Caro Crono,

annoti:

“Ecco quindi che una volta formalizzate le proprietà di continuità ed affinati strumenti tecnici come quelli delle serie e della teoria dei numeri reali ecco che non ci imbarazza più nemmeno dire che "il punto non ha dimensione fisica".

Tuttavia, affermare che un ente non abbia dimensione nella natura delle cose, che è il significato di dimensione fisica, non è il medesimo che affermare che esso ente non abbia dimensione alcuna, come mi pare sia definito il punto dalla geometria.

D’altronde, se possiamo pensarlo e veramente lo pensiamo, una dimensione quell’ente dovrebbe pur avere; una dimensione tale almeno, che ci permetta misurarlo colla mente; se altrimenti, sarebbe solamente nulla, anzi, per meglio dire, non sarebbe alcunché che potessimo o pensare o dire, come notammo, nei giorni precedenti, circa il nulla, sotto altro argomento di questo foro.

Ma il punto è qualche cosa, tant’è vero che possiamo appellarlo punto ed anche pensarlo; tuttavia in tanto, in quanto lo pensiamo, una qualche dimensione congetturiamo, sia pur confusamente, che esso abbia.

Forse è quella particella di dimensione minima, ma non nulla, ond’è composto tutto l’universo e che un tempo era detta atomo:
tanto piccola che non possiamo vederla, ma tuttavia veramente esistente, tant’è che non solo possiamo pensarla, ma anche trattarla nella la scienza della geometria.

Certo allora la questione potrebb’essere:
ma la geometria, sia pure togliendone alcuni accidenti, rappresenta le cose quali veramente sono ovvero è mera finzione ?.

Forse Pitagora, come colui che affermava essere i numeri elementi che costituivano l’universo, poneva il punto come uno e l’uno come punto iniziale, donde tutto era stato generato.

In questo caso, tutto converrebbe insieme, in un solo ente, che è atomo per la scienza della natura, uno per la scienza aritmetica, punto per la scienza geometrica, principio per la filosofia e, per la religione di chi abbia fede nei numi, dio.

Comunque sia, a me non pare sia stata rimossa la contraddizione nella definizione, notata dal nostro Uarum e che tormentava le nostre menti, quando, giovinetti, c’insegnavano gli elementi della geometria, perché se l’uno, principio dell’aritmetica, è diverso dal nulla, non s’intende perché il punto, principio della geometria, sia definito come nulla, pur concedendo che il nulla si possa definire:
non dovrebbe anch’esso avere una qualche misura, sia pure immensamente piccola ?.

E qui vengo all’argomento di Zenone Eleate, secondo cui il moto non è razionalmente possibile, perché i punti infiniti, in cui è divisibile lo spazio, non possono essere percorsi per un tempo finito:
mi pare che Aristotele opponga che anche il tempo è divisibile in altrettanti infiniti momenti e che quindi, se procediamo alla divisione dello spazio, possiamo procedere anche ad una pari divisione del tempo, facendo talmente equivalenti le due divisioni, finite od infinite, che non possiamo più affermare che alcuno si muova per un tempo finito in uno spazio infinito, ma che alcuno si muova in uno spazio finito od infinito per un tempo parimenti finito od infinito.

Il ragionamento parrebbe inconfutabile, se non rimanesse il dubbio che, dividendo all’infinito sia lo spazio sia il tempo, noi potessimo poi conoscere la fine del moto.

In somma, come potremmo noi mortali finiti avere esperienza d’uno spazio e d’un tempo infiniti e di quello che in loro e per loro accadrebbe ?.

In più, pur supponendo poterli aver divisi all’infinito, come potremmo conoscere se l’infinito in cui abbiamo diviso il tempo sia pari a quello in cui abbiamo diviso lo spazio ?:
se sono infiniti, non possiamo misurarli e, quindi non possiamo sapere se siano stati parimenti divisi all’infinito.

Forse la vera soluzione è che noi non possiamo dividere all’infinito né il tempo né lo spazio, ma possiamo solo congetturare poterlo fare.

D’altronde, quanto tempo dovremmo vivere per dividere qualche cosa all’infinito ?:
suppongo per un tempo infinito, perché, se vivessimo per un tempo finito, prima o poi porremmo fine alla divisione, che non sarebbe dunque infinita;
ma viviamo per un tempo finito, dunque non possiamo dividere all’infinito.

E’ chiaro che questo argomento ha gran peso, tuttavia, sulla questione:
quanto acutamente il nostro intelletto percepisca le cose e le leggi dell'universo, quanto con gli strumenti della nostra ragione possiamo intimamente penetrarle e quanto le nostre scienze le rappresentino veramente ed esattamente.

Ripetiamo la questione del punto della geometria:
una soluzione potrebb’essere che il punto una qualche minima dimensione abbia e non possa non avere, se pur vogliamo sia qualche cosa, cioè punto, e che quella minima dimensione sia tale, che noi non possiamo pensare qualche cosa minore; ma non sia nulla, ché, se fosse nulla, neppur sarebbe punto.

Anakreon.

caro Anakreon a mio modo di vedere quando dici "Certo allora la questione potrebb’essere:
ma la geometria, sia pure togliendone alcuni accidenti, rappresenta le cose quali veramente sono ovvero è mera finzione ?." cogli in pieno il bandolo della matassa.

In senso fisico il "punto" geometrico e la continuità dei numeri reali nemmeno hanno senso: viviamo in uno spazio tempo discreti (almeno fino alle misure dei quanti, sempre multipli di una costante).

Il senso della geometria e della sua matematica sta nel fatto di essere dei modelli utili e portano a calcoli e a paragoni intelleggibili e risolvibili da applicare a situazioni concrete.

Il movimento continuo alla Zenone non esiste in natura (e questo ce l'ha insegnato la fisica) ma è comunque un'approssimazione del movimento come noi lo percepiamo.
E usando il modello corretto (quello della retta continua) possiamo trattarlo e fare sparire sotto il tappeto il paradosso.

In effetti il paradosso sparisce sotto il tappeto ma rientra dalla finestra: ma noi non facciamo altro ke prenderlo come "principio" da cui partire considerando i suoi effetti come una "proprietà" da cui poi costruiamo il sistema dei numeri reali con la teoria degli infinitesimi.

Penso che bisogna chiarire alcune cose.
La matematica è per definizione l'unica scienza esatta.
Nel senso che ogni altra scienza sfrutta modelli matematici per tentare di dare descrizioni approssimate della "realtà", mentre la matematica non si pone il problema di descrivere alcunchè di reale.
La matematica, banalmente, costruisce ed elabora delle strutture algebriche (prosaicamente insiemi), in cui vengono introdotti certi assiomi di relazione.
Su questa struttura assiomatica la matematica, con lemmi e teoremi che è possibile dimostrare in modo rigoroso, costruisce un'entità.
Lo spazio euclideo non è che una di queste entità e la sua struttura assiomatica è stata ben definita da Hilbert.
La retta, semplicemente, non è definibile perchè trattasi di un assioma dello spazio euclideo.
Possiamo tentare di definirla in vari modi, ma in qualunque modo lo facciamo dobbiamo tirar dentro altri assiomi.
Possiamo ad esempio dire che, nel piano euclideo è il luogo dei punti equidistanti da due punti distinti (salvo dover definire il concetto di punto e di equidistanza), possiamo dire che, nello spazio tridimensionale è l'intersazione di due piani (salvo dover definire cos'è un piano).
Forse la maniera più semplice per definire una retta nel piano euclideo è passare al linguaggio formale e dire che si tratta della rappresentazione geometrica di una varietà lineare (ovvero di un'equazione ax+by+c=0).
Infine non si può definire in nessun modo la retta se non facendo ricorso al concetto di punto, salvo poi definire il punto come l'intersezione tra due rette e qui ci si mangia la coda... donde il dovere di rivolgersi alla definizione assiomatca.
Circa il discorso delle lunghezze dovrei fare riferimenti un po' troppo complessi. Andiamo nel campo della teoria della misura (secondo Peano Jordan o secondo Lebesgue...), davvero siamo oltre gli intenti di questo post...
Il fatto che un'infinità di enti di misura zero possa dare un ente di misura infinita è concetto all'apparenza impossibile, ma anche qui esistono teoremi e lemmi che portano proprio a questa conclusione.
Spero di esservi stato d'aiuto.

Caro Crono,

non di meno, quale che sia la rappresentazione che la geometria supponiamo dia delle cose che veramente sono, la questione proposta, circa l'essere nulla delle misure del punto, coglie, a mio giudizio, una contraddizione nel principio stesso della scienza della geometria, perché mi pare che di lì proceda tutto:
linee, piani e solidi, diritti, curvi o torti.

Antares, nel commento superiore, annota:
“Infine non si può definire in nessun modo la retta se non facendo ricorso al concetto di punto, salvo poi definire il punto come l'intersezione tra due rette e qui ci si mangia la coda”.

Pare dunque che qualche difficoltà per la definizione del punto sia.

In somma, l'uno, principio dell'aritmetica, non è nullo, perché è uno; ma il punto, principio della geometria, è definito nullo, benché, a rigor di ragione, tale non possa essere, se sia principio d’una scienza e se generi qualche cosa; se pur generi qualche cosa, perché dal nulla non dovrebbe generarsi altro, che il nulla.

Dico a rigor di ragione, perché assumo il principio di non contraddizione:
e veramente, se lo rifiutiamo, potremmo non contraddirci quanto all'essere nullo il punto, cioè qualche cosa principio d’altro, ma poi non potremmo procedere nell'argomentazione.

Certo potremmo osservare che il punto abbia dimensioni nulle, ma sia pur tuttavia un ente:
noi poniamo enti che non hanno dimensioni, ma che pur tuttavia sono, al meno nella nostra mente.

Non dimentichiamo tuttavia che la geometria, come dichiara il nome, è proprio la scienza delle misure della terra:
si può dare una scienza delle misure, la quale ponga come suo principio qualche cosa, che non ha dimensioni e che quindi non può essere misurato ?.

Questo è un fatto singolare:
perché la geometria procede da una definizione che pone nulle proprio quelle dimensioni, per misurare le quali è nata la scienza stessa ?.

Non altrimenti sarebbe, se l’aritmetica togliesse principio non dall’uno, ma dallo zero e definisse ogni altro numero quale somma, finita ovvero infinita, di zeri:
non sarebbe in sé e per sé irrazionale una tale scienza, è vero, pur che non procedesse oltre lo zero.

Osservi:
“Il senso della geometria e della sua matematica sta nel fatto di essere dei modelli utili e portano a calcoli e a paragoni intelleggibili e risolvibili da applicare a situazioni concrete.”.

Per certo, se una via là mi conduce comodamente, dove io mi proponga andare, posso pur non domandarmi:
“veramente calco la via, che vorrei o che mi pare calcare, oppure erro e percorro una via altra che m’appaia, ancorché non sopporti, fino ad ora, effetto alcuno dell’errore ?”,
perché, nel dubbio, io posso cogliere i frutti che l’apparenza mi offre.

Tuttavia, la contraddizione che leggo nella mia mente, quando formulo quel principio, su cui fondo la mia scienza, mi potrebbe indurre a dubitare ch’io abbia scienza vera d’alcunché o, al meno, ch’io abbia posto un principio razionale per quella scienza.

Per altro, Antares dichiara:
“Il fatto che un'infinità di enti di misura zero possa dare un ente di misura infinita è concetto all'apparenza impossibile, ma anche qui esistono teoremi e lemmi che portano proprio a questa conclusione. “.

Pare, dunque, che anche nell’aritmetica siano contraddizioni di pari natura, se pur sia vero che il nulla, aggiunto al nulla, dia qualche cosa d’infinito ?.

Ma anche qui:
se trattiamo d’enti che possano essere misurati, come possiamo affermare che la loro misura sia nulla ?:
forse perché è tanto piccola, che possiamo dirla quasi nulla ?; ma il quasi nulla non è il nulla.

Una scienza che tratta d’enti misurabili, come può occuparsi d’enti che non hanno misura, ancorché si possa concedere essi siano veramente o nelle cose o pur solo nella nostra mente ?.

D’altronde anche l’ente di misura infinita, cui allude Antares, che cos’è ?:
un ente di misura propriamente infinita, tale cioè che non abbia confini, ovvero un ente la cui misura è tanto grande, che possiamo affermare tenda all’infinito ?.

La differenza non è di poco conto:
altro è dire che il numero delle stelle sia infinito, altro che, dinanzi ai limiti di tempo e di luogo della nostra esperienza ed alle facoltà della nostra stessa mente, il loro numero tenda all’infinito.

Il matematico potrà opporre:
ma che interessa ?; se tutti i conti, in fine, tornano, lasciamo le investigazioni sottili ai filosofi, che disputano degli enti per sé stessi.

Tuttavia, osservo due cose.

In primo luogo, se una scienza procede per vie razionali, non può non dare ragione di principii o di deduzioni che appaiano irrazionali, ancorché non siano necessariamente contraddittorii con altri principii o con altre deduzioni della scienza stessa.

In secondo luogo, che finora quei principii o quelle deduzioni siano potuti essere solidi fondamenti dell’edificio di quella scienza, non porta di necessità seco ch’essi siano veramente tali e che, in futuro, non possano accadere moti che evertano la costruzione.

Per esempio:
è noto che l’ordine universale, proposto da Tolemeo, esplicava ottimamente i moti apparenti dei pianeti e delle stelle, fors’anche meglio che li esplicasse l’ordine proposto da Aristarco di Samo, per altro anch’esso erroneo.

Dunque, si poteva allora pur affermare che la scienza di Tolemeo avesse, per quei tempi, con quegli strumenti, fondamenta inconcusse.

Non di meno, altri tempi, altri strumenti demolirono quell’edificio razionale.

In somma, qualche dubbio che l’edificio d’una scienza sia solido può pur sorgerci, non tanto quando quella scienza confligga con le cose che ci appaiono essere veramente, perché possiamo pur osservare che percepiamo noi erroneamente la verità di quelle cose; quanto piuttosto quando essa confligga con la nostra stessa ragione, perché, se le scienze sono conoscenze interpretate ed ordinate dalla ragione, come possono confliggere con quella ragione che le interpreta ed ordina ?.

Anakreon.

Caro Anakreon, parlo da matematico perchè quello sono, ribadisco che la matematica non si preoccupa minimamente di costruire qualcosa di "coerente" con la realtà.
Ci sono amplissime zone della matematica che si occupano di problematiche che sono del tutto scollegate da situazioni reali.
Si parte sempre da un sistema di assiomi (come tali assunti per veri) e via col vento a costruire le strutture algebriche più strampalate, dagli spazi funzionali a dimensione infinita, a tutta l'ampia parte dell'analisi che si occupa della teoria delle funzioni complesse.
Proprio a proposito delle funzioni complesse si può, però, notare come anche le cose che all'apparenza possono sembrare più astruse ed irreali vengano a volte utilizzate in problemi pratici.
L'analisi complessa nasce dalla definizione di unità immaginaria, ovvero dalla radice quadrata di -1, operazione che nell'analisi tradizionale è impossibile.
L'analisi complessa ha portato allo sviluppo della teoria delle funzioni olomorfe, ovvero funzioni derivabili nel campo complesso, funzioni che, lo ripeto, basandosi sull'assioma dell'unità immaginaria non hanno nulla a che spartire con situazioni reali.
Orbene, in ingegneria ci si è accorti che invece proprio le funzioni olomorfe possono essere utilizzate per la risoluzione di problemi pratici di aerodinamica...
Sempre a proposito dell'analisi complessa ci si è accorti che, utilizzando la teoria dei residui con le funzioni meromorfe è possibile risolvere problemi di integrazione reale altrimenti irrisolubili con metodi tradizionali (anche l'integrazione reale è poi utilizzata nell'ingegneria ed in altre scienze applicate).

Quindi ti ribadisco che la matematica non ha lo scopo di risolvere nè di descrivere alcunchè di reale, ma che quanto la matematica sviluppa viene a volte trovato utile anche in scienze che hanno delle applicazioni pratiche.

Il concetto matematico di punto, o di retta ad esempio, non trova alcun corrispettivo nella realtà.
Oggi la teoria quantica ci ha fatto vedere che esiste un'unità di spazio indivisbile, denominata "quanto", sotto la quale parlare di "spazio" non ha senso ed anche un'unità di tempo indivisibile (il tempo impiegato dalla luce per percorrere il quanto di spazio).
Nulla nel mondo reale è zero e nulla è infinito.
Nella matematica invece sono ambedue "numeri" plausibili.

Diciamo che il problema è questo. Un modello matematico esatto della realtà sarebbe impossibile e quindi si presuppone l'esistenza di entità a dimensione zero per poterci facilitare le cose.
Un esempio, nella fisica si definisce la velocità come il rapporto tra spazio e tempo, v=s/t, questa formuletta vale per oggetti puntiformi a massa e dimensione zero. Per oggetti reali le cose non sono proprio così... ma diciamo che, in prima approssimazione il calcolo fatto con la formuletta semplice è abbastanza simile al vero.

La matematica ha in sè moltissime contraddizioni di tipo "logico" che ancora non si è riusciti a risolvere.
Per farti un caso banale non si è ancoira riusciti a decidere (e mai si riuscirà) se lo zero è o no un numero naturale, tant'è vero che alcuni autori lo considerano tale ed altri no (se ti interessa ti spiego perchè...).
Ma tutto questo poco conta. Basta che la struttura costruita sia in accordo con gli assiomi e tutto funziona (dal punto di vista, però solo e solamente teorico...).
Un caro saluto.

Prova a "buttala lì..."

Ma non si potrebbe dedfinire il segmento/retta, invece che bastarlo su punti......basarlo sulla lunghezza?

Il segmento è definito da una lughezza specifica (ogni lunghezza specifica definisce un segmento) , il punto ha lunghezza 0, la rettà ha lunghezza infinità.

Punto.

Guardate che non è così infondato/assurto come puo' apparire, anzi, secondo me sarebbe la cosa giusta.

Ciao.

Ogni curva del piano ha lunghezza infinita, non solo una retta, anche una parabola, un iperbole, una qualsiasi curva che rappresenti una funzione continua con intervallo di esistenza R...
Non solo un segmento ha lunghezza finita, anche un qualsiasi arco nel piano, non solo, anche coniche come la circonferenza e l'ellisse... ecc, ecc, ecc...

Ciao.

Su questa fattispecie, mi pare, Cantor ci perse la testa cercando di dimostrare l'ipotesi del "continuo"......

L'ipotesi del continuo di Cantor non aveva alcuna pretesa di applicarsi al mondo reale...
Cantor si è occupato della cardinalità degli insiemi infiniti dividendoli in due categorie:
Infinità numerabili ed infinità non numerabili.
Infinità numerabili sono ad esempio i naturali, gli interi e (essendo dati dal rapporto tra due interi) i razionali e sono denominate aleph-zero.
Infinità non numerabili sono i reali (di cui fa parte ad esempio pigreco o e, il numero di Nepero).
Ora il fatto che i razionali sono densi all'interno dei reali (ovvero tra due reali qualsiasi è sempre possibile infilare un numero infinito di razionali), aveva fatto supporre a Cantor l'ipotesi del continuo, ovvero che fosse impossibile trovare cardinalità intermedie tra aleph-zero e la cardinalità dei reali.
In verità, poi, la matematica moderna, ed in particolare i lavori di Godel, hanno dimostrato che l'ipotesi del continuo di Cantor è indecidibile.
Ovvero non sarà mai possibile dimostrare nè la sua falsità, nè la sua verità.
Un caro saluto.

Ciao antares, beh, certo, e' vero quello dici, pero' il problema si puo' affrontare facilmente....

La retta ed il segmento hanno "curvatura" costante ed infinita, le altre linee no.

Questo vuol dire, ad es. che una retta puo essere espressa da due successioni ricorsive, che possiamo chiamare "succesione prima" e "successione seconda", dove :

S'n= S'n-1

S"n=2*S'n

S'n sta ad indicare "il termine ennesimo della successione prima" che ha lunghezza uguale al termine precedente, poste in relazione biunivoca le lunghezze dei segmenti con i termini della successione, ovvero, due termini contigui della successione (n e n-1) rappresentano due segmenti qualunque della retta "incernierati" (passami il termine) in un punto, mentre S''n , sta ad indicare la distanza tra i due punti estremi di due segmenti incernierati, che è uguale a 2S'n solo nella retta.

In S', distanza dei punti estremi del segmento e lunghezza del segmento, coincidono sempre, per ogni curva (ma per le altre curve, tranne il cerchio, S'n<>S'n-1), in S'' invece dato che è la somma di due segmenti, coincidono solo se la curva non ha curvatura, e questo vale solo per la retta (ed il cerchio dal raggio infinito...).

Cerco di esprimerlo graficamente......


--

Le due linee sopra sono due segmenti contigui (in un punto) della retta aventi la stessa lunghezza (qualunque essa sia, infinitesima o tendente all'infinito), bene, questa condizione la esprimo dicendo che: S'n= S'n-1

Il termine S'' (la successione seconda) è formata dalla distanza dei punti esterni dei due segmenti:

Se -- è S'1,S'2 (piu' in generale ---- <-> S'1,S'2,S'3,S'4), S''1 è -- , così, solo per la retta ho: S"n=2*S'n (e naturalmente segue S"n=S"n-1, cioè anche la successione seconda ha la stessa forma della successione prima)


Il sistema con le due successioni sopra, quindi .....formano di fatto la definizione della retta.