Un matematico, un geometra, un avvocato ed un filosofo, si trovano di fronte al notaio che sta effettuando la divisione in quattro parti di un terreno ereditato dal loro padre; la cui area, di forma quadrata, ammonta complessivamente a 5.024 mq, così come risulta in catasto.
- Benissimo!- esclama il Notaio -In questo caso la divisione ereditaria è facilissima: ed infatti basta dividere in quattro parti il terreno di 5.024 mq, ed a ciascuno di voi spetterà un quadrato di 1.256 mq esatti-
***
- Un momento!- esclama il matematico -Questo non è possibile!-
- Come sarebbe a dire?- replica il geometra - 5.024 mq diviso per 4 non dà forse, come risultato, 1.256 mq?-
- Certamente- ammette il matematico -Ma la cosa non è comunque possibile!-
- E perchè mai?- chiede perplesso l'avvocato.
***
Ed allora il matematico comincia a spiegare per quale motivo, secondo lui, tale divisione non è matematicamente possibile.
- Voi tutti sapete che l'area del cerchio si ricava dalla seguente formula:
A = 𝝅 ⋅ r2
Laddove:
A sta per area del cerchio;
𝝅 per la costante Pi greco che vale 3,14;
r2 equivale alla misura del raggio al quadrato (cioè moltiplicato per se stesso).-
- Questo lo sapevamo tutti!- sbotta irritato il notaio - Ma io ho diviso il terreno quadrato in 4 quadrati, mica in quattro cerchi!-
***
- Ascoltate!- riprende il matematico - In base alla nota formula, in concreto, dato un cerchio con raggio di 20 mt, il calcolo da fare sarà: 3,14 moltiplicato per (20 x 20 = 400).
L'area del cerchio, in tal caso misurerà quindi 1.256 mq (ed infatti 3,14 x 400 = 1.256 mq).
Ma, in questo caso, il quadrato ereditato da ciascuno di noi, che è, appunto, di 1.256 mq, avrebbe un'area uguale a quella di un cerchio con 20 mt di raggio; il che è assolutamente impossibile, perchè ciò vorrebbe dire che il nostro Notaio ha involontariamente effettuato la "quadratura del cerchio"!
- E questo è illegale?- chiede l'avvocato.
- Non è illegale, ma è impossibile!- ribatte il matematico.
***
- Ed infatti- spiega -Nel 1882, Ferdinand von Lindemann, scienziato e professore dell'Università di Königsberg, dimostrò che la quadratura del cerchio è assolutamente impossibile; ciò in quanto la costante π, riguardante il rapporto tra circonferenza di un cerchio e il suo diametro, è un "numero irrazionale".-
***
- Cioè?- chiede il filosofo.
- Cioè un "numero irrazionale" è caratterizzato dal fatto che le cifre decimali non hanno mai fine, come nel caso di un "numero periodico"; con la differenza, però che nel "numero irrazionale" la sequenza delle cifre decimali non è prevedibile.
Ne consegue che il calcolo della superficie del cerchio (il raggio al quadrato moltiplicato per la costante π) porta a un valore irrazionale e quindi non esattamente quantificabile; per cui, dall'impossibilità di un calcolo per la superficie esatta del cerchio deriva anche quella di derivare il valore esatto della superficie del quadrato corrispondente.
Ciò, infatti, implicherebbe di poter risolvere la radice di un numero irrazionale (radice di π): un calcolo impossibile senza ricorrere all'approssimazione -
***
- Non lo metto in dubbio- concorda il filosofo - Perchè io di matematica ne capisco molto poco!
Però, se quello che dici è vero (e senz'altro lo è), secondo me, dall'impossibilità di "quadratura del cerchio", si potrebbe ricavare un "teorema" geometrico matematico molto più generale.-
- E cioè?-
***
- Cioè che, lasciando da parte i "cerchi", se il risultato della radice quadrata della presunta area catastale di un quadrato, moltiplicato per se stesso, non corrisponde all'area dal quale è stato "eradicato", ciò vuol dire che un quadrato esattamente di quell'area non può esistere.
Nel nostro caso, infatti, la radice quadrata del terreno catastale complessivo di 5.024 mq è uguale a 70,88 metri; i quali dovrebbero corrispondere al lato di tale quadrato.
Ma poichè l'area del quadrato si ottiene moltiplicando un lato per se stesso, 70,88 mt x 70,88 mt dovrebbe dare come risultato 5.024,00 mq ; mentre, invece, sia pure con un piccolo scarto, ci dà soltanto 5.023,97 mq.
Per cui, matematicamente, un quadrato "esattamente" di 5.024 mq non può esistere, perchè la sua radice quadrata moltiplicata per se stessa dà 5.023,97 mq.
Peraltro, non può esistere neanche la quarta parte "esatta" di tale quadrato, cioè un quadrato "esattamente" di 1.256 mq; ed infatti la sua radice quadrata (35,44 mt) moltiplicata per se stessa dà 1.255,99 mq.
Quasi uguale, ma non uguale!-
***
-Diversamente, se il risultato della radice quadrata dell'area di un quadrato, moltiplicato per se stesso, corrisponde esattamente all'area dal quale è stato "eradicato", ciò vuol dire che un quadrato di quell'area può matematicamente esistere in modo preciso.
Ad esempio, se un quadrato ha un'area di 400,00 mq, la sua radice quadrata è pari a 20,00 mt; e moltiplicando tale lato di 20,00 mt per se stesso, otterremo "esattamente" 400,00 mq.-
***
- Per cui tu sostieni che esiste un numero indefinito di quadrati dall'"area esatta impossibile", a prescindere da quelli che cercano di "quadrare" il cerchio?- chiede il matematico.
- Questo non lo so!
Potrebbe anche darsi che il numero indefinito di quadrati dall'"area esatta impossibile" (poichè il risultato della radice quadrata della loro area, moltiplicato per se stesso, non corrisponde esattamente all'area dal quale è stato "eradicato"), corrisponda a quelli che cercano di "quadrare" il cerchio (come nel nostro caso); però questo non sono in grado di valutarlo!
Tu cosa ne pensi?-
***
P.S.
Considerata la mia scarsissima competenza geometrica e matematica, è molto probabile io abbia scritto degli sfondoni e commesso non solo degli "errori concettuali", ma anche dei veri e propri "errori di calcolo"; nel qual caso vi prego di scusarmi, e di non infierire, "sparando sulla croce rossa"! :(
Così come vi prego di scusarmi, e di non infierire, se non ho fatto altro che "scoprire l'acqua calda"! :(
Forse non ho capito il senso del dialogo, ma mi sembra solo una questione di arrotondamento: il lato del terreno (se perfettamente quadrato) è esattamente 70,880180586677401607964500390145 metri, che elevato al quadrato dà senza arrotondare i 5024 metri quadri di partenza. Per dividerlo per quattro occorrono quattro quadrati da 35,440090293338700803982250195073 metri per lato (esattamente 1256 metri quadrati per ogni sotto-quadrato).
Nella realtà si procederà ovviamente per approssimazione grossolana, non certo al millimetro, nel dividere la proprietà, ma matematicamente mi sembra filare tutto liscio (soprattutto se consideriamo che π non è esattamente 3,14 bensì 3,1415926535897932 e oltre, quindi l'area del cerchio non quadra essendo 1.256,63706143591... metri quadri).
Ciao Phil. :)
Hai capito esattamente il senso del mio dialogo; sono io che sono stato "tradito" dalla "calcolatrice online" che ho utilizzato, la quale, come risultato delle radici quadrate, mi ha dato:
a)
70,88 mt lineari secchi, senza ulteriori decimali.
b)
35,44 mt lineari secchi, senza ulteriori decimali.
***
Di qui scaturivano tutti i miei seguenti calcoli, ragionamenti e "teoremi", perchè la "calcolatrice online" non mi aveva fornito tutti i decimali delle due radici quadrate; almeno avrebbero potuto precisare che, per ragioni di spazio, si limitavano soltanto ai primi due.
Invece non l'hanno fatto, traendomi così in inganno. >:(
***
Ed invece, come da te correttamente riportato, i risultati esatti e completi delle radici quadrate erano:
a)
70,880180586677401607964500390145 metri (che elevato al quadrato dà senza arrotondare i 5024 metri quadri di partenza)
b)
35,440090293338700803982250195073 metri per lato (che elevato al quadrato dà senza arrotondare esattamente 1256 metri quadrati per ogni sotto-quadrato).
***
Per cui, partendo da dati numerici incompleti, quali quelli fornitimi dalla dalla "calcolatrice online" che avevo utilizzato, tutto il mio conseguente ragionamento deve considerarsi fallace, in quanto fondato su premesse erronee; anche se, in questo caso, credo non per mia colpa. :(
***
Ti chiedo comunque scusa per il tempo inutile che ti ho fatto perdere, e ti ringrazio per le tue precisazioni.
***
Un saluto. :)
***
(P.S. Dove diamine la trovo online una calcolatrice che mi dia tutti i decimali completi di una operazione?)
Non c'è affatto da scusarsi, anzi mi hai fatto ripassare un po' di matematica che male non fa. Per quanto riguarda la calcolatrice, ho usato quella di Windows (calc.exe o link "annidato" nel menu avvio), offline e sempre affidabile.
Ricollegandosi all'altra discussione aperta da Eutidemo , la quadratura è un metodo di misura, in base al quale si potrebbe dire che non tutte le figure hanno una misura, cioè un area misurabile.
A suo tempo, quando ciò si è scoperto, qualcuno avrà gridato al nichilismo, visto che si era costretti a indicare un numero con un simbolo, pi greco, non potendosi scrivere per esteso perchè aveva INFINITE CIFRE con schema non ripetitivo (scandalo allora come oggi, a quanto pare, niente di nuovo sotto il sole quindi) dopo la virgola.
Per salvarci dal nichilismo avremmo dovuto quindi rinunciare a calcolare l'area del cerchio, seppur approssimandola.
Col senno di poi non sarebbe stato ragionevole farlo, e col senno di oggi possiamo aspettarci che lo scandalo si ripeta, vedi ''paradosso del raddoppio delle sfere'' dove sono implicati ''pezzi''senza misura.
Déjà vu.
Ciao Phil :)
Beato te a cui basta "ripassare" un po' la matematica; io, invece, prima di parlarne a sproposito, dovrei "ristudiarla ex novo", in quanto al liceo classico, ne ho fatta poca e male (e molto tempo fa).
Senza contare che il mio Q.I. "matematico" è inferiore al mio Q.I. "linguistico" e "spaziale".
***
Per cui, visto che tu, in materia, ne sai (e ne capisci) molto più di me, vorrei farti due domande, per curiosità personale:
.
1)
Invece di dire che la "quadratura del cerchio" è "impossibile" (come effettivamente è), non sarebbe più semplice dire :
a)
Che l'area del cerchio non è mai esattamente "misurabile", a causa del 𝝅 (3,14), i cui decimali sono pressochè infiniti e/o indefiniti:
https://it.wikipedia.org/wiki/Prime_100000_cifre_di_Pi_greco
b)
Per cui, visto che l'area del cerchio non è "mai" esattamante "misurabile", di conseguenza è "impossibile" equipararla a nessuna altra forma geometrica esattamente "misurabile"; il che, per una questione di mera "logica", oltre che di "matematica".
Cioè, invece di dire che la "quadratura del cerchio" è "impossibile", perchè non dire che è "impossibile" anche la "triangolatura", la "rettangolatura", la "pentagonatura" del cerchio, e via dicendo?
Oppure queste sono invece possibili (confesso la mia ignoranza in materia)?
Inoltre, se è vero che l'area del cerchio non è "mai" esattamante "misurabile", di conseguenza dovrebbe essere "impossibile" equipararla esattamente neanche all'area di un qualsiasi altro cerchio; perchè, se nessun cerchio è "mai" esattamante "misurabile", come si fa a dire che è "esattamente identico" ad un altro cerchio?
E' "esattamente identico" solo se ci si ferma agli stessi decimali (il secondo o il centomilessimo), ignorando quelli che vengono dopo.
.
2)
La circostanza che la "quadratura del cerchio" sia "impossibile" comporta che anche la "cubatura" della "sfera" sia parimenti impossibile?
Ovvero che il volume della sfera sia anch'esso "non misurabile" in alcun modo preciso?
Penso, nella mia nescienza, che dovrebbe essere così, perchè nella formula del calcolo del volume della sfera c'è sempre di mezzo il "π": V = 4/3πr. raggio.
Però, immergendo una sfera materiale in un contenitore graduato, il suo volume può conoscersi "esattamente" (almeno sotto il profilo "fisico") trasformandola in "parallelepipedo rettangolo"; il quale, in determinati casi, potrebbe essere anche un "cubo".
Il che, ovviamente, tenendo conto dei principi della fisica che regolano il comportamento dei solidi immersi in un liquido; e che, comunque, la "fisica", anche se è strettamente collegata alla "matematica", è una cosa alquanto diversa, essendo "concreta" e non "astratta".
***
Un saluto! :)
***
P.S.
Se le mie domande sono troppo stupide, sei esonerato dal rispondere!
Ciao Iano :)
Concordo con te che, laddove una figura geometrica, come il cerchio, non sia esattamente misurabile, dobbiamo rassegnarci alle approssimazioni; altrimenti cadremmo nel "nichilismo" (se non altro sotto il profilo operativo).
Un saluto! :)
A giudicare dai numeri calcolati dall'elaboratore, le radici quadrate di 5024 e 1256 sono numeri irrazionali, i risultati sono quindi approssimazioni.
Ecco , mi e' tornato il mal di testa :)
@Eutidemo
Baylham ha ragione e probabilmente è molto più indicato di me a rispondere alle tue domande; io al massimo posso "somatizzare" come (ed empatizzare con) atomista.
Comunque non mi sottraggo dal dirti la mia (da incompetente): credo si possa affermare che è impossibile la "poligonatura" del cerchio (poligono da infiniti lati), ma si usa «quadratura» forse perché è il poligono più intuitivo e facile da "gestire" per i calcoli di confronto con il cerchio. Per quanto riguarda invece il confronto fra cerchi, suppongo sia sufficiente riferirsi al raggio: cerchi con ugual raggio, avranno uguale area. Sul volume della sfera (o di un cilindro) forse l'effetto dell'irrazionalità del π viene approssimato tanto quanto è approssimata la misurazione del volume dell'innalzamento del liquido.
Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 06:22:17 AMCiao Phil :)
.
1)
Invece di dire che la "quadratura del cerchio" è "impossibile" (come effettivamente è), non sarebbe più semplice dire :
a)
Che l'area del cerchio non è mai esattamente "misurabile", a causa del 𝝅 (3,14), i cui decimali sono pressochè infiniti e/o indefiniti:
https://it.wikipedia.org/wiki/Prime_100000_cifre_di_Pi_greco
b)
Per cui, visto che l'area del cerchio non è "mai" esattamante "misurabile", di conseguenza è "impossibile" equipararla a nessuna altra forma geometrica esattamente "misurabile"; il che, per una questione di mera "logica", oltre che di "matematica".
Cioè, invece di dire che la "quadratura del cerchio" è "impossibile", perchè non dire che è "impossibile" anche la "triangolatura", la "rettangolatura", la "pentagonatura" del cerchio, e via dicendo?
Oppure queste sono invece possibili (confesso la mia ignoranza in materia)?
Inoltre, se è vero che l'area del cerchio non è "mai" esattamante "misurabile", di conseguenza dovrebbe essere "impossibile" equipararla esattamente neanche all'area di un qualsiasi altro cerchio; perchè, se nessun cerchio è "mai" esattamante "misurabile", come si fa a dire che è "esattamente identico" ad un altro cerchio?
E' "esattamente identico" solo se ci si ferma agli stessi decimali (il secondo o il centomilessimo), ignorando quelli che vengono dopo.
.
Ha già risposto Phil.
Io aggiungo una battuta.
Dire che il cerchio non è quadrabile equivale a dire che il quadrato non è cerchiabile.
In sostanza bisogna assumere ''assiomaticamente cosa sia misura'' delle altre cose, cercando di riportare ad essa le altre cose.
Se assumo ad esempio che la misura sia il ''cerchio'', non essendo il quadrato cerchiabile, allora esso avrà misura approssimativa, ma non esatta.
Provare a quadrare il cerchio equivale a chiedersi ''quanti quadrati misuri un cerchio'', e provare a cerchiare un quadrato significa chiedersi ''quanti cerchi misuri un quadrato''.
Possiamo assumere un rettangolo al posto di un quadrato ''come misura''.
La risposta è si, ma bisogna tener conto delle scelte che oggi noi possiamo fare e che gli antichi non potevano fare.
Noi oggi potremmo scegliere un rettangolo con lati fra loro incommensurabili, mentre gli antichi non potevano fare questa scelta, in quanto che esistano lati incommensurabili è stata una scoperta successiva.
Quindi possiamo fare qualunque scelta al di là delle conseguenze pratiche, oppure fare scelte convenienti.
Gli antichi davano per scontata la commensurabilità, ma hanno scoperto che non tutto è commensurabile con grande sorpresa.
Tutto è commensurabile a tutto in un mondo quantizzato, ma non in un mondo continuo.
Noi in che mondo viviamo?
In nessuno dei due secondo me, se troviamo ugualmente utile applicare la matematica del continuo quanto quella del discreto.
Ciao Baylham.
Tu scrivi: "A giudicare dai numeri calcolati dall'elaboratore, le radici quadrate di 5024 e 1256 sono numeri irrazionali; i risultati sono quindi solo delle approssimazioni."
Ma se le radici quadrate dei lotti catastali quadrati di 5024 mq e di 1256 mq, come tu sostieni, sono "numeri irrazionali", ciò vuol dire che anche le aree di alcuni quadrati sono il prodotto di "numeri irrazionali" moltiplicati tra di loro (lato per lato), e, quindi, necessariamente approssimate?
Se così fosse il mio "teorema" sarebbe valido!
***
Ed infatti, se il risultato della radice quadrata della presunta area catastale di un quadrato, moltiplicato per se stesso, non corrisponde all'area dal quale è stato "eradicato", ciò vuol dire che un quadrato "esattamente" di quell'area non può esistere.
***
Oppure, come è molto probabile, c'è qualcosa che "non quadra" nel mio ragionamento? ::)
***
Ed infatti, secondo te, è mai possibile che il lato di un quadrato sia misurabile solo per "approssimazione", e che la sua lunghezza sia costituita da un numero "irrazionale"?
Ma se la cosa non fosse possibile, allora non dovrebbe essere possibile neanche che esistano lotti catastali quadrati di 5024 mq e di 1256 mq, le cui radici quadrate, come tu sostieni, sono "numeri irrazionali".
***
Basta, sto davvero cominciando a "dare i numeri"; perdonatemi!
***
Un saluto! :)
***
P.S.
Mi sembra, però, che i risultati della tua calcolatrice non concordino con quella di Phil!
Citazione di: atomista non pentito il 01 Marzo 2023, 10:37:01 AMEcco , mi e' tornato il mal di testa :)
Ti capisco perfettamente! :(
Io sto perdendo il bandolo ::)
Ciao Phil. :)
Tu dici che Baylham ha ragione.
Però:
.
1)
Tu hai scritto che i risultati esatti e completi delle radici quadrate del lotto completo e di quello quadripartito erano:
a)
70,880180586677401607964500390145 metri, che elevato al quadrato dà senza arrotondare i 5024 metri quadri di partenza.
b)
35,440090293338700803982250195073 metri per lato, che elevato al quadrato dà senza arrotondare esattamente 1256 metri quadrati per ogni sotto-quadrato.
.
2)
Baylham, invece, ha scritto "A giudicare dai numeri calcolati dall'elaboratore, le radici quadrate di 5024 e 1256 sono numeri irrazionali; i risultati sono quindi solo delle approssimazioni."
.
***
Mi sembra, quindi, che i risultati dei vostri elaboratori non coincidano, o sbaglio?
***
.
***
Per il resto, invece, sebbene dal basso della mia nescienza, penso di poter essere d'accordo con te sul fatto che cerchi con ugual raggio, avranno uguale area; ma allora non si può dire anche che sfere dello stesso raggio avranno lo stesso volume?
***
Un saluto! :)
***
@Eutidemo.
Secondo me per uscire dalla confusione dovresti concentrarti sul significato di ''misura''.
Io ho provato spiegarlo modo mio.
Si può capire cosa significhi che qualcosa non ha misura solo se si ha chiaro cosa sia la misura.
La confusione può nascere dal fatto che si tratti di un concetto a noi familiare, per cui diamo per scontato di sapere bene cosa sia, ma magari non è così.
Dicendo di ''misurare qualcosa'', partiamo col piede sbagliato, perchè la misura non riguarda solo ciò che andiamo a misurare, ma riguarda il metro non meno del misurato.
Riguarda cioè il confronto fra DUE COSE, una delle quali si assume convenzionalmente come metro, e l'altra come cosa da misurare.
Dal confronto, diversamente da come credevano gli antichi, si potrà scoprire che non tutte le cose sono fra loro commensurabili.
Un altro modo di dirlo è che una delle due può avere rispetto all'altra misura irrazionale.
Per fare un esempio, se il mondo fosse quantizzato, il quanto sarebbe la misura di ogni cosa, e ogni cosa risulterebbe commensurabile ad altra.
Un conto è la misura, un altro la uguaglianza matematica.
La misura sarà sempre approssimata.
Viceversa la uguaglianza matematica o è o non è.
L'area del cerchio è:
A = R*R*π
Per cui ponendo il raggio uguale a 1:
A = π
Di modo che la quadratura del cerchio implica la costruzione di un quadrato di lato: √π
Ma π è un numero irrazionale (non è esprimibile come una frazione di numeri interi).
Perciò non può essere costruito un quadrato con la stessa area di un cerchio.
Cioè non si può scrivere:
Area cerchio = Area quadrato
Ciao Iano. :)
Tu scrivi che dire che il cerchio non è "quadrabile" equivale a dire che il quadrato non è "cerchiabile"; il che ci può anche stare!
***
Però, secondo me:
a)
Un quadrato di 20 metri di lato, ha un area di 400 metri quadrati "esatti" (ottenuta calcolando "numeri razionali").
b)
Un cerchio con raggio di 20 mt, invece, ha un'area di 1.256 mq "approssimati" (ottenuta calcolando "numeri irrazionali").
***
Non si tratta di assumere la "misura" come un "assioma", bensì come il risultato di un diverso tipo di calcolo.
***
Sono invece d'accordo con il famoso motto di Protagora: " άνθρωπος είναι το μέτρο των πάντων» ("L'uomo è misura di tutte le cose") (Protagora, fr.1, in Platone, Teeteto, 152a)
***
Un saluto! :)
***
Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 13:36:14 PMCiao Iano. :)
Tu scrivi che dire che il cerchio non è "quadrabile" equivale a dire che il quadrato non è "cerchiabile"; il che ci può anche stare!
Ci sta o non ci sta? :)
Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 13:36:14 PMNon si tratta di assumere la "misura" come un "assioma", bensì come il risultato di un diverso tipo di calcolo.
La misura infatti non è un assioma, ma il confronto fra due cose, e se dal confronto risulta che sono commensurabili si può assumere indifferentemente l'uno come misura dell'altro e viceversa.
Se risultano incommensurabili si può ancora fare, ma a condizione di ammettere nel consesso dei numeri, i ''nuovi'' numeri irrazionali.
La storia della matematica è quella di un club che vuole avere fama di esclusività, ma che poi ammette soci di ogni tipo, anche i più strani, pur di far cassa. :)
Nella nostra comune percezione rimane però sempre un club esclusivo, e penso sia questo a creare confusione.
Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 13:16:58 PMTu dici che Baylham ha ragione.
Ho dato ragione a
Bayhlam perché provando ad elevare al quadrato 35,4400902933387 anziché 35,440090293338700803982250195073 un calcolatore mi ha dato come risultato sempre 1256; ora ho riprovato con la calcolatrice di Windows ed elevando al quadrato 35,4400902933387 non ottengo 1256, perché lei considera più decimali. Ne deduco che è una mera questione di approssimazione dello strumento, quindi o la calcolatrice di Windows è la più esatta e il risultato definitivo è 35,440090293338700803982250195073, oppure anche lei approssima e "in realtà" il numero è più lungo o davvero irrazionale. Essendo scarso in matematica, a questo punto non so se ha ragione la calcolatrice o l'intuito di Bayhlam.
Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 13:16:58 PMPer il resto, invece, sebbene dal basso della mia nescienza, penso di poter essere d'accordo con te sul fatto che cerchi con ugual raggio, avranno uguale area; ma allora non si può dire anche che sfere dello stesso raggio avranno lo stesso volume?
Sempre da profano, direi di sì.
Ciao Iano :)
Quando ho fatto riferimento a Protagora, il quale diceva che "L'uomo è misura di tutte le cose", l'ho fatto a ragione veduta; ed infatti, per millenni, ed anche oggi, l'uomo è "misura" di tutte le cose non solo sotto il profilo "filosofico", ma anche sotto il profilo meramente "fisico".
Almeno utilizzando "pezzi di uomo"!
***
Ad esempio, la "misura" della canna di questo mio revolver, è di circa "QUATTRO POLLICI".
***
Ma, come "misura", possiamo prendere anche quella "metrica"; nel qual caso la canna di questo mio revolver, è circa di "DIECI CENTIMETRI".
***
E' chiaro, infatti, che le "unità di misura" sono "convenzionali"; ciò in quanto la "misura" è il valore numerico pari al rapporto tra una grandezza e un'altra ad essa omogenea, assunta "convenzionalmente" come unità.
***
Per cui, se diciamo di ''misurare qualcosa'', non partiamo affatto "col piede sbagliato"; purchè, però, precisiamo quale sia l'unità di misura a cui facciamo riferimento.
***
E, comunque, così come ogni lingua può essere tradotta in un'altra, così ogni unità di misura può essere tradotta in un'altra.
***
In genere, comunque, quasi tutte le cose sono fra loro commensurabili; ed infatti è molto difficile che ci si metta a discutere circa l'effettiva lunghezza di un oggetto rispetto all'altro, perchè la cosa è facilmente verificabile in modo oggettivo (qualsiasi unità di misura si utilizzi).
Salvo determinati casi, ovviamente!
:D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D
***
Quanto ai "quanti", se mi consenti il "calembour", io non farei confusione tra la "macrofisica" e la "microfisica"; perchè seguono leggi molto diverse!
***
Un saluto! :)
***
In breve:
la misurazione è un processo approssimativo, come mi insegnava un professore di statistica;
la precisione di calcolo degli elaboratori è ovviamente limitata;
che la radice di quei quadrati fosse irrazionale l'ho intuito perchè i due numeri di Phil avevano la stessa lunghezza (si tratta appunto di un limite della precisione dell'elaboratore) ma soprattutto applicando una elementare regola di calcolo del prodotto di una moltiplicazione per cui è evidente che quei numeri al quadrato non possono dare un numero naturale. Infine ricordavo una regola generale, ritrovata sotto la voce Numero irrazionale di Wikipedia, per cui "
qualunque radice di qualunque numero naturale è un numero naturale o è irrazionale".
Citazione di: Eutidemo il 01 Marzo 2023, 16:49:59 PMIn genere, comunque, quasi tutte le cose sono fra loro commensurabili; ed infatti è molto difficile che ci si metta a discutere circa l'effettiva lunghezza di un oggetto rispetto all'altro, perchè la cosa è facilmente verificabile in modo oggettivo (qualsiasi unità di misura si utilizzi).
Salvo determinati casi, ovviamente!
***
Quanto ai "quanti", se mi consenti il "calembour", io non farei confusione tra la "macrofisica" e la "microfisica"; perchè seguono leggi molto diverse!
***
Un saluto! :)
***
Non confonderei estensione con lunghezza.
L'estensione è la proprietà di un oggetto, la lunghezza no.
Direi che la lunghezza è la proprietà di un insieme di almeno due oggetti, perchè ci vogliono almeno due oggetti per fare un confronto, e la lunghezza è un risultato di quel confronto.
Come si possa matematicamente esprimere quella lunghezza è poi un ulteriore questione.
Ma l'uomo qui non è misura , ma misuratore, colui che confronta gli oggetti.
Ciao Phil. :)
Io non sono in grado di stabilire se sia più corretto il risultato ottenuto con la tua calcolatrice o con quella di Baylham, però, secondo me:
1)
Se è più corretto il risultato ottenuto con la tua calcolatrice, il mio "teorema" (si fa per dire) non ha alcun fondamento, poichè parte da premesse errate.
2)
Se, invece, è più corretto il risultato ottenuto con la calcolatrice di Baylham, il mio "teorema" (si fa per dire) potrebbe avere fondamento, poichè parte da premesse corrette.
***
Ed infatti Baylham ha scritto: "A giudicare dai numeri calcolati dall'elaboratore, le radici quadrate di 5024 e 1256 sono numeri irrazionali; i cui risultati sono quindi solo delle approssimazioni."
Ma se le radici quadrate dei lotti catastali quadrati di 5024 mq e di 1256 mq, come lui sostiene, sono "numeri irrazionali", ciò vuol dire che anche le aree di alcuni quadrati sono il prodotto di "numeri irrazionali" moltiplicati tra di loro (lato per lato), e, quindi, sono necessariamente approssimate.
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Se così fosse il mio "teorema" potrebbe essere valido!
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Ed infatti:
- se il risultato della radice quadrata della presunta area catastale di un quadrato, moltiplicato per se stesso, non corrisponde in modo preciso all'area dal quale è stato "eradicato", ciò vuol dire che un quadrato "esattamente" di quell'area non può esistere;
- se, invece, il risultato della radice quadrata della presunta area catastale di un quadrato (magari di 400 mq), moltiplicato per se stesso, corrisponde in modo preciso all'area dal quale è stato "eradicato", ciò vuol dire che un quadrato "esattamente" di quell'area può geometricamente e matematicamente esistere.
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Un saluto! :)
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Bayhlam mi ha "illuminato" facendo semplicemente notare che quei due numeri, elevati al quadrato, non possono portare a un numero naturale, anche perché sono dispari (e dispari per dispari fa sempre dispari).
Riguardo alle tue osservazioni, è chiaro, come detto, che tracciando i confini di un campo o dividendo sulla carta un'eredità, si facciano delle approssimazioni: così come era approssimata l'area del campo di partenza, sarà approssimata anche la divisione successiva (il campo di partenza esiste di certo, sebbene la misura numerica che lo descrive sia matematicamente approssimata e possa far pensare a un quadrato inesistente; anche in questo caso il paradosso sta nella mappa non nella realtà, come ci dimostra la "realtà" delle
linee di frontiera).
Ciao Phil. :)
Sono perfettamente d'accordo con te che tutto ciò che è "reale" è anche naturalmente "approssimato"; questo è ovvio, perchè, nella "realtà fisica", non esistono "mai" forme geometriche dalle misure assolutamente "perfette" (siano esse cerchi, quadrati o triangoli)!
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Però dovresti concedermi che, nella "realtà matematica", ed anche in quella "geometrica", il concetto di "approssimazione" è diverso da quello di "approssimazione" fisica.
Ed infatti, nella "realtà matematica", ed anche in quella "geometrica", esistono:
- delle figure dalle misure assolutamente "perfette";
- delle figure dalle misure "imperfette" (ovvero "approssimate", che dir si voglia).
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Ad esempio, nella "realtà matematica", ed anche in quella "geometrica":
a)
Un quadrato dall'area di 400,00 mq, la cui radice quadrata è pari a 20,00 mt "esatti", ha un lato dalla "misura ben definita" di 20,00 mt; per cui, se moltiplichiamo aritmeticamente tale lato per sè stesso, otterremo un area dall'area di 400,00 mq "esatti".
b)
Un quadrato dall'area di 5024 mq (o di 1256 mq), invece, la cui radice quadrata ci dà un "numero irrazionale", ha un lato dalla misura soltanto "approssimata"; per cui, se moltiplichiamo aritmeticamente tale lato "approssimato" per sè stesso, otterremo un quadrato dall'area di 5024 mq (o di 1256 mq), però soltanto "approssimata".
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Alla stregua di quanto sopra, ti chiedo se, almeno secondo te, il mio "teorema" (si fa per dire, ovviamente, perchè io non sono certo all'altezza di poter enunciare teoremi :D ), dal punto di vista strettamente "matematico" e "geometrico", sia corretto o meno.
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Un saluto! :)
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Ciao Iano. :)
Secondo me sei tu che confondi il "linguaggio comune" con il "linguaggio geometrico".
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Ed infatti, "geometricamente":
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a)
L'"estensione", indica in quante direzioni può essere "esteso" un oggetto nello spazio.
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b)
La "lunghezza", invece, indica solo uno dei vari tipi di "estensione" che un oggetto può avere nello spazio.
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E' invece vero che, per "misurare" qualsiasi tipo di "estensione" di un oggetto (lunghezza compresa), servono almeno due "elementi" per fare un confronto:
- l'oggetto stesso;
- l'unità di misura prescelta.
Ma io non ho mai detto il contrario! ;)
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Quanto al fatto che l'uomo non è "misura", bensì "misuratore" di tutte le cose, cioè colui che confronta gli oggetti, tale concetto era chiarissimo sia a Protagora, così come lo è al sottoscritto; ed infatti è ovvio che "misura" era ed è solo una "metafora" retorica per dire "misuratore".
Il fatto che io abbia portato l'esempio dei "pollici" (o anche dei "piedi"), era solo per mettere in rilievo la singolare circostanza, per la quale, sebbene l'uomo sia senz'altro il "misuratore" di tutte le cose, in alcune culture misura le cose facendo riferimento alle dimensioni (standardizzate) di parti del suo corpo.
Ma era solo una scherzosa osservazione etnologica, senza alcuna implicazione di carattere matematico, geometrico o filosofico!
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Un saluto! :)
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Il teorema di Eutidemo confonde la teoria con la prassi.
La relazione teorica tra i numeri irrazionali e il limite in matematica è ormai scontata in base alla teoria assiomatica dei numeri reali.
La premessa da cui partire è che ogni misurazione è approssimazione, statistica, per cui l'esistenza di quadrati perfetti o imperfetti in base al lato o all'area in realtà non ha alcun senso. Esiste davvero in realtà un quadrato con un lato di 5 m esatti o con un'area di 25 mq esatti oppure queste misure sono a loro volta approssimazioni?
Ogni cosa che si pone teoricamente in essere è esatta nella misura in cui è esatta la sua definizione, ma non necessariamente è esatto il confronto fra queste cose esattamente poste in essere.
Questa non è una banalità, perchè si è scoperto che è così, ma non si credeva che così fosse, e non è certamente banale se a distanza di millenni da quella scoperta la cosa continua a destarci sorpresa.
La cosa poi si è ripetuta e ogni volta che ciò accade inevitabilmente si grida al nichilismo, al punto che per Pitagora, il primo degli antichilisti, il quale credeva che tutto fosse numero, la scoperta dell'incommensurabilità era da non divulgare, pena la fine....della sua visione del mondo, con la sua conseguente destabilizzazione.
I moderni hanno risolto questo problema democraticamente allargando la platea dei numeri, per cui appunto gli irrazionali sono oggi considerati numeri, e da lì in poi è stato un diluvio di nuovi numeri, cui la pretesa antinichilista si è puntualmente opposta senza successo, ma non del tutto inutilmente, perchè una sana critica fà sempre bene alla crescita dei numeri.
Quello che sorprende semmai è come il meccanismo si ripeta senza che l'antinichilismo ne prenda norma.
Si oppone cioè ogni volta come fosse la prima volta, e chissà forse è proprio bene che sia così, andare sempre avanti ma col freno amano inserito, perchè più sicuro sia il percorso.
La storia della matematica in qualche modo dimostra di essere fra tutte le storie, la più ''attuale'' perchè ciclicamente le sorprese che essa ci ha riservato si rinnovano in modo indipendente, perchè riespresse puntualmente tali e quali ogni volta da chi prova ad avventurarsi per la prima volta alla scoperta della matematica, dei quali Eutidemo è esempio.
Per cui non c'è proprio nessuna critica da fargli, ma anzi ringraziarlo perchè ci aiuta a rinnovare il nostro stupore verso le conquiste vecchie e nuove della matematica.
Conquiste che hanno molto a che fare con la filosofia, segnando la storia di un pensiero umano che non è tanto cambiato in fondo, se è capace di rinnovare stupori millenari.
Ciao Baylham. :)
Veramente anch'io, in una mia risposta a Phil, ero partito esattamente dalla tua stessa premessa; e, cioè, che bisogna partire dal fatto che, nella "realtà fisica", ogni "misurazione" è soltanto una "approssimazione".
Per cui, nella "realtà fisica", l'esistenza di quadrati perfetti o imperfetti in base al lato o all'area non ha alcun senso.
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Al riguardo, avevo testualmente precisato che "tutto ciò che è concretamente "reale" è anche naturalmente "approssimato"; questo è ovvio, perchè, nella "realtà fisica", non esistono "mai" forme geometriche dalle misure assolutamente "perfette" (siano esse cerchi, quadrati o triangoli)!"
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Però, tu e Phil, dovreste concedermi che, nella "realtà matematica", ed anche in quella "geometrica", il concetto di "approssimazione" è un po' diverso da quello di "approssimazione" fisica; si tratta, cioè, di due tipi di "approssimazione" completamente differenti.
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Ed infatti, nella "realtà matematica", ed anche in quella "geometrica", esistono:
- delle figure dalle misure assolutamente "perfette";
- delle figure dalle misure "imperfette" (ovvero "approssimate", che dir si voglia).
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Ad esempio, nella "realtà matematica", ed anche in quella "geometrica":
.
a)
Un quadrato dall'area di 400,00 mq, la cui radice quadrata è pari a 20,00 mt "esatti", ha un lato dalla "misura ben definita" di 20,00 mt; per cui, se moltiplichiamo aritmeticamente tale lato per sè stesso, otterremo un area dall'area di 400,00 mq "esatti".
E lo stesso dicasi per il tuo esempio del quadrato con un lato di 5,00 mt "esatti". ; il quale avrà senz'altro un'area di 25 mq "esatti".
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b)
Un quadrato dall'area di 5024 mq (o di 1256 mq), invece, la cui radice quadrata ci dà un "numero irrazionale", ha un lato dalla misura matematicamente "approssimata"; per cui, se moltiplichiamo aritmeticamente tale lato "approssimato" per sè stesso, otterremo, sì, un quadrato dall'area di circa 5024 mq (o di 1256 mq), però matematicamente "approssimata".
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Si badi: "matematicamente" e non "fisicamente"
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Non a caso, in matematica, esistono i simboli di:
- "uguale"
- "disuguale"
- "approssimativamente uguale"
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Nonchè:
- Q per i numeri razionali;
- I per i numeri irrazionali.
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Di conseguenza, il mio "pseudo-teorema" ( ;D ) , grazie anche ai tuoi preziosi suggerimenti, andrebbe così corretto.
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Così ti sembra che possa andare un po' meglio?
Grazie!
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Un saluto! :)
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Ciao Iano. :)
Innanzittutto grazie per gli immeritati ringraziamenti!
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Sono contento che il mio avventurarmi per la prima volta in vita mia (in avanzata vecchiaia) alla scoperta della matematica, possa aiutarvi a rinnovare il vostro stupore verso le conquiste vecchie e nuove della matematica.
Peccato, però, che per me sia ormai troppo tardi; ed infatti, non ho più nè la capacità cerebrale nè l'elasticità mentale per comprendere certi concetti (che, in realtà, non ho mai avute neanche da giovane).
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Un saluto! :)
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Sono l'ultimo che può parlare di correttezza in matematica, tuttavia direi che formalmente non è possibile affermare che la radice quadrata di "qualcosa" moltiplicata per se stessa (quindi elevata al quadrato, ossia la sua operazione inversa) non dia il "qualcosa" di partenza.
Se questo "qualcosa" di partenza sia un quadrato o meno, non credo che formalmente faccia molta differenza. In questo caso, se il "qualcosa" è un quadrato apparente, ossia calcolato già in partenza secondo approssimazione, essendo un quadrato di 5024 m2 approssimati, è inevitabile che sia approssimata anche ogni suddivisione che venga praticata in seguito.
Per quanto riguarda la sostituzione del simbolo dell'uguale («=») con quello dell'approsimazione («≈» o simili), andrebbe allora usato anche per ogni formula che contenga π , ma forse per chi è del mestiere è così ovvio che sia implicita un'approssimazione che non è necessario specificarlo.
Citazione di: Eutidemo il 02 Marzo 2023, 11:38:39 AMCiao Iano. :)
Innanzittutto grazie per gli immeritati ringraziamenti!
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Sono contento che il mio avventurarmi per la prima volta in vita mia (in avanzata vecchiaia) alla scoperta della matematica, possa aiutarvi a rinnovare il vostro stupore verso le conquiste vecchie e nuove della matematica.
Peccato, però, che per me sia ormai troppo tardi; ed infatti, non ho più nè la capacità cerebrale nè l'elasticità mentale per comprendere certi concetti (che, in realtà, non ho mai avute neanche da giovane).
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Un saluto! :)
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Balle, vero è che ci manca solo il tempo, ma non che quello che ci rimanga sia in tal modo mal impiegato.
Il pensiero ci mette tempo a cambiare, è vero, anche millenni, ma in fondo cos'è il piacere di pensare se non il sorprendersi a cambiare il proprio pensiero.
Ciao Phil. :)
E' vero che, un quadrato di 5024 m2, essendo "approssimato", è inevitabile che sia approssimata anche ogni suddivisione che venga praticata in seguito (e viceversa); ma poichè non sempre le aree vengono indicate specificando se si tratta di misure "esatte" o "approssimate", credo che la mia formula possa servire a verificarlo matematicamente.
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Tecnicamente il simbolo "circa", andrebbe usato anche per i calcoli con il pi greco; ma non tutti lo fanno, in quanto il pi greco è approssimato "per antonomasia" (come nel logo di YOUMATH).
In altri casi, invece, la cosa non è così evidente!
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Peraltro:
- le aree dei cerchi, essendo calcolate tutte con il pi greco, non c'è neanche bisogno di verificare se siano approssimate o meno, perchè lo sono "tutte";
- le aree dei quadrati, invece, non lo sono affatto "tutte", ma possono essere approssimate oppure esatte, per cui, per verificarlo, pensavo che la mia "formuletta di riscontro" potesse risultare utile.
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Ma era solo un'idea da profano!
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Un saluto! :)
Citazione di: iano il 02 Marzo 2023, 12:19:17 PMBalle, vero è che ci manca solo il tempo, ma non che quello che ci rimanga sia in tal modo mal impiegato.
Il pensiero ci mette tempo a cambiare, è vero, anche millenni, ma in fondo cos'è il piacere di pensare se non il sorprendersi a cambiare il proprio pensiero.
Hai ragione tu! ;)
O, almeno, spero che sia così anche per me ::)
A dire il vero, per sapere se la data area di un quadrato è matematicamente "approssimata" o "esatta", è sufficiente estrarre la sua radice quadrata, senza poi necessariamente doverla moltiplicare per se stessa.
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Ed infatti:
a) Se il risultato della radice quadrata è "Q" (cioè un "numero naturale"), ciò significa che la la data area è "esatta".
b) Se, invece, il risultato della radice quadrata è "I" (cioè un "numero irrazionale"), ciò significa che la la data area è soltanto "approssimata".
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Se è così, cosa di cui chiedo conferma a chi più esperto in materia di me, il mio "teorema" è esatto; però costituisce una inutile "superfatazione" di calcoli. :(
E' giusto?
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