Il paradosso di Monty Hall e i paradossi che ne derivano.

[Eutidemo]

Come da me ricordato nel relativo "thread", il "paradosso dei tre prigionieri",  ideato da Martin Gardner nel 1959, ha generato diverse varianti; la più famosa delle quali è stata impiegata per mettere a punto il gioco finale della popolare trasmissione televisiva a premi statunitese, "Let's Make a Deal", condotta da Monty Hall.
***
Anche tale paradosso (da παρά/contro e δοξος/senso comune), viene riportato in versioni non sempre identiche e congrue; ma, secondo me, quella maggiormente priva di ambiguità è quella presentata da Mueser e Granberg, che è la seguente.
***
Nel gioco a premi "Let's Make a Deal", condotto da Monty Hall, dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una capra (cioè, due capre, un'automobile in tutto); la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta, quindi, almeno all'inizio del gioco è identica per tutte e tre le porte, e, cioè, pari ad 1/3.
***
Dopo di che:
a)
Il giocatore sceglie una delle porte, il cui contenuto non viene ancora rivelato nè a lui nè a nessun altro, perchè la porta rimane chiusa (il conduttore, però, ovviamente sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta).
b)
Il conduttore apre una delle due porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta.
c)
Il conduttore, però apre sempre una porta che nasconde una capra, per cui:
- se il giocatore ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l'altra capra;
- se invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l'automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due porte rimanenti.
d)
A questo punto, il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, ovvero di cambiare scelta, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta.
***
La domanda è:
"Le possibilità di vittoria aumentano per il giocatore se cambia la propria scelta, oppure no?".
***
La risposta, stando a questi precisi termini, è sicuramente "SI'": cioè, "dal punto di vista del giocatore", le probabilità di trovare l'automobile "matematicamente" raddoppiano.
***
Ed infatti, se consideriamo separatamente il "sottoinsieme" delle porte 2 e 3, le quali, in origine, avevano entrambe 1/3 di probabilità di nascondere un'automobile, è evidente che, se scopriamo che dietro la porta 3 c'è una capra, ne consegue necessariamente che le probabilità di nascondere un'auto della porta 2 crescono a 2/3; quindi, altrettanto necessariamente le probabilità di nascondere un'auto della porta 1 restano di 1/3, per cui al concorrente conviene "matematicamente" cambiare scelta, e puntare sulla porta 2.
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***
Se, invece, ci spostiamo nel "punto di vista" di uno "spettatore sordomuto", il quale vede soltanto Monty che apre una delle tre porte, senza sapere quale porta abbia costituito la prima scelta del giocatore, è evidente che, se dietro la porta n.3 c'è una capra,  dal suo punto di vista di "osservatore dell'insieme delle tre porte", per lui la probabilità di nascondere l'automobile diventa del 50% sia per la porta n.1 sia per la porta  n.2; per cui, se scommettesse al riguardo con il suo vicino, anche lui sordomuto, secondo me avrebbero entrambi la stessa probabilità di indovinare.
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***
E adesso, ipotizziamo che per la durata di un migliaio di puntate della trasmissione "Let's Make a Deal", ci sia una "troupe" di statistici, i quali verifichino:
a)
Il "numero medio" di vincite dei giocatori che cambiano la prima scelta, il quale dovrebbe aggirarsi intorno ad una percentuale del 67%;
b)
Il "numero medio" di vincite dei giocatori che "non" cambiano la prima scelta, il quale dovrebbe aggirarsi intorno ad  una percentuale del 33%;
c)
Il "numero medio" delle vincite degli spettatori sordomuti, i quali non hanno mai avuto la benchè minima idea delle scelte dei giocatori, e che, quindi, dopo che Monty ha rivelato che dietro la porta 3 c'è una capra, hanno scommesso indifferentemente sulle porte 1 e 2; numero che dovrebbe logicamente aggirarsi intorno ad   una percentuale del 50%.
***
Se così fosse, a) e b) collimerebbero tra di loro, ma non con c); il che, in verità, costituirebbe davvero un bel "paradosso"; non teorico, ma reale!
***
Io dubito che sia mai stata fatta una statistica del genere, però, se essa fosse stata fatta, sono assolutamente certo che per gli spettatori sordomuti, o, comunque, per quelli che non avessero tenuto in alcun  conto le scelte dei giocatori, una volta che Monty avesse fatto vedere a tutti che dietro la 3 c'era una capra, le porte 1 e 2 avrebbero poi rivelato capre ed automobili nella stessa misura del 50%.
Come sarebbe dunque possibile che, sullo stesso palcoscenico, e nello stesso tempo, per i "giocatori", una volta cambiata o non cambiata la scelta iniziale, le porte 1 e 2 abbiano statisticamente rivelato capre ed automobili in misura diversa da quella che, invece, è risultata per gli "spettatori".
***
C'è qualcosa che non torna, ovvero che mi sfugge; forse, sono io che ho trascurato qualche aspetto della questione.
***
Se dovessi cercare di risolvere il paradosso in questione, e cioè, quello delle relative presumibili incongruenze statistiche tra le "prevedibili previsioni" dei concorrenti e quelle dei giocatori sordomuti,  forse potrei riallacciarmi al modo in cui "penso" di aver risolto quello dei "tre prigionieri" da cui esso  ha avuto origine; ma viste le furiose reazioni che tale mia ipotesi di soluzione ha suscitato, forse farei bene ad astenermene.
***
Comunque, a rischio di subire un ulteriore linciaggio, mettendomi nei panni di un concorrente, una volta che Monty mi avesse fatto vedere che, <<tra la porta n.2 e la porta n.3>>, dietro la porta n.3 c'è una capra, io potrei chiedergli: "Senti un po', ma se io adesso ti chiedessi di aprire una porta anche <<tra la n.1 e la n.3>>, tu che faresti?"
Ma, anche in questo caso, sarebbe superfluo chiederglielo, in quanto:
- se dietro la porta n.1, la mia prima scelta, c'è un'automobile, è ovvio che lui sarebbe costretto a dirmi di accontentarmi di quello che ho già visto dietro la porta n.3, perchè altrimenti mi dovrebbe rivelare che avevo scelto giusto;
- se, invece, dietro la porta n.1, la mia prima scelta, c'è una capra, è ovvio che lui sarebbe egualmente costretto a dirmi di accontentarmi di quello che ho già visto dietro la porta n.3, perchè altrimenti mi rivelerebbe che dietro la porta n.2 c'è un'automobile.
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"Ergo", se è vero che, deduttivamente, anche nel "sottoinsieme" delle porte 1 e 3, dietro la 3 c'è una capra, così come abbiamo visto c'è  nel "sottoinsieme" delle porte 2 e 3, ciò vuol dire che dietro la porta n.3 c'è una capra anche nell'"insieme complessivo" delle tre porte 1 2 e 3; e, quindi, la mia prospettiva probabilistica, almeno "per deduzione", viene a coincidere con quella degli spettatori sordomuti, evitando che si verifichi il paradosso statistico sopra descritto.
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***
Non so se il mio ragionamento possa o meno considerarsi corretto; però, quantomeno, esso eviterebbe la discrepanza delle previsioni probabilistiche, durante lo stesso spettacolo, tra concorrenti e spettatori sordomuti (senza per questo mettere in dubbio la correttezza del calcolo matematico delle probabilità, all'interno del sottoinsieme di due sole porte).
Altrimenti come sarebbe risolvibile tale discrepanza?
***

[Phil]

Come sarebbe dunque possibile che, sullo stesso palcoscenico, e nello stesso tempo, per i "giocatori", una volta cambiata o non cambiata la scelta iniziale, le porte 1 e 2 abbiano statisticamente rivelato capre ed automobili in misura diversa da quella che, invece, è risultata per gli "spettatori".

Qui c'è una casistica (in inglese) con tabelle riassuntive.
Per come la vedo, anche in questo caso: il mero calcolo matematico va contestualizzato, coniugandolo con le informazioni disponibili dalle rispettive prospettive e il ruolo del presentatore e delle sue (im)possibilità di scelta è cruciale. L'apparente conflitto fra il 50% degli osservatori "sordomuti" e le differenti probabilità dovute alle scelte del giocatore, si risolve, secondo me, differenziando le due prospettive: il numero medio delle vincite degli spettatori "sordomuti" può essere il 50% senza che questo confligga con il 67% del "cambio porta", proprio perché gli scommettitori non hanno le informazioni che invece il giocatore ha (informazioni vincolate alle oculate scelte del presentatore) e perché il loro 100% non è quello del giocatore; la distribuzione di probabilità di vittoria 67/33 e quella 50/50 sono compatibili perché si riferiscono a contesti e puntate differenti.
Ad esempio, fermo restando che il calcolo della probabilità non è un oracolo che indovina il 100% degli eventi futuri, il fatto che un tuo amico vinca il 67% delle sue scommesse sul campionato di calcio, non implica che tu non possa indovinare il 50% delle scommesse sulle medesime partite; il tuo amico magari ha un tasso di successo più alto perché ha informazioni migliori, ovvero sa chi è il favorito negli accoppiamenti fra le squadre (so che il calcio non è casuale come il lancio di una moneta o come l'indovinare quale porta cela il premio: è solo un esempio di come la distribuzione di risultati indovinati per il medesimo evento, fatta in contesti autonomi fra loro, possa avere esiti percentuali differenti, senza che ciò sia paradossale; tenendo sempre ben ferma la differenza fra percentuale dell'esito reale e percentuale della sua probabilità).
Qui puoi giocare ad una dimostrazione con tanto di tracciamento delle statistiche, potendo guadagnare tempo ripetendo la stessa strategia (cambiare/non-cambiare) per 10 lanci in automatico; non ti resta che trovare un complice che faccia la parte del "sordomuto".

[baylham]

Come sarebbe dunque possibile che, sullo stesso palcoscenico, e nello stesso tempo, per i "giocatori", una volta cambiata o non cambiata la scelta iniziale, le porte 1 e 2 abbiano statisticamente rivelato capre ed automobili in misura diversa da quella che, invece, è risultata per gli "spettatori".

Semplicemente i due soggetti hanno informazioni diverse. Perciò la probabilità di vittoria è maggiore per il giocatore cha cambia la porta (2/3) rispetto allo "spettatore" che sceglie tra le due porte (1/2). Se il giocatore affidasse la scelta di cambiare la porta al lancio di una moneta la sua probabilità di vittoria corrisponderebbe a quella dello "spettatore" (1/2).

[iano]

Come sarebbe dunque possibile che, sullo stesso palcoscenico, e nello stesso tempo, per i "giocatori", una volta cambiata o non cambiata la scelta iniziale, le porte 1 e 2 abbiano statisticamente rivelato capre ed automobili in misura diversa da quella che, invece, è risultata per gli "spettatori".

Semplicemente i due soggetti hanno informazioni diverse. Perciò la probabilità di vittoria è maggiore per il giocatore cha cambia la porta (2/3) rispetto allo "spettatore" che sceglie tra le due porte (1/2). Se il giocatore affidasse la scelta di cambiare la porta al lancio di una moneta la sua probabilità di vittoria corrisponderebbe a quella dello "spettatore" (1/2).

Non mi convince.
Se le porte fossero due invece che tre, una con l'automobile e l'altra con la capra, le probabilità di vincita sarebbero 1/2.
Se invece le porte sono tre , delle quali un aperta con la capra, e io posso scegliere fra le rimanti due, una con l'automobile e l'altra con la capra, in cosa agli effetti del calcolo delle probabilità , questo secondo caso differisce dal primo?
A me sembra in nulla.
Quindi là probabilità è 1/2 nei due casi.
La seconda scelta è infatti del tutto indipendente dalla prima.
La prima scelta serve solo a trasformare il primo caso, tre porte, nel secondo, due porte, e ciò avverrà sempre indipendentemente dalla mia prima scelta.
A rigore non è corretto neanche dire che nel primo caso, tre porte, là probabilità di vincita sia un terzo, in quanto con la prima scelta non si vince nulla. Cioè là probabilità di vincere con la prima scelta è zero.
La prima scelta equivale cioè a una non scelta agli effetti della vincita.
Posso solo dire a posteriore se in quel caso, avrei vinto o perso, e là probabilità di vincita non potrà essere che 1/3.
In quel caso, che però non è il nostro caso. Stiamo parlando cioè di un altro gioco.
Il nostro gioco è scegliere fra tre porte con la proibizione di scegliere una delle tre.
Quindi posso scegliere solo fra due.
Quindi probabilità di vincita 1/2.
Non sto cambiando la mia scelta, perché è cambiato il gioco, e il primo non era neanche un gioco.
Ha senso dire che posso cambiare la scelta a patto di giocare sempre lo stesso gioco.
Non è la scelta a cambiare, ma si tratta di una nuova scelta in un nuovo gioco.
Come si fa' a decidere di cambiare o di mantenere la propria scelta quando cambia il gioco?
Lo show però è congegnato in modo da darci l'illusione che noi possiamo mantenere o cambiare scelta.
In realtà stiamo solo facendo una scelta fra due possibili.
In definitiva, il calcolo delle probabilità si applica ad una situazione di gioco, e non a due situazioni distinte e indipendenti. Anche quando queste artificiosamente sono state incastrate una nell'altra ad arte, restano però distinte.
Sono due giochi diversi e il primo non è neanche un gioco, a rigore, ma un azione che serve ad approntare il vero unico gioco.

[iano]

Cosa è che ci inganna?
Ragioniamo.
Il fatto è che ci troviamo di fronte a una situazione bene definita e priva di ambiguità', scegliere fra due, ma determinata da un evento casuale, che è la scelta fatta fra tre.
Ma qualunque scelta casuale fatta fra tre , porta a determinare sempre la medesima situazione , in cui dovremo scegliere fra due.
In sostanza la scelta fra tre ha probabilità 1 di porre le condizioni di dover fare una scelta fra due che ha probabilità 1/2 e 1/2 x 1 = 1/2.
La prima scelta ai fini del gioco vale come una non scelta.
Serve solo a preparare il gioco, e non ne cambia le regole.
Il gioco rimane sempre uguale e uno.

Il paradosso apparente deriva dal fatto che una scelta casuale abbia probabilità 1 di verificarsi.
Che dia cioè un risultato certo pur essendo casuale.
Ma non è un paradosso.
La certezza matematicamente là si può esprimere come un caso limite della casualità.
Il paradosso è solo apparente.

[Eutidemo]

Ciao Iano
Indubbiamente, se le porte sono solo due invece che tre, una con l'automobile e l'altra con la capra, le probabilità di vincita sono pari ad 1/2; e la stessa cosa si verifica se le porte sono tre, delle quali un aperta con la capra, e io posso scegliere fra le rimanti due.
Sono d'accordo con te che la probabilità è 1/2 nei due casi.
***
Non ho invece capito bene cosa intendi, quando affermi: "non è corretto neanche dire che nel caso di tre porte la probabilità di vincita sia di un terzo, in quanto con la prima scelta non si vince nulla; e, cioè, che la probabilità di vincere con la prima scelta è zero."
Ed infatti la probabilità di vincere con la prima scelta è pari ad 1 su 3; ma, ovviamente, solo nel caso che tu apri subito quella porta.
Se non la apri, il problema neanche si pone!
E' invece esatto dire a posteriori che, se, invece, in quel caso, tu l'avessi aperta, la tua probabilità di vincita sarebbe stata di 1/3.
Io ho solo scritto che, in origine, cioè prima di fare qualsiasi gioco e di adottare qualsiasi strategia, tutte le porte avevano 1/3 di probabilità di nascondere un'automobile; il che mi sembra indubitabile!
***
Dire che "il nostro gioco è scegliere fra tre porte con la proibizione di scegliere una delle tre", formalmente è un po' contraddittorio; ed infatti, se, come poi correttamente scrivi, "è possibile scegliere solo fra due porte", allora non si può dire che il gioco consiste nello "scegliere fra tre porte".
Ed infatti "è possibile scegliere solo fra due porte, la 1 e la 2", perchè la n.3 l'ha già aperta Monty; ma non perchè fosse teoricamente "proibito" aprirla.
***
Ciò premesso, nello scegliere fra la 1 o la 2, se consideriamo separatamente il "sottoinsieme" delle porte 2 e 3, le quali, in origine, avevano entrambe 1/3 di probabilità di nascondere un'automobile, è evidente che, se scopriamo che dietro la porta 3 c'è una capra, ne consegue necessariamente che le probabilità di nascondere un'auto della porta 2 crescono a 2/3; quindi, altrettanto necessariamente le probabilità di nascondere un'auto della porta 1 restano di 1/3, per cui al concorrente conviene "matematicamente" cambiare scelta, e puntare sulla porta 2.
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***
Però il tuo ragionamento è molto interessante e "intrigante"; ed infatti tu sostieni che, in realtà, siamo in presenza di "due giochi diversi".
Cioè, sempre se ho ben capito quello che intendi dire, secondo te:
1)
In un primo gioco ti si chiede di "scegliere una porta su tre"...ma "senza aprirla".
2)
In un secondo gioco, invece, ti si chiede di "scegliere una porta su due", ma "aprendola".
Per cui tu sostieni: "Non sto cambiando la mia scelta, perché è cambiato il gioco, e il primo non era neanche un gioco."
***
Stando alla terminologia usata nella formulazione del problema, secondo me non hai tutti i torti.
Ed infatti, per renderlo effettivamente un "gioco unico", :
- non bisognerebbe dire al concorrente di "scegliere" una delle tre porte, al fine di trarne fuori a sorte un'automobile, e poi procedere come sappiamo, dicendogli di "scegliere" tra le due porte rimaste facendo una nuova scelta (perchè una porta è ormai fuori gioco);
- bisognerebbe, invece, chiedere al concorrente di "indicare" a Monty una delle tre porte a caso, per consentirgli di aprire una delle due altre porte, e, poi, dire al concorrente di scegliere "per la prima volta" tra le due porte rimaste (perchè una non è mai entrata "veramente" in gioco).
***
Cosa ne pensi?
***
Un saluto!
***

[iano]

Ciao Eutidemo.
Penso che ho buttato giù un diluvio di idee come mi venivano, e che conveniamo che fra esse c'è  la giusta soluzione.
Credo che lo scopo di questo tipo di problemi sia illustrare la nostra scarsa abilità nel calcolare là probabilità, non tanto mell'applicazione  della matematica, quanto nell'isolare il problema cui applicarla dal suo contesto..
Quindi si prende un quesito banale,del tipo quale sia là probabilità fra due eventi indipendenti, e vi si aggiunge altro di troppo che lo complichi, imitando quindi i casi reali .
La nostra fallacia appunto si verifica nei casi reali, e non con i problemi puramente teorici ben definiti, come dovrebbero essere.
In teoria non bisognerebbe aggiungere nulla di più di quello che occorra a definire il problema, ma in questi esempi si aggiungono volutamente dati superflui potenzialmente fuorvianti ad arte.
A noi tocca quindi non tanto risolvere il problema, che in se' è di banale soluzione, ma capire qual'è il vero problema, astraendolo dal contesto volutamente artificioso.


In effetti la mia precedente esposizione è un po' raffazzonata perché ho proposto contemporaneamente due possibili soluzioni.
In una si esclude la scelta fra tre faccia parte del problema.
Nel secondo caso là si include assegnandogli probabilità 1.
Infatti è certo che la scelta fra tre condurrà sempre alla stessa situazione, in cui dovrò scegliere fra due.
Quindi applicando la semplice matematica che serve 1x1/2=1/2.
Però preferisco la prima perché prevede meno calcoli.
Meno calcoli occorre fare minore e' là probabilità di sbagliare.
La seconda  infatti , seppure dia la giusta soluzione, mi puzza di errore procedurale.
Sento la puzza ma non sono così bravo da capirne la fonte.  
A dimostrazione del fatto che la più certa soluzione del problema corsista nel...capire qual'e' il problema.

P.S.
Mi resta solo da aggiungere che la semplice matematica che occorre non è che io la padroneggi alla grande , tutt'altro, ma non tutto il male viene per nuocere, perché ho notato che chi di voi ben la padoroneggia tende ad applicarla immediatamente , mancando di riflettere bene su quale sia davvero il problema, perdendosi così in calcoli da cui è impossibile poi tirarsi fuori, aggiungendo complicazioni ad artificiosità.

[Eutidemo]

Ciao Iano
Sono d'accordo con te che questo tipo di problemi mette in evidenza la nostra scarsa abilità nel calcolare la probabilità, non tanto nell'applicazione  della matematica, quanto nell'isolare il problema cui applicarla dal suo contesto generale; ed ancor di più, nel considerare il diverso "punto di vista" dei vari osservatori dell'evento.
Talvolta, infatti, si crea uno "iato" tra la "verità probabilistica soggettiva" e la "verità probabilistica oggettiva", a seconda delle informazioni di cui ciascuno è in possesso.
***
A dire il  vero non mi sembra affatto che la tua  precedente esposizione fosse "raffazzonata", in quanto ritengo perfettamente lecito proporre contemporaneamente due possibili soluzioni; a meno che, ovviamente, esse non risultino contraddittorie fra di loro.
Ma le tue due possibili soluzioni non mi sembra affatto che lo siano, in quanto si limitano a considerare lo stesso evento sotto prospettive diverse.
Cioè, se ho ben capito:
- in una si esclude, fra le tre, la scelta che non fa parte del problema.
- nell'altra la si include assegnandogli probabilità 1.
***
A dire il vero, la seconda non l'ho capita molto bene; per cui anch'io preferisco la prima soluzione (sebbene sia un po' diversa dalla mia).
***
Quanto alla matematica,  io la padroneggio sicuramente peggio di te; la conosco però a sufficienza per capire che il "calcolo ufficiale" è aritmeticamente corretto (come anche evidenziato dalla mia vignetta esplicativa).
Solo che, secondo me, limitandosi soltanto ad uno dei due "sottoinsiemi" delle porte,  "perde di vista" la visione generale del problema; a cui si può attingere soltanto considerando l'"insieme complessivo" delle tre porte.
***
Altrimenti non si spiegherebbe il paradosso di un risultato probabilisticamente diverso, a parità delle altre condizioni, a seconda che a scommettere siano:
- Monty e il concorrente;
- due spettatori sordomuti.
***
Un saluto!
***

[niko]

Il "paradosso" di Monty Hall non è un paradosso, ma solo una situazione statistica un po' controintuitiva da comprendere: se sai che dei concorrenti precedenti hanno scelto a caso tra le tue alternative inizialmente "scartate", da te non scelte, e se sai che quegli altri concorrenti hanno perso, è molto più probabile che l'oggetto di scelta finale che ti viene proposto sia vincente rispetto a quanto lo è quello iniziale, quindi devi sempre cambiare.
Gli ingenui possono pensare che se cambiano non "scelgono", accettano "supinamente" l'alternativa rimasta o quella che gli propone il presentatore come alternativa "imposta", mentre all'inizio hanno "scelto" e quindi la loro scelta "intenzionale" iniziale, se confermata, gli conferirebbe chissà quale magica o mistica probabilità in più di vincere, ma la probabilità di vincere, a ben vedere ovviamente, non dipende dall'aver scelto inizialmente tra possibilità equiprobabili, ma dall'accaparrarsi sempre quella che corrisponde a maggiori probabilità di vittoria, che ci sia scelta intenzionale o no.
Quindi, se sei una persona razionale e ti capita di essere invitata al fantomatico gioco, che poi non potrebbe mai esistere nella realtà, cambi, cambi sempre, e massimizzi la probabilità di vincere la macchina, il diamante i centomila dollari eccetera.

[Eutidemo]

Il "paradosso" di Monty Hall non è un paradosso, ma solo una situazione statistica un po' controintuitiva da comprendere: se sai che dei concorrenti precedenti hanno scelto a caso tra le tue alternative inizialmente "scartate", da te non scelte, e se sai che quegli altri concorrenti hanno perso, è molto più probabile che l'oggetto di scelta finale che ti viene proposto sia vincente rispetto a quanto lo è quello iniziale, quindi devi sempre cambiare.
Gli ingenui possono pensare che se cambiano non "scelgono", accettano "supinamente" l'alternativa rimasta o quella che gli propone il presentatore come alternativa "imposta", mentre all'inizio hanno "scelto" e quindi la loro scelta "intenzionale" iniziale, se confermata, gli conferirebbe chissà quale magica o mistica probabilità in più di vincere, ma la probabilità di vincere, a ben vedere ovviamente, non dipende dall'aver scelto inizialmente tra possibilità equiprobabili, ma dall'accaparrarsi sempre quella che corrisponde a maggiori probabilità di vittoria, che ci sia scelta intenzionale o no.
Quindi, se sei una persona razionale e ti capita di essere invitata al fantomatico gioco, che poi non potrebbe mai esistere nella realtà, cambi, cambi sempre, e massimizzi la probabilità di vincere la macchina, il diamante i centomila dollari eccetera.

Tutto bene, ma come la metti con le scommesse che potrebbero fare tra di loro due spettatori sordomuti?
Loro, di quello che si sono detti Monty e il concorrente non hanno "sentito" una sega; però hanno "visto" benissimo che Monty apriva una delle tre porte, rivelando che dietro di essa c'era una capra.
Se, quindi, i due sordomuti scommettono ciascuno su una delle due porte rimaste chiuse, secondo te, quali probabilità percentuali ha ciascuno di loro di vincere la scommessa?
Questa è la vera domanda!

[baylham]

Indubbiamente i "giocatori sordomuti" hanno informazioni diverse, minori, rispetto ad un normale giocatore. La scelta casuale tra le due porte chiuse rimaste ha una probabilità di successo del 50%. Ma ciò vale per chi non ha compreso la dinamica del gioco, non ne conosce le regole. Attraverso un interprete cercherei di spiegare ai "giocatori sordomuti" le regole del gioco cui stanno assistendo. Dopo cercherei di spiegargli perché la strategia di cambiare la porta ha 1/3 di maggiori probabilità di successo rispetto alla strategia opposta di tenere fissa la prima scelta. Una volta compreso questo fatto, il gioco perde ogni attrattiva.

Non c'è alcun paradosso, è un problema di probabilità condizionata, qui c'è una spiegazione chiarissima:


https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall

[iano]

Si parla di confermare o cambiare la propria scelta, ma in modo improprio.
Infatti ribadisco che si tratta di due giochi diversi, dei quali il primo non è neanche un gioco, perché non si vince nulla.
Il vero gioco consiste nello scegliere "fra due", la soluzione quindi è 1/2.
Proverò a dimostrarlo tentando una nuova formulazione del problema , ma che risulti equivalente a quella originaria.
In questi tipi di problemi credo serva infatti  più il saper cambiare punto di vista che il saper calcolare, e il loro scopo è appunto quello di illustrare quanto siamo poco abili nel considerare un problema da un punto di vista diverso da quello che la formulazione del problema tendenziosamente ci suggerisce.
Dunque:
Voglio impostare un gioco con due carte, una vince l'altra perde.
Ma ne ho sul tavolo tre usate per un precedente gioco, dove una vince e due perdono. Come faccio ad eliminarne una carta di troppo?
La risposta è banale. So' bene come fare ad eliminare la carta di troppo. So' in quanti modi posso farlo e non resta che scegliere il modo per farlo. Non credo di dovervi dire quanti sono i modi e quali.
Sono più che certo che voi ve li siete già figurati, tanto quanto sono certo che sia io che voi nel figurarci quanto sopra ci stiamo ingannando, privilegiando la prospettiva pratica del problema e trascurando quella teorica.

È proprio vero che io conosco tutti i modi per farlo?
In effetti a me dal punto di vista pratico basta conoscerne uno, ma i modi potrebbero essere teoricamente infiniti.
Ad esempio, senza che ci sia stretta necessità , decido di usare un modo che coinvolga un aiutante, che dal punto di vista pratico è un di più, e di questi di più ne esistono teoricamente infiniti.
Gli chiedo di scegliere una carta fra tre. Se quella che lui ha scelto è quella vincente, la tengo.
Se quella che lui ha scelto è una perdente la tolgo.
Adesso sono pronto per il mio gioco con due carte.
Chiedo adesso all'aiutante di essere il mio primo concorrente al gioco.
Quale vantaggio dovrebbe avere l'aiutante, la cui stima nei miei confronti intanto è arrivata al pavimento, dall'avermi assecondato nel mio cervellotico modo di approntare il gioco a partire dalle carte di un altro gioco, adesso nelle vesti di concorrente?
Io lo invito a fare una scelta fra due.
Se sceglie la carta a sinistra chiamerò' la scelta "conferma" se sceglie quella a destra chiamerò la scelta "cambio".
L'aiutante annuisce, rassegnato, ma felice in fondo che un imbecille lo paghi per non fare nulla.


Concludendo il problema sembra metterci alla prova con la nostra abilità del calcolo delle probabilità, e quelli che più bravi sono in ciò sono i pesci che più facilmente abboccano.
Ogni pesce infatti vuole la sua esca.
Il vero problema invece mette alla prova la nostra capacità di vedere un problema da tutte le sue possibili angolazioni, non privilegiando l'angolo necessariamente scelto fra i tanti possibili, per illustrarcelo, scegliendone magari uno ridondante e con particolari superflui.
A rigore la formulazione del problema contiene tutte le informazioni necessarie per risolvere, ma anche di più.
Si parte quindi da un problema banalissimo. Un gioco a due carte.
Lo si complica a piacere, ma neanche tanto a piacere.
Si appronta un esca per certi pesci, quindi non proprio a caso.

[iano]

Quanto sopra detto vale in generale.
Ma all'esca nascosta nella formulazione del nostro problema abbocca in verità ogni tipo di pesce, ed è questo che lo rende ideale per uno show dal successo oceanico.
Pochi possono sperare di scamparla, forse io ed Eutidemo, essendo più asini ( nel calcolo) che pesci.😂
In conclusione.
Posto che occorre necessariamente scegliere un punto di vista dal quale illustrare un problema, è disdicevole, ma non proibito per legge, sceglierne uno nel quale appaiono in primo piano elementi estranei al problema in se', confondendone la vista.
La vera soluzione consiste quindi nel cambiare punto di vista, e solo dopo aver chiaro il vero problema avventurarsi nel calcolo, che nel nostro caso è anche banale.
In un altra discussione , il problema dei tre nani, Alexander ha cercato di riprodurre questo meccanismo, seppure maldestramente.
L'idea di partenza però era buona.
Parlava di dividere un terreno in tre parti, sapendo che tutti sarebbero abboccati all'esca geometrica, mentre la soluzione , almeno nelle sue intenzioni, era fisica.

[Eutidemo]

Ciao Baylham.
Non hai affatto risposto alla mia domanda: "Se due sordomuti scommettono ciascuno su una delle due porte rimaste chiuse, secondo te, quali probabilità percentuali ha ciascuno di loro di vincere la scommessa?"
Cercherò, quindi, di porre la questione in termini diversi.
***
Ipotizziamo che uno spettatore sordomuto, il quale sa soltanto che dietro le tre porte ci sono due capre e un automobile, "per mera scaramanzia" scommetta sempre sulla porta numericamente successiva a quella aperta da Monty (che, rivela una delle due capre).
Cioè:
- se Monty rivela una delle due capre dietro la porta 1, lui scommette che la vettura è dietro la porta 2;
- se Monty rivela una delle due capre dietro la porta 2, lui scommette che la vettura è dietro la porta 3;
- se Monty rivela una delle due capre dietro la porta 3, lui scommette che la vettura è dietro la porta 1 (in progressione circolare).
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Si tenga ben presente che tale spettatore non ha la benchè minima idea nè delle chiacchiere di Monty nè delle scelte del giocatore, ma si limita a scommettere su una delle due porte residue che  Monty  non ha aperto, con il criterio (di fatto meramente "casuale"), di cui sopra.
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E adesso ipotizziamo, che, <<nel contempo>>, il giocatore, edotto del "trucco", cambi la sua prima scelta; ciò secondo il criterio che ben conosciamo, e che, nel caso specifico, lo porti a scommettere su una porta diversa da quella scelta dallo spettatore sordomuto.
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La domanda è: "<<Oggettivamente>>, quante sono le probabilità che la macchina sia nascosta dietro la porta scelta dallo spettatore (poniamo la 2),  e quante sono le probabilità che la macchina sia nascosta dietro la porta scelta dal giocatore (poniamo la 3)?
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Per essere ancora più circostanziato, ponendo che, per la durata di un migliaio di puntate della trasmissione "Let's Make a Deal", dietro le quinte, ci sia una "troupe" di statistici, i quali verifichino "oggettivamente" i risultati di cui sopra, secondo te quale sarebbe il risultato?
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Un saluto!
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[Eutidemo]

Se due "spettatori sordomuti", dopo che Monty ha rivelato dietro quale porta si nasconde una delle capre, senza avere idea di quello che si dicono Monty e il giocatore, scommettono, a caso, ognuno  su una delle due porte rimaste chiuse, secondo voi:
a) hanno entrambi il 50% di probabilità di vincere?
b) oppure lo spettatore sordomuto che, per puro caso, sceglie la porta di prima scelta del giocatore ha solo il 33% di probabilità di vincere, mentre quello che, per puro caso, sceglie la porta del cambio di scelta del giocatore ha il 67% di probabilità di vincere?
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Qualora, per un congruo numero di volte, si effettuasse una rilevazione statistica oggettiva dei risultati "reali" dello spettacolo, a prescindere da quello che "sanno" il giocatore e gli "spettatori sordomuti", per quanto riguarda questi ultimi, pensate che sia più plausibile che si  verifichi  l'ipotesi sub a) ovvero quella sub b)?
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Sarebbe un riscontro molto interessante da effettuare sul serio, ma, purtroppo, non mi risulta che sia mai stato fatto!
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