Apro questo topic per porre un quesito; è possibile dare una definizione logica di retta, e quindi di semiretta e segmento, senza cadere in contraddizzione?
L'unica definizione di retta che conosco, che definisce la retta come un insieme infinito di punti è totalmente contraddittoria; infatti, dato che il punto non ha dimensione, e quindi la sua larghezza è zero, mettendo infiniti punti uno accanto all'altro, non otterrò una retta, bensì un punto, dato che moltiplicando zero X infinito otterrò zero.
Qualcuno può illuminarmi su questa questione?

Bè,non ho molto tempo,però la prima cosa che mi viene da dirti è che punto e retta sono entità geometriche che noi uomini definiamo perchè ci servono,e ci sono utili.
Non ci sono contraddizioni.Allora sarebbe anche una contraddizione dire che una retta è infinita,per il solo fatto che non possiamo misurarla.
Mettere dei punti geometrici uno accanto all'altro,non è neanche zero per infinito,perchè essendo il punto senza dimensione..come potresti valutare dove esattamente è..."a fianco"?

Mi verrebbe da dire:il punto è una entità senza dimensioni,la retta è una entità con una sola dimensione.Ci servono per indicare posizioni,direzioni,piani,
non sono degli oggetti materiali che misuriamo.Sono astratti.
Li usiamo per esplorare e indicare caratteristiche di altre cose,o per formulare teoremi o teorie di validità generali.NEssuno mai ti potrà chiedere di contare dei punti geometrici.Non ha senso.Per contare abbiamo i numeri!
So che è troppo breve,ma potrebbe essere un inizio.

zero per infinito non da zero. E' un caso di indeterminazione, non essendo l'infinito un numero.
Per questo la definizione di retta può essere accettata.

Ah... finalmente una bella discussione sui fondamenti! Trovo si rifletta tanto su ogni sorta di costruzione, tralasciando invece le basi e le definizioni e penso sia molto istruttivo ed interessante parlarne. Non sono un geometra ... ma penso che Aile (Elia?) abbia colto il nocciolo della questione; quelli di “retta”, “punto” ecc... sono concetti primitivi astratti, non definiti tramite altri concetti, ma intuitivamente e che servono da base per la costruzione di ogni geometria. Non ho mai trovato, o almeno non ricordo, la definizione di una retta come un insieme infinito di punti, tant’è che pure fermandomi qui, tale definizione mi pare alquanto incompleta (anche un’iperbole è un “insieme infinito di punti”, ma non credo sia una retta).

Insomma un punto, così come una retta non li puoi “disegnare” e definire tramite altri concetti più semplici, ma solo immaginarli intuitivamente, comprenderli visceralmente, creando solo dei modelli per rappresentarteli nella mente (che ne so, un filo monodimensionale esteso all’infinito, per esempio); sono poi questi concetti primitivi che ti permetteranno di definire tutti gli altri enti più “complessi”.

La Geometria analitica mi ha sempre affascinato.
Preferisco però dare una definizione personale, che possa liberare il pensiero e astrarre anch'esso, come la Geometria dello Spazio lo è per definizione, in modo da poter osservare allo stato reale ad esempio un oggetto in movimento andando alla sua stessa velocità.
Un punto, per me, è un riferimento rispetto a me e rispetto a qualcosa.
Il punto di vista determina l'oggetto osservato.
Il punto è l'origine dello spazio e del tempo.
Il punto è il centro di tutto, contenuto in tutto, ma non nullo.
Lo vedo come un " 1 x " ( nell'operazione aritmetica di: 1 x A = A; per qualunque A appartenente a qualunque spazio/insieme/sistema ).
Questo " 1 " a me pare una trappola, TUTTO si riconduce ad esso: un punto.
Dal nulla un "punto" di inizio per essere; quasi volesse essere una presa di coscienza che determina un/l'Inizio...
Una retta non ha - guarda caso - senso se non la si fa passare per un punto.
Il prolungamento nello spazio-tempo di un punto diviene così una retta nello spazio. Un'infinità di punti non sono nulla, ma atti a determinare solo ed esclusivamente la loro intersezione in un maledettissimo esiguo ed insignificante ed unitario punto...
La retta credo non esista, ma che esista quanto più il prolungamento di un punto in una direzione, la quale non può che essere Duale ( tanto si prolunga da una parte ed altrettanto dall'altra, quella opposta o complementare ad essa ).
La retta è un punto in movimento rispetto ad una direzione di infinte direzione che formano uno spazio.
Poiché lo spazio materiale è tridimensionale e tutto si riconduce necessariamente ad esso ( spiegatemi se non è esattamente così ), allora si ha che il punto è uno spazio, un po' come il dire: Uno e Trino ..
A meno che la materia non sia tridimensionale... ( qualcuno può provarlo ? )
Perché segmentare una retta, che senso ha ?
serve una misura per definire una entità ed infinito o un punto non hanno davvero senso... Lo ha invece, acquisendolo in quanto tale, un segmento, un segmentamento della retta per ottenere uno standard, una convenzione su cui decretare la misura di qualche cosa che non infinita, seppur inDEfinita.
Dal Nulla un Punto, da cui la forma di Tutto .. Non sarà mai dimostrabile un punto e credo che viviamo/siamo nella realtà in termini di segmentazione...

Innanzitutto va specificato di che retta stiamo parlando. Retta nei naturali, nei razionali, nei reali, etc.

Nel caso di una retta nei naturali, il problema ha soluzione banale, avendo una retta discreta, "a salti".

Prendiamo, allora, il caso più classico della retta reale. La retta (nello spazio euclideo a due dimensioni) reale è esattamente l'insieme dei suoi punti reali, definiti dalle coordinate cartesiane (x;y). Allora, com'è possibile che cose che non hanno estensione (altezza e lunghezza) possano formare un retta, che è infinita in lunghezza?

Il problema, qui, è che noi vorremo pensare di avere in un sacchetto tutti gli infiniti punti della retta reale, e disporli uno ad uno affianco agli altri. Questa operazione, però, è impossibile dato che i reali sono continui: dati due reali qualsiasi, ce n'è sempre un altro in mezzo. I reali sono uno affianco all'altro, così vicini da non lasciare buchi, ma ogni reale non ha un successore... questo può sembrare paradossale, ma solamente perché pensiamo in modo discreto.

D'altro canto, in poche parole, si potrebbe uscire dalla tua (apparente) contraddizione definendo i punti come limiti, aree che tendono all'infinitamente piccolo. In questo modo abbiamo risolto il problema, infatti tutti sappiamo che somme di infinitesimi possono dare tranquillamente valori infinitamente grandi.

Proviamo così per la retta: "L'insieme di tutti quegli infiniti punti di uno spazio, piatto o iperbolico, per i quali valga la regola che, prendendone due qualsiasi, tutti quelli che li collegano secondo la minima distanza appartengano sempre e soltanto a quell'insieme. In uno spazio sferico, invece, gli apparterranno anche quelli che li collegano secondo la massima distanza."

Come dal punto, privo di dimensioni, si proceda alla linea, come da questa, unidimensionale, alla superficie, è il mistero che Pitagora riteneva di aver risolto.
Purtroppo il suo infedele discepolo Ippaso, il quale voleva renderlo pubblico in Grecia, venne affondato dagli Dei nell'Egeo, dietro consiglio e preghiera del Maestro stesso.
Per tale ragione dobbiamo, ancor oggi, accontentarci del calcolo infinitesimale e delle sue tortuosità intellettuali.
Pare, dal poco che se ne sa, che la soluzione della questione fosse implicata nel modo in cui Pitagora risolse il suo famoso teorema: senza l'uso di compasso, nè di squadre, ma per mezzo di semplici "ripiegature" dello spazio e "traslazioni" del triangolo rettangolo.
Purtroppo, nessuna delle centinaia di dimostrazioni fino ad ora fornite soddisfa a tali drastiche restrizioni di metodo.

[quote=warum]Apro questo topic per porre un quesito; è possibile dare una definizione logica di retta, e quindi di semiretta e segmento, senza cadere in contraddizzione?
L'unica definizione di retta che conosco, che definisce la retta come un insieme infinito di punti è totalmente contraddittoria; infatti, dato che il punto non ha dimensione, e quindi la sua larghezza è zero, mettendo infiniti punti uno accanto all'altro, non otterrò una retta, bensì un punto, dato che moltiplicando zero X infinito otterrò zero.
QUOTE]

La tua questione secondo me, non è legata tanto alla definizione, quanto al problema più filosofico della continuità. La tua domanda mi ricorda un po' l'impostazione dei paradossi di Zenone sul movimento.
"Per Zenone il moto si spiega come il passaggio da un punto di partenza a un punto di arrivo. Ma per arrivare al punto di arrivo occorre arrivare prima alla metà di questo percorso, e per arrivare alla metà di questo percorso, occorre arrivare alla metà del percorso che va dall'inizio al punto intermedio, e così via: in sostanza, un uomo, per raggiungere una posizione nello spazio, deve sempre prima percorrere i segmenti intermedi, e questi segmenti, essendo lo spazio divisibile all'infinito, sono infiniti... ora, come può Achille raggiungere la tartaruga se è alle prese con la divisione infinita degli spazi che la separano da essa?"

In realtà l'acchiappa. La realtà fisica supera l'astrazione matematica.

È vero che l'entità geometrica "punto" ha dimensione nulla, tuttavia, lungo una retta, il suo punto più prossimo, è a distanza infinitesima: infatti due punti adiacenti differiscono per un infinitesimo. Estrapolando il concetto si giunge alla definizione di retta e, quindi, di semiretta e segmento.
Per lo stesso motivo la tangente ad una circonferenza è una retta che ha in comune con la circonferenza stessa, due punti.
Spero di essere stato utile.

il discorso sta nei termini esplicitati da IL RAMO RUBATO.

la questione è la classica questione sul continuo e le soluzioni sono quelle classiche ricordate da EPICURUS.

in pratica noi vogliamo costruire una retta che possa contenere le immagini (come punti evidentemente dato che una retta non è altro se non un insieme di punti) di tutti i numeri reali, o di tutti i reali presi in un intervallo.

Per farlo ci piacerebbe che la retta sia continua a sua volta - come lo sono i numeri reali - e traduciamo questa proprietà matematica in una proprietà geometrica dandola per principio. tutto qui. Ecco quindi che una volta formalizzate le proprietà di continuità ed affinati strumenti tecnici come quelli delle serie e della teoria dei numeri reali ecco che non ci imbarazza più nemmeno dire che "la somma di infinite quantità non necessariamente tutte uguali a zero, puo' anche dare un numero finito e ben preciso" od anche "il punto non ha dimensione fisica".

Alla fin fine la geometria deve astrarre modelli utili come diceva qualche altro utente e che servano a scopi operativi