra A, B, e C è il solo B che sicuramente morirà, è evidente, senza fare alcun calcolo astruso, che le probabilità di sopravvivenza di A e C sono del 50% l'uno."
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"Relata refero!"
;D
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Comunque ho appena postato la mia ipotesi di soluzione su un sito di enigmistica; vediamo cosa dicono loro.
Ammesso che mi degnino del loro parere!
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