Il paradosso del "raddoppiamento della sfera"

[Eutidemo]

Il "paradosso" di Hausdorff-Banach-Tarski, noto anche come il "raddoppiamento della sfera", sostiene che è possibile prendere una "sfera nello spazio a tre dimensioni", suddividerla in un "insieme finito" di "pezzi non misurabili" e, utilizzando solo "rotazioni" e "traslazioni", riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello "stesso raggio" (misurabile) della sfera originale.

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PREMESSA

Riguardo alla terminologia usata da Hausdorff-Banach-Tarski, rileviamo quanto segue:
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a)

Il "volume della sfera"

Il volume di una sfera nello spazio a tre dimensioni si calcola moltiplicando per 4 il prodotto tra π (3,14) e il cubo del raggio, e poi dividendo il prodotto per 3 (V=(4πr3)/3).

Cioè, se una sfera ha il raggio della "misura" di 2 metri, il suo cubo sarà di 8 metri; per cui 3,14 x 8 = 25,12 x 4 = 100,48 : 3 = 33,49.

Il che presuppone necessariamente che il raggio della sfera sia "misurabile"!

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b)

L'"insieme finito"

Detto in "matematichese", un insieme è detto "finito" se esiste una corrispondenza biunivoca (ossia una "biiezione") tra un numero naturale "n" visto come insieme e X.

Detto in italiano, e non in "matematichese", un insieme è finito se è composto da un numero finito di elementi; ad esempio, l'insieme dei libri della mia biblioteca.

Il che mi sembra un modo molto più semplice e comprensibile di esprimere il concetto.
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c)

I "pezzi non misurabili"

Le grandezze misurabili sono sei: lunghezza, massa, tempo, intensità di corrente elettrica, temperatura e quantità di materia.

Altre caratteristiche, invece, non sono "misurabili"; ad esempio, la dimensione di un pallone è misurabile, mentre non è misurabile il suo colore.

Il concetto di "pezzi non misurabili", quindi, come vedremo più avanti, è molto ambiguo.
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d)

La "rotazione".

La "rotazione" è il movimento di un corpo che segue una traiettoria circolare:

- in due dimensioni, cioè sul piano, una figura può ruotare attorno ad un punto detto centro di istantanea rotazione;

- in tre dimensioni, la rotazione avviene intorno ad una retta detta asse di istantanea rotazione e più in generale, una rotazione in n dimensioni avviene attorno ad uno spazio a (n-2) dimensioni.

Per cui, ad esempio, un punto non può ruotare su se stesso.
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e)

La "traslazione".

La "traslazione" è una trasformazione affine dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione.

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CONSIDERAZIONI PERSONALI

Ciò premesso osservo quanto segue:

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1)

Per "pezzi non misurabili" si possono intendere cose diverse, e cioè:
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a)

"Pezzi solidi irregolari", quali entità non tipiche, come un "masso" o qualsiasi altro "oggetto informe", in quanto non possiedono nessuna qualità tipica che li renda misurabili in modo universale ed oggettivo; ad esempio come si fa per un cubo, elevando al "cubo" (alla terza potenza) la lunghezza del lato di uno qualsiasi dei quadrati che formano le sue facciate.

Per la determinazione del volume preciso di un "solido irregolare", invece, non si utilizzano formule fisse, ma si ricorre ad una "misurazione indiretta".

Cioè, ci si procura, cioè, un contenitore graduato, si aggiunge dell'acqua per metà, senza riempire il recipiente, e si segna l'esatto livello dell'acqua;  dopo di che, si immerge il "corpo irregolare", ad esempio una pietra o un pezzo informe di una sfera, nell'acqua del recipiente e si misura di quanto aumenta il livello dell'acqua.

In tal modo si può calcolare per differenza lo spazio occupato dal solido irregolare, cioè "misurare" il suo volume;  ovviamente tenendo conto dei principi della fisica che regolano il comportamento dei solidi immersi in un liquido.

Ma in tal modo il paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski "non funzionerebbe", perchè, sia pure indirettamente, i "pezzi" in cui si scompone la sfera originaria, qualunque forma irregolare abbiano, sono comunque "misurabili".
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b)

Ed invece, almeno per quello che ho capito io, i "pezzi non misurabili" di cui al paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski, non devono essere misurabili:

- nè "direttamente";

- nè "indirettamente".

Ma allora, essendo "privi volume" e di "dimensione", si potrebbe concludere che i "pezzi non misurabili" di cui al paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski siano i "punti" di cui è composta la sfera.

Ma questo andrebbe contro il postulato del paradosso, che considera una sfera costituita da un "insieme finito" di "pezzi non misurabili";  per cui, se noi considerassimo come "pezzi non misurabili" i semplici "punti" di cui è composta la sfera, avremmo una sfera costituita da un "insieme infinito" ( e non "finito") di "pezzi non misurabili".

Perchè qualsiasi sfera, a prescindere dalla sua dimensione, è costituita da un "insieme infinito" di punti.
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c)

Inoltre, poichè i "pezzi non misurabili" in questione possono subire una "rotazione", la quale non può che avvenire  intorno ad una retta detta asse di rotazione, è evidente che, qualunque cosa essi siano, i "pezzi non misurabili" di Hausdorff-Banach-Tarski  non possono essere dei semplici "punti"; ed infatti nessun punto può essere ruotato su se stesso.
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d)

Infine, se la "sfera nello spazio a tre dimensioni" di Hausdorff-Banach-Tarski  è un "insieme finito" di "pezzi non misurabili", così come così lo è l'insieme dei libri della mia biblioteca, mettendo da parte il mistero di "che cosa" sono i "pezzi non misurabili",  Hausdorff-Banach-Tarski  dovrebbero essere in grado di dirci "quanti" sono tali pezzi; facendo, cioè, un esempio matematico e geometrico "concreto" del raddoppiamento di una qualsiasi sfera.

Ed infatti, un "insieme finito" di "pezzi", implica che se ne debba poter indicare il numero specifico; altrimenti non sarebbe un  "insieme finito", bensì un "insieme infinito" di pezzi.

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2)

Hausdorff-Banach-Tarski sostengono di poter riassemblare i "pezzi non misurabili" della sfera originaria, in modo da ottenere due sfere dello stesso "raggio" della sfera originale, utilizzando "rotazioni" e "traslazioni" particolari di tali "pezzi non misurabili"; cioè, come se si trattasse di "puzzle" tridimensionali, la cui miracolosa "ricomposizione" riuscirebbe a "raddoppiare" la singola sfera originaria.

Vale a dire, qualcosa del genere:

Però questo, secondo me, comporta degli ostacoli logici.
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a)

Dire di poter "ottenere due sfere dello stesso <<raggio>> della sfera originale", significa ammettere che tali "raggi" sono costituiti da segmenti di retta misurabili; altrimenti, se non li si possono misurare, come si fa a dire che sono "uguali"?
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b)

Ma come è possibile sostenere che i segmenti di retta che costituiscono i raggi delle due nuove sfere, ed il segmento di retta che costituisce il raggio della sfera originale sono "segmenti di retta misurabili" ed uguali, visto che sono costituiti da "frazioni di segmenti di retta non misurabili", in quanto attraversano "pezzi non misurabili"?

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c)

Al che si potrebbe eccepire che i segmenti di retta che costituiscono i raggi delle due nuove sfere, ed il segmento di retta che costituisce il raggio della sfera originale sono "segmenti di retta misurabili", in quanto attraversano, sì, "pezzi non misurabili", ma il cui "spessore" traversato dal raggio delle sfere, è invece "misurabile".

Hausdorff-Banach-Tarski, però, parlano soltanto di "pezzi non misurabili", e non di "pezzi non misurabili dallo spessore misurabile"; ammesso che tale locuzione abbia molto senso.

Inoltre, in tal caso, si ricadrebbe nella fattispecie dei "solidi irregolari", da me esaminato sub 1) a).
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d)

Inoltre, se tali "puzzle" fossero realizzabili, si dovrebbe riuscire a realizzarli anche fisicamente, e non solo attraverso formule matematiche; ma, a quanto mi risulta, a fare una cosa del genere c'è riuscito solo Gesù Cristo, moltiplicando pani e pesci interi.

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                                          CONCLUSIONE

Per concludere, secondo me, sia in pratica che in teoria, da una sfera di un metro di raggio, si potranno ricavare due sfere entrambe di uno stesso metro di raggio, soltanto in un modo:

- usando un palloncino atmosferico di un metro di raggio a pressione singola;

- sgonfiandolo e ritagliandone il materiale per due palloncini;

- rigonfiando i due palloncini a pressione doppia (sempre che si abbia a disposizione un materiale molto resistente, elastico ed espansibile).

***

[iano]

Da quello che ho trovato in rete,  da un punto di vista rigorosamente matematico, Il "paradosso" di Hausdorff-Banach-Tarski, non è un paradosso, tanto è vero che Eutidemo lo mette fra virgolette.
Si tratta invece di un teorema dimostrato correttamente da Hausdorff,Banach, e Tarski, la cui dimostrazione ha lo scopo dichiarato da parte degli autori di mettere alla prova il nostro intuito, perchè da un punto di vista intuitivo, potendosi trarre dal teorema l'esempio del raddoppio delle sfere, esso non è accettabile.

[iano]

Il vero argomento della discussione quindi secondo me è il seguente.
CHE RUOLO HA AVUTO E CONTINUA AD AVERE L'INTUITO NELLA MATEMATICA?
Nelle dimostrazioni matematiche oggi l'intuito ha conservato il ruolo residuale di essere il ''catalizzatore'' di una dimostrazione, nel senso che può aiutare a trovare la dimostrazione, ma non è mai essenziale ad essa.
Per gli autori del teorema però l'intuito ha un valore più esteso.
Infatti secondo loro se da un teorema correttamente dimostrato si trae un paradosso come quello del raddoppio della sfera, allora sono gli assiomi a partire dai quali si è dimostrato il teorema ad essere ''errati'' o meglio inaccettabili, nel senso che l'errore è stato accettarli.
Cercano in tal modo di convincere gli altri matematici a non accettarli, ma senza riuscirci.
In particolare gli autori non vogliono incriminare gli assiomi nel loro insieme, mia un assioma in particolare, detto ''assioma di scelta'' il quale non mi risulta fare parte dell'insieme degli assiomi di Euclide, mentre il nostro intuito, e quindi il paradosso che rileviamo, si basa su quell'insieme di assiomi.

[Phil]

Dejà vu:
https://www.riflessioni.it/logos/tematiche-filosofiche-5/il-paradosso-delle-palle/

[iano]

Da un lato quindi noi, in quanto non matematici, non abbiamo altro cui fare riferimento se non all'intuito ( i matematici si sentono liberi di usarlo o meno, noi abbiamo solo quello da usare).
Conviene allora che noi non matematici applichiamo il nostro intuito al solo assioma di scelta, una volta compreso che il problema trattato si riduce all'accettabilità intuitiva di quell'assioma.
E' interessante a tal proposito notare che tutta la matematica moderna si origina partire dal  problema di accettabilità di uno degli assiomi della geometria di Euclide, il cosiddetto assioma delle parallele.

[iano]

L'assioma di scelta, manco a dirlo, ha a che fare col sempre problematico concetto di infinito, ma si può illustrare in modo intuitivo grazie alla teoria degli insiemi.
In sè è banale, ma la questione come detto si complica passando dal finito al non finito.
Se ho un insieme finito di insiemi finti posso decidere di rappresentare ogni insieme con un suo elemento.
Posso decidere ad esempio di indicare ogni classe di una scuola facendo riferimento ai soli capoclasse.
Se gli insiemi sono invece infiniti e ognuno contiene magari  infiniti elementi non sempre ciò si può fare.
Se considero l'insieme infinito di paia di scarpe (supponendo che esistano infinite paia di scarpe) posso decidere di rappresentare ogni paio con la scarpa destra.
Ma se si tratta di calzini non ho modo di rappresentare ogni paio scegliendo un calzino.
Posso però assumere di poterlo fare, anche se non posso dimostrarlo.
posso cioè assumerlo come assioma, assioma della scelta, appunto.
Questo assioma come mi sembra evidente, di evidente non ha nulla, ma l'evidenza intuitiva non gioca più un ruolo essenziale nella matematica come detto, e a dimostrazione di ciò esso conduce a risultati controintuitivi, come quello del ''raddoppio della sfera''.

[iano]

In altri termini gli autori del teorema è come se avessero detto... se vedete evidenza nell'assioma io ve ne amplifico l'immagine, dove il teorema funziona da lente di ingrandimento, per farvi capire che vi ingannate.
Il problema però è che gli assiomi in sè non richiedono alcuna evidenza. e quando questa evidenza non c'è in partenza, è fuorviante cercarla durante il percorso aiutandosi con un modello che risulti a noi evidente anche solo in parte, perchè non potrà esserlo comunque del tutto.
In altri termini, è vero che le ''sfere'' si raddoppiano, ma ciò in sè non è paradossale, e il paradossò nasce solo dal credere di che ''sfere'' stiamo parlando, mentre invece non lo sappiamo.

[iano]

Dejà vu:
https://www.riflessioni.it/logos/tematiche-filosofiche-5/il-paradosso-delle-palle/

Vero, e da quella discussione ho tratto quanto segue, da parte di Eutidemo:

Per favore, fatemelo materialmente vedere come si fa usando un coltello, e non con formule matematiche o argomentazioni astratte.
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Risposta in breve: Secondo me non tutto ciò che si può fare con la matematica si può fare con un coltello, mentre tutto ciò che si può fare con un coltello si può fare con la matematica.

Ma secondo gli autori del ''paradosso'', e credo anche secondo Eutidemo, ciò che non si può fare con un coltello non è matematica.

Alla fine il fatto è che che nel tempo si sono susseguiti diversi modi di vedere la matematica.
Il problema dei fondamenti della matematica non è stato ancora risolto, credo, quindi non possiamo parlare di una sola matematica oggi, come si credeva di poter fare una volta.
Tu Eutidemo credi ancora di poterlo fare, perchè certamente la matematica di un tempo si poteva ben esemplificare con un coltello.

[iano]

Ovviamente il coltello è da intendersi come esempio di strumento sul quale è possibile fondare una matematica, così come Euclide ha fondato la sua su riga e compasso.
Una volta che le geometrie si sono moltiplicate, riducendosi quella di Euclide a un esempio di geometria,i matematici trovano un denominatore comune a tutte queste vecchie e nuove geometrie, nel concetto di invarianza, riuscendo così a recuperare per altra via quell'unità che sembrava essersi persa. C'è ancora unita nella geometria quindi, ma per vederla bisogna cambiare punto di vista.
Si può così oggi esemplificare quella di Euclide con una invarianza per rotazione e traslazione delle figure geometriche, mentre le figure di altre geometrie mostrano in genere invarianza per altri tipi di azioni, e potrebbero mostrare varianza per traslazione e/o rotazione,
Se trasliamo e ruotiamo una sfera per intero quello che ci troviamo è la stessa sfera ''invariata'' . Se lo facciamo in altre geometria ci troviamo in genere una sfera variata perchè diverse sono le invarianze di quella geometria.
In teoria possiamo Immaginare dunque una geometria nella quale traslando e ruotando una sfera ce ne troviamo due .
Oppure una geometria in cui non ce ne troviamo due traslando e ruotando la sfera intera, ma ruotando e traslando le sue parti per ricomporle in due sfere.

[iano]

La matematica non è necessariamente legata alla sua applicabilità, anche se i non addetti ai lavori sono interessati di più a quella.
Dal punto di vista dell'applicabilità la geometria euclidea, che equivale al punto di vista che usiamo tutti i giorni nella nostra vita quotidiana, si è dimostrata in effetti molto limitata nel confronto con le nuove geometrie (non euclidee).
Quando trasliamo e ruotiamo un triangolo sulla superficie di un ellissoide, cui possiamo assimilare la forma della terra, ci troviamo con un altro triangolo.
La geometria dell'ellissoide non può assimilarsi con una invarianza per traslazione e rotazione.

Prendete tutto con beneficio di inventario.
Ho provato ad esemplificare concetti matematici attraverso esempi matematici non necessariamente corretti..

[bobmax]

La dimostrazione del paradosso conferma l'assurdità della pretesa di giocare con l'infinito.
Il paradiso di Cantor è il trionfo matematico del nichilismo.
Dove l'infinito diventa "cosa".

Ma nonostante l'evidente assurdità, il mainstream matematico non demorde.
Allucinazione collettiva, delirio della razionalità convinta di essere depositaria della Verità.
Nichilismo.

[iano]

La dimostrazione del paradosso conferma l'assurdità della pretesa di giocare con l'infinito.
Il paradiso di Cantor è il trionfo matematico del nichilismo.
Dove l'infinito diventa "cosa".

Ma nonostante l'evidente assurdità, il mainstream matematico non demorde.
Allucinazione collettiva, delirio della razionalità convinta di essere depositaria della Verità.
Nichilismo.

A modo tuo, come Eutidemo, attribuisci alla matematica poteri, e quindi eventualmente colpe, che non ha.
Intanto, quello che inizialmente può considerarsi come un paradosso, una volta dimostrato, si dimostra propriamente che non è paradosso.
Se togli le virgolette dal termine ''paradosso'', così come lo abbiamo presentato, ne stravolgi il senso.
Non devi confondere la matematica con le sue possibili applicazioni interpretazioni.
La matematica rimane tale e quale sia che trovi applicazioni / interpretazioni, sia che non ne trovi, e non si può piegare alle proprie inclinazioni filosofiche o di critica sociale.
Conoscere la sua storia significa conoscere la storia del pensiero, ma nessun pensiero in particolare può rappresentarsi con quella storia.
 

[bobmax]

A modo tuo, come Eutidemo, attribuisci alla matematica poteri, e quindi eventualmente colpe, che non ha.
Intanto, quello che inizialmente può considerarsi come un paradosso, una volta dimostrato, si dimostra propriamente che non è paradosso.
Se togli le virgolette dal termine ''paradosso'', così come lo abbiamo presentato, ne stravolgi il senso.
Non devi confondere la matematica con le sue possibili applicazioni interpretazioni.
La matematica rimane tale e quale sia che trovi applicazioni / interpretazioni, sia che non ne trovi, e non si può piegare alle proprie inclinazioni filosofiche o di critica sociale.
Conoscere la sua storia significa conoscere la storia del pensiero, ma nessun pensiero in particolare può rappresentarsi con quella storia.

Probabilmente abbiamo idee diverse di cosa sia la matematica, il paradosso e la interpretazione.

Questa è la sola spiegazione che riesco a darmi leggendoti.
Manca una base comune di significato.

[iano]

Probabilmente abbiamo idee diverse di cosa sia la matematica, il paradosso e la interpretazione.

Questa è la sola spiegazione che riesco a darmi leggendoti.
Manca una base comune di significato.

Niente di male ovviamente Bobmax, e se vuoi puoi criticare le mie idee una per una, avendole io esposte in più post in questa discussione, ciò che mi darà modo di capire  le tue idee.
Anche perchè dall'illusione iniziale di una matematica che avesse fondamenta stabili, quando si è andati alla ricerca di quei  fondamenti non li si è trovati, e ancor peggio si è capito che proprio non ci sono.
Questo significa che ognuno, nella misura in cui ha acquisito coscienza di ciò, può liberamente proporre i suoi fondamenti costruendo su essi la sua matematica.
Questo in breve è il mio pensiero, e in base a tale pensiero capisci bene che non posso accusare la matematica di alcunché, e tanto meno di nichilismo, e magari solo perchè ha rinnegato, motivandola, la presunzione di avere solide fondamenta univoche.
Solide si, ma non univoche.
Così come per la scienza in generale, anche per la matematica si applica un unico metodo, ma le discipline scientifiche e le matematiche che derivano da questa applicazione, sono diverse.
Semplicisticamente però si tende a riferirsi alla fisica e alla matematica come fossero una cosa sola mentre una cosa sola è il loro metodo.

[bobmax]

Niente di male ovviamente Bobmax, e se vuoi puoi criticare le mie idee una per una, avendole io esposte in più post in questa discussione, ciò che mi darà modo di capire  le tue idee.

Le idee su cosa sia la matematica, il paradosso, la interpretazione, derivano da una vita di studio e uso.
Tra chi le ha diverse, incompatibili, vi è pure un altrettanto lungo differente approccio.

Forse è comunque possibile recuperare la distanza.
Ma come potrei superare la confusione di discorsi che fanno a pugni con ciò che so essere la matematica?

Dovrei forse rinunciare alle mie idee per seguire ciò che reputo inconsistente?