Mi dovete scusare, ma il "demone della matematica", in compagnia del "demone della geometria", debbono recentemente avermi "invasato"; forse perchè in gioventù li avevo trascurati troppo.
Così, questa notte, nel dormiveglia, mi hanno tormentato con un (presunto) "paradosso dell'area del quadrato"; il quale, da sveglio, ho cercato di risolvere razionalmente da solo, ma senza riuscirci.
Per cui adesso io tormento voi, sperando che riusciate a spiegarmi:
- laddove si nasconda l'erronea impostazione del mio ragionamento.
- laddove io abbia sbagliato qualche semplice calcolo.
Sempre che abbiate voglia di stare a perderci tempo!
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Consideriamo (beninteso non, materialmente, in "fisica", bensì in "geometria") un quadrato che ha un lato lungo due metri lineari "esatti"; il quale, quindi, come ho imparato alle elementari, avrà un'area di quattro metri quadrati "esatti".
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Ed ora dividiamolo per due, nel modo più semplice possibile; e, cioè, tagliandololo a metà con la "diagonale AC".
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Per ottenere la lunghezza sua "diagonale AC", che lo taglia in due parti uguali, dobbiamo rifarci al "Teorema di Pitagora"; il quale afferma che in un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (lato opposto all'angolo retto) equivale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti (gli altri due lati del triangolo, che, nel nostro caso, corrispondono a due lati del quadrato).
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Dal "Teorema di Pitagora" possiamo quindi pervenire alla formula che ci permetterà di calcolare il valore della diagonale del quadrato.
E cioè:
- visto che AC² = AB² + BC²;
- visto che si tratta di un quadrato, i lati sono tutti congruenti fra loro, dunque AB = BC = lato;
- per cui AC² = lato² + lato² ;
- e pertanto, per ottenere la diagonale AC, basterà calcolare la radice quadrata del quadrato costruito sull'ipotenusa (AC = √(lato² + lato²) = √2lato² = lato√2).
In conclusione, quindi, giungiamo alla conclusione che la diagonale del quadrato corrisponde anche al lato 2 moltiplicato per la √2.
Cioè: 2 x 1,41(4213562373095...) cioè, "circa" 2,82... metri lineari.
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Ed infatti la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale: 1,41...
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D'altronde, anche la radice quadrata del quadrato costruito sull'ipotenusa, cioè la radice quadrata di 8 mq, ci dà circa il doppio dello stesso numero irrazionale di 1,41(4213562373095..,e, cioè, 2,82(842712474619...), che pure è un numero irrazionale.
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Ma io, dai miei ricordi scolastici, sapevo se è nota la misura della diagonale del quadrato, per calcolare l'area del quadrato, si deve elevare la misura della diagonale alla seconda e dividere il risultato per 2, secondo la nota formula matematica: cioè, 2,82 x 2,82 = 7,95 :2 = 3,97 (tutto "I")
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Abbiamo così un "risultato paradossale", e, cioè, che avendo a disposizione un quadrato (geometrico) di due metri lineari "esatti" di lato:
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a)
Se moltiplichiamo lato per lato, otterremo che il quadrato avrà un'area di 4,00 metri quadrati "esatti".
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b)
Se, invece, basandoci sugli stessi due lati, ricaviamo, per mezzo della loro ipotenusa, la diagonale del quadrato, in base alla formula di cui sopra, otterremo che il quadrato avrà un'area di 3.97 metri quadrati "approssimati".
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Ma mi sembra logicamente "impossibile" che, uno stesso quadrato, abbia nello stesso tempo un'area di 4 mq "precisi", e, nello stesso tempo, anche, un'area 3.97 metri quadrati "approssimati", a seconda che, basandosi sugli stessi due lati, si ricorra a due diverse formule matematiche universalmente accettate come valide per determinare l'area dello stesso identico quadrato.
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Per cui, i casi sono tre:
a)
O io ho sbagliato completamente l'impostazione del mio ragionamento.
b)
O non ho sbagliato completamente l'impostazione del mio ragionamento, ma ho sbagliato qualche calcolo.
c)
Oppure c'è un contrasto tra:
- la formula per calcolare l'area del quadrato moltiplicando la lunghezza di un lato per la lunghezza dell'altro;
- la formula per calcolare l'area del quadrato ricavandolo dalla lunghezza dell'ipotenusa;
- il teorema di Pitagora.
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Ritengo molto più probabili le ipotesi sub a) o b); nel qual caso gradirei molto se qualcuno, molto più esperto di me in matematica, mi spiegasse il mio errore/i. ;)
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a)
Non sei coerente con i tuoi presupposti iniziali.
Inizi con l'esatto, vai nell'approssimato, e poi prenderesti di tornare nell'esatto!
Ciò è incoerente, l'esatto deriva sempre e comunque dall'esatto. Mai dall'approssimato.
La diagonale è √8. Questo è il valore esatto.
Vuoi l'area?
Elevi √8 al quadrato, dividi per 2
Vuoi tornare ai lati?
Elevi √8 al quadrato, dividi per 2 e fai la radice quadrata.
Se invece approssimi la diagonale, allora pure i lati dovranno necessariamente essere approssimati.
Devo ricordarmi di evitare di leggere i teoremi di Eutidemo et cetera ( kopfschmerz) tuttavia sono bellissimi ed e' stupendo che una Persona nel dormiveglia abbia questo tipo di stimoli.
Un grande
P.S. Non ci provo neanche a rispondere , gia' non capisco perché si voglia calcolare l'area di un quadrato non facendolo lato per lato , e non ho mai digerito i quadrati sui cateti.
Ciao Bobmax :)
Tu scrivi: "La diagonale è √8. Questo è il valore esatto."
Ma non è così, perchè la radice quadrata di 8 è un "numero irrazionale"; e, quindi, è senz'altro un "valore inesatto".
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Elevando al quadrato 2,82 (I), otteniamo 7,95 (I), che, diviso per due, da 3,97 (I).
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Per cui, avendo un quadrato di due metri lineari "esatti" di lato:
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a)
Se moltiplichiamo lato per lato, otterremo che il quadrato avrà un'area di 4,00 metri quadrati "esatti".
.
b)
Se, invece, basandoci "sugli stessi identici due lati di 2 mt esatti", ricaviamo, per mezzo della loro ipotenusa, la diagonale del quadrato, in base alla formula di cui sopra, otterremo che il quadrato avrà un'area di 3.97 metri quadrati "approssimati".
***
Per cui non è affatto vero, come tu scrivi che:
- "L'esatto deriva sempre e comunque dall'esatto", perchè, in questo caso, l'"inesatto" (l'ipotenusa) scaturisce matematicamente dall'"esatto" (il lato)
- "Se approssimi la diagonale, allora pure i lati dovranno necessariamente essere approssimati", perchè, in questo caso, ad una diagonale "approssimata", corrispondono dei lati assolutamente "esatti".
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Ed infatti io sono matematicamente pervenuto ad una "diagonale approssimata", partendo da due lati che non sono affatto "approssimati", bensì sono assolutamente "esatti"!
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Detto in altre parole, non sono io che "scelgo di approssimare la diagonale", in quanto "è la diagonale a scaturire automaticamente approssimata" per conto suo; il che si verifica matematicamente, estraendo la radice quadrata del quadrato costruito sull'ipotenusa, ottenuto sommando i quadrati costruiti sui cateti, secondo il teorema di pitagora (cateti che hanno due metri "esatti" di lato).
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Un saluto! :)
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√8 è un valore esatto.
È la sua soluzione approssimata che è inesatta.
Infatti è sufficiente utilizzare √8 e non una sua approssimazione.
I numeri irrazionali sono esatti.
Non è mai esatto il loro calcolo.
Anche se non riesci a calcolare esattamente la diagonale, ciò non vuol dire che √2 del lato non sia esatto.
Confondi la pratica con la grammatica.
Ciao Atomista Pentito (di aver letto il mio topic). :)
Mi dispiace di averti fatto venire il mal di testa -addirittura in tedesco-, leggendo il mio topic; però, come si suol dire "mal comune mezzo gaudio", perchè, scrivendolo, il mal di testa era venuto anche a me! ::)
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Quanto al fatto che una persona nel dormiveglia abbia questo tipo di stimoli (il che è vero, e non una battuta), forse dovrebbe suggerire a tale persona di andare in visita da uno psichiatra; ma da uno veramente bravo!
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Quanto al "grande", forse il tuo è un refuso: una "r" al posto di una "l" (come spesso viene definita la mia testa)
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Ed invero, conoscendo il lato esatto di un quadrato, e, quindi, la sua area esatta con una semplice moltiplicazione (2x2), solo una "testa di glande" come il sottoscritto poteva arrovellarsi a trovare la diagonale del quadrato (approssimata), per ricavarne un'area (approssimata) dello stesso quadrato, diversa da quella esatta.
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Un saluto! :)
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Ciao Bobmax. :)
Tu scrivi che "I numeri irrazionali sono esatti"; il che, invece, è assolutamente "inesatto", come potrai riscontrare in qualsiasi libro di matematica.
Ed infatti, considerato che la rappresentazione decimale dei numeri irrazionali è spesso infinita e non può mai essere espressa come un numero finito, ne consegue matematicamente, logicamente e grammaticalmente, che "i numeri irrazionali non sono mai esatti, ma solo approssimati"
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Inoltre, dire che i numeri irrazionali sono esatti, ma non è mai esatto il loro calcolo, è una contraddizione in termini; che non ha alcun senso nè matematico nè logico.
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Tanto più che, poi, ammetti che non è possibile calcolare esattamente la diagonale; il che vuol proprio dire dire che √2 del lato non è esatto, ma solo "approssimato".
Tanto è vero che √2 è utilizzato proprio come esempio per rappresentare il simbolo "circa".
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Ora devo uscire e torno tardi perchè ceno fuori; quindi spero di non avere altri dormiveglia del genere questa notte, perchè non credo che gli altri commensali mi consentiranno di parlare di questa roba.
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Un saluto :)
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È la rappresentazione che è inesatta.
Non il numero in sé.
E, come dico, √2 è esatto.
Solo che non è esprimibile esattamente
Confondi il calcolo con il concetto.
Così ti ritrovi nell'assurdo, inevitabile, di non poter risalire all'esatto dall'approssimato.
I concetti van tenuti ben fermi.
La logica lo pretende.
In caso contrario non può che nascere la confusione.
Ciao Bobmax
Dire che "è la rappresentazione ad essere inesatta, e non il numero in sè, per cui √2 è esatto", non è logicamente corretto come dire che, nell'Otello di Gassman "è la rappresentazione di Jago effettuata da Salvo Randone ad essere malvagia, e non Salvo Randone in sè, per cui Salvo Randone è buono".
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Ed infatti:
- mentre è possibile distinguere l'attore Salvo Randone dal personaggio (Jago) che lui "rappresenta";
- come diamine è possibile distinguere un numero dalla sua "rappresentazione"?
Non ci riuscirebbe neanche Schopenhauer!
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Il tuo, quindi, per quanto indubbiamente "elegante" è solo un "artifizio sofistico" privo di qualsiasi efficacia dimostrativa!
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Hai invece perfettamente ragione quando scrivi che "i concetti van tenuti ben fermi, perchè lo pretende la logica; in caso contrario non può che nascere la confusione".
Però è un consiglio che tu dovresti seguire per primo! ;)
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Bada bene che io sono il primo a pensare che, nel mio ragionamento, ci sia qualcosa che non "quadra"; ma non certo per quello che scrivi tu!
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Comunque ti ringrazio per aver provato a chiarirmi le idee; anche se con scarsa fortuna.
Non è colpa tua se i tuoi argomenti non mi convincono affatto; per cui non devi offenderti se dissento da essi in modo così drastico!
Ti rinnovo infatti la mia stima, perchè, di solito, trovo le tue argomentazioni (quasi) sempre molto convincenti!
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Un saluto! :)
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Eutidemo, percepisco nei tuoi scritti la buona intenzione, e questo è ciò che davvero conta.
Nessuno eccelle in ogni campo.
I feedback che riceviamo nella vita ci confermano dove meglio riusciamo e dove meno.
La tua capacità di memorizzare e correlare le informazioni, in tanti ambiti, mi ha sempre meravigliato.
Ritengo che tu abbia la rara facoltà di chiarire l'esistente.
Ho però la impressione che questa tua erudizione chiarificatrice diventi a sua volta un ostacolo. E che addirittura ti causi indirettamente sofferenza.
Perché il nostro sapere cattura noi stessi nelle sue spire.
E più queste sono forti e avvolgenti e più ci è difficile uscirne per guardare il tutto dall'esterno.
Donde nasce questa tua ricerca, in ambiti a te ostici, se non dalla insoddisfazione per il tanto che sai?
Non nasce forse dalla percezione di una mancanza importante?
Tuttavia sei ancora troppo aggrappato al tuo sapere.
E così insisti nel distinguere il fenomeno dall'Essere. Confondi l'approssimato col l'esatto.
Questo avviene perché il semplice è coperto da una spessa coltre del complicato.
Non vi è nessun fenomeno che non sia Essere!
Che altro mai sarebbe?
Non è giunto il momento per noi di tirare le somme, e vedere finalmente il trascendente che è sostanza di ogni cosa?
Non dobbiamo forse prepararci per tornare all'Uno?
Citazione di: Eutidemo il 04 Marzo 2023, 06:02:26 AM- come diamine è possibile distinguere un numero dalla sua "rappresentazione"?
Non ci riuscirebbe neanche Schopenhauer!
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Platone però c'è riuscito.
Citazione di: iano il 04 Marzo 2023, 08:32:00 AMPlatone però c'è riuscito.
Confesso che questa mi era sfuggita; puoi darmi il riferimento per cortesia?
Cosa ne pensi del mio paradosso del quadrato? :)
Ciao Bobmax :)
A parte la mia "rara facoltà di chiarire l'esistente", che mi sembra che tu "sopravvaluti" in modo davvero "eccessivo", per il resto sono pienamente d'accordo su tutto il resto che hai scritto in questo post.
Soprattutto sul fatto che "non vi è nessun fenomeno che non sia (manifestazione transeunte dell') ESSERE", e che per noi "è ormai giunto il momento di tirare le somme, e di prepararci per tornare all'Uno".
Per me non ci manca molto!
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Un saluto! :)
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Vedi come insisti?
"Manifestazione transeunte"...
Evidentemente per marcare la differenza.
Molla l'osso che tieni stretto, non vi può essere nessuna reale differenza!
Ci sei solo tu e... Dio.
Finché ci sei.
PS
Qualsiasi numero è esatto.
Per il fatto stesso che è.
L'approssimazione non è nel numero in sé, ma nel suo rapporto con altro.
√2 è esatto.
1,41 è esatto.
√2 = 1,41 è una approssimazione.
Citazione di: Eutidemo il 04 Marzo 2023, 10:29:56 AMConfesso che questa mi era sfuggita; puoi darmi il riferimento per cortesia?
Cosa ne pensi del mio paradosso del quadrato? :)
Se parlo di Platone è perchè anche un ignorante come, stante la sua popolarità, si illude di conoscerne il pensiero, ma ben mi guardo dal darti riferimenti, perchè per i motivi di cui sopra non ne ho mai dati.
Ma in sostanza credo che il noto ''trucchetto'' che usa Platone di immaginare un mondo delle cose perfette separato dal mondo delle cose perfette, dove le imperfette sono un approssimazione delle perfette, si può ripetere pari pari senza uscire dall'ambito della matematica, cioè restando nelle stesso mondo, laddove diciamo che un numero irrazionale si può imperfettamente rappresentare con un numero razionale, anche detta appunto sua approssimazione.
L'imperfezione sta nel fatto che in questo modo stiamo facendo corrispondere a un numero razionale preciso una possibile infinità di numeri irrazionali, perchè infiniti numeri irrazionali possono parimenti approssimarsi con lo stesso numero razionale.
Un modo più corretto di rappresentare un numero irrazionale è farlo corrispondere a una serie infinita di numeri razionali, così ad esempio pi greco corrisponde alla successione 3-3,1-3,14...etc, laddove erroneamente quell'etc potrebbe equivalere a un lavarsene le mani.
In effetti non è un modo di lavarsene le mani, se io, non indicando l'intera successione dei numeri razionali, perchè essendo infiniti non posso farlo, indichi come fare ad ottenere ogni possibile numero della successione.
E' un modo se vuoi di tentare di far digerire il vituperato infinito, per me più che accettabile,e che consiste nel dare un numero finito di istruzioni per costruire una successione infinita, ma senza costruirla di fatto mai per intero.
Poi tu puoi decidere di tenerti il tuo paradosso dei quadrati, però ho cercato di indicarti così dove meglio devi cercarlo, e devi cercarlo a quanto pare nella madre di tutti i paradossi, che è l'infinito.
Come si fà allora ad ottenere correttamente il quadrato di un numero irrazionale?
Non certo moltiplicando una sua approssimazione per se stessa, ma ottenendo la successione di numeri razionali che lo rappresenta perfettamente (fatto salvo il problematico infinito) a partire dalla successione di numeri razionale da ''moltiplicare per se stessa''.
Sul come farlo esattamente sorvolo, perchè una idea ce l'ho, ma qui è meglio davvero andarsi acerbare i riferimenti per non rischiare di dire castronerie.
Spero comunque che il concetto sia adesso chiaro.
Citazione di: Eutidemo il 04 Marzo 2023, 10:29:56 AMConfesso che questa mi era sfuggita; puoi darmi il riferimento per cortesia?
Cosa ne pensi del mio paradosso del quadrato? :)
Se parlo di Platone è perchè anche un ignorante come, stante la sua popolarità, si illude di conoscerne il pensiero, ma ben mi guardo dal darti riferimenti, perchè per i motivi di cui sopra non ne ho mai dati.
Ma in sostanza credo che il noto ''trucchetto'' che usa Platone di immaginare un mondo delle cose perfette separato dal mondo delle cose perfette, dove le imperfette sono un approssimazione delle perfette, si può ripetere pari pari senza uscire dall'ambito della matematica, cioè restando nelle stesso mondo, laddove diciamo che un numero irrazionale si può imperfettamente rappresentare con un numero razionale, anche detta appunto su approssimazione.
L'imperfezione sta nel fatto che in questo modo stiamo facendo corrispondere a un numero razionale preciso una possibile infinità di numeri irrazionali, perchè infiniti numeri irrazionali possono parimenti approssimarsi con lo stesso numero razionale.
Un modo più corretto di rappresentare un numero irrazionale è farlo corrispondere a una serie infinita di numeri razionali, così ad esempio pi greco corrisponde alla successione 3-3,1-3,14...etc, laddove erroneamente quell'etc potrebbe equivalere a un lavarsene le mani.
In effetti non è un modo di lavarsene le mani, se io, non indicando l'intera successione dei numeri razionali, perchè essendo infiniti non posso farlo, indichi come fare ad ottenere ogni possibile numero della successione.
E' un modo se vuoi di tentare di far digerire il vituperato infinito, per me più che accettabile,e che consiste nel dare un numero finito di istruzioni per costruire una successione infinita, ma senza costruirla di fatto mai per intero.
Poi tu puoi decidere di tenerti il tuuo paradosso dei quadrati, però io ho cercato di indicarti così dove meglio devi cercarlo, cioè dove si origina, e devi cercarlo a quanto pare nella madre di tutti i paradossi, che è l'infinito.
Anche se secondo me tutti i paradossi matematici hanno origine nel credere che il concetto di numero sia fissato, e non in continuo divenire, che è l'errore che ha fatto Pitagora, il quale non accettava i numeri irrazionali per il motivo che, chissà perchè, credeva già di conoscerli tutti i numeri, per cui quello credeva di dover disconoscere.
In sostanza è l'errore di credere che il concetto di numero possa rappresentarsi con un elenco di numeri.
Ciao Iano. :)
Quello che scrivi è tutto vero; ma, in questo caso, non si tratta di un paradosso dovuto al concetto di "infinito" o agli "infinitesimali" (che sono un'altra cosa), come il paradosso della "Freccia" o quello di "Achille e la tartaruga", bensì di una "contraddizione" tra due formule matematiche che partono entrambi da numeri finiti, limitati e ben definiti: 2 METRI!
***
Ed infatti, avendo un quadrato di due metri lineari "esatti" di lato:
.
a)
Se moltiplichiamo lato per lato, otterremo che il quadrato avrà un'area di 4,00 metri quadrati "esatti".
.
b)
Se, invece, basandoci "sugli stessi identici due lati di 2 mt esatti", ricaviamo, per mezzo della loro ipotenusa, la diagonale del quadrato, in base alla formula della diagonale alla seconda potenza diviso 2, otterremo che il quadrato avrà un'area di 3.97 metri quadrati "approssimati".
.
***
Il che dovrebbe essere logicamente impossibile!
***
Un saluto! :)
***
Tu scrivi:
''Ma mi sembra logicamente "impossibile" che, uno stesso quadrato, abbia nello stesso tempo un'area di 4 mq "precisi", e, nello stesso tempo, anche, un'area 3.97 metri quadrati "approssimati", a seconda che, basandosi sugli stessi due lati, si ricorra a due diverse formule matematiche universalmente accettate come valide per determinare l'area dello stesso identico quadrato.''
Difficile capirti, ma non mi arrendo.
Un area non è un numero, ma possiamo fare corrispondere un numero ad un area.
Viceversa un numero non è un area, ma possiamo fare corrispondere un area a un numero.
Chiamiamola operazione di corrispondenza.
Non sempre in matematica un operazione ammette il suo inverso.
Ad esempio l'operazione 0/4=0 non ammette inverso, perchè 4/0=?.
Radice di due= Pippo, dove Pippo è un numero preciso, o se preferisci esatto, irrazionale.
Questa operazione ammette l'inverso.
Pippo al quadrato= 2.
La domanda che capirei e che mi aspetterei è: come faccio a svolgere in colonna una operazione per la quale dovrei scrivere infinite cifre?
Possiamo anche fare corrispondere un numero ad un altro numero, e chiamare questa, se vogliamo ''operazione di approssimazione'', ma la corrispondenza fra numeri non ha nulla di aprrosimmato.
Posso fare anche una corrispondenza fra numeri razionali e irrazionali facendo corrispondere a un numero irrazionale un numero razionale, ma questa operazione non ammette l'inverso, perchè ad un numero razionale corrispondono infiniti numeri irrazionali.
Posso chiamarla operazione di approssimazione, perchè posso chiamarla come mi pare, ma non essendo ammessa l'operazione inversa, non posso risalire dal numero corrispondente al numero di partenza, perchè per poterlo fare dovrei avere una corrispondenza, come dicono i matematici, biunivoca.
.
Ad un area corrisponde un numero, ma a un numero corrispondono infinite aree, per cui a partire dall'area posso risalire al numero, ma a partire dal numero non posso risalire all'area, perchè non vi è una corrispondenza biunivoca fra numeri e aree.
Il vero problema nello studio della matematica è che chi la studia, non essendo una tabula rasa, avrà difficolta a capire, se ciò che è scritto nel libro di matematica non corrisponde a ciò che è scritto nella sua tabula.
In altri termini la confidenza che abbiamo con la matematica non ci aiuta a capirla quando vogliamo approfondirla.
Non riusciamo a risolvere un problema per il motivo che a volte non ci è chiaro il problema, ma credendo invece di averlo chiaro entriamo in un circolo vizioso dal quale è difficile uscire.
Noi pensiamo di dover capire la matematica, e invece dobbiamo riscrivere la tabula.
Così quando l'operazione và a buon fine, partiamo per risolvere un problema risolvendone un altro.
All'inizio il problema sembra essere quello di approfondire la corrispondenza fra tabula e matematica, finché non ci arrendiamo a riscrivere la tabula, non perchè la tabula abbia qualcosa di sbagliato, ma perchè essa stessa è il risultato di continue riscritture.
Di certo non aiuta difendere la tabula come difenderemmo la nostra reputazione.
Meglio non concentrasi su ciò che è scritto nella tabula, identificandoci con lo scritto, ma sul come come e perchè essa venga ogni volta riscritta.
Quella dei numeri irrazionali è stata una riscrittura notevole, ma forse partire da quella riscrittura non aiuta.
Forse all'inizio è più facile capire non come i numeri irrazionali siano stati ammessi nel club dei numeri, ma come ad esempio vi sia stato ammesso l'uno, perchè nessun numero viene ammesso per diritto di nascita, e l'uno ha dovuto faticare per essere ammesso.
Il tuo stesso esempio tradisce ciò, se mi permetti.
Tu non sei partito dall'esempio più semplice possibile, un quadrato di lato uno, ma un quadrato di lato due, perchè evidentemente per te due è ''più numero'' di uno.
Confessati. :) per te, two is medius che one.
L'uno lo sopporti, ma non lo vedi di buon occhio, non ne parliamo poi dello zero.
Ma proprio questa è la storia della matematica la storia della fatica che hanno fatto i numeri ad essere ammessi in un club esclusivo, ma che di esclusivo non ha invece nulla, perchè fà fare lunghissime anticamere, ma alla fine ammette tutti.
Perchè non riesco a capirti?
Perchè la riscrittura della mia tabula è andata avanti, e non riesco più quindi a confrontarla con la tua, immagino, se non in parte.
Il problema fondamentale è che la nostra percezione è legata a ciò che è scritto sulla nostra tabula, quindi se la vuoi riscrivere devi provare a distaccarti dalla tua percezione particolare.
Ma prima devi capire che il problema non è capire la matematica, ma riscrivere la tabula.
La prima risposta di bobmax è chiara e ineccepibile dal punto di vista matematico.
La diagonale del quadrato è pari a √8 o 2√2, un numero irrazionale. Se sostituisci questo numero con un qualunque numero decimale è ovvio che non otterrai esattamente l'area di partenza. Matematicamente non c'è alcuna contraddizione.
Citazione di: baylham il 04 Marzo 2023, 18:39:59 PMLa prima risposta di bobmax è chiara e ineccepibile dal punto di vista matematico.
La diagonale del quadrato è pari a √8 o 2√2, un numero irrazionale. Se sostituisci questo numero con un qualunque numero decimale è ovvio che non otterrai esattamente l'area di partenza. Matematicamente non c'è alcuna contraddizione.
Esatto.
Non puoi risalire con operazione inversa al numero da cui sei partito, se sostituisci il risultato dell'operazione con un numero diverso.
Se ad esempio sostituisci pi greco con treequattordici, perchè in matematica, diversamente dalla vita reale non si accettano compromessi.
Due cose sono completamente uguali, o completamente diverse, senza vie di mezzo.
Ciao Iano. :)
Anche io non riesco a capirti, ma, sicuramente, non per colpa tua, bensì:
- a causa della mia "ignoranza" in matematica e geometria;
- a causa del mio "scarso quoziente intellettivo" in matematica e geometria.
***
Ed infatti io non riesco assolutamente a comprendere come sia possibile che:
- partendo dagli stessi dati (cioè un quadrato con un metro per lato, e con una diagonale ricavata da due suoi lati col teorema di Pitagora);
- applicando, a tali dati, due formule matematiche universalmente riconosciute come valide (lato per lato, e ipotenusa al quadrato diviso due);
si possano ottenere due quadrati di area diversa, una delle quali esatta (4 mq), e l'altro di area solo approssimata (3,97 mq).
***
E non riesco neanche a capire perchè gli altri intervenuti non rilevino in alcun modo tale (per me) evidente incongruità!
***
Ed infatti:
.
1)
Sono perfettamente d'accordo con te che "possiamo", anzi, "dobbiamo" fare corrispondere un area ad un "numero", il quale ce ne dà la" misura".
Ma, secondo me, ad una "stessa area" non possono corrispondere due "numeri diversi", cioè due "misure diverse"; perchè ciò vorrebbe dire che "un'area è diversa da se stessa".
Il che andrebbe contro il "principio di non contraddizione"!
.
2)
Poi tu scrivi: "Radice di due= Pippo, dove Pippo è un numero preciso, o se preferisci esatto, irrazionale. Questa operazione ammette l'inverso. Pippo al quadrato= 2,00"
Ma Pippo non è affatto un "numero preciso", che moltiplicato per se stesso dia 2,00!
Ed infatti a me non risulta affatto che la radice quadrata di due, cioè 1,41...("approssimato") moltiplicata per due sia uguale a 2,00 ("esatto"); bensì a me pare che corrisponda ad 1,98...("approssimato"); il quale è un numero che "si approssima" molto a 2,00, ma, tuttavia, non è 2,00.
E' solo "circa" 2,00!
***
Il che, a mio parere, è una cosa molto diversa!
***
.
3)
Ed infatti, poi, tu stesso giustamente scrivi: "Posso chiamarla operazione di approssimazione, perchè posso chiamarla come mi pare, ma non essendo ammessa l'operazione inversa, non posso risalire dal numero corrispondente al numero di partenza, perchè per poterlo fare dovrei avere una corrispondenza, come dicono i matematici, biunivoca."
Per cui, tu stesso ammetti che la radice di due non è affatto un numero "preciso", o se preferisci "esatto", perchè tale operazione NON ammette l'inverso; ed infatti Pippo al quadrato non dà affatto 2.00 ("esatto"), bensì 1,98...("approssimato").
.
***
Da tutto ciò, a me pare che tu, sia pure implicitamente e involontariamente, non fai che confermare il mio "paradosso"; ma, come ho scritto in premessa, probabilmente sono io che continuo a non capire.
Perdonami! :(
***
Un saluto! :)
***
-
Citazione di: iano il 04 Marzo 2023, 17:44:48 PMIl vero problema nello studio della matematica è che chi la studia, non essendo una tabula rasa, avrà difficolta a capire, se ciò che è scritto nel libro di matematica non corrisponde a ciò che è scritto nella sua tabula.
In altri termini la confidenza che abbiamo con la matematica non ci aiuta a capirla quando vogliamo approfondirla.
Non riusciamo a risolvere un problema per il motivo che a volte non ci è chiaro il problema, ma credendo invece di averlo chiaro entriamo in un circolo vizioso dal quale è difficile uscire.
Noi pensiamo di dover capire la matematica, e invece dobbiamo riscrivere la tabula.
Così quando l'operazione và a buon fine, partiamo per risolvere un problema risolvendone un altro.
All'inizio il problema sembra essere quello di approfondire la corrispondenza fra tabula e matematica, finché non ci arrendiamo a riscrivere la tabula, non perchè la tabula abbia qualcosa di sbagliato, ma perchè essa stessa è il risultato di continue riscritture.
Di certo non aiuta difendere la tabula come difenderemmo la nostra reputazione.
Meglio non concentrasi su ciò che è scritto nella tabula, identificandoci con lo scritto, ma sul come come e perchè essa venga ogni volta riscritta.
Quella dei numeri irrazionali è stata una riscrittura notevole, ma forse partire da quella riscrittura non aiuta.
Forse all'inizio è più facile capire non come i numeri irrazionali siano stati ammessi nel club dei numeri, ma come ad esempio vi sia stato ammesso l'uno, perchè nessun numero viene ammesso per diritto di nascita, e l'uno ha dovuto faticare per essere ammesso.
Il tuo stesso esempio tradisce ciò, se mi permetti.
Tu non sei partito dall'esempio più semplice possibile, un quadrato di lato uno, ma un quadrato di lato due, perchè evidentemente per te due è ''più numero'' di uno.
Confessati. :) per te, two is medius che one.
L'uno lo sopporti, ma non lo vedi di buon occhio, non ne parliamo poi dello zero.
Ma proprio questa è la storia della matematica la storia della fatica che hanno fatto i numeri ad essere ammessi in un club esclusivo, ma che di esclusivo non ha invece nulla, perchè fà fare lunghissime anticamere, ma alla fine ammette tutti.
Perchè non riesco a capirti?
Perchè la riscrittura della mia tabula è andata avanti, e non riesco più quindi a confrontarla con la tua, immagino, se non in parte.
Il problema fondamentale è che la nostra percezione è legata a ciò che è scritto sulla nostra tabula, quindi se la vuoi riscrivere devi provare a distaccarti dalla tua percezione particolare.
Ma prima devi capire che il problema non è capire la matematica, ma riscrivere la tabula.
Io non sono partito da un quadrato di lato 1, bensì da un quadrato di lato 2, semplicemente perchè la radice quadrata di 1 è un numero razionale, mentre la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale; ed è da questo che scaturisce il paradosso di una stessa area diversa da sè stessa, a seconda delle formule di calcolo dell'area adottate. :)
P.S. Inoltre un quadrato di lato 1 potrebbe dare luogo ad un altro paradosso, che, avrei voluto non dover affrontare (ma che forse affronterò in un apposito topic).
Ciao Baylham. :)
Sono perfettamente d'accordo sia con te che con Bobmax.
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E, cioè, che, nel caso di un quadrato di due metri di lato:
- la diagonale del quadrato è pari a √8, il quale è un numero irrazionale "I";
- se si sostituisce questo numero irrazionale con un qualunque numero decimale per "approssimazione", ad es. 2,82 , è ovvio che non si otterrà mai esattamente l'area di partenza.
Ma questi sono esattamente i due presupposti sui quali di basa il mio paradosso!
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Ed infatti, innanzitutto occorre considerare che, se non si sostituisse un "numero irrazionale" con un qualunque corrispondente "numero decimale" per "approssimazione", ad es. 3,14, allora sarebbe impossibile calcolare l'area di un qualsiasi cerchio; ed infatti nessun cerchio ha un'area assolutamente esatta!
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In altre parole, il "π" è "utilizzabile" (più che "sostituibile") solo in forma decimale approssimata!
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E, se è possibile usare il "π" in forma "approssimata", non vedo perchè questo non dovrebbe essere possibile con qualsiasi altro "numero irrazionale"; come, appunto, la diagonale del quadrato pari a √8, parimenti "approssimata" per due cifre a 2,82; dalla quale scaturisce un quadrato di dimensioni "approssimativamente" simili a quelle dello stesso quadrato ottenuto moltiplicando lato x lato, ma non certo "uguali".
Ma mentre le aree dei cerchi sono tutte approssimate, mi pare strano che l'area di taluni quadrati possa essere contemporaneamente sia "esatta" sia "approssimata" (e, quindi, dissimile)!
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A me sembra un risultato paradossale, ma, probabilmente (anzi, sicuramente) questo dipende dalla mia "insipienza" matematica.
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Un saluto! ;)
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Citazione di: Eutidemo il 05 Marzo 2023, 10:50:36 AMmi pare strano che l'area di taluni quadrati possa essere contemporaneamente sia "esatta" sia "approssimata" (e, quindi, dissimile)!
Il paradosso ci sarebbe se due quadrati aventi lo stesso lato avessero due aree
esatte differenti, ma se un'area viene calcolata prima in modo esatto e poi approssimato è normale che abbiamo due valori differenti per la stessa figura (altrimenti non sarebbero appunto un calcolo
approssimato e uno
esatto).
Se dici che nel tuo portafoglio ci sono
circa (approssimazione) otto euro, non è un paradosso se poi, contando
esattamente, dici che ce ne sono 7,94. Con l'area del quadrato è lo stesso, solo che la cifra tonda è esatta (4), quella con la virgola è approssimata (3,97)
per difetto, avendo "sacrificato" nel calcolo, ossia
tolto (da cui il valore inferiore) alcune cifre dei numeri irrazionali.
Sarebbe paradossale se diminuendo per approssimazione il valore di un numero, ciò non influisse diminuendo anche il risultato finale (almeno per il tipo di calcoli di cui qui si parla).
Ciao Phil :)
Chapeau!
Alla fine hai trovato un argomento sufficientemente semplice e convincente, tale da riuscire ad essere compreso anche da un ignorante in matematica e in geometria come il sottoscritto; il quale, a dire la verità, oltre che essere ignorante in matematica e in geometria, è anche un po' tonto.
Grazie per la tua pazienza! ::)
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Ed invero, come tu giustamente osservi, un vero paradosso ci sarebbe se due quadrati aventi lo stesso lato avessero "due aree esatte differenti"; ma se un'area viene calcolata prima in modo esatto e poi approssimato è normale che abbiamo due valori differenti per la stessa figura (altrimenti non sarebbero appunto un calcolo approssimato e uno esatto).
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Molto persuasivo e calzante è anche il tuo esempio del portafoglio! ;)
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Però, allora, non sono molto perspicui quasi tutti i siti di matematica, laddove si afferma categoricamente che l'area del quadrato si trova dividendo per due la diagonale elevata al quadrato, senza precisare che tale risultato è sempre e comunque "inesatto"; ed infatti, se è vero che la misura della DIAGONALE di un QUADRATO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura del suo lato per la radice quadrata di 2, siccome la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, qualsiasi risultato che ne consegue è per forza INESATTO!
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Per cui, a cosa diavolo serve una formula del genere, che ci dà un risultato "inesatto", quando è molto più semplice moltiplicare un lato per se stesso, che ci dà invece sempre un risultato "esattissimo"?
Sarebbe come "pesare" le monete che sono nel portafoglio, invece di "contarle"!
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Grazie ancora ed un saluto! :)
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Ciao Phil. :)
L'unico dubbio che mi rimane è che l'"approssimazione fisica" è una cosa diversa dall'l'"approssimazione matematica".
Ed infatti:
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a)
Il numero di soldi contenuto in un portafoglio, non può essere contemporaneamente "impreciso" <<e>> "preciso", se non a causa della nostra insufficiente conoscenza del suo contenuto; basta aprirlo e controllare dentro, ed allora potremo riscontrare immediatamente quale sia il numero esatto di soldi in esso contenuti.
.
b)
L'area del quadrato del mio esempio, invece, può essere nello stesso tempo "imprecisa" <<e>> "precisa", a seconda della formula matematica adottata per calcolarla.
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***
Il che mi lascia ancora un po' perplesso, perchè se una stessa forma geometrica può essere calcolata in modo preciso in un determinato modo, che senso ha dire che, però, può essere calcolata in modo impreciso in un altro modo?
Mi ricorda un po' il paradosso del "
Gatto di Schrödinger!
(https://i.postimg.cc/QxBHm7sD/GATTO-SCHOED.jpg)***
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Certo, posso dire che:
- 234 x 156 = 36.504 costituisce un risultato "preciso" della moltiplicazione;
mentre
- 234 x 156 = 36.503, invece, costituisce un risultato "impreciso" della moltiplicazione, ma "molto approssimato a quello esatto."
Ma che senso ha?
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Però non voglio insistere a rompere le scatole, sia a te che agli altri intervenuti nel mio topic, in quanto, tutto sommato (pur con le mie residue stupide perplessità), ribadisco che la tua precedente spiegazione mi è sembrata abbastanza perspicua.
Per cui me ne accontento, e ti esonero da ulteriori interventi esplicativi!
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Grazie ancora e ciao! :)
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Citazione di: Eutidemo il 05 Marzo 2023, 15:54:11 PML'area del quadrato del mio esempio, invece, può essere nello stesso tempo "imprecisa" <<e>> "precisa", a seconda della formula matematica adottata per calcolarla.
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Il che mi lascia ancora un po' perplesso, perchè se una stessa forma geometrica può essere calcolata in modo preciso in un determinato modo, che senso ha dire che, però, può essere calcolata in modo impreciso in un altro modo?
Il tempo dell'affermazione o del calcolo è il fattore dirimente: non c'è un calcolo che
allo stesso tempo ti dia sia il risultato esatto che quello approssimato.
Tutto dipende dalle informazioni di partenza: se non hai la misura del lato, ma solo quella della diagonale, puoi approssimare; invece, se conosci la misura del lato, puoi essere direttamente più esatto. Se hai a disposizione entrambe le misure, potrai scegliere quale usare, ma non avrai mai nello stesso tempo (nello stesso calcolo) un risultato sia approssimato che esatto.
Il risultato è dunque differente a seconda di quale "approccio" usi, proprio come con i soldi in tasca: se ti affidi alla memoria (la sottovaluto solo a scopo esemplificativo), te li ricorderai in modo approssimato; se invece puoi contarli, avrai il risultato preciso; ciò non toglie che, pur dopo averli contati, potrai comunque approssimare affermando che hai circa x euro.
Riguardo l'utilità pragmatica dell'approssimazione credo torni utile il caso del campo da dividere, nel senso che a volte è meglio
approssimare a cifra tonda, piuttosto che ereditare un appezzamento circolare la cui area catastale sia un ostico numero irrazionale (come calcolarne il valore e le tasse senza approssimazione?).
Citazione di: Eutidemo il 05 Marzo 2023, 12:46:15 PMPerò, allora, non sono molto perspicui quasi tutti i siti di matematica, laddove si afferma categoricamente che l'area del quadrato si trova dividendo per due la diagonale elevata al quadrato, senza precisare che tale risultato è sempre e comunque "inesatto"; ed infatti, se è vero che la misura della DIAGONALE di un QUADRATO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura del suo lato per la radice quadrata di 2, siccome la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, qualsiasi risultato che ne consegue è per forza INESATTO!
***
Non esistono numeri inesatti.
L'approssimazione di un numero non è quel numero, ma un altro numero col quale lo approssimiamo, ed entrambi sono numeri esatti, ma diversi.
Il fatto che durante un calcolo si decida di sostituire un numero ''esatto'' con un altro ''esatto'', dal valore prossimo, è un fatto di convenienza, che non pregiudica ''l'esattezza'' dei numeri coinvolti nell'operazione.
Che poi ogni divulgazione scientifica contenga approssimazioni và da sè, e convengo con te che ciò possa essere molto frustrante, perchè se alcune sono inevitabili in quanto necessarie semplificazioni con funzione appunto divulgativa, altre sono ben evitabili.
Ma l'arte del divulgatore scientifico, và da sè, e fra le più difficili in assoluto perchè c'è una bella differenza fra sapere le cose e saperle spiegare così alla fine a volte ti rimane il dubbio se chi ce le spiega le abbia veramente capite.
Non rimane altro da fare che consultare diverse divulgazioni sullo stesso tema, che è una bella fatica, ma di solito paga.
Se io fossi un divulgatore scientifico non userei l'espressione ''numero esatto'', perchè potrei indurre qualcuno a credere che vi siano anche numeri non esatti.
Ciao Phil :)
Innanzitutto ti ringrazio per il tuo ulteriore intervento, però ti avevo detto che mi accontentavo della tua precedente spiegazione; non puoi certo pretendere di "cavar sangue da una rapa" (cioè dalla mia testa di rapa).
Comunque, riguardo alle tue sensatissime considerazioni, osservo quanto segue:
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1)
Sono perfettamente d'accordo con te che non c'è un calcolo che allo stesso tempo ci dia sia il risultato esatto sia quello approssimato; la mia moltiplicazione era solo un esempio (molto poco calzante).
Però io:
- non ho mai scritto che c'è "un calcolo" per ottenere l'area del quadrato che, allo stesso tempo, ci dia sia il risultato esatto sia quello approssimato;
- ho invece scritto che mi lascia interdetto il fatto che esistono "due calcoli diversi" per ottenere l'area del quadrato, uno dei quali ci dà il risultato esatto, mentre l'altro ce lo dà soltanto approssimato.
Non capisco il senso di una cosa del genere!
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2)
Sono anche perfettamente d'accordo con te che, se non hai la misura del lato, ma solo quella della diagonale, puoi soltanto approssimare; invece, se conosci la misura del lato, puoi essere direttamente più esatto.
Però, secondo me, se tu conosci la lunghezza della diagonale del quadrato, puoi facilmente e matematicamente venire a conoscenza anche della lunghezza dei suoi lati attraverso il "teorema di Pitagora"; per cui conoscendo la misura del lato, puoi essere assolutamente "esatto" moltiplicandolo per se stesso.
Quindi, perchè mai accontentarsi di un calcolo soltanto "approssimato"?
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3)
Infine, sono anche perfettamente d'accordo con te che, nella "realtà fisica" il risultato è differente a seconda di quale "approccio" usi, proprio come con i soldi in tasca.
Ed infatti:
- se mi affido al peso complessivo delle monete, potrò calcolare il loro valore totale solo in modo molto approssimato;
- se invece le conto una ad una (20 cent + 50 cent. + 10 cent. ecc. ecc.), potrò calcolare il loro valore totale in modo assolutamente preciso.
Ma mi sorprende che, nella "realtà matematica" il risultato possa essere differente (approssimato o preciso) a seconda di quale modalità di "calcolo" io utilizzo.
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Tuttavia la colpa non è della matematica, bensì della mia insipienza in tale materia!
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Un saluto! :)
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Ciao Phil :)
Ti ringrazio anche per il tuo altro intervento, che non riguarda tanto il "paradosso dei due diversi calcoli per determinare l'area del quadrato" (con risultati differenti), quanto, piuttosto, il fatto che, secondo te, non esistono "numeri inesatti".
***
Le tue argomentazioni sono davvero molto interessanti, e, in parte, anche persuasive.
Tutto sta, però:
- a capire cosa si intenda con l'"aggettivo" "inesatto";
- a quale "sostantivo" esso si riferisca.
.
1)
L'AGGETTIVO
Tale locuzione, a seconda del contesto in cui viene utilizzata, può significare due cose molto "simili", ma, in realtà, notevolmente "diverse".
Ed infatti:
a) "Errato"
Asserire che la terra è piatta, è una asserzione "inesatta", nel senso che è "errata" (ed infatti la terra è, più o meno, sferica).
b) "Approssimato"
Asserire, invece, che la terra ha una circonferenza di 40.000 km., è una asserzione "inesatta", nel senso che è "approssimata" (ed infatti la circonferenza "esatta" è di 40.075 km).
I linguisti dibattono su quale sia il significato semantico più appropriato; ma, secondo me, tutto dipende dal "contesto", e, soprattutto, dal "sostantivo" a cui si riferisce tale "aggettivo".
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2)
IL SOSTANTIVO
Il "numero" è una entità astratta che indica:
- la quantità degli elementi di un insieme ( n. cardinale 1,2,3);
- il posto di un elemento in una successione ( n. ordinale 1°,2°,3° ).
In particolare, in geometria, il "numero" è il "valore" che si attribuisce ad una "cifra" che esprime la "misura" di una "forma geometrica regolare".
***
In tal senso, hai ragione nel dire che, "rigorosamente parlando", non esistono "numeri inesatti"; in quanto, semmai, è "inesatto" il "valore numerico" che si attribuisce ad una "cifra" che esprime una determinata "misura".
"Valore numerico" che può essere:
- "errato";
- "approssimato"
***
Parafrasando quello che hai scritto, cioè, l'approssimazione di un "numero" non riguarda quel numero in se stesso, bensì la non esatta corrispondenza del suo "valore numerico", rispetto ad un altro "valore numerico" che indica la "misura" esatta di una determinata forma geometrica.
***
Oppure, detto "in soldoni", l'"inesattezza" (e/o l'"approssimazione"), non riguarda mai il "numero" in se stesso, bensì il "rapporto" che c'è tra quel numero e l'entità geometrica che intende misurare.
***
Però tu l'hai spiegato molto meglio di me!
***
Un saluto! :)
***
Andando in parte fuori tema, ciò che a me desta meraviglia, perchè inatteso, è che, per raddoppiare l'area di un quadrato basta costruire un nuovo quadrato sulla sua diagonale. E' come una vera magia senza trucchi.
Più corretto è dire ''per ottenere un quadrato di area doppia'' , perchè a rigore per raddoppiare l'area di un quadrato basta attacargliene uno uguale, ottenendo un rettangolo, che vale come la moltiplicazione dei quadrati, che però non ha nulla di miracoloso.
Tornando in tema, il vero problema non è se un numero è ''esatto'', ma se esiste, e radice di due certamente esiste se è la lunghezza associabile a qualcosa che esiste, la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato uno.
Non esiste dunque perchè ha una lunghezza conoscibile, ma solo una volta appurato che esiste sono autorizzato ad approssimarne la lunghezza.