Il paradosso del "raddoppiamento della sfera"

[iano]

Le idee su cosa sia la matematica, il paradosso, la interpretazione, derivano da una vita di studio e uso.
Tra chi le ha diverse, incompatibili, vi è pure un altrettanto lungo differente approccio.

Forse è comunque possibile recuperare la distanza.
Ma come potrei superare la confusione di discorsi che fanno a pugni con ciò che so essere la matematica?

Dovrei forse rinunciare alle mie idee per seguire ciò che reputo inconsistente?

Ovviamente no, non necessariamente.
Ridurre le distanze però si può trovando il minimo denominatore comune, del quale ho suggerito esempi.
In fondo la storia della matematica recente è proprio quella di trovare sempre denominatori comuni nuovi che possano domarne l'incontenibile ricchezza in divenire.
Ma fondamentale per giungere a ciò credo sia fare un taglio netto fra matematica e sue applicazioni ,magari usando il coltello di Eutidemo .
Ma se dai alla matematica la colpa del nichilismo non sei su quella strada .
Quindi tutto sommato mi sembra di aver già intuito le tue idee, e tu potrai darmene conferma o smentirmi.

[bobmax]

Ovviamente no, non necessariamente.
Ridurre le distanze però si può trovando il minimo denominatore comune, del quale ho suggerito esempi.
In fondo la storia della matematica recente è proprio quella di trovare sempre denominatori comuni nuovi che possano domarne l'incontenibile ricchezza in divenire.
Ma fondamentale per giungere a ciò credo sia fare un taglio netto fra matematica e sue applicazioni ,magari usando il coltello di Eutidemo .
Ma se dai alla matematica la colpa del nichilismo non sei su quella strada .
Quindi tutto sommato mi sembra di aver già intuito le tue idee, e tu potrai darmene conferma o smentirmi.

Apprezzo la matematica, la uso da una vita. È la più pura espressione della razionalità.

Ma è proprio la benedetta razionalità, indispensabile per il nostro vivere, ad essere alla origine del nichilismo, quando considerata Verità.

Ma per cogliere questo occorre tanto e tanto impegno logico.
Per riuscire a percepirne il limite.
Non vi sono scorciatoie possibili.

Le scorciatoie che percepisco esservi nei tuoi discorsi.

[iano]

Apprezzo la matematica, la uso da una vita. È la più pura espressione della razionalità.

Ma è proprio la benedetta razionalità, indispensabile per il nostro vivere, ad essere alla origine del nichilismo, quando considerata Verità.

Ma per cogliere questo occorre tanto e tanto impegno logico.
Per riuscire a percepirne il limite.
Non vi sono scorciatoie possibili.

Le scorciatoie che percepisco esservi nei tuoi discorsi.

quali scorciatoie?
Fra razionalità e verità non potrei aver fatto taglio più netto, se io sono quello che relega la verità a pura percezione, e quindi niente di più lontano dalla razionalità.
credo anzi per mia esperienza che quando il pur necessario impegno logico si fà logorroico, vuol dire che la soluzione semplice non la vediamo perchè è da sempre sotto i nostri occhi, e con questa nuova lente mi pare di riuscire a trovarla a volte.
A volte è proprio per l'abbondanza di indizi, e la conseguente complessità di elaborazione, che l'assassino la fà franca.
Allora basta isolare gli indizi giusti, o semplificare selvaggiamente l'elaborazione.

[Eutidemo]

Da quello che ho trovato in rete,  da un punto di vista rigorosamente matematico, Il "paradosso" di Hausdorff-Banach-Tarski, non è un paradosso, tanto è vero che Eutidemo lo mette fra virgolette.
Si tratta invece di un teorema dimostrato correttamente da Hausdorff,Banach, e Tarski, la cui dimostrazione ha lo scopo dichiarato da parte degli autori di mettere alla prova il nostro intuito, perchè da un punto di vista intuitivo, potendosi trarre dal teorema l'esempio del raddoppio delle sfere, esso non è accettabile.

citazione annullata da risposta a parte

[bobmax]

Da quello che ho trovato in rete,  da un punto di vista rigorosamente matematico, Il "paradosso" di Hausdorff-Banach-Tarski, non è un paradosso, tanto è vero che Eutidemo lo mette fra virgolette.
Si tratta invece di un teorema dimostrato correttamente da Hausdorff,Banach, e Tarski, la cui dimostrazione ha lo scopo dichiarato da parte degli autori di mettere alla prova il nostro intuito, perchè da un punto di vista intuitivo, potendosi trarre dal teorema l'esempio del raddoppio delle sfere, esso non è accettabile.

Lo scopo della dimostrazione è proprio il contrario.
Mostra infatti come sia assurdo l'assioma della scelta.

Dopo il mio primo intervento su questo argomento, ho sbagliato a lasciarmi tirar dentro da discussioni in cui mancano i presupposti per un effettivo dialogo.

[Eutidemo]

Ciao Iano.

Il "Teorema di Pitagora" dimostra teoricamente che in ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti; ed infatti, se io disegno "materialmente" un triangolo rettangolo, e poi misuro l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa, nonchè  le aree dei quadrati costruiti sui cateti, posso materialmente constatare che la prima è esattamente identica alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui secondi.

Quando Hausdorff-Banach-Tarski, dopo avermi rivelato "il numero esatto dei pezzi non misurabili utilizzati" (visto che si tratta, secondo loro, di un "insieme finito"), riusciranno a scomporre materialmente una sfera del raggio di un metro, per ricomporne  due che abbiano lo stesso raggio, allora darò loro ragione; altrimenti, per me, le loro formule matematiche non costituiscono nessun dimostrabile "Teorema", ma solo un "Sofisma" matematico.

***

Ma se lo scopo di Hausdorff-Banach-Tarski era invece quello di "dimostrare" che, se da un teorema matematicamente "dimostrato" si può ricavare un "paradosso" come quello del "raddoppio della sfera", allora vuol dire che sono gli "assiomi" a partire dai quali si è dimostrato tale teorema ad essere ''errati", allora io sono perfettamente d'accordo con loro.
***
Per cui, se dall'''assioma di scelta'' formulato da Ernst Zermelo nel 1904 (secondo il quale dato un insieme "I", non vuoto, -aggregato di insiemi- i cui elementi sono a lor volta insiemi non vuoti, è possibile scegliere un elemento per ogni insieme e considerarlo come un rappresentante dell'insieme stesso e costruire con questi rappresentanti un nuovo insieme "II", da sostituire ad "I"), deriva consequenzialmente uno "pseudo paradosso" come quello del "raddoppio della sfera", allora, evidentemente, l'''assioma di scelta'' è errato.
E lo "pseudo paradosso" del "raddoppio della sfera" non è altro che una "demonstratio ex absurdo" da parte di Hausdorff-Banach-Tarski  per dimostrare la fallacità di tale assunto!
***
Un saluto!
***
P.S.
Ringrazio Iano per il riferimento all'''assioma di scelta'' formulato da Ernst Zermelo, che io, invece, avevo colpevolmente trascurato.

***

[Eutidemo]

Ciao Bobmax.

Sono d'accordo con te!

Ma la dimostrazione del "paradosso" del raddoppiamento della della sfera:
-non solo conferma l'assurdità della pretesa di giocare con "insiemi infiniti";
- ma anche la pretesa di giocare con "insiemi finiti" composti da "elementi non misurabili".
Secondo me se tratta "quasi" di una "contradictio in adjecto".

***

Ed infatti, se io possiedo un "insieme finito" di libri, posso misurare:

- sia la "lunghezza" dell'intero insieme mettendoli tutti in fila (in metri);

- sia il "peso" dell'intero insieme mettendoli tutti su una bilancia (in chilogrammi).

Ma se io possiedo un "insieme finito" di "elementi non misurabili", come faccio a misurare il loro "insieme", che, pure, è "finito" (e cioè "misurabile")?

***

Un saluto!

***

[iano]

Ciao Iano.

Il "Teorema di Pitagora" dimostra teoricamente che in ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti; ed infatti, se io disegno "materialmente" un triangolo rettangolo, e poi misuro l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa, nonchè  le aree dei quadrati costruiti sui cateti, posso materialmente constatare che la prima è esattamente identica alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui secondi.

Quando Hausdorff-Banach-Tarski, dopo avermi rivelato "il numero esatto dei pezzi non misurabili utilizzati" (visto che si tratta, secondo loro, di un "insieme finito"), riusciranno a scomporre materialmente una sfera del raggio di un metro, per ricomporne  due che abbiano lo stesso raggio, allora darò loro ragione; altrimenti, per me, le loro formule matematiche non costituiscono nessun dimostrabile "Teorema", ma solo un "Sofisma" matematico.

***

Ma se lo scopo di Hausdorff-Banach-Tarski era invece quello di "dimostrare" che, se da un teorema matematicamente "dimostrato" si può ricavare un "paradosso" come quello del "raddoppio della sfera", allora vuol dire che sono gli "assiomi" a partire dai quali si è dimostrato tale teorema ad essere ''errati", allora io sono perfettamente d'accordo con loro.
***
Per cui, se dall'''assioma di scelta'' formulato da Ernst Zermelo nel 1904 (secondo il quale dato un insieme "I", non vuoto, -aggregato di insiemi- i cui elementi sono a lor volta insiemi non vuoti, è possibile scegliere un elemento per ogni insieme e considerarlo come un rappresentante dell'insieme stesso e costruire con questi rappresentanti un nuovo insieme "II", da sostituire ad "I"), deriva consequenzialmente uno "pseudo paradosso" come quello del "raddoppio della sfera", allora, evidentemente, l'''assioma di scelta'' è errato.
E lo "pseudo paradosso" del "raddoppio della sfera" non è altro che una "demonstratio ex absurdo" da parte di Hausdorff-Banach-Tarski  per dimostrare la fallacità di tale assunto!
***
Un saluto!
***
P.S.
Ringrazio Iano per il riferimento all'''assioma di scelta'' formulato da Ernst Zermelo, che io, invece, avevo colpevolmente trascurato.

***

E' stato un piacere Eutidemo, come sempre, però non insisto avendo già monopolizzato la discussione.
Non si tratta comunque di una dimostrazione per assurdo.
Nelle dimostrazioni per assurdo si dimostra la falsità dell'assunto a partire dagli assiomi. In altri termini l'assunto si dimostra falso se gli assiomi sono ''veri''.
Ho messo ''veri'' fra virgolette perchè non c'è modo alcuno di dimostrare la falsità o la verità degli assiomi, in quanto il punto di partenza arbitrario è sempre quello di assumere gli assiomi come ''veri''.
L'unico modo di annullare una scelta arbitraria è rimangiarsela, e quello che gli autori del teorema speravano, dimostrandolo, è che in ciò i loro colleghi matematici trovassero motivo di rimangiarsi l'assioma della scelta di Zermelo, ma senza riuscirci, perchè l'assioma si è continuato ad usare.
Il fatto che gli assiomi possano essere arbitrari è la conquista della matematica moderna. La scelta degli assiomi non è sindacabile, e ognuno può scegliere i suoi senza dover giustificare la sua scelta, e senza poter criticare scelte altrui diverse.
Ma una volta scelti gli assiomi le conseguenze non sono più arbitrarie, perchè conseguono logicamente a quella scelta inziale.
Saluti.

[iano]

In sostanza, e dopo davvero mi taccio, oggi i matematici ritengono gli assiomi liberi e non sindacabili, diversamente da come li ritenevano ieri, laddove dovevano avere carattere di evidenza.
Il ''paradoosso'' delle sfere ''dimostra solo come questo passaggio concettuale sia stato travagliato, in quanto è stato un tentativo, peraltro fallito, di restaurazione dell'originario concetto di assioma.
Come è possibile che una sfera diventa due sfere?
E' possibile solo se ammetti di non sapere davvero cosa sia una sfera.
Ma non devi offenderti, perchè non lo sò neanche io.
Sò solo che una volta che è stato aggiunto l'assioma della scelta agli assiomi di Euclide, le sfere non sono più quelle di una volta.
Ciò non deve destare preoccupazione però, perchè nessuno ci costringe ad assumere l'assioma della scelta, ma allo stesso tempo non possiamo sindacare chi lo assume.
Quando apparentemente c'è un paradosso, il motivo è solo che qualcuno non ha esplicitato, in buona o cattiva fede, tutti gli assiomi assunti.
Se vuoi tornare a sapere cosa sia una sfera è sufficiente che non accetti l'assioma di scelta, che è cosa diversa dal negarlo.
Gli assiomi non sono né veri né falsi.
E' l'aver ancora mantenuto impropriamente il concetto di verità in matematica a crear confusione.
Ma noi sappiamo bene che è inevitabile esprimere nuovi concetti inizialmente con termini vecchi, e perciò inadeguati ai nuovi.
Inevitabile perciò nella fase di transizione concettuale che si faccia confusione.

[bobmax]

Ciao Bobmax.

Sono d'accordo con te!

Ma la dimostrazione del "paradosso" del raddoppiamento della della sfera:
-non solo conferma l'assurdità della pretesa di giocare con "insiemi infiniti";
- ma anche la pretesa di giocare con "insiemi finiti" composti da "elementi non misurabili".
Secondo me se tratta "quasi" di una "contradictio in adjecto".

***

Ed infatti, se io possiedo un "insieme finito" di libri, posso misurare:

- sia la "lunghezza" dell'intero insieme mettendoli tutti in fila (in metri);

- sia il "peso" dell'intero insieme mettendoli tutti su una bilancia (in chilogrammi).

Ma se io possiedo un "insieme finito" di "elementi non misurabili", come faccio a misurare il loro "insieme", che, pure, è "finito" (e cioè "misurabile")?

***

Un saluto!

***

Gli elementi non misurabili fanno rientrare l'infinito nella questione.
L'assurdo deriva sempre dalla pretesa di maneggiare l'infinito come fosse finito.
È una contraddizione lampante.
Eppure è ciò che fa il tanto osannato Cantor.
Delirio nichilistico.

[iano]

Gli elementi non misurabili fanno rientrare l'infinito nella questione.
L'assurdo deriva sempre dalla pretesa di maneggiare l'infinito come fosse finito.
È una contraddizione lampante.
Eppure è ciò che fa il tanto osannato Cantor.
Delirio nichilistico.

Solo una precisazione.
Non sono gli elementi non misurabili a far rientrare l'infinito nella questione, ma l'infinito a far entrare nella questione gli elementi non misurabili, perchè è l'infinito ad essere presente nell'assioma di Zermelo.
Il vero problema è che né io, né te, né Eutidemo sappiamo cosa intendono i matematici per elementi non misurabili, o ancor peggio è quando crediamo di saperlo solo perchè ''misurabile'' lo trovi sul vocabolario della lingua italiana..
Ma mi ci gioco le due sfere che da qualche parte c'è una teoria matematica della misurabilità

[Eutidemo]

Ciao Iano.

Hai ragione, in quanto, tecnicamente,  non si tratta di una vera e propria "reductio ad absurdum"; ed infatti, come giustamente osservi tu, nelle dimostrazioni per assurdo si dimostra la falsità dell'assunto a partire dagli assiomi.

***

Io ho utilizzato tale espressione in modo "impropriamente esteso", nel senso, cioè, che, se lo scopo di Hausdorff-Banach-Tarski era quello di "dimostrare" che, se da un teorema matematicamente "dimostrato" si può ricavare un "paradosso" come quello del "raddoppio della sfera", allora vuol dire che sono gli "assiomi" a partire dai quali si è dimostrato tale teorema ad essere ''errati".

***

Un saluto!

***
P.S.
Tieni conto delle mie "virgolette", sebbene io abbia il vizio di usarne un po' troppe (e spesso anche a sproposito).

[Eutidemo]

Ciao Bobmax.

Secondo me gli "elementi non misurabili", a meno che non si tratti di "punti", non fanno necessariamente rientrare l'"infinito" nella questione; ed i "pezzi non misurabili" del paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski, costituendo un "insieme finito di elementi" (cioè limitato) non possono essere dei "punti".

Il problema è di capire che cosa intendano Hausdorff-Banach-Tarski per "pezzi non misurabili"!

***

Un saluto!

***

[bobmax]

Ciao Bobmax.

Secondo me gli "elementi non misurabili", a meno che non si tratti di "punti", non fanno necessariamente rientrare l'"infinito" nella questione; ed i "pezzi non misurabili" del paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski, costituendo un "insieme finito di elementi" (cioè limitato) non possono essere dei "punti".

Il problema è di capire che cosa intendano Hausdorff-Banach-Tarski per "pezzi non misurabili"!

***

Un saluto!

***

Eutidemo, nella non misurabilità è implicito l'infinito.
Perché è non misurabile ciò che non ha fine.
Non importa se perché infinitamente grande o infinitamente piccolo.
Il punto, altro non è che infinitamente piccolo.
Ciò che il nichilista matematico non riesce a comprendere è che l'infinito, non importa se grande o piccolo, non esiste.

È interessante inoltre a mio avviso considerare, che niente è mai davvero misurabile.
Cioè pure il finito in realtà non esiste.
Tuttavia, che esista è una premessa necessaria, sebbene non vera.
Dovremmo fermarci lì, assumendo reale il finito sebbene non lo sia.
E invece ci siamo imbarcati nella pretesa di rendere reale persino l'infinito!
Nichilismo.

[Phil]

Trovo che la ragionevole istanza di Eutidemo di poter usare il coltello per l'esperimento matematico tocchi il fulcro della questione: la matematica è solo uno strumento per la comprensione astratta del mondo e funziona bene se la applichiamo al mondo, ma se la applichiamo a se stessa può talvolta implodere in paradossi e non-sensi non riscontrabili nella realtà. Prima di voler sperimentare lo sdoppiamento della sfera, basato su astrazioni assiomatiche, basta chiedersi se si può sperimentare l'adimensionalità del punto o la lunghezza infinita di una retta o la bidimensionalità del piano, tutti fondamentali per il funzionamento della geometria (chiaramente non si può, ma concettualmente servono).
Da un segmento è possibile prelevare punti in modo da poter "produrre" un secondo segmento di uguale lunghezza? Concettualmente sì (correggetemi se sbaglio), perché i punti di un segmento sono infiniti, quindi possiamo prelevar punti all'infinito e costruire il segmento-doppione, ma nella realtà il segmento bidimensionale nemmeno esiste (così come il punto o l'infinità di rette che lo attraversano). Si tratta principalmente, secondo me, di saper discernere quando la matematica ci aiuta a parlare del mondo e quando il mondo ci ricorda la convenzionalità della matematica (assiomi, Godel, etc.).