Caro Antares,

forse son io, che non sono stato chiaro:
d'altronde, non essendo esperto di matematica, è possibile che non abbia inteso bene qualche cosa.

Comunque sia, non ho difficoltà a capire che gli enti dell’aritmetica e della geometria non possano essere reperti tali e quali nelle cose esterne a noi.

Per altro, è questione antica, che mi pare non sia ancora stata risolta, se quegli enti risiedano nella nostra mente solo ovvero anche in qualche luogo celeste, come le idee di Platone, oppure se in qualche modo siano gli elementi stessi dell’universo, come pare Pitagora abbia insegnato, i quali noi percepiamo coll’intelletto, astraendoli dagli accidenti, ed in virtu dei quali possiamo conoscere le cose esterne a noi.

Comunque sia, come m’è chiarissimo che la parabola, per rimanere all’esempio che fai, qual è disegnata dalla geometria o calcolata dall’aritmetica, non sia quella curva, che veramente un corpo, gettato in aria, disegna innalzandosi e ricadendo, così m’è chiarissimo che non reperirò mai un cerchio perfetto, quale la matematica può formulare, né se investigherò la natura delle cose né se m’armerò di compasso.

Né stupisco che, se posti alcuni principii degni, gli assiomi, si costruisca un edificio di deduzioni razionali, alcune conseguenze possano non essere evidenti.

Ciò, per cui stupisco, è piuttosto che siano posti principii e fatte deduzioni, che ad un esame razionale appaiono a me, ma non solo a me, assurdi.

Il punto, che ha dato inizio ai nostri commenti, perché definito dalla geometria senza dimensioni, è difficile pensare possa produrre enti con dimensioni e quindi la sua definizione appare assurda, posta in principio della geometria, non perché nessun punto tale reperirò nelle cose della natura, ma solamente perché ho difficoltà a pensarlo tale.

Opporrai:
che lo si pensi o no, interessa che possa stare in principio della scienza e che, tutto quanto se ne deduca, si regga razionalmente.

Hai pur ragione e starei tranquillo, se non mi sorgesse il dubbio che una scienza delle dimensioni, che toglie principio da un ente tanto assurdo, qual è un punto senza dimensioni, dimostri un difetto di costituzione non tanto forse di sé stessa, quanto piuttosto della nostra ragione, che la pone.

Non altrimenti dubito, benché questo non sia un principio della scienza, ma una deduzione, quando dichiari circa l’infinita somma degli zeri:

“Se sommi zero a zero un numero finito di volte, sempre zero ottieni, ma se sommi zero a zero infinite volte non è detto che ottieni zero. Qui entra il discorso della cardinalità dell’infinito.
Se la cardinalità di ciò che sommi è aleph-zero la misura dell’ente che è risultato di queste aggiunte è sempre zero, viceversa la misura dell’ente che ottieni può essere finita o addirittura infinita.
Questo non è fisicamente razionale, ma lo è dal punto di vista della matematica.”.

Ma quello che mi fa dubitare di quella scienza, che talmente deduca, non è ciò, che la somma infinita di nulla possa non essere nulla nell’ambito delle cose della natura; ma proprio ciò, che quella somma possa non essere nulla in virtù di principii posti e di deduzioni fatte dalla nostra ragione nell’ambito di quella scienza.

E veramente preferirei esperimentare, contro la nostra opinione, che una somma infinita di nulla possa generare qualche cosa nell’ambito delle cose esterne a noi; che doverlo concedere nell’ambito della nostra scienza, perché l’errore circa le cose esterne può essere causato da difetto d’esperienza, ma l’errore, circa i principii o le deduzioni del nostro raziocinare, può evertere le fondamenta stesse della nostra ragione:
forse non era nel torto Cratilo, quando osservava non poter l’uomo definire alcunché senz’errore o senza contraddizione, ma poter lui solamente indicare qualche cosa col suo dito.

Osservi:

“Per farti un esempio, se tu hai un segmento esso è composto di infiniti punti, se lo dividi in due e scegli una delle due parti, questa parte contiene ancora infiniti punti, se continui finchè vuoi (ma non all’infinito) in questo processo di divisione e di scelta ciò che ottieni continua ad essere un insieme di infiniti punti. Se dopo miliardi e miliardi di divisioni ti stanchi e ti fermi ciò che ti rimane è un insieme infinito di punti che (meraviglia delle meraviglie) continua ad avere la medesima “numerosità” dell’intera retta reale.”

Senza dubbio è così, se pongo il punto con dimensioni nulle:
ma è cosa razionale porre a fondamento della scienza delle misure, un ente senza dimensioni ?.

Sarebbe il medesimo che se alcuno, volendo formulare una sua teologia, ponesse un dio che non è e quindi deducesse tutte le virtù e le potenze di quel dio che non è:
ma se non è il dio, che virtù e potenze può mai avere ?.

Osservazione questa che vale quale che sia l’esperienza d’un dio, che noi abbiamo o non abbiamo:
il ragionamento appare assurdo in sé e per sé, prima ancora che consideriamo la nostra esperienza d’un dio, se pur possiamo mai averne.

Concludi dichiarando:

“Non stiamo, naturalmente, in un contesto che ha qualche attinenza con alcuna realtà fisica, ma in un costrutto puramente teorico e basato su assiomi in cui non c’è nulla da “capire” e nulla di filosofico. E’ così perché quelli sono gli assiomi con cui è stato costruito.”.

Ebbene qui dissento totalmente:
una scienza, se pur sia scienza dei nostri sogni più vani, non può arrogarsi il diritto di negare che tutto, quanto ponga a principio di sé o deduca raziocinando, debba essere pienamente compreso dalla ragione umana; non può elevarsi temeraria sopra la ragione stessa, la quale ne è autrice e per virtù e grazia della quale essa procede; non può fuggire lungi dalla mente che l’ha creata, ribelle al suo creatore:
dove andrebbe, estranea alla natura delle cose ed avulsa dalla mente umana ?.

Anakreon.

allora qui il problema fondamentale e sottile non è tanto accettare un costrutto teorico e astratto che funzioni come ci si aspetta (proprio xkè l'abbiamo costruito in tal modo) e sia coerente internamente.

Qui il problema sollevato da Anakreon è l'alternarsi della natura normativa e descrittiva della matematica (e in ultima analisi perfino della logica).

L'unica risposta puo' allora essere: siamo esseri finiti, privi di conoscenza dell'assoluto (e nemmeno sappiamo se esso abbia senso) quindi non possiamo che procedere a piccoli passi, tenendo come "principi guida" delle idee plausibili e - nel ristretto contesto in cui debbono e vogliamo che valgano - condivise da tutti perchè sperimentate da tutti.

x Antares (prima d tt complimenti x la tua professionalità) cmq quando parlavo di ipotesi del continuo riferita alla teoria degli insiemi intendevo solo dire che la continuità della retta (e dei numeri reali cui fa da modello) è soltanto un altro concetto. Ovvio che poi intimamente le cose son legate per via della natura che diamo all'idea stessa di infinito e di infiniti.

Ti dirò, Sùmina, ... a parte il fatto che ho compreso il motivo dell'incomprensione iniziale... parli di cateti, ma i cateti sono i due lati che formano l'angolo di 90 gradi in un triangolo rettangolo, mentre i tuoi triangoli non sono rettangoli...
La costruzione genera correttamente dei punti appartenenti alla curva (quelli che tu hai chiamato a0, a1, a2, a3, ...), ma non genera la curva.
Per generare la curva dovresti passare al limite per lunghezza del lato del triangolo che tende a zero ed a questo punto avresti ancora un'infinità di elementi di dimensione zero... che generano un ente di dimensione infinita. non risolvi i dubbi di Anakreon.
Per la retta potresti considerare i segmenti interi e non solo i vertici, ma qui, forse, il problema più grosso del tuo ragionamento è un altro...
La definizione di segmento nel piano deriva da quella di retta e tu costruisci una retta a partire da segmenti, insomma... utilizzi degli oggetti la cui definizione discende da quella dell'oggetto che vorresti costruire.
Spero di essere stato chiaro.
Un caro saluto.

Cari Anakreon e Crono80, vorrei rinviarvi allo thread che ho aperto su zero ed infinito.
Ancorchè si tratti di un thread puramente "tecnico" appare ben chiaro ed evidente che l'introduzioine dello zero e dell'infinito nelle strutture algebriche di pertinenza (naturali e razionali) rende tali strutture algebriche complete, ma anche incoerenti.
Questo la matmatica lo ammette sin dall'inizio...
Poi il fatto che, utilizzando due elementi incoerenti, si possa costruire una struttura che mirabilmente funziona è peraltro evidente...
Sono un matematico, non un filosofo, anche se la filosofia ai tempi del liceo era una delle mie materie preferite.
Se le cose stanno in questo modo invito voi trarne le conclusioni più appropriate in tale campo.
Scrivi Anakreon:
"una scienza, se pur sia scienza dei nostri sogni più vani, non può arrogarsi il diritto di negare che tutto, quanto ponga a principio di sé o deduca raziocinando, debba essere pienamente compreso dalla ragione umana; non può elevarsi temeraria sopra la ragione stessa, la quale ne è autrice e per virtù e grazia della quale essa procede; non può fuggire lungi dalla mente che l’ha creata, ribelle al suo creatore:
dove andrebbe, estranea alla natura delle cose ed avulsa dalla mente umana ?."
... e difatti nella generazione dello zero e dell'infinito si assume l'incoerenza, ma io non la vedo come una resa...
Un caro saluto.

Caro Antares,

dichiari:

"Ancorchè si tratti di un thread puramente "tecnico" appare ben chiaro ed evidente che l'introduzioine dello zero e dell'infinito nelle strutture algebriche di pertinenza (naturali e razionali) rende tali strutture algebriche complete, ma anche incoerenti.".

E' proprio questo il dubbio che tormenta chi consideri non solo le scienze, ma tutte le conoscenze umane:
che la nostra mente, le nostre vie razionali non possano essere, prima ancora che efficacemente descrittive delle cose della natura, pienamente coerenti con sé stesse.

E veramente, come annota convenientemente Cronos, al meno così a me pare intendere la sua annotazione:

"Qui il problema sollevato da Anakreon è l'alternarsi della natura normativa e descrittiva della matematica (e in ultima analisi perfino della logica).",

anche la logica ha i suoi anfratti ciechi, le sue ambagi senz'uscite:
per esempio il famoso paradosso del mentitore, per cui ci domandiamo se colui, il quale dica che menta, dica il vero oppure menta; perché, qualunque dei due corni del dilemma apprendiamo, ci feriamo tuttavia.

Né vale osservare che il difetto sta nella nostra elocuzione, perché anche l’elocuzione è prodotto della nostra ragione; quindi, se quella è difettosa, è difficile supporre che questa sia senza mende.

Forse la vera soluzione è quella proposta da Cronos:

“L'unica risposta puo' allora essere: siamo esseri finiti, privi di conoscenza dell'assoluto (e nemmeno sappiamo se esso abbia senso) quindi non possiamo che procedere a piccoli passi, tenendo come "principi guida" delle idee plausibili e - nel ristretto contesto in cui debbono e vogliamo che valgano - condivise da tutti perchè sperimentate da tutti. “

Quello, cioè, per cui già ci ammoniva Socrate:
una cosa per certo sappiamo, che nulla sappiamo;
ma con la concessione che, se tutti qui, ora consentiamo circa qualche cosa, possiamo dire che qui, ora ne abbiamo scienza.

Difficile, tuttavia, reperire qualche cosa, circa cui il consenso degli uomini sia qui ed ora universale.

Anakreon.

Sì, adesso ho capito dov'e' il mio errore, sono diversi in realtà...

Ma si puo costruire una geometria utilizzando come "mattoncini elementari", le distanze al posto dei punti?

Io credo di si.

Faccio un ragionamento pseudo-matematico

L'ente iniziale di questo sistema dovrebbe essere un numero, un generico S'n, che ad un punto di vista geometrico equivale alla distanza.

Se S'n = 0 , questi rappresenta un punto singolo.
Se S'n > 0 allora sono due punti che distano S'n.

I punti servono in realtà solo per darci la rappresentazione geometrica del sistema formare che si vuole costruire.

Se si considerano tre punti, cioè un triangolo (eventualmente degenere) , questi rimane definito da tre grandezze, che sono anche le combinazioni delle distanze dei 3 punti:

Se i tre punti sono a0,a1,a2, le loro distanze sono D(a0,a1) D(a1,a2) D(a0,a2), e le distanze definiscono anche i tre punti. (naturalmente non definisconon la loro posizione dello spazio, ma , questo non ci interessa, perchè questa rappresentazione vuole essere invariante per roto-traslazione)

Un qualunque triangolo quindi puo' essere definito da 2 S' e 1 S'', dove S" e' la distanza maggiore delle tre distanze.

Quindi valgono le relazioni:

1 - S'' = Max{D(a0,a1), D(a1,a2), D(a0,a2)}
2 - 0< S''n <= S'n + S'n+1

Esempi

Triangolo rettangolo con cateti 3,4 e ipotenusa 5

S'={3,4}
S''={5}

Triangolo degere
S'={1,1}
S''={2}

Triangolo degenere generico
1 - S'={d1,d2}
2 - S''={d1+d2}


Bene, il triangolo degenere generico è alla base della definizione della retta, perchè per ogni terna di punti appartnenti alla retta, vale tra le distanze la relazione sopra (1,2).

A me sembra che si possano definire così tutte le curve piane(naturalmente estendendo ad es. a due triangoli con un lato in comune per le coniche, e quindi introducendo S''')

E a te?

Riguardo il problema di Anakreon, mah, non so, io non lo vedo...ma non viene bypassato?

Sùmina, sei talmente entusiasta che mi dispiace smontarti...
Ma se introduci la distanza devi introdurre anche la sua definizione...
Sai qual'è la definizione di distanza tra due enti?
La lunghezza del segmento minimo che unisce un punto del primo ente ad un punto del secondo...
Quindi per definire la distanza devi usare il concetto di segmento e per definire il segmento non puoi fare a meno del concetto di retta...
Altrimenti definire una retta sarebbe oltremodo semplice...
La retta è il luogo dei punti equidistanti da due punti dati...
ma equidistanti significa che hai introdotto una distanza, quindi, il concetto di segmento, quindi il concetto di retta...
Se vuoi definire la retta avendo solo a disposizione l'ente "punto" non puoi che ricorrere ad assiomi...
Altrimenti devi esprimere il tutto con delle espressioni del tipo...
ax+by+c=0
Al variare di a, b, c questa semplice espressione rappresenta tutte le rette del piano, perchè andare alla ricerca di altri orpelli?
Un caro saluto...

Caro Anakreon, citi Socrate, ma non era forse Socrate a dire "io so di non sapere"?
Quale frase ha meno logica di questa?

Figurati Antares, non ti preoccupare, scrivo per capire, e gli orpelli sono proprio quelli che vorrei eliminare...

Scusami, ma continuo a non capire.......percio' insisto.

Mi dici che devo definire la distanza, ma questo presuppone che il mio ente di base, non sia la distanza, ma ad es. i punti.
Invece io presuppongo proprio il contrario, ovvero che il mio ente originario è un numero, il cui significato geometrico è la distanza tra due punti.

Scusami se non capisco, ma non so perchè devo definire quello che per me è un assioma/postulato (la differenza per me è sottile, al limite me lo dici te che cos'e'...), se non è chiaro questo, è ovvia la ragione per cui non riusciamo ad "incontrarci"....


Grazie.

Allora Sùmina, parti da una serie numerica (che oltretutto non fa che tracciare singoli punti a0, a1, a2, ...) certo non una retta... e già qui non ci siamo...
Ma anche supponendo che li tracciassi tutti (cosa che non fai) nel momento in cui contestualizzi il tuo ragionamento numerico utilizzi triangoli e distanze, ovvero enti che presuppongono una preventiva definizione di retta.
Non ultimo una retta generica del piano la si può immaginare partire da un punto in una certa direzione, il punto di partenza ce l'hai e la direzione?
Più chiaro ora?