Provo a buttare giù un po' di idee sull'Aritmetica per vedere che discussione ne esce.


Il Logicismo pretendeva di ridurre la matematica alla logica. Per Hilbert e gli altri logicisti, l'Aritmetica (e tutti gli altri rami della matematica) sono da intendere come giochi di segni governati da assiomi e regole che ne consentono la manipolazione, senza dover considerare il significato associato a questi simboli.

Come assiomatizzazione dell'Aritmetica, fu proposta l'Aritmetica di Peano (PA). Più precisamente, l'Aritmetica (modello dei numeri primi) la chiamiamo N ed è consistente e coerente; quindi ci si può chiedere se questa coincida con PA, cioè se l'insieme delle formule vere in N coincida esattamente con l'insieme delle formule dimostrabili/derivabili dall'insieme degli Assiomi di Peano.

Kurt Goedel, però, dimostrò la falsità del logicismo: ogni teoria consistente e contenente PA (compresa PA) è incompleta. Quindi PA non può coincidere con N, che è completo.
Non solo, quindi, PA non può rappresentare N, ma nessun'altro può farlo: esistono verità di N non dimostrabili (con sistemi assiomatici).

Questo teorema ricorda le antinomie kantiane: se la ragione vuole conoscere tutto (completezza) allora incontrerà inevitabilmente delle antinomie (inconsistenza).

Ma in verità le cose stanno ancora peggio. Infatti, per il secondo teorema di Goedel, non si può neppure, tramite PA, dimostrare che PA sia consistente (e anche questo risultato vale per tutte le estensioni di PA).

La morale di tutto ciò è che N non può essere caratterizzata né da un insieme di assiomi finito né da uno schema di assiomi, quindi N risulta ben più ricco di qualsiasi sistema formale (assiomatizzato). Ma che cos'è N, se non può essere caratterizzato dagli assiomi?

La faccenda si infittisce ancor più: mentre i risultati di Goedel riguardano solo sistemi formali assiomatizzati che tentando di approssimare N (e non N stesso), Tarski scopre un teorema che riguarda direttamente N: in N non è possibile definite il predicato di verità di N. (E ciò vale per ogni sistema consistente sufficientemente potente.)
La verità aritmetica non è definibile nell'Aritmetica, ma può essere definita, comunque, in un metalinguaggio.

Ciao Epicurus. Premetto che il mio esame di logica andò così così, e da allora l'ho incontrata solo indirettamente.

Sperando di non mancare il punto, a me sembra che la questioni riguardi il classico, quanto mai realmente risolto, problema della "mediazione". Non voglio scomodare Hegel (se no Albert m'ammazza), però è logicamente inevitabile che rimanga qualcosa fuori dalla formulazione esplicita di qualcosa (o delle varie formalizzazioni).
Ciò che rimane fuori è esattamente l'elemento che media il significato di ciò che si dice, in questo caso della formalizzazione.

Il metalinguaggio, in questo senso non fa altro che rendere esplicita la mediazione, creandono però contemporaneamente un'altra non attualmente esplicitabile.

Ecco perchè nessun sistema (o formalizzazione) può includere se stesso, a meno di voler fare qualcosa di simile a ciò che fece il tanto disprezzato Hegel, che ci aveva visto lungo.

Ciao Odos,

prendiamo il secondo teorema di Goedel che ci informa che non si può decidere se PA o una sua estensione sia coerente o meno (dal di dentro). Tu mi dici che questo è un fatto banale, ma non tutti la pensano come te.
L'8 agosto 1900, il famoso matematico David Hilber redasse una lista di 23 problemi della matematica che presentò al Congresso Internazionale di Matematica: tutti problemi irrisolti e di fondamentale importanza per la matematica. Il secondo problema consisteva proprio in: si può dimostrare che l'insieme degli assiomi della Matematica è consistente?

La non banalità del risultato del secondo teorema di Goedel può esser messa maggiormente in luce consideranto il fatto fatto che le varie geometrie (euclidea e non-euclidee) si sono dimostrare internamente consistenti. Anche l'Aritmetica di Presburger (un sottoestensione di PA, in cui non viene considerata la moltiplicazione ma solo l'addizione) è stata dimostrata consistente.

Ciao Epicurus arriva il disseppellitore di thread.
Ho visto i due geniali teoremi di Godel, il più grande logico della storia insieme ad Aristotele e non potevo esimermi dal postare.
Già B.Russell aveva trovato una contraddizione logica nell'insiemistica, se non ricordo male. Godel ha scritto anche un teorema per dimostrare l'esistenza di Dio: geniale.
Arrivo subito al dunque; significa che è più facile trovare la verità che dimostrarla. Semplicemente perchè la logica soprattutto deduttiva lavora bene per pochi assiomi e in argomenti particolari, in quanto la deduzione lavora dal "tutto" verso il particolare, è una forma di conoscenza che definisce. Ma se definisco un insieme molto grande attraverso assiomi logici, presi uno ad uno sembrano giustificati, ma se si relazionano fra di loro salta fuori la contraddizione.
L'altra forma di conoscenza che a mio parere è più nella coscienza che nella conoscenza ( ma questo è un altro discorso) è la capacità intuitiva che infatti Godel suggerirà in quanto tende a relazionare i particolari e muoverli verso il tutto, in altre parole fa un porcedimento inverso che il nostro cervello praticamente fa in simultanea: è il classico colpo di genio intuitivo.
Noi costruiamo la conoscenza attraverso un filtro, perchè il linguaggio codifica e decodifica e può avere "disturbi e rumori"e la logica non è detta che per l'umanità sarà sempre quella dei giorni nostri o che duri in eterno, finchè non troveremo altre forme di conoscenze più efficaci ed efficienti.
Infatti la logica modale è intervenuta per aprire costruzioni logiche nel definire formulazioni che suddividono gli epistemi, le credenze e le fedi, correlandole anche fra loro e diverse correnti di pensiero : ma queste sono cose che tu sai molto meglio di me
good night

p.s. a proposito di geometria euclidea, se non ricordo male il quinto assioma di Euclide sulle parallele fu messo in discussione e si costruì la geometria non euclidea che Einstein utilizzò in quanto definiva meglio geometricamente la curvatura dello spazio.