Caro Antares,

prima annoti:

“Quindi ti ribadisco che la matematica non ha lo scopo di risolvere nè di descrivere alcunchè di reale, ma che quanto la matematica sviluppa viene a volte trovato utile anche in scienze che hanno delle applicazioni pratiche.
Il concetto matematico di punto, o di retta ad esempio, non trova alcun corrispettivo nella realtà. “.

poi aggiungi:

“Diciamo che il problema è questo. Un modello matematico esatto della realtà sarebbe impossibile e quindi si presuppone l'esistenza di entità a dimensione zero per poterci facilitare le cose.”

Dunque, se la matematica non si dà pena delle cose quali sono e mi sta bene che non se ne dia, perché poi affermi che essa suppone enti che non hanno dimensione, affinché le cose siano più facili ?.

Più facili per chi ?;

forse per chi vuole applicarla alle cose che sono ?:
ma, se la matematica non se ne dà pena, perché dovrebbe derogare dai suoi principii, per adattarsi a cose che le sono estranee ?;

o forse per i matematici stessi, quando s’accorgano che qualche cosa non quadra ?:
ma, se qualche cosa non quadra in una scienza che vuol essere esatta, forse propriamente esatta essa non è.

Per altro, alcuno potrebbe osservare che gli oggetti della geometria e dell’aritmetica non siano mere invenzioni della mente umana, ma effetto dell’astrazione di certe proprietà dalle cose, di cui abbiamo esperienza fuori di noi, e che, dunque, quegli oggetti non siano del tutto avulsi dalle cose esterne a noi.

Ma questo interessa poco, perché la questione prima, donde siamo proceduti, non è se la geometria descriva le cose esterne a noi ovvero se il punto, tale e quale essa lo definisce, possa veramente essere, fuori del campo della geometria.

Io stesso, in fine del mio commento precedente, ho dichiarato:

"In somma, qualche dubbio che l’edificio d’una scienza sia solido può pur sorgerci, non tanto quando quella scienza confligga con le cose che ci appaiono essere veramente, perché possiamo pur osservare che percepiamo noi erroneamente la verità di quelle cose; quanto piuttosto quando essa confligga con la nostra stessa ragione, perché, se le scienze sono conoscenze interpretate ed ordinate dalla ragione, come possono confliggere con quella ragione che le interpreta ed ordina ?.".

La questione è proprio questa:
il conflitto che a giudizio mio e d'altri, forse perché non siamo periti di matematica e singolarmente di geometria, sorge tra la nostra ragione, che interpreta il nulla come ciò che non è, e la definizione di punto, quale ente che, pur avendo dimensioni nulle, genera altri enti misurabili e misurati e quindi enti con dimensioni non nulle, quali linee, piani, solidi e quant'altre siano oggetto di quella scienza.

Il conflitto, cioè, non è esterno, tra quanto pensiamo e quanto appare ai sensi, ma, entro il pensiero stesso, tra quanto è definito, quale principio d'una certa scienza, e quanto è universalmente razionale pensare.

Osservi:

“Nulla nel mondo reale è zero e nulla è infinito.
Nella matematica invece sono ambedue "numeri" plausibili.”.

Ma razionalmente posso pur pensare o tentar pensare qualche cosa che proceda all’infinito ovvero che sia nulla, rispetto a qualche cos’altro:
così posso pensare che, se un’unità è sottratta ad un’altra, nulla rimanga d’unità ovvero che si possa aggiungere infinitamente un’unità ad altre unità già date.

Ho, vice versa, assai difficoltà nel pensare qualche cosa che abbia dimensioni nulle, ma che, pur tuttavia, produca altre cose di dimensioni non nulle.

E’ di nuovo la questione dello zero che, aggiunto allo zero, dà qualche cosa:
è uno zero vero e proprio, cioè nulla, oppure è qualche cosa tanto piccolo, che sia prossimo a zero ?.

E se è uno zero vero e proprio, cioè nulla, permetti ch’io abbia difficoltà nel considerare esatta e razionale una scienza tale, che produca qualche cosa dal nulla, non perciò, che nelle cose della natura non accada, ma perciò, che mi pare non possa essere razionalmente concesso.

D’altronde, Tu stesso confessi:

“La matematica ha in sè moltissime contraddizioni di tipo "logico" che ancora non si è riusciti a risolvere.”.

Senza dubbio, se si assume il nulla quale autore di qualche cosa...

E poni un esempio:

“Per farti un caso banale non si è ancoira riusciti a decidere (e mai si riuscirà) se lo zero è o no un numero naturale, tant'è vero che alcuni autori lo considerano tale ed altri no (se ti interessa ti spiego perchè...)".

Non stupisco che la causa del disputare sia ciò che non è, ma si usa.

Concludi:

“Ma tutto questo poco conta. Basta che la struttura costruita sia in accordo con gli assiomi e tutto funziona (dal punto di vista, però solo e solamente teorico...). “

Be’ sì, tutto procede, ma non sempre spontaneamente e razionalmente, mi pare:
tal ora qualcuno costringe a forza le argomentazioni, saltando le contraddizioni, per rendere le cose più facili allo scienziato o forse per adattarsi, pur negando, alle cose della natura.

In somma, scienza esatta ?:
sì, ma non troppo.

Anakreon.

Certo che se il punto "fisico" non esiste ci possono essere due possibilità...

O si parte di "stringhe", oppure si ammette che si debba continuamente generare spazio per permettere al punto di cercare di esistere.....Senza mai riuscirci...

ma alla fin fine fisicamente manco lo spazio sappiamo cosa sia e nemmeno la massa (che "dialoga" con la struttura geometrica spazio-temporale in cui è inserite e che (x altro verso) forma!)

la cosa più facile è vedere come l'idea matematica di numero irrazionale porti a una certa proprietà geometrica astratta che chiamiamo assioma di continuità (che non c'entra nulla con l'ipotesi del continuo di cantoriana memoria).

le risposte di Anakeron e di Sùmina m paiono le più semplici ed immediate per capirci qlcosa: dobbiam partire dal formalismo. da idee astratte. tutto qui.

sono vero ontologicamente ? non c'importa. c'importa solo che in qualche modo UTILE modellizzino situazioni reali percepibili da tutti.

:S no?

Caro Anacreon, probabilmente non sono stato chiaro…

Un esempio banale per chiarire la tua prima domanda.
Nell’analisi elementare si parla di un ente denominato parabola e lo si definisce come il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto ed una retta dati. Questo ente è rappresentato nel piano dai punti dove si azzera la famosa espressione ax^2+bx+c. Posso studiare questo ente e trovare i suoi punti di intersezione con gli assi, posso disegnarlo, ecc…
Nella fisica, se devo tracciare la traiettoria di un proiettile e suppongo per semplificarmi la vita che tale proiettile sia una massa puntiforme (e quindi non soggetta all’attrito dell’aria), scopro che la sua traiettoria è proprio una parabola e quindi, utilizzando gli strumenti matematici di studio della parabola posso, ad esempio calcolare la lunghezza della gittata.
Questa situazione non è reale perché il punto in natura non esiste (per quanto ti ho già scritto).

Il discorso, forse, è proprio del fatto se sia nato prima l’uovo o la gallina (tu mi sembra che in qualche misura lo configuri). Euclide ha ipotizzato una struttura denominata piano euclideo, nel seguito questa struttura si è arricchita (per merito soprattutto di Cartesio) di nuovi elementi, con i suoi begli assi cartesiani e di enti che sono definiti in tale spazio da semplici equazioni (la retta, la parabola, la circonferenza, …). All’inizio Euclide non si era probabilmente posto il problema di dare una connotazione rigorosa dell’ente che aveva creato.
Per dirla, se io dico che la retta nasce da un’equazione ax+by+c=0 posso tracciare nel piano l’ente senza pormi problemi sulla natura infinita dell’ente che sto tracciando.
Il piano si rivela utile (come visto per il proiettile) per molte altre scienza che sfruttano gli enti matematici per ottenere dei risultati pratici.
Tutto il discorso sulla teoria della misura (e quindi su quella che è la struttura matematica del piano cartesiano) è nato dopo, soprattutto per merito del lavoro di Lebesgue.
Questo lavoro teorico approfondito ha permesso di ottenere nuovi risultati importanti e di andare oltre l’idea originale di Cartesio.
Non so se ho reso l’idea, prima si è costruito il piano cartesiano dal punto di vista delle formulette e solo in seguito si è visto che, se lo si creava a partire da determinati assiomi, era possibile ottenere una struttura da cui ricavare determinati risultati.

Comprendo molto bene che non è fisicamente razionale ottenere un ente di misura finita (come il segmento) o addirittura infinita (come la retta) unendo enti di dimensione zero.
Se sommi zero a zero un numero finito di volte, sempre zero ottieni, ma se sommi zero a zero infinite volte non è detto che ottieni zero. Qui entra il discorso della cardinalità dell’infinito.
Se la cardinalità di ciò che sommi è aleph-zero la misura dell’ente che è risultato di queste aggiunte è sempre zero, viceversa la misura dell’ente che ottieni può essere finita o addirittura infinita.
Questo non è fisicamente razionale, ma lo è dal punto di vista della matematica.
Per farti un esempio, se tu hai un segmento esso è composto di infiniti punti, se lo dividi in due e scegli una delle due parti, questa parte contiene ancora infiniti punti, se continui finchè vuoi (ma non all’infinito) in questo processo di divisione e di scelta ciò che ottieni continua ad essere un insieme di infiniti punti. Se dopo miliardi e miliardi di divisioni ti stanchi e ti fermi ciò che ti rimane è un insieme infinito di punti che (meraviglia delle meraviglie) continua ad avere la medesima “numerosità” dell’intera retta reale.
Non stiamo, naturalmente, in un contesto che ha qualche attinenza con alcuna realtà fisica, ma in un costrutto puramente teorico e basato su assiomi in cui non c’è nulla da “capire” e nulla di filosofico. E’ così perché quelli sono gli assiomi con cui è stato costruito.

Infine due parole per Crono80, la massa non c’entra con la forma dello spazio, tant’è che nell’esemplificazione fisica si parla di massa puntiforme…
Secondariamente se si discute di continuità essa è sempre legata alla dimensione su cui l’ente è continuo... Banalmente nel piano la parabola è continua su R. Quindi non si può slegare il discorso della continuità dal discorso della costruzione di R e nella costruzione di R il lavoro di Cantor sulla cardinalità dell’infinito c’entra, eccome…

Un caro saluto a tutti.

Scusa antares, ma io e' proprio questo che contesto, il sistema di riferimento (leggasi paino euclideo/cartesia/altro), ossia, ma perchè per definire un ente, ho bisogno di un altro ente, la retta (così come tutte le altre curve) non sono forse definite da proprietà che le sono intrinseche?

Avrei forse bisogno di utilizzare il concetto di strada per definire cosa è un automobile?
Certo, torna piu' facile, ma e' davvero necessario?
No.

La mia riflessione su una definizione di curva che si sleghi da qualunque sistema di riferimento nasce infatti proprio da questa considerazione, in realtà successivo ad una spiegazione che mio figlio (di otto anni) mi fece suula retta, la voglio illustrare.

Un giorno a mio figlio chiese cosa aveva imparato di nuovo a scuola, e lui mi rispose, "la maestra ci ha insegnato la retta", 'ah, bene', ho detto io, 'e allora....spiegami un po' cos'e' la retta'

Lui: "Allora, essite la retta orizzontale, la retta verticale, e la retta diagonale..."....

Avete capito, no?

Ma insomma, una retta è una retta, è sempre quella, sia che la metto "a testa in giu'", sia che la metto in diagonale, perchè per definire un ente matematico, ho bisogno di qualcosa che gli è esterno, e che di fatto, è quello che si fa con il piano cartesiano ,dato che le loro equazioni, che rappresentano la loro identità, sono diverse?


Retta orizzontale: Y=k
Retta Verticale: X=k
Retta Diagonale Y=X

Retta Diagonale in coordinate spaziali: Y=X, X=Z, Y=Z
Etc.


Ma è sempre la stessa retta o no?

E' assurdo....
Almeno....io lo trovo assurdo.



Retta orizzontale: S'n=S'n-1, S"n=2*S'n
Retta Verticale: S'n=S'n-1, S"n=2*S'n
Retta Diagonale S'n=S'n-1, S"n=2*S'n
Retta Diagonale in coordinate spaziali: S'n=S'n-1, S"n=2*S'n

Retta obliqua in spazio m dimensionale: S'n=S'n-1, S"n=2*S'n

Beh, Sumina, forse dovresti precisare:
cos'è S
cos'è n
cos'è '
cos'è ''
...

Ok, l'avevo gia' fatto, ma probabilmente non sono risultato abbastanza chiaro, cerco dunque di chiarirlo.

S'n è una successione ricorsiva cioè S'n+1=F(S'n), così come lo è Fibonacci, il fattoriale, ed altre, e lo stesso vale per S'', anche se S secondo, è funzione di S' (ma puo esserlo anche degli S'' precedenti) dunque S"n+1=G(S"n) o S''n=G(S'n,S'n+1). (F<>G in generale)

Il caso della retta è un caso particolare di S''n=G(S'n,S'n+1) perchè S'n+1=S'n , e dunque S''n=G(S'n,S'n) cioè S''n=2*S'n.

Allora, perchè 2*S'n?

Mi pare che la maniera piu' facile per spiegare cosa sia S' e S'' e' attraverso un triangolo.



Immaginiamo tre termini, S'1, S'2, S"1, abbiamo detto che i termini della successione sono in corrispondenza biunivoca con le "distanze", bene, queste distanze sono i lati del triangolo, S'1 e S'2 sono i cateti, mentre S''1 è l'ipotenusa, cioe' la distanza dei punti estremi dei due termini S'1,S'2.

Nella figura, S'1=b, S'2=a, S"1=i, (in realtà a=b, quindi sarebbe un triangolo isoscele, oltretutto degenere, ma ora ci arriviamo).

Bene, ogni curva puo essere costruita con triangoli in cui la linea passi per i tre punti del triangolo e il catete del tringolo successivo, coincide con in catete del triangolo precedente.
nel caso della retta, dato che la curvatura è infinita, i triangoli sono degeneri, cioe' semplici segmenti.

a=S'1 b=S'2 c=S'3
|----------|----------|----------|

|---------------------|
i1=S''1

|---------------------|
i2=S''2


Il primo triangolo è a-b, l'ipotenusa è appunto i1 (S''1) , a e b sono i cateti (S'1 e S'2), il secondo triangolo è b-c ,l'ipotenusa è i2 (S''2) , b e c sono i cateti (S'2 e S'3).

Chiaro?

Ora, e siamo alla fine, siamo arrivati alle successioni che definiscono la retta costruita in questo modo, S'n=S'n-1 e S''n=S'n+S'n+1=2*S'n, appunto.....


A me piace pero' usare i termini quadratici ossia porre Q=S^2 e dunque l'equazione della retta diventa:

| Q'n=Q'n-1
| Q"n=4*Q'n


Mentre quella del cerchio

| Q'n=Q'n-1
| Q''n=4Q'n - K

Semplice......no?

La linea cos'è? In matematica non c'è nulla che si chiami linea...
Tre punti significa tre vertici o tre puntio a caso del triangolo?
Il catate... ma i cateti di un triangolo rettangolo sono due... che io sappia...
Francamente ti dirò che ho un'esperienza decennale nella matematica... al tempo ho anche insegnato istituzioni di analisi superiore (ovvero quanto di più astruso si possa concepire)... ma il tuo discorso mi sembra del tutto incomprensibile...
Sarà un problema mio...

Aggiungo...
comunque se scrivendo ax+by+c=0 con a e/o b diversi da zero riesco a rappresentare in maniera banale tutte le rette del piano non capisco perchè bisogna andare in cerca di altro...

No,no, sono io che continuo a non essere abbastanza preciso, scusa, ma con un po' di pazienza, ci arriviamo per approssimazioni successive.

Il problema è che se avessi una maniera per disegnare sarebbe molto piu' facile, mentre senza....

Allora, ricapitolo i punti sui quali sono stato impreciso e ci metto un disegno esplicativo, supponiamo sia la circonferenza.





Sono i vertici, nel disegno a0-a1-a2-a3, cioè i vertici dei due triangoli che hanno un catete in comune.
Il primo triangolo ha i lati S'1, S'2, S"1, il secondo triangolo invece S'2,S'3,S"2.


La linea è cio' che stiamo definendo, in questo caso la circonferenza.

Riprendiamo l'equazione generica della circonferenza (questa volta in forma non quadratica, usando S al posto di Q):

| 1 - S'n=S'n-1
| 2 - S''n=2*S'n - K

Cosa dice?

1- Che S'1, S'2,S'3...S'n hanno tutti lo stesso valore (cioe' lunghezza).
2- Che S"n, ossia la distanza tra due vertici, saltantone 1, (per questa ragione e' S", l'eventuale S"' sarebbe la distanza tra due vertici saltandone 2, cioe' la distanza tra a0 e a3.) e' uguale alla somma di S'n + S'n+1 (o 2*S'n che è uguale), meno un fattore costante, e questo vale per tutti i termini della successione.

Se il fattore costante K fosse 0, si avrebbe la retta.

Ora, fissato un valore iniziale per S'1, es 1, ed un valore iniziale per S"1 ( o di K), es S"1 = 1.99, e ricorrendo S', S'', i vertici dei triangoli così generati, "generano" il cerchio.

Ci sarebbe da aggiungere altro, tipo sulla necessità di definire anche S''' (per la retta basta S' e S'' perchè è definita da due punti, il cerchio viene definito da tre e dunque occorre S' S'' S''') ma il concetto di base per le linee, insomma, è questo....


Che ne pensi?