Qualche giorno fa mi è ricapitato in mano il famosissimo paradosso di zenone, quello che dimostra come, se lo spazio fosse continuo, e così tra un punto A ed un punto B fossero interposti infiniti punti, non sarebbe possibile raggiungere il punto B, giacchè per passare da A a B bisognerebbe percorrere uno spazio infinito in un tempo finito, e anzi non sarebbe possibile nemmeno il minimo movimento, perché quel minimo movimento sarebbe composto a sua volta da un’infinità di piccoli movimenti, e ognuno di questi piccoli movimenti, a loro volta da infiniti movimenti…

Quindi, o in realtà il movimento è apparenza, oppure lo spazio non è continuo, ma discreto.
Spazio discreto significa spazio composto da unità minime indivisibili, che consentono il movimento come passaggio dall’una all’altra. Come in una scacchiera, è possibile muoversi da una casella in un’altra casella.

Insomma questo mondo potrebbe essere composto da caselle adiacenti, o per essere moderni, è composto come da pixel, per cui è possibile passare da pixel a pixel, non è possibile muoversi in altro modo.
Ma queste caselle, pixel, unità indivisibili di movimento, cosa sono?
Sono forse atomi?
Direi di no, perché l’atomo è materia che occupa uno spazio che deve preesistergli.


se avete qualche imput o qualche correzione da fare a quanto ho detto, filosoficamente o scientificamente, sarà un piacere leggervi e rispondervi

All'istante t=0 il punto P1 (Achille) ha velocità v1>0 mentre P2 (tartaruga) si trova ad una distanza x0 da P1 con una velocità v2<v1. dove e quando P1 raggiungerà P2?

dove=(v1*x0)/(v1-v2), quando=x0/(v1-v2)

La soluzione è molto semplice tuttavia possiamo affrontare il problema in modo più contorto come piaceva a Zenone

Quando P1 è giunto in x0 al tempo t0, P2 è avanzato di s0:
t0=x0/v1, s0=t0*v2=x0*v2/v1

Quando P1 ha percorso il tratto ulteriore s0 nel tempo t1, P2 è avanzato di s1:
t1=s0/v1=x0*v2/v1, s1=t1*v2=x0*v2^2/v1^2

E così via. Per raggiungere P2, P1 deve percorrere lo spazio x0+s0+s1+...=x0*[1+v2/v1+(v2/v1)^2+(v2/v1)^3+...]
nel tempo t0+t1+t2+...=(x0/v1)*[1+v2/v1+(v2/v1)^2+(v2/v1)^3+...]

Zenone non sapeva che la somma di un numero infinito di termini può avere un limite finito così concluse paradossalmente che Achille non avrebbe mai raggiunto la tartaruga. Invece noi sappiamo che, essendo v2/v1<1, la somma tra parentesi quadre vale (1-v2/v1)^-1 e si trova x=(x0*v1)/(v1-v2), t= x0/(v1-v2).
dividere un intervallo in un numero infinito di tratti non vuol dire che occorre un tempo infinito per percorrerlo.

ti ringrazio per la risposta, ma non parlo il matematichese!

parlando italiano, "dividere un intervallo in un numero infinito di tratti non vuol dire che occorre un tempo infinito per percorrerlo.": questo discorso però, è valido solamente se lo spazio in sè non è diviso in un infinità di intervalli, ma è, invece, solamente in linea teorica divisibile in un infinità di intervalli, ma nella realtà è costituito da intervalli finiti.

voglio dire, se lo spazio fosse costitutivamente formato da un'infinità di intervalli, e se, per spostarci di un tratto dovessimo percorrere, uno alla volta, uno dopo l'altro, tutti gli infiniti intervalli che costituiscono questo trattino, quel trattino non sarebbe percorribile, o sbaglio? appunto perchè bisognerebbe percorrere un'infinità di infinitesimi, e anche ammesso che per percorrere ognuno di questi impiegassimo una frazione infinitesimale di tempo, una frazione infinitesimale di tempo moltiplicata per infinito equivale ad un tempo infinito, o sbaglio?

per curiosità, in matematica 1\infinito a cosa equivale?

il limite con x tendente a infinito di '1/x' e` uguale a zero.

risposta oziosa:
quando vai in macchina in centro citta` fai (o dovresti fare) i 50 Km/h, ma questa velicita` e` la tua velocita` istantanea, quindi in un tempo infinitesimo tu vai ad una velocita` di 50 Km/h, e non come affermi tu di un infinitesimo di Km/h.

riposta non in matematichese che gia` Knacker ha dato:
Zenone non sapeva ancora che una somma infinita di termini puo` dare un risultato finito, cioe` la somma converge.
Il caso della somma di 1/2, 1/4, 1/8 etc... converge a 1 continuando all'infinito. (Ovviamente non tutte le sommatorie infinite convergono.)

risposta alternativa:
Achille va ai 10 Km/h mentre la Tartaruga a 1 Km/h.
Achille da 10 Km di vantaggio, cosicche` la tartaruga e` gia` distante 10 Km dal punto iniziale P.
E` ovvio, cioe` per definizione, che dopo 1 ora Achille si trova a 10 Km da P e la Tartaruga a 11 Km (vantaggio di 10 piu` 1 percorso). E` altrettanto ovvio che nell'ora sucessiva Achille sara` a 20 Km da P, mentre la Tartaruga a soli 12 Km.

epicurus, sarò anche di coccio ma non sono convinto.
certo, è vera la tua risposta oziosa.
ma è vera in quanto (credo) lo spazio reale non è suddiviso in infinitesimi, e soprattutto il movimento non avviene secondo una progressione infinitesimale.
se invece lo spazio fosse suddiviso in infinitesimi, e tu, per muoverti, dovessi attraversarli ognuno di questi infinitesimi uno dopo l'altro, poichè sono infiniti, dovresti percorrere uno spazio infinito per raggiungere la fine della strada... mi sembra logico, o sbaglio?
raggiungere la fine di un segmento AB composto da un'infinità di punti infinitamente piccoli, partendo da A, superandoli uno a uno, sarebbe impossibile, si o no?
quindi, nella realtà, lo spazio non è infinitamente diviso, ma soprattutto il movimento non avviene secondo una progressione infinitesimale.
sbaglio?
sono proprio di coccio?

Ciò che Zenone assume implicitamente è che lo spazio sia un ente oggettivo e indipendente dai corpi che vi sono immersi.
In realtà la distanza che intercorre tra Achille e la tartaruga non è che una tra le determinanti di misura che li pongono in relazione: esso non può essere disgiunto dalle velocità relative dei due corpi, dalle masse che li costituiscono, dall'energia cinetica che sviluppano, etc...
Dentro un sistema di riferimento che raccolga insieme Achille e la tartaruga, la loro distanza non è che la risultante, ad ogni istante Tn misurato da un osservatore inerziale relativo al sistema, delle forze note in gioco.
Il problema, quindi, sembrerebbe essere quello della divisibilità del tempo.
In realtà, il problema si smaschera tenendo conto che anche il tempo non è che una misura relativa tra due processi che scambiano o liberano energia (la batteria dell'orologio, ad esempio, e le forze che i piedi di Achille e della tartaruga esercitano sul terreno).
Se analizziamo le cose in questi termini, risulta intuitivo che, ad un certo quantitativo di energia liberata da Achille, relativamente a quella liberata dalla tartaruga, essi occuperanno la stessa posizione spaziotemporale, dentro il loro sistema di riferimento.
Per rapporti diversi, le posizioni saranno diverse: da quale lato, poi, dipenderà solo dal punto di vista dell'osservatore esterno, ma solidale.
Così, caro rubin, dovrebbe essere chiaro anche senza applicare alcuna formula!

ciao weil, capisco che achille nella realtà raggiunge la tartaruga, anche senza equazioni.
ma il mio problema non è questo, ma questo:



si o no?

Ma la questione non cambia, amico mio: nessun segmento AB possiede in se stesso una realtà disgiunta da quella di una possibile misura dentro un sistema di riferimento.
Non esistono segmenti AB indipendenti da velocità, masse, forze ed energia.

rubin, allora prova a vederla cosi`: tu parti dal presupposto che per superare ogni punto ho bisogno di un tempo finito e da qui trai l'assurdo.

ma per attraversare un punto ci impieghi un infinitesimo:l'esperienza ci dice questo, quindi la tua premessa e` erratta, e quindi il tuo argomento e` invalidato.

mmm, credo di aver capito (coro: era ora!).
grazie per la pazienza, meritereste un nobel solo per questo!