Prendo spunto da un altro thread per proporre questo argomento che spero a qualcuno possa interessare.
Zero ed infinito sono due “numeri” un po’ particolari, nel senso che nulla in natura è zero e nulla in natura è infinito.
E’ interessante, allora, capire come queste due astrazioni siano entrate a far parte della nostra esistenza.
La prima e più semplice struttura matematica che si possa pensare è quella dei numeri naturali…
1, 2, 3, … si chiamano naturali perché assegnano degli attributi numerici a degli oggetti che fanno parte della natura. Possiamo avere una pera, due banane, tre pesche, …
Ora se ho 1 pesca e qualcuno me ne dà altre 2, avrò alla fine 3 pesche ed ho introdotto la somma.
Se ho 3 pesche e do a qualcuno 2 pesche rimango con 1 pesca ed ho introdotto la sottrazione.
Ma se ho 3 pesche e le do via tutte e 3, nei naturali non ho nulla per esprimere questo concetto. Quindi introduco una quantità, lo zero che mi permette di esprimerlo.
Da notare che lo zero non è un naturale, dal momento che 0 pesche, 0 pere non esprimono nulla di esistente in natura. Tant’è che i matematici quando si riferiscono all’insieme, 0, 1, 2, 3, … lo chiamano “i naturali più lo zero” (simbolicamente N U 0).
In matematica si dice che senza la zero in naturali sono coerenti, ma non completi rispetto alla sottrazione, con lo zero sono completi, ma non coerenti.
Dai naturali più lo zero si passa agli interi, ovvero …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … dove è possibile sottrarre uno all’altro due numeri qualsiasi rimanendo nell’ambito dell’insieme.
Si introduce, quindi, il prodotto e quando si introduce l’inverso (ovvero ciò che moltiplicato per il numero mi dà 1), 1/1, 1/2, 1/3, … ed il rapporto (prodotto di un numero per l’inverso di un altro, es. 4/5 = 4*1/5) arriviamo all’insieme numerico successivo, ovvero i razionali, definiti come rapporto tra due qualsiasi naturali.
Ciò che rompe le uova qui, è lo zero (sempre lui), difatti 1/0 mi dovrebbe dare il numero che moltiplicato per 0 mi dà 1, ma tale numero non esiste perché ogni numero moltiplicato per 0 dà sempre e comunque 0.
A questo punto si introduce una nuova grandezza che rende completi, ma non coerenti rispetto all’operazione di inversione i numeri razionali, ovvero l’infinito e si pone 1/0 = infinito.
Questa che ho descritto è, a grandi linee la genesi dello zero e dell’infinito.
Un saluto a tutti.

Sono d'accordo.


Non sono d'accordo.

Che ne pensi dell'ipotesi del continuo applicata alla realtà fisica ?

Marius... più che l'ipotesi del continuo (che tra l'altro Godel ha dimostrata essere indecidibile) è l'ipotesi del modello relativistico senza costante cosmologica che prevede un universo iperbolico a poter rendere teoricamente possibile un universo infinito.
Nella mia pochezza, sono tuttavia dell'idea che non sia così.
Zero ed infinito sono astrazioni matematiche e logica mi fa dire che se non esiste l'una non può esistere nemmeno l'altra...
Comunque la certezza non c'è... te ne do atto...

Ciao Marius

Vorrei prenedere come realta' fisica una barra es: di ferro.
Se la tagliamo questa si riduce di lunghezza ma se proseguiamo otterremo che la lunghezza diminuisce sempre piu'.
Se idealmente continuiamo ci si potrebbe chiedere se esiste un limite oltre il quale la barra non c'e' piu'.
Ora siccome nulla si crea e si distrugge non possiamo continuando ad annullare cio' che rimane della barra arrivare a farla scomparire.
Quindi deve esserci un limite di spazio barra quantizzato che potremmo
far ricadere nello spazio di Plank (ma non necessariamente).
Mi sembra di ricadere in un pensiero di Einstein:Non esistendo una interazione istantanea in natura deve esserci una velocita' limite.
Ora il problema e' qui.
Se la stessa barra la mandiamo a velocita' relativistica un osservatore opportuno la vedra' contratta ma questo vuol dire che lo spazio di Plank o il quanto di spazio barra debba contrarsi ma cio' e' impossibile perche' quello spazio e' l'ultimo quanto di lunghezza in natura.
Per mettere a posto le cose cioe' per fare in modo che la barra si accorci
dobbiamo alterare la geometria euclidea della barra che dovrebbe portare,
a velocita' prossime a quella della luce,vederla come se fosse ruotata quasi di 90°.?!

Ciao.
In risposta a questa tua considerazione ti propongo quest'altra possibilità.
Dato che in natura non è possibile pervenire al "punto", puo ' darsi che esista una parossistica tendenza alla "creazione" di spazio che viene "esasperata" quando le velocità aumentano.
L'unica configurazione possibile che mi viene in mente per rappresentare una situazione del genere è quella di un'onda....



Non sono esperto di relatività ma mi pare che questo fatto non contrasti con le formule della contrazione degli spazi secondo Lorenz.


Non è detto.


Se pensi alla barra non come un corpo rigido e quantizzato, ma come un continuo "elastico" questo problema non si pone.

quando si ordina un certo sapere in modo formale accade che, per evitare i noti ricorsi all'infinito, occorre partire da alcune basi prese per ovviamente vere e occorre inoltre formalizzare in modo preciso gli ingredienti del discorso e le loro relazioni.
Inoltre si introducono implicitamente "regole" meta-teoriche che ci piacerebbe fossero indiscutibilmente vere e naturali (e cmq "facili" i c.d. metodi finitisti alla Hilbert).

Fatto qsto nn stupisce il fatto che alcune questioni più esotiche o di frontiera non siano catturate in modo automatico dal sistema che abbiamo costruito.

Ecco allora che per "completare" il sistema dal punto di vista semantico (sopratutto) dobbiamo introdurre altri assiomi e principi che esulano da quelli iniziali. Questo porta ad un'incoerenza se tradotto negli schemi del linguaggio iniziale ma alla fine ci porta a dominare una realtà piu vasta.

Goedel dimostra che questo "trade-off" della conoscenza si verifica sempre e puntualmente, ogni qual volta il linguaggio formalizzato costruito ha una certa soglia di complessità (ovvero una complessità tale da permettere al linguaggio di costruire "frasi" auto-referenziali).

Caro Cronos,

dichiari:

"Ecco allora che per "completare" il sistema dal punto di vista semantico (sopratutto) dobbiamo introdurre altri assiomi e principi che esulano da quelli iniziali. Questo porta ad un'incoerenza se tradotto negli schemi del linguaggio iniziale ma alla fine ci porta a dominare una realtà piu vasta".

Questa potrebb'essere l'epitafio da apporre non sul sepolcro della scienza umana, ma su quello dell'arroganza della scienza d'essere esatta.

Come ha notato opportunamente, sotto altro argomento, Antares:

"difatti nella generazione dello zero e dell'infinito si assume l'incoerenza, ma io non la vedo come una resa...".

Anakreon.

Caro Antares,

osservi:

"Ma se ho 3 pesche e le do via tutte e 3, nei naturali non ho nulla per esprimere questo concetto. Quindi introduco una quantità, lo zero che mi permette di esprimerlo.
Da notare che lo zero non è un naturale, dal momento che 0 pesche, 0 pere non esprimono nulla di esistente in natura. ".

Lasciando la questione di ciò che sia in natura, perché, come opportunamente notavi sotto altro argomento, la matematica deve sapersi reggere sui principii che essa stessa pone, senza contraddizioni, ancorché i suoi oggetti non possiamo reperire nelle cose della natura; mi domando se le difficoltà circa lo zero non dipendano tanto dal concetto in sé, quanto piuttosto dalla rappresentazione per segni, che ne vogliamo dare entro una certa scienza.

Intendo dire questo.

Zero significa nulla; se sottraggo tre a tre, è pur chiaro che non rimarrà alcun numero:
checché sia il numero, comunque lo definisca, dovrei avere per certo che di lui nulla rimane, se gli sottraggo altrettanto ed altrettale numero.

Gl'impedimenti allora forse nascono, quando debbo esprimere questo nulla, non solo usando d’un segno nell’ambito della scienza matematica, ma anche usando d’un vocabolo e d’un predicato, cioè i segni proprii del raziocinare comune e filosofico.

Come si dimostrò sotto altro argomento, se dico che il nulla è, gli attribuisco un essere che pare contraddire il suo non essere alcunché; se vice versa dico che il nulla non è, negando l’essere di ciò che non è, perché due negazioni affermano, in qualche modo di nuovo affermo che il nulla sia qualche cosa:
eppure, nella nostra mente ci appare assai chiaro che sia, se posso dir così, il nulla.

Non è forse la medesima difficoltà della matematica circa lo zero ?:
difficoltà di rappresentare, d’esprimere per segni, certamente e senza contraddizione, qualche cosa cui pur si giunge, certamente e senza contraddizione, per deduzione razionale dai principii posti.

La difficoltà, dunque, non dipenderebbe da difetto del raziocinare, ma da difetto degli strumenti usati per rappresentarlo.

Per altro, potrebb’esserci un’altra risposta, che il difetto sia nel raziocinare stesso, che cioè la matematica, le scienza umane, le conoscenze umane, la nostra stessa ragione siano intimamente tanto imperfette, che non possano non produrre contraddizioni:
come ammonivano gli antichi, la sapienza è solo del dio, gli uomini possono solamente averla cara, esercitare, cioè, la “philosophia”.

Anakreon.

m viene alla mente una questione leggendo qste parole " la matematica deve sapersi reggere sui principii che essa stessa pone, senza contraddizioni, ancorché i suoi oggetti non possiamo reperire nelle cose della natura;" di Anakreon: la matematica di fatti si regge sui suoi stessi principi, di fatti è l'unica "scienza" regina. I problemi nascono allor quando noi tentiamo di interpretare i principi al di fuori del ristretto ambito preciso ed operativo per cui valgono.

di fatti la tua seconda frase dice proprio questo.

Di più, la scienza in genere (fisica) e la matematica e logica sono gli unici saperi dotati di una certa "sicurezza" proprio perchè sono ben consci dei loro limiti intrinseci (anzi li hanno pure dimostrati con pofonde indagini sopra la teoria stessa).
la scienza non è tronfia di sicurezze, ma di sicurezze relative. Questa a mio avviso non è una debolezza ma una forza in quanto le conclusioni scintifiche tutte saranno viziate si, nella loro origine, da una sorta di relativismo, ma non di meno nel loro campo d applicazione sono comunque sicure e ferree.
Puo' dire altrettanto la filosofia, o altri saperi analogici o l'astrologia (x esagerare)? no non possono. Ecco xkè, consapevoli di non potere ambire al "tutto" , l'unico rimedio sicuro per catturare qualche verità non è che quello scientifico.

Ma questo scnd me la matematica ripeto e la logica e la fisica pure lo sanno bene quindi non sono presuntuose, ma umil. E la loro forza stà proprio nella loro umiltà. (così non si puo dire di dogmi religiosi, di filosofie ontologiche o di "magie" varie)

Per cui alla fine Anakreon penso ke si stia discutendo tutti della stessa questione, solo che chi ha un po' piu' famigliarità con la matematica dà come scontate queste cose, e invece chi è più Filosofo come te magari punta ad esplicitare questi concetti ma che sono cmq condivisi e condivisibili da tutti.

Caro Cronos,

dichiari:

"la matematica di fatti si regge sui suoi stessi principi, di fatti è l'unica "scienza" regina. I problemi nascono allor quando noi tentiamo di interpretare i principi al di fuori del ristretto ambito preciso ed operativo per cui valgono.";

ma dimentichi che ho aggiunto:

"senza contraddizioni".

Eppure mi pare che alcune contraddizioni o, al meno, difficoltà di definizione abbiamo assai notate in queste ed in altre pagine scritte nei giorni passati:
quindi le difficoltà non sono solamente esterne, nel collegare la scienza colle cose della natura, ma anche interne alla scienza stessa.

Osservi:

"Ma questo scnd me la matematica ripeto e la logica e la fisica pure lo sanno bene quindi non sono presuntuose, ma umil. E la loro forza stà proprio nella loro umiltà. (così non si puo dire di dogmi religiosi, di filosofie ontologiche o di "magie" varie) ".

Dunque, perché una scienza in sé e per sé non penso possa essere appellata né umile né superba, dobbiamo giudicare i cultori della scienza:
reputi veramente che molti di coloro non siano mai stati e non siano tuttora arroganti sacerdoti d'una verità a sé soli rivelata ?.

Concludi:

"Per cui alla fine Anakreon penso ke si stia discutendo tutti della stessa questione, solo che chi ha un po' piu' famigliarità con la matematica dà come scontate queste cose, e invece chi è più Filosofo come te magari punta ad esplicitare questi concetti ma che sono cmq condivisi e condivisibili da tutti.".

Ti ringrazio per il nome di filosofo, benché tuttavia tale non sono; per il resto se fossi in Te eviterei dire che tutti consentono, tutti dissentono:
la varietà delle opinioni umane è tale, che possiamo incorrere in coloro i quali pongono dio il numero e, vice versa, in coloro i quali pongono numero il dio;
in scienziati pontefici massimi della scienza, sicuri d'essere infallibili, ed in sacerdoti investigatori dubbiosi d'ogni rivelazione ed incerti anche del dio.

Anakreon.