LOGOS

Da quello che ho trovato in rete,  da un punto di vista rigorosamente matematico, Il "paradosso" di Hausdorff-Banach-Tarski, non è un paradosso, tanto è vero che Eutidemo lo mette fra virgolette.
Si tratta invece di un teorema dimostrato correttamente da Hausdorff,Banach, e Tarski, la cui dimostrazione ha lo scopo dichiarato da parte degli autori di mettere alla prova il nostro intuito, perchè da un punto di vista intuitivo, potendosi trarre dal teorema l'esempio del raddoppio delle sfere, esso non è accettabile.

Il vero argomento della discussione quindi secondo me è il seguente.
CHE RUOLO HA AVUTO E CONTINUA AD AVERE L'INTUITO NELLA MATEMATICA?
Nelle dimostrazioni matematiche oggi l'intuito ha conservato il ruolo residuale di essere il ''catalizzatore'' di una dimostrazione, nel senso che può aiutare a trovare la dimostrazione, ma non è mai essenziale ad essa.
Per gli autori del teorema però l'intuito ha un valore più esteso.
Infatti secondo loro se da un teorema correttamente dimostrato si trae un paradosso come quello del raddoppio della sfera, allora sono gli assiomi a partire dai quali si è dimostrato il teorema ad essere ''errati'' o meglio inaccettabili, nel senso che l'errore è stato accettarli.
Cercano in tal modo di convincere gli altri matematici a non accettarli, ma senza riuscirci.
In particolare gli autori non vogliono incriminare gli assiomi nel loro insieme, mia un assioma in particolare, detto ''assioma di scelta'' il quale non mi risulta fare parte dell'insieme degli assiomi di Euclide, mentre il nostro intuito, e quindi il paradosso che rileviamo, si basa su quell'insieme di assiomi.

Dejà vu:
https://www.riflessioni.it/logos/tematiche-filosofiche-5/il-paradosso-delle-palle/

Da un lato quindi noi, in quanto non matematici, non abbiamo altro cui fare riferimento se non all'intuito ( i matematici si sentono liberi di usarlo o meno, noi abbiamo solo quello da usare).
Conviene allora che noi non matematici applichiamo il nostro intuito al solo assioma di scelta, una volta compreso che il problema trattato si riduce all'accettabilità intuitiva di quell'assioma.
E' interessante a tal proposito notare che tutta la matematica moderna si origina partire dal  problema di accettabilità di uno degli assiomi della geometria di Euclide, il cosiddetto assioma delle parallele.

L'assioma di scelta, manco a dirlo, ha a che fare col sempre problematico concetto di infinito, ma si può illustrare in modo intuitivo grazie alla teoria degli insiemi.
In sè è banale, ma la questione come detto si complica passando dal finito al non finito.
Se ho un insieme finito di insiemi finti posso decidere di rappresentare ogni insieme con un suo elemento.
Posso decidere ad esempio di indicare ogni classe di una scuola facendo riferimento ai soli capoclasse.
Se gli insiemi sono invece infiniti e ognuno contiene magari  infiniti elementi non sempre ciò si può fare.
Se considero l'insieme infinito di paia di scarpe (supponendo che esistano infinite paia di scarpe) posso decidere di rappresentare ogni paio con la scarpa destra.
Ma se si tratta di calzini non ho modo di rappresentare ogni paio scegliendo un calzino.
Posso però assumere di poterlo fare, anche se non posso dimostrarlo.
posso cioè assumerlo come assioma, assioma della scelta, appunto.
Questo assioma come mi sembra evidente, di evidente non ha nulla, ma l'evidenza intuitiva non gioca più un ruolo essenziale nella matematica come detto, e a dimostrazione di ciò esso conduce a risultati controintuitivi, come quello del ''raddoppio della sfera''.

In altri termini gli autori del teorema è come se avessero detto... se vedete evidenza nell'assioma io ve ne amplifico l'immagine, dove il teorema funziona da lente di ingrandimento, per farvi capire che vi ingannate.
Il problema però è che gli assiomi in sè non richiedono alcuna evidenza. e quando questa evidenza non c'è in partenza, è fuorviante cercarla durante il percorso aiutandosi con un modello che risulti a noi evidente anche solo in parte, perchè non potrà esserlo comunque del tutto.
In altri termini, è vero che le ''sfere'' si raddoppiano, ma ciò in sè non è paradossale, e il paradossò nasce solo dal credere di che ''sfere'' stiamo parlando, mentre invece non lo sappiamo.

Citazione di: Phil il 25 Febbraio 2023, 16:52:56 PMDejà vu:
https://www.riflessioni.it/logos/tematiche-filosofiche-5/il-paradosso-delle-palle/

Vero, e da quella discussione ho tratto quanto segue, da parte di Eutidemo:

Per favore, fatemelo materialmente vedere come si fa usando un coltello, e non con formule matematiche o argomentazioni astratte.
----------------------------------------------------------------------
Risposta in breve: Secondo me non tutto ciò che si può fare con la matematica si può fare con un coltello, mentre tutto ciò che si può fare con un coltello si può fare con la matematica.

Ma secondo gli autori del ''paradosso'', e credo anche secondo Eutidemo, ciò che non si può fare con un coltello non è matematica.

Alla fine il fatto è che che nel tempo si sono susseguiti diversi modi di vedere la matematica.
Il problema dei fondamenti della matematica non è stato ancora risolto, credo, quindi non possiamo parlare di una sola matematica oggi, come si credeva di poter fare una volta.
Tu Eutidemo credi ancora di poterlo fare, perchè certamente la matematica di un tempo si poteva ben esemplificare con un coltello.

Ovviamente il coltello è da intendersi come esempio di strumento sul quale è possibile fondare una matematica, così come Euclide ha fondato la sua su riga e compasso.
Una volta che le geometrie si sono moltiplicate, riducendosi quella di Euclide a un esempio di geometria,i matematici trovano un denominatore comune a tutte queste vecchie e nuove geometrie, nel concetto di invarianza, riuscendo così a recuperare per altra via quell'unità che sembrava essersi persa. C'è ancora unita nella geometria quindi, ma per vederla bisogna cambiare punto di vista.
Si può così oggi esemplificare quella di Euclide con una invarianza per rotazione e traslazione delle figure geometriche, mentre le figure di altre geometrie mostrano in genere invarianza per altri tipi di azioni, e potrebbero mostrare varianza per traslazione e/o rotazione,
Se trasliamo e ruotiamo una sfera per intero quello che ci troviamo è la stessa sfera ''invariata'' . Se lo facciamo in altre geometria ci troviamo in genere una sfera variata perchè diverse sono le invarianze di quella geometria.
In teoria possiamo Immaginare dunque una geometria nella quale traslando e ruotando una sfera ce ne troviamo due .
Oppure una geometria in cui non ce ne troviamo due traslando e ruotando la sfera intera, ma ruotando e traslando le sue parti per ricomporle in due sfere.

La matematica non è necessariamente legata alla sua applicabilità, anche se i non addetti ai lavori sono interessati di più a quella.
Dal punto di vista dell'applicabilità la geometria euclidea, che equivale al punto di vista che usiamo tutti i giorni nella nostra vita quotidiana, si è dimostrata in effetti molto limitata nel confronto con le nuove geometrie (non euclidee).
Quando trasliamo e ruotiamo un triangolo sulla superficie di un ellissoide, cui possiamo assimilare la forma della terra, ci troviamo con un altro triangolo.
La geometria dell'ellissoide non può assimilarsi con una invarianza per traslazione e rotazione.

Prendete tutto con beneficio di inventario.
Ho provato ad esemplificare concetti matematici attraverso esempi matematici non necessariamente corretti..

La dimostrazione del paradosso conferma l'assurdità della pretesa di giocare con l'infinito.
Il paradiso di Cantor è il trionfo matematico del nichilismo.
Dove l'infinito diventa "cosa".

Ma nonostante l'evidente assurdità, il mainstream matematico non demorde.
Allucinazione collettiva, delirio della razionalità convinta di essere depositaria della Verità.
Nichilismo.

Citazione di: bobmax il 25 Febbraio 2023, 19:36:43 PMLa dimostrazione del paradosso conferma l'assurdità della pretesa di giocare con l'infinito.
Il paradiso di Cantor è il trionfo matematico del nichilismo.
Dove l'infinito diventa "cosa".

Ma nonostante l'evidente assurdità, il mainstream matematico non demorde.
Allucinazione collettiva, delirio della razionalità convinta di essere depositaria della Verità.
Nichilismo.

A modo tuo, come Eutidemo, attribuisci alla matematica poteri, e quindi eventualmente colpe, che non ha.
Intanto, quello che inizialmente può considerarsi come un paradosso, una volta dimostrato, si dimostra propriamente che non è paradosso.
Se togli le virgolette dal termine ''paradosso'', così come lo abbiamo presentato, ne stravolgi il senso.
Non devi confondere la matematica con le sue possibili applicazioni interpretazioni.
La matematica rimane tale e quale sia che trovi applicazioni / interpretazioni, sia che non ne trovi, e non si può piegare alle proprie inclinazioni filosofiche o di critica sociale.
Conoscere la sua storia significa conoscere la storia del pensiero, ma nessun pensiero in particolare può rappresentarsi con quella storia.
 

Citazione di: iano il 25 Febbraio 2023, 20:32:12 PMA modo tuo, come Eutidemo, attribuisci alla matematica poteri, e quindi eventualmente colpe, che non ha.
Intanto, quello che inizialmente può considerarsi come un paradosso, una volta dimostrato, si dimostra propriamente che non è paradosso.
Se togli le virgolette dal termine ''paradosso'', così come lo abbiamo presentato, ne stravolgi il senso.
Non devi confondere la matematica con le sue possibili applicazioni interpretazioni.
La matematica rimane tale e quale sia che trovi applicazioni / interpretazioni, sia che non ne trovi, e non si può piegare alle proprie inclinazioni filosofiche o di critica sociale.
Conoscere la sua storia significa conoscere la storia del pensiero, ma nessun pensiero in particolare può rappresentarsi con quella storia.

Probabilmente abbiamo idee diverse di cosa sia la matematica, il paradosso e la interpretazione.

Questa è la sola spiegazione che riesco a darmi leggendoti.
Manca una base comune di significato.

Citazione di: bobmax il 25 Febbraio 2023, 20:53:37 PMProbabilmente abbiamo idee diverse di cosa sia la matematica, il paradosso e la interpretazione.

Questa è la sola spiegazione che riesco a darmi leggendoti.
Manca una base comune di significato.

Niente di male ovviamente Bobmax, e se vuoi puoi criticare le mie idee una per una, avendole io esposte in più post in questa discussione, ciò che mi darà modo di capire  le tue idee.
Anche perchè dall'illusione iniziale di una matematica che avesse fondamenta stabili, quando si è andati alla ricerca di quei  fondamenti non li si è trovati, e ancor peggio si è capito che proprio non ci sono.
Questo significa che ognuno, nella misura in cui ha acquisito coscienza di ciò, può liberamente proporre i suoi fondamenti costruendo su essi la sua matematica.
Questo in breve è il mio pensiero, e in base a tale pensiero capisci bene che non posso accusare la matematica di alcunché, e tanto meno di nichilismo, e magari solo perchè ha rinnegato, motivandola, la presunzione di avere solide fondamenta univoche.
Solide si, ma non univoche.
Così come per la scienza in generale, anche per la matematica si applica un unico metodo, ma le discipline scientifiche e le matematiche che derivano da questa applicazione, sono diverse.
Semplicisticamente però si tende a riferirsi alla fisica e alla matematica come fossero una cosa sola mentre una cosa sola è il loro metodo.

Citazione di: iano il 25 Febbraio 2023, 21:10:45 PMNiente di male ovviamente Bobmax, e se vuoi puoi criticare le mie idee una per una, avendole io esposte in più post in questa discussione, ciò che mi darà modo di capire  le tue idee.

Le idee su cosa sia la matematica, il paradosso, la interpretazione, derivano da una vita di studio e uso.
Tra chi le ha diverse, incompatibili, vi è pure un altrettanto lungo differente approccio.

Forse è comunque possibile recuperare la distanza.
Ma come potrei superare la confusione di discorsi che fanno a pugni con ciò che so essere la matematica?

Dovrei forse rinunciare alle mie idee per seguire ciò che reputo inconsistente?

Citazione di: bobmax il 25 Febbraio 2023, 21:28:13 PMLe idee su cosa sia la matematica, il paradosso, la interpretazione, derivano da una vita di studio e uso.
Tra chi le ha diverse, incompatibili, vi è pure un altrettanto lungo differente approccio.

Forse è comunque possibile recuperare la distanza.
Ma come potrei superare la confusione di discorsi che fanno a pugni con ciò che so essere la matematica?

Dovrei forse rinunciare alle mie idee per seguire ciò che reputo inconsistente?

Ovviamente no, non necessariamente.
Ridurre le distanze però si può trovando il minimo denominatore comune, del quale ho suggerito esempi.
In fondo la storia della matematica recente è proprio quella di trovare sempre denominatori comuni nuovi che possano domarne l'incontenibile ricchezza in divenire.
Ma fondamentale per giungere a ciò credo sia fare un taglio netto fra matematica e sue applicazioni ,magari usando il coltello di Eutidemo :) .
Ma se dai alla matematica la colpa del nichilismo non sei su quella strada .
Quindi tutto sommato mi sembra di aver già intuito le tue idee, e tu potrai darmene conferma o smentirmi.

Citazione di: iano il 25 Febbraio 2023, 21:34:19 PMOvviamente no, non necessariamente.
Ridurre le distanze però si può trovando il minimo denominatore comune, del quale ho suggerito esempi.
In fondo la storia della matematica recente è proprio quella di trovare sempre denominatori comuni nuovi che possano domarne l'incontenibile ricchezza in divenire.
Ma fondamentale per giungere a ciò credo sia fare un taglio netto fra matematica e sue applicazioni ,magari usando il coltello di Eutidemo :) .
Ma se dai alla matematica la colpa del nichilismo non sei su quella strada .
Quindi tutto sommato mi sembra di aver già intuito le tue idee, e tu potrai darmene conferma o smentirmi.

Apprezzo la matematica, la uso da una vita. È la più pura espressione della razionalità.

Ma è proprio la benedetta razionalità, indispensabile per il nostro vivere, ad essere alla origine del nichilismo, quando considerata Verità.

Ma per cogliere questo occorre tanto e tanto impegno logico.
Per riuscire a percepirne il limite.
Non vi sono scorciatoie possibili.

Le scorciatoie che percepisco esservi nei tuoi discorsi.

Citazione di: bobmax il 25 Febbraio 2023, 21:55:01 PMApprezzo la matematica, la uso da una vita. È la più pura espressione della razionalità.

Ma è proprio la benedetta razionalità, indispensabile per il nostro vivere, ad essere alla origine del nichilismo, quando considerata Verità.

Ma per cogliere questo occorre tanto e tanto impegno logico.
Per riuscire a percepirne il limite.
Non vi sono scorciatoie possibili.

Le scorciatoie che percepisco esservi nei tuoi discorsi.

quali scorciatoie?
Fra razionalità e verità non potrei aver fatto taglio più netto, se io sono quello che relega la verità a pura percezione, e quindi niente di più lontano dalla razionalità.
credo anzi per mia esperienza che quando il pur necessario impegno logico si fà logorroico, vuol dire che la soluzione semplice non la vediamo perchè è da sempre sotto i nostri occhi, e con questa nuova lente mi pare di riuscire a trovarla a volte.
A volte è proprio per l'abbondanza di indizi, e la conseguente complessità di elaborazione, che l'assassino la fà franca.
Allora basta isolare gli indizi giusti, o semplificare selvaggiamente l'elaborazione.

Citazione di: iano il 25 Febbraio 2023, 16:28:13 PMDa quello che ho trovato in rete,  da un punto di vista rigorosamente matematico, Il "paradosso" di Hausdorff-Banach-Tarski, non è un paradosso, tanto è vero che Eutidemo lo mette fra virgolette.
Si tratta invece di un teorema dimostrato correttamente da Hausdorff,Banach, e Tarski, la cui dimostrazione ha lo scopo dichiarato da parte degli autori di mettere alla prova il nostro intuito, perchè da un punto di vista intuitivo, potendosi trarre dal teorema l'esempio del raddoppio delle sfere, esso non è accettabile.

citazione annullata da risposta a parte

Citazione di: iano il 25 Febbraio 2023, 16:28:13 PMDa quello che ho trovato in rete,  da un punto di vista rigorosamente matematico, Il "paradosso" di Hausdorff-Banach-Tarski, non è un paradosso, tanto è vero che Eutidemo lo mette fra virgolette.
Si tratta invece di un teorema dimostrato correttamente da Hausdorff,Banach, e Tarski, la cui dimostrazione ha lo scopo dichiarato da parte degli autori di mettere alla prova il nostro intuito, perchè da un punto di vista intuitivo, potendosi trarre dal teorema l'esempio del raddoppio delle sfere, esso non è accettabile.

Lo scopo della dimostrazione è proprio il contrario.
Mostra infatti come sia assurdo l'assioma della scelta.

Dopo il mio primo intervento su questo argomento, ho sbagliato a lasciarmi tirar dentro da discussioni in cui mancano i presupposti per un effettivo dialogo.

Citazione di: Eutidemo il 26 Febbraio 2023, 05:35:16 AM

Ciao Iano. :)

Il "Teorema di Pitagora" dimostra teoricamente che in ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti; ed infatti, se io disegno "materialmente" un triangolo rettangolo, e poi misuro l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa, nonchè  le aree dei quadrati costruiti sui cateti, posso materialmente constatare che la prima è esattamente identica alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui secondi.

Quando Hausdorff-Banach-Tarski, dopo avermi rivelato "il numero esatto dei pezzi non misurabili utilizzati" (visto che si tratta, secondo loro, di un "insieme finito"), riusciranno a scomporre materialmente una sfera del raggio di un metro, per ricomporne  due che abbiano lo stesso raggio, allora darò loro ragione; altrimenti, per me, le loro formule matematiche non costituiscono nessun dimostrabile "Teorema", ma solo un "Sofisma" matematico.

***

Ma se lo scopo di Hausdorff-Banach-Tarski era invece quello di "dimostrare" che, se da un teorema matematicamente "dimostrato" si può ricavare un "paradosso" come quello del "raddoppio della sfera", allora vuol dire che sono gli "assiomi" a partire dai quali si è dimostrato tale teorema ad essere ''errati", allora io sono perfettamente d'accordo con loro.
***
Per cui, se dall'''assioma di scelta'' formulato da Ernst Zermelo nel 1904 (secondo il quale dato un insieme "I", non vuoto, -aggregato di insiemi- i cui elementi sono a lor volta insiemi non vuoti, è possibile scegliere un elemento per ogni insieme e considerarlo come un rappresentante dell'insieme stesso e costruire con questi rappresentanti un nuovo insieme "II", da sostituire ad "I"), deriva consequenzialmente uno "pseudo paradosso" come quello del "raddoppio della sfera", allora, evidentemente, l'''assioma di scelta'' è errato.
E lo "pseudo paradosso" del "raddoppio della sfera" non è altro che una "demonstratio ex absurdo" da parte di Hausdorff-Banach-Tarski  per dimostrare la fallacità di tale assunto!
***
Un saluto! :)
***
P.S.
Ringrazio Iano per il riferimento all'''assioma di scelta'' formulato da Ernst Zermelo, che io, invece, avevo colpevolmente trascurato.

***

E' stato un piacere Eutidemo, come sempre, però non insisto avendo già monopolizzato la discussione.
Non si tratta comunque di una dimostrazione per assurdo. :(
Nelle dimostrazioni per assurdo si dimostra la falsità dell'assunto a partire dagli assiomi. In altri termini l'assunto si dimostra falso se gli assiomi sono ''veri''.
Ho messo ''veri'' fra virgolette perchè non c'è modo alcuno di dimostrare la falsità o la verità degli assiomi, in quanto il punto di partenza arbitrario è sempre quello di assumere gli assiomi come ''veri''.
L'unico modo di annullare una scelta arbitraria è rimangiarsela, e quello che gli autori del teorema speravano, dimostrandolo, è che in ciò i loro colleghi matematici trovassero motivo di rimangiarsi l'assioma della scelta di Zermelo, ma senza riuscirci, perchè l'assioma si è continuato ad usare.
Il fatto che gli assiomi possano essere arbitrari è la conquista della matematica moderna. La scelta degli assiomi non è sindacabile, e ognuno può scegliere i suoi senza dover giustificare la sua scelta, e senza poter criticare scelte altrui diverse.
Ma una volta scelti gli assiomi le conseguenze non sono più arbitrarie, perchè conseguono logicamente a quella scelta inziale.
Saluti.

In sostanza, e dopo davvero mi taccio, oggi i matematici ritengono gli assiomi liberi e non sindacabili, diversamente da come li ritenevano ieri, laddove dovevano avere carattere di evidenza.
Il ''paradoosso'' delle sfere ''dimostra solo come questo passaggio concettuale sia stato travagliato, in quanto è stato un tentativo, peraltro fallito, di restaurazione dell'originario concetto di assioma.
Come è possibile che una sfera diventa due sfere?
E' possibile solo se ammetti di non sapere davvero cosa sia una sfera.
Ma non devi offenderti, perchè non lo sò neanche io.
Sò solo che una volta che è stato aggiunto l'assioma della scelta agli assiomi di Euclide, le sfere non sono più quelle di una volta.
Ciò non deve destare preoccupazione però, perchè nessuno ci costringe ad assumere l'assioma della scelta, ma allo stesso tempo non possiamo sindacare chi lo assume.
Quando apparentemente c'è un paradosso, il motivo è solo che qualcuno non ha esplicitato, in buona o cattiva fede, tutti gli assiomi assunti.
Se vuoi tornare a sapere cosa sia una sfera è sufficiente che non accetti l'assioma di scelta, che è cosa diversa dal negarlo.
Gli assiomi non sono né veri né falsi.
E' l'aver ancora mantenuto impropriamente il concetto di verità in matematica a crear confusione.
Ma noi sappiamo bene che è inevitabile esprimere nuovi concetti inizialmente con termini vecchi, e perciò inadeguati ai nuovi.
Inevitabile perciò nella fase di transizione concettuale che si faccia confusione.

Citazione di: Eutidemo il 26 Febbraio 2023, 06:26:09 AM

Ciao Bobmax. :)

Sono d'accordo con te!

Ma la dimostrazione del "paradosso" del raddoppiamento della della sfera:
-non solo conferma l'assurdità della pretesa di giocare con "insiemi infiniti";
- ma anche la pretesa di giocare con "insiemi finiti" composti da "elementi non misurabili".
Secondo me se tratta "quasi" di una "contradictio in adjecto".

***

Ed infatti, se io possiedo un "insieme finito" di libri, posso misurare:

- sia la "lunghezza" dell'intero insieme mettendoli tutti in fila (in metri);

- sia il "peso" dell'intero insieme mettendoli tutti su una bilancia (in chilogrammi).

Ma se io possiedo un "insieme finito" di "elementi non misurabili", come faccio a misurare il loro "insieme", che, pure, è "finito" (e cioè "misurabile")?

***

Un saluto! :)

***

Gli elementi non misurabili fanno rientrare l'infinito nella questione.
L'assurdo deriva sempre dalla pretesa di maneggiare l'infinito come fosse finito.
È una contraddizione lampante.
Eppure è ciò che fa il tanto osannato Cantor.
Delirio nichilistico.

Citazione di: bobmax il 26 Febbraio 2023, 09:41:25 AMGli elementi non misurabili fanno rientrare l'infinito nella questione.
L'assurdo deriva sempre dalla pretesa di maneggiare l'infinito come fosse finito.
È una contraddizione lampante.
Eppure è ciò che fa il tanto osannato Cantor.
Delirio nichilistico.

Solo una precisazione.
Non sono gli elementi non misurabili a far rientrare l'infinito nella questione, ma l'infinito a far entrare nella questione gli elementi non misurabili, perchè è l'infinito ad essere presente nell'assioma di Zermelo.
Il vero problema è che né io, né te, né Eutidemo sappiamo cosa intendono i matematici per elementi non misurabili, o ancor peggio è quando crediamo di saperlo solo perchè ''misurabile'' lo trovi sul vocabolario della lingua italiana..
Ma mi ci gioco le due sfere che da qualche parte c'è una teoria matematica della misurabilità

Citazione di: Eutidemo il 26 Febbraio 2023, 11:38:47 AM

Ciao Bobmax. :)

Secondo me gli "elementi non misurabili", a meno che non si tratti di "punti", non fanno necessariamente rientrare l'"infinito" nella questione; ed i "pezzi non misurabili" del paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski, costituendo un "insieme finito di elementi" (cioè limitato) non possono essere dei "punti".

Il problema è di capire che cosa intendano Hausdorff-Banach-Tarski per "pezzi non misurabili"! ::)

***

Un saluto! :)

***

Eutidemo, nella non misurabilità è implicito l'infinito.
Perché è non misurabile ciò che non ha fine.
Non importa se perché infinitamente grande o infinitamente piccolo.
Il punto, altro non è che infinitamente piccolo.
Ciò che il nichilista matematico non riesce a comprendere è che l'infinito, non importa se grande o piccolo, non esiste.

È interessante inoltre a mio avviso considerare, che niente è mai davvero misurabile.
Cioè pure il finito in realtà non esiste.
Tuttavia, che esista è una premessa necessaria, sebbene non vera.
Dovremmo fermarci lì, assumendo reale il finito sebbene non lo sia.
E invece ci siamo imbarcati nella pretesa di rendere reale persino l'infinito!
Nichilismo.

Trovo che la ragionevole istanza di Eutidemo di poter usare il coltello per l'esperimento matematico tocchi il fulcro della questione: la matematica è solo uno strumento per la comprensione astratta del mondo e funziona bene se la applichiamo al mondo, ma se la applichiamo a se stessa può talvolta implodere in paradossi e non-sensi non riscontrabili nella realtà. Prima di voler sperimentare lo sdoppiamento della sfera, basato su astrazioni assiomatiche, basta chiedersi se si può sperimentare l'adimensionalità del punto o la lunghezza infinita di una retta o la bidimensionalità del piano, tutti fondamentali per il funzionamento della geometria (chiaramente non si può, ma concettualmente servono).
Da un segmento è possibile prelevare punti in modo da poter "produrre" un secondo segmento di uguale lunghezza? Concettualmente sì (correggetemi se sbaglio), perché i punti di un segmento sono infiniti, quindi possiamo prelevar punti all'infinito e costruire il segmento-doppione, ma nella realtà il segmento bidimensionale nemmeno esiste (così come il punto o l'infinità di rette che lo attraversano). Si tratta principalmente, secondo me, di saper discernere quando la matematica ci aiuta a parlare del mondo e quando il mondo ci ricorda la convenzionalità della matematica (assiomi, Godel, etc.).

Citazione di: Phil il 26 Febbraio 2023, 14:54:58 PMDa un segmento è possibile prelevare punti in modo da poter "produrre" un secondo segmento di uguale lunghezza? Concettualmente sì (correggetemi se sbaglio), perché i punti di un segmento sono infiniti, quindi possiamo prelevar punti all'infinito e costruire il segmento-doppione, ma nella realtà il segmento bidimensionale nemmeno esiste (così come il punto o l'infinità di rette che lo attraversano).

Questo è un problema interessante in sè ,e non sò se si può fare, ma quello che posso dire con certezza è che, se si potesse fare, e se il segmento di partenza fosse continuo, i due segmenti ottenuti non lo sarebbero, e quindi otterremmo tipi diversi di segmento.
Si porrebbe comunque anche qui un problema di ''scelta''.
Per poter prelevare infiniti punti devo scegliere prima quali prelevare e quali lasciare, ma tale scelta non sarebbe del tutto libera, perchè condizionata dal fatto che devo poter indicare la mia scelta e che non a tutti i punti riesco a dare un nome, e non per il fatto che sono infiniti.
Quindi, non si può fare secondo me, a meno che non si assuma come assioma di poterlo fare, e questo è propriamente l'assioma di scelta di Zermelo, credo.
Laddove invece la scelta si possa indicare (prelevare i punti cui posso dare nome ''numeri naturali'' ad esempio) otterrei segmenti oltre che discontinui di diversa lunghezza, perchè uno mantiene la lunghezza di partenza, e l'altro ha lunghezza zero.

Citazione di: bobmax il 26 Febbraio 2023, 14:47:10 PMEutidemo, nella non misurabilità è implicito l'infinito.
Perché è non misurabile ciò che non ha fine.
Non importa se perché infinitamente grande o infinitamente piccolo.
Il punto, altro non è che infinitamente piccolo.
Ciò che il nichilista matematico non riesce a comprendere è che l'infinito, non importa se grande o piccolo, non esiste.

È interessante inoltre a mio avviso considerare, che niente è mai davvero misurabile.
Cioè pure il finito in realtà non esiste.
Tuttavia, che esista è una premessa necessaria, sebbene non vera.
Dovremmo fermarci lì, assumendo reale il finito sebbene non lo sia.
E invece ci siamo imbarcati nella pretesa di rendere reale persino l'infinito!
Nichilismo.

Citazione di: Phil il 26 Febbraio 2023, 14:54:58 PMTrovo che la ragionevole istanza di Eutidemo di poter usare il coltello per l'esperimento matematico tocchi il fulcro della questione: la matematica è solo uno strumento per la comprensione astratta del mondo

Diciamo che i punti di vista fra i matematici sono diversi come è giusto che sia.
La matematica ''del coltello' è certamente ragionevole, ma non perciò è ragionevole dare per scontato che essa sia ''la matematica''.
Ma allora come facciamo intenderci quando parliamo di matematica?
Ognuno deve prima dichiarare la propria appartenenza?
L'importante è capire che il metodo applicato dai matematici per fare matematica è unico, ma dalla sua applicazione derivano diverse discipline matematiche, tutte ugualmente ragionevoli.
Voler fare poi una classifica di merito fra le varie discipline, in base ad esempio alla loro applicabilità è fuorviante secondo me.
Questo potrebbe impedirci ad esempio psicologicamente di trattare l'infinito matematico se non vi è un corrispettivo infinito reale.
Così magari se Newton si fosse fatto condizionare da ciò non avrebbe sviluppato la sua teoria fisica, perchè essa è un applicazione degli infiniti e infinitesimi matematici.

Citazione di: Eutidemo il 26 Febbraio 2023, 16:20:43 PM

Anche la "bellezza" non è "misurabile", ma non per questo è "infinita"(quantomeno, non lo è certo la mia);  ed anche se ciò che è "finito" in "realtà" non esiste, tuttavia a livello fenomenico è senz'altro "misurabile".
P.S.
Mi scuso per le troppe virgolette, ma qui ci volevano!

Ma la misurazione avviene utilizzando ciò che si considera finito.

Ogni misura fonda la sua verità sulla finitezza della unità che utilizza.

Poiché ogni finito sfuma nell'infinito della propria inevitabile indeterminazione, pure la misura è solo una approssimazione.
Niente è mai davvero misurabile.

***

Citazione di: Eutidemo il 27 Febbraio 2023, 05:28:02 AMesistono molti "solidi irregolari", cioè entità non tipiche, come un "sasso" o qualsiasi altro "oggetto privo di una determinata forma geometrica", i quali, pur essendo "oggetti finiti" (che non sfumano minimamente nell'"infinito")

Il finito è solo una astrazione, nella realtà niente è mai davvero finito.
Finito e infinito si rimandano l'un l'altro, in un gioco senza fine, ma in se stessi non esistono.

Questa è la realtà.
Poi vi è la astrazione matematica...
Astrazione necessaria ma che non è verità.

Che il finito non esista lo si può constatare provando a misurarlo. Non si potrà mai completare la misura, ma occorrerà sempre fermarsi prima.
L'errore è inevitabile.
Infatti la misura richiederebbe di accedere all'infinito.

Un altra prova della non esistenza del finito è data dal movimento.
Se il finito fosse davvero tale, nulla potrebbe muoversi.

E certo che il tuo sasso esiste!
Ma, appunto, non è finito.

Citazione di: bobmax il 27 Febbraio 2023, 09:29:50 AMIl finito è solo una astrazione, nella realtà niente è mai davvero finito.
Finito e infinito si rimandano l'un l'altro, in un gioco senza fine, ma in se stessi non esistono.

Questa è la realtà.
Poi vi è la astrazione matematica...
Astrazione necessaria ma che non è verità.

Che il finito non esista lo si può constatare provando a misurarlo. Non si potrà mai completare la misura, ma occorrerà sempre fermarsi prima.
L'errore è inevitabile.
Infatti la misura richiederebbe di accedere all'infinito.

Un altra prova della non esistenza del finito è data dal movimento.
Se il finito fosse davvero tale, nulla potrebbe muoversi.

E certo che il tuo sasso esiste!
Ma, appunto, non è finito.

Sono d'accordo con te che il sasso è solo un illusorio epifenomeno dell'ESSERE infinito; però, sotto il suo aspetto fenomenologico, è senz'altro una entità dai confini ben definiti e delimitati.
Come tutto il resto, d'altronde!

Citazione di: Eutidemo il 27 Febbraio 2023, 10:41:39 AMSono d'accordo con te che il sasso è solo un illusorio epifenomeno dell'ESSERE infinito; però, sotto il suo aspetto fenomenologico, è senz'altro una entità dai confini ben definiti e delimitati.
Come tutto il resto, d'altronde!

No, il sasso non ha affatto confini ben definiti e delimitati.

Che li abbia è solo una sua semplificazione.
L'indeterminatezza è intrinseca ovunque.

Non vi è nulla, nessun fenomeno, che sia davvero finito.

Citazione di: bobmax il 27 Febbraio 2023, 11:04:14 AMNo, il sasso non ha affatto confini ben definiti e delimitati.

Che li abbia è solo una sua semplificazione.
L'indeterminatezza è intrinseca ovunque.

Non vi è nulla, nessun fenomeno, che sia davvero finito.

Concordo.
Tuttavia grazie alla matematica possiamo assegnare un confine di comodo in senso funzionale, in base cioè a quale sperimentazione che coinvolge il sasso possiamo fare.E una volta fatto ciò ,seppure il confine viene stabilito in modo convenzionale non vi è alcuna indeterminazione. O forse si?
vediamo di dare una possibile risposta a questo quesito.

L'indeterminazione intrinsecano che chiami in causa è un altra cosa, ed è relativa ai limiti delle misure, e non del misurato. Finché non siamo noi a stabilirlo in modo convenzionale un sasso teoricamente ha gli stessi confini dell'universo.
Possiamo dire quindi che il sasso ha un confine quando lo vediamo, e questo confine è l'insieme dei punti in cui si riflette l'onda elettromagnetica nel range del visibile, e un altro confine quando lo tocchiamo, che è l'insieme dei punti oltre i quali la nostra pelle non và perchè contrastata dalla forza elettrica che , presente nel sasso, a noi si oppone .
il sasso quindi non ha un volume in sè, ma ha il volume che noi decidiamo in modo ragionevole in base alla nostra sperimentazione su esso.
A questo punto, una volta digerita la convenzionalità del confine del sasso, dovremmo aspettarci almeno, che il sasso abbia un volume preciso.
Dipende, perchè qui si aprono due strade.
Si potrebbe dire che ogni figura geometrica abbia una sua misura dimensionale intrinseca, come di solito sei intende, o si potrebbe dire che ce l'ha solo se, almeno in via teorica possiamo fare questa misura.
In altri termini, può sempre saltare fuori il puntiglioso di turno che dice: affermi che abbia una misura, dimostramelo giungendo a quella misura.
Il problema adesso diventa: come si fà a giungere alla misura?
Chi si incarica di dimostrarlo deve dare adesso una definizione di misura, prima di metterla in atto.
Il paradosso in discussione di fatto illustra che il problema della misura in matematica non è banale, e se andate su internet trovate diverse trattazioni che usano tanti di quei simboli strani che di solito respingono i più, quei più di cui noi siamo buoni rappresentanti.
Si capisce da ciò comunque quantomeno che l'indeterminazione della misura fisica  e il problema della misurabilità in matematica sono due cose che non hanno nulla a che spartire fra loro.
Ma una volta che chi si è assunto il compito della dimostrazione di cui sopra, dopo che abbia definito come si faccia a misurare una lunghezza, un volume, o simili, potrebbe accorgersi che non di tutto riuscirà a calcolare la misura, e non nel senso che ciò sia tanto difficoltoso da risultare di fatto impossibile, ma nel senso che non è possibile in base alla definizione di misura che lui ha dato.

Dove è allora il paradosso, per le nostre povere frullate menti che sperano di trovare diletto nell'affrontarlo?
Nel fatto che da un lato diamo per scontato che ogni cosa abbia la sua misura, anche se non la conosciamo, e dall'altro lato c'è qualcuno che ci dice che partendo da una sfera misurabile, e passando per una sua dissezione in parti non misurabili, possa giungersi , ricomponendole a qualcosa di ancora misurabile, ma con diversa misura da quella di  partenza.
Alla fine se da questa discussione dobbiamo imparare qualcosa è che non possiamo dare sempre per scontato cose che di solito non generano problemi, ma che possono generarli.
In matematica le cose non stanno in modo tanto diverso dalla nostra vita di tutti i giorni, nel senso che si accettano compromessi e li si mantengono finché non si decide che creino problemi inaccettabili.
E sembrerà starno, ma l'assioma della scelta di Zermelo ha provocato finora ai matematici più benefici che problemi, per cui, almeno al momento hanno deciso di tenerselo.

In conclusione, il credere che ogni cosa abbia una misura intrinseca, nel momento i cui decidessimo di trovare quella misura potremmo avere difficoltà di due tipi, una relativa, nel senso che abbiamo difficoltà nel trovarla, l'altra assoluta, nel senso che non c'è.
Però quel ''non c'è'' è da intendersi relativamente a cosa intendiamo di volta in volta per misura, e che non c'è un modo univoco di intenderla.
Per cui in base a una definizione di misura qualcosa potrebbe avere una misura, e in base a un a un altra non averla.
Se accettiamo l'assioma della scelta la misura è una cosa, se non lo accettiamo è un altra cosa.
Ma sopratutto non si può sindacare né chi lo accetta né chi non lo accetta.
Il paradosso in discussione dovrebbe dissuadere i matematici dall'accettarlo, ma altre motivazioni che noi non conosciamo pesano diversamente sulla loro scelta.
Il consiglio che mi sento di dare è di  non dare un valore alla matematica in base alla sua dimostrata applicabilità.
Per quanto riguarda l'infinitesimo e l'infinito usati da Newton per andare sulla luna, non dovremmo formalizzarci sul fatto che ci appaiono come un ippogrifo, ma sul fatto se quell'ippogrifo ci ha portati sulla luna oppure no.
Non è che l'essere riusciti ad andare sulla luna dimostri che l'ippogrifo esiste,( o quantomeno il problema di esistenza qui si dimostrerà essere fuori luogo), ma dimostra solo che è utile fare uso degli ippogrifi.
Morale della favola: conviene usare il concetto di esistenza con più elasticità di quanto finora abbiamo fatto, perchè è una di quelle cose che ci viene naturale dare per scontate, ma che scontate del tutto non sono mai.
Quello che conta è che qualunque concetto che usiamo ci serva per andare avanti, e quando smette questa funzione può essere ben rivisitato.
Questo può apparirci destabilizzante, ma scordatevi di poter andare avanti senza correre rischi, tanto è vero che quelli che non vogliono correre rischi non hanno altro da proporre che fermarsi, quando non addirittura tornare indietro.

Citazione di: Eutidemo il 27 Febbraio 2023, 10:41:39 AMSono d'accordo con te che il sasso è solo un illusorio epifenomeno dell'ESSERE infinito; però, sotto il suo aspetto fenomenologico, è senz'altro una entità dai confini ben definiti e delimitati.
Come tutto il resto, d'altronde!

E infatti questo è quello che appunto diamo per scontato, ma che scontato non è.
Perchè anche quando i confini sono ben definiti, e non foss'altro perchè li abbiamo stabiliti arbitrariamente, fila tutto liscio, finché non decidiamo di associare una misura a quei confini.
Sembra starno, ma il paradosso in discussione ci dice proprio questo.
Ci dice che in sostanza se per fare la misura usiamo la matematica del coltello il paradosso sparisce, ma se usiamo altre matematiche il paradosso potrebbe presentarsi.
Quindi Eutidemo, insieme agli autori del paradosso si chiedono perchè mai non dovremmo limitarci ad usare la matematica del coltello?
Credo perchè se lo avessimo fatto non si sarebbero sviluppate branche della matematica che hanno avuto e/o potrebbero avere applicazioni cui diversamente dovremmo rinunciare,dicendoci contenti e beati di limitarci a tagliare e spalmare il nostro burro.  ;D
Nelle varie presentazioni che ho trovato in rete del paradosso non ne ho trovato una che avesse il solo scopo finale di stupire, fine a se stesso, anche se tale potrebbe apparirci quando giocoforza siamo costretti a saltare passaggi per noi incomprensibili, ma lo scopo, attraverso lo stupore generato, di invogliare ad approfondire lo studio della matematica, attraverso il quale si potrà scoprire che tutto ciò che diamo per scontato, ben guardare, scontato non vi è mai.
In altri termini non vi è mai nulla di ovvio, ma semmai c'è la necessità di considerare ovvie certe cose, che di fatto saranno tali fino a prova contraria, come ad esempio quando queste ovvietà conducono a paradossi.
a quel punto non ci resta che mantenere o rifiutare le nostre ovvietà in base alla valutazione soggettiva di quanti problemi ci provochino realmente quei paradossi.
O almeno così mi pare di aver capito che fanno i matematici, per cui quella materia, la matematica, che si favoleggia come perfetta e pura, in effetti presenta ai matematici gli stessi problemi che si presentano noi nella vita di tutti i giorni, la quale richiede sempre compromessi fra i quali dover scegliere.
L'assioma della scelta, in un modo o nell'altro ci riguarda tutti.

Citazione di: iano il 27 Febbraio 2023, 12:11:41 PML'indeterminazione intrinseca che chiami in causa è un altra cosa, ed è relativa ai limiti delle misure, e non del misurato.

Il limite è sia nella misura sia nel misurato.
Perché l'errore è intrinseco nello strumento di misura e pure nell'oggetto misurato.

Infatti è lo stesso concetto di finito ad essere astratto e non corrispondente alla realtà.
La misura, basandosi sul finito, non può che anch'essa essere fallace.

La matematica viene dopo, sia del concetto di finito sia di quello di misura.
E quando la matematica non si rende conto di queste dipendenze... allora si immagina di attualizzare l'infinito!

E così non fa che delirare.
Come il paradosso mostra inequivocabilmente.

Citazione di: bobmax il 27 Febbraio 2023, 13:50:07 PMIl limite è sia nella misura sia nel misurato.
Perché l'errore è intrinseco nello strumento di misura e pure nell'oggetto misurato.

Infatti è lo stesso concetto di finito ad essere astratto e non corrispondente alla realtà.
La misura, basandosi sul finito, non può che anch'essa essere fallace.

La matematica viene dopo, sia del concetto di finito sia di quello di misura,
E quando la matematica non si rende conto di queste dipendenze... allora si immagina di attualizzare l'infinito!

E così non fa che delirare.
Come il paradosso mostra inequivocabilmente.

Il concetto di finito non corrisponde alla realtà, ma si applica alla realtà.
Non credo esistano concetti che corrispondano alla realtà, ma siamo noi che applicandoli glieli facciamo convenzionalmente corrispondere.
Ciò che può fuorviare  è che non sempre abbiamo coscienza della convenzionale corrispondenza, ed eviterei di avventurarmi a dire cosa viene prima e dopo.
Il paradosso non ci dice che il limite è  nel misurato, né nella misura,  come limite dello strumento di misura , ma nella definizione di misura , per cui relativamente a quella definizione le cose risultano avere una misura oppure no.
Il paradosso di una palla che diventa due palle ci ha distratti dai veri paradossi, che sono due, uno simmetrico all'altro:
1.Si può sezionare ciò che ha misura in parti, in numero finito o infinito, che non hanno misura
2.Si possono comporre parti senza misura, in numero finito o infinito, a formare ciò che ha misura.

Inevitabile non convergere su tutto, ma è singolare come leggendo alcuni tuoi post, ti sento come quello più vicino alle mie idee, e leggendone altri come il più distante.
Sul fatto che l'essere non abbia precisi confini convergiamo, ma divergiamo sulle conseguenze filosofiche, che per te sono sempre catastrofiche e per me mai.
Per quanto mi sforzi non riesco a vedere alcun delirio.

Citazione di: iano il 27 Febbraio 2023, 14:28:20 PMIl concetto di finito non corrisponde alla realtà, ma si applica alla realtà.
Non credo esistano concetti che corrispondano alla realtà, ma siamo noi che applicandoli glieli facciamo convenzionalmente corrispondere.
Ciò che può fuorviare  è che non sempre abbiamo coscienza della convenzionale corrispondenza, ed eviterei di avventurarmi a dire cosa viene prima e dopo.
Il paradosso non ci dice che il limite è  nel misurato, né nella misura,  come limite dello strumento di misura , ma nella definizione di misura , per cui relativamente a quella definizione le cose risultano avere una misura oppure no.
Il paradosso di una palla che diventa due palle ci ha distratti dai veri paradossi, che sono due, uno simmetrico all'altro:
1.Si può sezionare ciò che ha misura in parti, in numero finito o infinito, che non hanno misura
2.Si possono comporre parti senza misura, in numero finito o infinito, a formare ciò che ha misura.

Inevitabile non convergere su tutto, ma è singolare come leggendo alcuni tuoi post, ti sento come quello più vicino alle mie idee, e leggendone altri come il più distante.
Sul fatto che l'essere non abbia precisi confini convergiamo, ma divergiamo sulle conseguenze filosofiche, che per te sono sempre catastrofiche e per me mai.
Per quanto mi sforzi non riesco a vedere alcun delirio.

Ritengo che tra di noi vi sia una distanza forse incolmabile.
E che ciò non dipenda neppure da idee diverse, ma proprio dal differente approccio alla verità.

Nel senso, che mentre per me è indispensabile la fede nella Verità, nel tuo caso la verità è inessenziale, come tu stesso continuamente affermi.
Questo comporta che io avverta un movimento caotico nelle tue parole.
Uno sparare a casaccio, un sentire non maturato, perché tanto di gioco si tratta. Di modo che "casualmente" alcune affermazioni possono pure coincidere con le mie.
Ma nulla di più.

Infatti il paradosso dimostra l'assurdità dei tuoi punti 1 e 2.
Cioè non li conferma affatto come tu invece vorresti.
Siamo l'un l'altro agli antipodi.

E neppure le mie considerazioni sono catastrofiche, anzi tutt'altro.
Ma evidentemente a te così paiono perché, appunto, dal tuo punto di vista la verità è inessenziale.

A questo punto, a prescindere se si concordi o meno con la mia disamina, direi che tra noi vi è veramente poco da discutere.

Citazione di: bobmax il 27 Febbraio 2023, 16:23:43 PMRitengo che tra di noi vi sia una distanza forse incolmabile.
E che ciò non dipenda neppure da idee diverse, ma proprio dal differente approccio alla verità.

Nel senso, che mentre per me è indispensabile la fede nella Verità, nel tuo caso la verità è inessenziale, come tu stesso continuamente affermi.
Questo comporta che io avverta un movimento caotico nelle tue parole.
Uno sparare a casaccio, un sentire non maturato, perché tanto di gioco si tratta. Di modo che "casualmente" alcune affermazioni possono pure coincidere con le mie.
Ma nulla di più.

Infatti il paradosso dimostra l'assurdità dei tuoi punti 1 e 2.
Cioè non li conferma affatto come tu invece vorresti.
Siamo l'un l'altro agli antipodi.

E neppure le mie considerazioni sono catastrofiche, anzi tutt'altro.
Ma evidentemente a te così paiono perché, appunto, dal tuo punto di vista la verità è inessenziale.

A questo punto, a prescindere se si concordi o meno con la mia disamina, direi che tra noi vi è veramente poco da discutere.

Ok. Con dispiacere prendo atto del tuo desiderio.

un tale paradosso è un semplice esempio di come la matematica, in alcune circostanze , possa portare a una contraddizzione, ovvero un paradosso. Cioè a qualcosa che logicamente sembra corretto ma che poi nella realtà, di fatto, non lo è.
Non lo è di certo nello spazio tridimensionale in cui viviamo , ma è forse possibile in costruzioni matematiche di spazi diversi e con propietà e premesse diverse e con funzioni diverse come gli spazi di hilbert o di banach la cui complessità è al di fuori della mia portata.

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 16:50:15 PMun tale paradosso è un semplice esempio di come la matematica, in alcune circostanze , possa portare a una contraddizzione, ovvero un paradosso. Cioè a qualcosa che logicamente sembra corretto ma che poi nella realtà, di fatto, non lo è.
Non lo è di certo nello spazio tridimensionale in cui viviamo , ma è forse possibile in costruzioni matematiche di spazi diversi e con propietà e premesse diverse e con funzioni diverse come gli spazi di hilbert o di banach la cui complessità è al di fuori della mia portata.

Il punto è che non si tratta di un paradosso, e infatti Eutidemo lo ha indicato come ''paradosso''.
La matematica inoltre non porta a contraddizioni, ma il tentativo di dimostrazione di una tesi può portare a contraddizioni, e avremo un teorema quando non giungiamo a contraddizioni, dimostrando in tal modo la tesi.
Nel nostro caso abbiamo propriamente un teorema, cioè una tesi correttamente dimostrata a partire da precise ipotesi, una delle quali è ''l'assioma di scelta'', ed è proprio la presenza di questo assioma, presenza non necessaria perchè libera rimane la scelta degli assiomi, a portare a conseguenze che alcuni poco gradiscono al punto da chiamare un teorema che da quell'assioma correttamente deriva, un ''paradosso''.
''Paradosso'' quindi è da intendersi  come modo dispregiativo di indicare un teorema, che essendo però correttamente dimostrato non ha in sè  nulla di paradossale.

Semplicemente gli autori del cosiddetto ''paradosso'', da intendersi correttamente come teorema, ci dicono: guardate a quali conseguenze porta scegliere di assumere l'assioma di Zermelo,  e considerate dunque se volete mantenere la vostra scelta.
A questo appello finora la maggioranza dei matematici hanno risposto picche.
Perchè? Sono sicuro che avranno avuto i loro buoni motivi per farlo.
E magari noi, non addetti ai lavori, potremmo avere pur competenza a discutere di questi motivi.

Io ho suggerito il seguente motivo in generale:
può sembrare logicamente corretto considerare infinitesimi e infiniti, che però nella realtà non esistono.
Ma se da questo ragionamento si fosse fatto condizionare Newton non avrebbe scritto la sua teoria.

Citazione di: iano il 27 Febbraio 2023, 18:11:10 PMIl punto è che non si tratta di un paradosso, e infatti Eutidemo lo ha indicato come ''paradosso''.
La matematica inoltre non porta a contraddizioni, ma il tentativo di dimostrazione di una tesi può portare a contraddizioni, e avremo un teorema quando non giungiamo a contraddizioni, dimostrando in tal modo la tesi.

veramente Eutidemo ha messo tra virgolette "raddoppiamento della sfera" indicando che è questo enunciato il paradosso. E se parliamo di teoremi allora inserisco un teorema fondamentale della matematica enunciato da Kurt Godel secondo cui esistono enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica può determinare la verità o la falsità dell enunciato.

E' pure possibile che Newton ci credesse veramente nell'esistenza degli infiniti e infinitesimi, ma noi che invece non crediamo esistano fuori dalla matematica, non perciò abbiamo rigettato la sua teoria, ma semmai dovremmo prendere coscienza di come sia utile tenere separata la matematica dalla sua supposta preventiva applicabilità, in base a ciò che si sceglie di assiomatizzare.
Se fossi un matematico direi: lasciateci lavorare. ;D

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 18:51:15 PMveramente Eutidemo ha messo tra virgolette "raddoppiamento della sfera" indicando che è questo enunciato il paradosso. E se parliamo di teoremi allora inserisco un teorema fondamentale della matematica enunciato da Kurt Godel secondo cui esistono enunciati matematici di cui nessuna procedura sistematica può determinare la verità o la falsità dell enunciato.

Vero, ma Godel qui non ci aiuta, perchè la verità dell'enunciato è stata dimostrata.

Citazione di: iano il 27 Febbraio 2023, 18:57:08 PMVero, ma Godel qui non ci aiuta, perchè la verità dell'enunciato è stata dimostrata.

sarà dimostrata quando "smonterai" a pezzi un anguria e ne ricaverai due di ugual misura e peso .
 la domanda è in che senso è dimostrata? in quale ambito e con quali premesse?
Questi paradossi sono interessanti dal punto di vista logico, ciò non toglie, che sono e rimangono paradossi.

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 19:01:28 PMsarà dimostrata quando "smonterai" a pezzi un anguria e ne ricaverai due di ugual misura e peso .
 la domanda è in che senso è dimostrata? in quale ambito e con quali premesse?
Questi paradossi sono interessanti dal punto di vista logico, ciò non toglie, che sono e rimangono paradossi.

E' la stessa rispettabile posizione di Eutidemo che io ho battezzato ''come matematica del coltello'' , dove è il coltello a fare a pezzi l'anguria.
Ma per avere a disposizione questo coltello bisogna rifiutare l'assioma di scelta di Zermelo.
Una volta rifiutatatolo  avrai a disposizione un coltello col quale tagliare l'anguria come ti pare, ma nel momento in cui andrai a ricomporre i pezzi otterrai sempre la stessa anguria, e non c'è neanche bisogno di tagliare l'anguria, perchè si può dimostrare matematicamente che è così.
Ma il fatto che la matematica dimostra tutto è il contrario di tutto non significa che è contraddittoria, ma che la dimostrabilità di una tesi non è indipendente dagli assiomi assunti.

Citazione di: iano il 27 Febbraio 2023, 19:13:23 PME' la stessa rispettabile posizione di Eutidemo che io ho battezzato ''come matematica del coltello'' , dove è il coltello a fare a pezzi l'anguria.
Ma per avere a disposizione questo coltello bisogna rifiutare l'assioma di scelta di Zermelo.
Una volta rifiutatatolo  avrai a disposizione un coltello col quale tagliare l'anguria come ti pare, ma nel momento in cui andrai a ricomporre i pezzi otterrai sempre la stessa anguria, e non c'è neanche bisogno di tagliare l'anguria, perchè si può dimostrare matematicamente che è così.
Ma il fatto che la matematica dimostra tutto è il contrario di tutto non significa che è contraddittoria, ma che la dimostrabilità di una tesi non è indipendente dagli assiomi assunti.

ma non me ne frega niente di Zermelo, quello che mi frega è se tutta sta costruzione di assiomi di logica matematica e geometrica è applicabile alla realtà . Sembra di no, quindi è una dimostrazione logica non applicabile . le equazioni di Newton sono applicabile alla realtà fenomenica? sì lo sono, infatti posso predire le eclissi di sole e di luna tramite un algoritomo basato sulla gravità universale. nel primo caso abbiamo un interessante costruzione logica che funziona solo in senso logico, dall altra abbiamo una costruzione matematica che si applica alla realtà. Questo è tutto ciò che ho imparato da questo interessante paradosso presentato da Eutidemo. E qui passo e chiudo.

Citazione di: Alberto Knox il 27 Febbraio 2023, 19:49:51 PMma non me ne frega niente ... E qui passo e chiudo.

ok

La dimostrazione del paradosso ha lo scopo di mostrare come l'assioma della scelta sia una "ca..ta pazzesca".
Cioè come la cosificazione dell'infinito porti a conclusioni assurde.

Se però non si afferra, che lo scopo della dimostrazione è quello di denunciare la inconsistenza di questo assioma, allora si può addirittura accettare l'assurdo, senza evidentemente capirlo, ma solo perché lo dice la "matematica".
E con l'assurdo nessun dialogo è possibile...

Citazione di: Eutidemo il 28 Febbraio 2023, 10:41:23 AM

Sotto un profilo meramente "fisico", se non è troppo grande,  un sasso ha senz'altro confini ben definiti e delimitati, anche se non posso misurarlo con una formula matematica (ad es. lato alla terza potenza, nel caso in cui fosse un cubo); altrimenti, se fosse senza  confini ben definiti e delimitati, io non potrei tenerlo in una mano e stringerlo nel mio pugno.
(https://i.postimg.cc/cC3PpGxd/SASSO-IN-MANO.jpg)

Sotto un profilo "metafisico", invece, tutto è ESSERE illimitato e infinito, e tutte le cose (sasso e mano) sono UNO.
Ma, a mio avviso, non bisogna mai confondere i due piani! ;)

Dire che un sasso può avere qualunque confine, compreso l'universo intero, non significa che abbia un confine illimitato, ma indefinito perchè non vi è un solo modo di definirlo, quindi indefinito finché il contesto in cui interagiamo col sasso non ci suggerisce una definizione.
Nel caso in cui strighiamo il sasso ad esempio possiamo assumere come confine la superficie in cui la forza elettrica si oppone alla mano.
Quando invece osserviamo il sasso possiamo definire la sua superficie come quella in cui si riflettono i raggi luminosi.
Quindi non è in questo ambito che viene a introdursi il ''vituperato infinito''.
Avere una superficie definita equivarrebbe ad avere un volume, ed avere un volume sembrerebbe equivalere ad avere una misura di questo volume.
Ma questa misura per essere effettuata deve essere definita, e nel caso classico ciò tira in ballo gli integrali matematici il cui concetto riposa su infinitesimi e infiniti.
Nel caso non classico l'infinito è tirato in ballo con l'assioma di Zermelo, ed è da questo ultimo caso che si trae il ''paradosso''.
Ma la spettacolarità del paradosso non deve farci sfuggire da cosa esso si origina, e si origina dal fatto che in base a certe definizioni di misura certe superfici rinchiudono un volume che ''non ha misura''.
Questo è il ''paradosso'' originario dal quale si genera il nostro.
Dato un ''paradosso'', che esso ne generi altri non è da considerarsi strano, ma consequenziale.
Questo dovrebbe suggerirci di rifiutare l'assioma di Zermelo, ma i matematici lo hanno mantenuto, e chi siamo noi per dire che perciò sono dei nichilisti, se non conosciamo le loro motivazioni?

Citazione di: Eutidemo il 28 Febbraio 2023, 10:41:23 AM

Sotto un profilo meramente "fisico", se non è troppo grande,  un sasso ha senz'altro confini ben definiti e delimitati, anche se non posso misurarlo con una formula matematica (ad es. lato alla terza potenza, nel caso in cui fosse un cubo); altrimenti, se fosse senza  confini ben definiti e delimitati, io non potrei tenerlo in una mano e stringerlo nel mio pugno.
(https://i.postimg.cc/cC3PpGxd/SASSO-IN-MANO.jpg)

Sotto un profilo "metafisico", invece, tutto è ESSERE illimitato e infinito, e tutte le cose (sasso e mano) sono UNO.
Ma, a mio avviso, non bisogna mai confondere i due piani! ;)

Tu puoi stringere nella tua mano il sasso proprio perché non è ben definito e delimitato.
Infatti, se lo fosse nulla potrebbe avvenire, quindi neppure lo stringere il sasso.
Perché il divenire sarebbe impossibile.

Prova a considerare cosa significhi, per davvero, stringere nella tua mano il sasso.
E potrai constatare come il "contatto" sia sempre e solo supposto per semplicità, ma mai reale.

Se vi fosse un qualcosa di veramente definito e delimitato, questo qualcosa, pur minuscolo quanto si voglia, impedirebbe il divenire.

Citazione di: bobmax il 28 Febbraio 2023, 11:31:12 AMTu puoi stringere nella tua mano il sasso proprio perché non è ben definito e delimitato.
Infatti, se lo fosse nulla potrebbe avvenire, quindi neppure lo stringere il sasso.
Perché il divenire sarebbe impossibile.

Prova a considerare cosa significhi, per davvero, stringere nella tua mano il sasso.
E potrai constatare come il "contatto" sia sempre e solo supposto per semplicità, ma mai reale.

Se vi fosse un qualcosa di veramente definito e delimitato, questo qualcosa, pur minuscolo quanto si voglia, impedirebbe il divenire.

Non ti capisco :(

Citazione di: Eutidemo il 28 Febbraio 2023, 12:01:11 PMNon ti capisco :(

Eutidemo, l'atomo non esiste.
Non esiste una entità indivisibile.

Il concetto di atomo è fondamentale.
Ma per le ragioni opposte alla sua ideazione.

Come osservava Aristotele, l'atomo deve necessariamente esistere. Perché la divisione di qualcosa è possibile solo in quanto tra le parti che ne risultano vi è già del vuoto preesistente.
Perciò è necessario che esista l'indivisibile. Se davvero non esistesse, notava Aristotele, la materia sarebbe composta da vuoto, e ciò è impossibile! Quindi deve esserci.

E invece l'indivisibile non c'è...

Così come niente è mai davvero vuoto...

La materia e il vuoto si richiamano a vicenda in un gioco senza fine. Ma in se stessi non esistono.

Stesso discorso su essere e divenire.
Intendendo con essere ciò che permane resistendo al divenire.
Non vi è mai nulla che davvero permanga, neppure in un periodo infinitesimo. E se niente mai davvero è, che senso ha allora il divenire? Divenire di che cosa?

Il tuo sasso non è finito e delimitato perché è una manifestazione dell'incontro di opposti.
Perciò imprendibile, così come pure la tua mano.
Che non lo tocca mai.
Per toccarlo dovrebbe cadere uno degli opposti. E non vi potrebbe esserci il mondo.

A parte il fatto che mi avete fatto venire il mal di testa , mi rendo conto che sono l'ultima persona non solo sul forum , ma sulla faccia della terra , che possa dare un contributo fattivo ad una discussione che verte sulla matematica.
Il mio rapporto con essa termino' dopo che ebbi modo di sentire queste due frasi " due rette parallele si incontrano all'infinito " e.... " i postulati sono proposizioni che si accettano senza dimostrare"  ...... ecco ,  poiché sono ateo da sempre , non intendevo finire fra le braccia di un dio  (minore ) pagano. Con il passare degli anni ho capito che esistono molte matematiche ..... e che la meno assurda era la prima. Difficile che mi riavvicini.
P.S. Incedibili dictu et auditu sono diplomato allo scientifico ....... senza aver mai fatto al di fuori dell'orario di scuola un minuto di matematica , ma che dico neanche un pensiero alla matematica.

Citazione di: Eutidemo il 28 Febbraio 2023, 12:31:10 PM

Dopo di che, si immerge il "sasso" nell'acqua del recipiente e si misura di quanto aumenta il livello dell'acqua; ed in tal modo si può benissimo calcolare, per differenza, lo spazio occupato dal solido irregolare, e, cioè "misurare" il suo volume.

Vero Eutidemo, ma ci sono volumi che non possono essere immersi nell'acqua.
Se vogliamo misurare una montagna non possiamo ridurla in sassi, ma possiamo idealmente affettarla in sezioni il cui spessore tende a zero, per cui si trova il suo volume con un processo al limite,  integrando (sommando) i volumi delle infinite fette.
Questo in teoria, perchè occorre conoscere l'esatto profilo della montagna, cosa che oggi riusciamo in pratica ad approssimare bene usando i satelliti.

Citazione di: iano il 28 Febbraio 2023, 14:33:52 PMVero Eutidemo, ma ci sono volumi che non possono essere immersi nell'acqua.

Immagino che fra qualche anno ci sara' una app in grado di misurare il volume dei sassi (o altro) con lo smartphone...........situazione peraltro essenziale per la sopravvivenza dell'umanita'. Chiedo anticipatamente  scusa per la battuta.

Citazione di: atomista non pentito il 28 Febbraio 2023, 14:38:23 PMImmagino che fra qualche anno ci sara' una app in grado di misurare il volume dei sassi (o altro) con lo smartphone...........situazione peraltro essenziale per la sopravvivenza dell'umanita'. Chiedo anticipatamente  scusa per la battuta.

C'è già.Basta collegarsi al satellite con lo smartphone, immagino. ;D
Concettualmente un sasso non è diverso da una montagna.

Citazione di: atomista non pentito il 28 Febbraio 2023, 14:29:04 PMA parte il fatto che mi avete fatto venire il mal di testa , mi rendo conto che sono l'ultima persona non solo sul forum , ma sulla faccia della terra , che possa dare un contributo fattivo ad una discussione che verte sulla matematica.
Il mio rapporto con essa termino' dopo che ebbi modo di sentire queste due frasi " due rette parallele si incontrano all'infinito " e.... " i postulati sono proposizioni che si accettano senza dimostrare"  ...... ecco ,  poiché sono ateo da sempre , non intendevo finire fra le braccia di un dio  (minore ) pagano. Con il passare degli anni ho capito che esistono molte matematiche ..... e che la meno assurda era la prima. Difficile che mi riavvicini.
P.S. Incedibili dictu et auditu sono diplomato allo scientifico ....... senza aver mai fatto al di fuori dell'orario di scuola un minuto di matematica , ma che dico neanche un pensiero alla matematica.

La matematica o ci sei portato oppure è una croce.
Ma pure i cosiddetti esperti sovente non ne colgono i limiti. Figuriamoci poi quelli che la conoscono per sentito dire.

Che i postulati non possano essere dimostrati, la dice lunga non solo sulla matematica, ma sul nostro stesso conoscere e pensare.

Compreso il tuo ateismo.
Che ho l'impressione si fermi sulla linea di partenza. Invece di lanciarsi nella nube della non conoscenza.

Citazione di: atomista non pentito il 28 Febbraio 2023, 14:29:04 PMA parte il fatto che mi avete fatto venire il mal di testa , mi rendo conto che sono l'ultima persona non solo sul forum , ma sulla faccia della terra , che possa dare un contributo fattivo ad una discussione che verte sulla matematica.
Il mio rapporto con essa termino' dopo che ebbi modo di sentire queste due frasi " due rette parallele si incontrano all'infinito " e.... " i postulati sono proposizioni che si accettano senza dimostrare"  ...... ecco ,  poiché sono ateo da sempre , non intendevo finire fra le braccia di un dio  (minore ) pagano. Con il passare degli anni ho capito che esistono molte matematiche ..... e che la meno assurda era la prima. Difficile che mi riavvicini.
P.S. Incedibili dictu et auditu sono diplomato allo scientifico ....... senza aver mai fatto al di fuori dell'orario di scuola un minuto di matematica , ma che dico neanche un pensiero alla matematica.

Molto bello questo post.
Non sò quanto è voluto, ma hai riassunto in un post la storia della matematica, perchè i tuoi dubbi erano quelli dei matematici stessi.
Mi sà che tu la sai lunga, dai...  :)
Però è vero che la storia della matematica non è di solito presentata a scuola come la storia del superamento dei dubbi dei matematici.

Mi pare che in queste riflessioni aleggi inevitabilmente la differenza fra conoscenza del mondo tramite la matematica e conoscenza (dei limiti dell'autoreferenzialità) della matematica tramite il mondo, con annessi paradossi concettuali, ma non fattuali. Se il sasso può essere tenuto in mano, la sua dimensione non è infinita, perché allora dovrebbe essere infinita la capienza della mano che lo regge (e quindi anche la mano stessa); può essere tuttavia indefinita, ma non nel senso di infinitamente divisibile (come pur vorrebbe uno zenoniano capriccio matematico), bensì nel senso che più scendiamo in dettaglio, con unità di misure sempre più piccole, e più dobbiamo aggiornare la nostra misurazione, fino a quando, considerando il movimento degli elettroni degli atomi più esterni, dobbiamo concludere che quel sasso ha una dimensione variabile a seconda del momento in cui misuriamo la distanza fra gli elettroni più superficiali (per cui quel sasso è in realtà un blob dinamico di molecole).
Ci sono dunque la "verità" (ossia discorso, che al pari della matematica ha una sua sintassi e semantica che possono incastrarlo in paradossi insussistenti nella realtà) della misurazione approssimativa, ma definita, dell'affermazione «quel sasso è grande come un palmo della mia mano» e la "verità" (idem) della misurazione atomico-fotografica, non approssimativa ma variabile, che in un istante t₁ misura la dimensione del sasso tramite la distanza degli elettroni più periferici, che tuttavia nell'istante t₂ potrebbe essere già differente (almeno stando a quel poco che ricordo di fisica).

Ma gli elettroni, così come tutte le altre particelle, non sono corpuscoli. Piuttosto, sono funzioni probabilistiche.
Che sono soltanto un modo approssimato di gestire il caos, che ribolle nell'infinitamente piccolo.

E qualsiasi cosa vediamo, tocchiamo, è sempre e soltanto l'interazione di campi elettromagnetici.
I quali a loro volta sono frutto dell'incessante divenire.

Perché tutto vibra e compare, per poi subito scomparire di nuovo, nel nulla.

Hai ragione, tuttavia, pur approssimandone la posizione (ho sbagliato nello scrivere che non fosse approssimata), possiamo distinguere gli elettroni che sono sulla superficie del sasso da quelli che sono dentro il sasso; approssimare la misurazione della distanza fra quelli superficiali dovrebbe originare comunque una misura cangiante a seconda del loro movimento; questo intendevo con misura "indefinita" (nel senso di non permanente, essendo gli elettroni in movimento) e variabile.
Concordo che anche noi, in quanto percettori del sasso, siamo "tenuti assieme" da campi elettromagnetici; che questi ultimi siano «frutto del divenire»(cit.) rischia di essere un po' come la storia dell'uovo e la gallina (ci sono i campi perché c'è il divenire o viceversa?), ne uscirei constatando la dinamica (co)esistenza di entrambi (campi e divenire) senza assegnare priorità (onto)logica o causale a nessuno dei due (ma forse anche qui commetto un passo falso).

Secondo me, dovremmo sempre tenere presente che tutti i nostri ragionamenti si basano necessariamente su delle interpretazioni. Che spesso si traducono in modelli, come nel caso del mondo fisico.
Il modello fonda la sua costruzione su presupposti che permettono di dare un senso a tutta l'architettura. Ma questi a loro volta hanno necessariamente un significato implicito, dato per assodato.

L'evoluzione della fisica costruisce nuovi modelli, ma ha grosse difficoltà nel definirne altrettanto nuovi presupposti.
E così si usa il termine particelle per indicare però ciò che "particella" non è.
Cioè non è un grumo di qualcosa.
Tutte le forze della natura sono descritte in termini di particelle. Questo per dare concretezza a un modello che ha presupposti sempre più sfumati.

Il campo, per esempio, non esiste di per sé. Ma compare solo nella sua interazione con altri campi.
Non c'è una forza che si distende nello spazio in attesa di manifestarsi. Ma la forza c'è soltanto nel momento in cui si manifesta.
Cioè la realtà è la stessa interazione.

In questo senso il divenire è indispensabile per l'esserci di qualsiasi cosa.

Il campo magnetico è l'effetto relativistico del cambiamento del campo elettrico.

Sembrerebbe che la scissione originaria, il Big Bang, abbia avviato il divenire. Che altro non è che il rincorrersi di ciò che è stato diviso nella ricerca dell'unità.

Ecco le forze! Che non sono che comunicazione. A volte irruenta in altre dolce, ma sempre manifestazione dell'amore.

Dio ama se stesso.