Messaggio originale inviato da Weyl [/i]
[b]Mi dispiace che tu voglia concludere a questo punto la discussione.
Al contrario, sarebbe interessante, almeno per me, che tu dessi risposta alle due domande che ti ho posto.
Senza presumere, per favore, di avere di fronte degli incompetenti e degli ignoranti:

Melany: prima ci tengo a chiarire alcune cose importanti dal punto di vista umano, che conta di più della matematica e della filosofia. Tanto per cominciare mai nemmeno frullata lontanamente nella testa che avevo davanti incompetenti o ignoranti, mi dispiace se ho dato questa impressione. Inoltre non penso di essere presuntuosa e odio la presunzione negli altri, se pesco qualcuno che secondo me lo è mi ci acchiappo pure. Se io ho detto alcune cose, ribadisco, è perchè le ho studiate e non penso di avere studiato sciocchezze, non è che io voglio imporre una mia idea soggettiva, quello che voglio fare capire. Mi dispiace che pensi che sono presuntuosa. Io invece sono una che crede che ciò che sappiamo e che abbiamo studiato o meno non è un'opinione, è un dato di fatto. Se certe cose una le ha studiate le sa, se non le ha studiate non le sa. Se uno perciò viene da me e mi dice che io non so qualcosa ed effettivamente quel qualcosa io non lo so perchè non l'ho mai studiato io non mi offendo e non ne faccio una tragedia. Ben diverso è quando due persone hanno studiato tutti e due le stesse cose però una delle due dice all'altro che non ha capito niente o dice: " io sono migliore di te ". Questo sì che è essere offensivi o se io ti do dell'incapace, che vorrebbe dire che io penso che tu anche se studi non capiresti. Per me essere offensivi e presuntuosi è questo.

Beh, quel professorone dovremmo avvisarlo che la geometria analitica è nata proprio per "legare" equazioni e figure geometriche, allo scopo di studiare meglio tanto le equazioni quanto le forme. Ma arrivare a sostituire la geometria con l'algebra non mi sembra una genialata.
Anche perchè la mente umana è più grande di quanto possa immaginare il "genio" in questione.
Alla domanda "diseganami due rette perpendicolari" noi tutti rispondiamo disegnando due segmenti nel punto in cui si intersecano formando 4 angoli retti: il resto è implicito perchè le rette continueranno a scorrere all'infinito senza altre variazioni; sul foglio non ci sono ma la nostra mente le vede, eccome se le vede.
Anche perchè è facile fare i buffoni con le equazioni. Chiediamo al nostro uomo di darci la funzione che rappresenta una semiretta che parte da zero e nel corso del suo seguire infinito fa numerose capriole e si avvolge spesso su se stessa! Così come è impossibile visualizzare in forma geometrica certe funzione allo stesso modo è impossibile dare forma di funzione ad astruse forme.
E poi, come sarebbe nata la definizione analitica di "cerchio" e "circonferenza" se nessuno le avesse mai disegnate prima?
Un pernacchio al soggetto, grazie...
PS: cmq anche noi, senza ridere, avevamo capito che era impossibile risolvere il problema con riga e compasso...

Finita la parte filosofica sui rapporti umani ( per me più importante di questa ) passsiamo alla parte matematica.

Tutti i discorsi che ho fatto io sono un po' in contraddizione con l'approccio un po' filosofico che vuoi dare tu alla questione, i discorsi che facevo io e che sono stati insegnati a me si basano invece sul rigore matematico. Stando a ciò che andava insegnando il prof che ho citato, per fare dei discorsi precisi in cui arrivi a un risultato perfettamente generalizzabile in cui non sono ammessi errori devi fare una dimostrazione matematica e devi arrivare alla tesi del discorso solo con passaggi matematici. La rappresentazione grafica viene a cose fatte ma, secondo lui, non deve essere utilizzata per capire. Il motivo? Perchè ogni rappresentazione grafica si basa su ciò che vede il tuo occhio, che non ti darà mai la precisione perchè l'occhio commette errori.

Per convincerti di questo, lasciamo stare per il momento la quadratura del cerchio. Ti faccio il discorso che proprio faceva lui a lezione.

Esempio: definizione di retta tangente a una circonferenza.
Fino alla scuola elementare, media e anche ali liceo, a te - credo - come a me, come te l'hanno spiegata?

Retta tg a una circonferenza: quando la retta ha un solo punto in comune con la circonferenza.

Discorso chiaramente basato sulla rappresentazine grafica. Lui ti diceva: ma come fai a sapere che una retta ha un punto in comune con la circonferenza? Come lo vedi? Potrebbe essere che la retta ha in comune con la circonferenza due punti talmente vicini che tu con il tuo occhio non riesci a percepire.

Non è un discorso rigorosamente matematico, perciò una def del genere per lui non era attendibile. Nessuno mi può venire a dire che questo non è vero.

Lui invece diceva , lascia stare i disegnini e usa la matematica così che non ti puoi sbagliare:

fai un bel sistemino tra l'equazione delle circonferenza e l'equazione delle retta in questione e risolvi il sistema. Vedi quante soluzioni ha il sistema, dopo di che:

se il sistema ha una sola soluzione (x,y) allora vuol dire che la retta è tg alla circonferenza

e sei sicuro e non ti puoi sbagliare

Se non trovi soluzione, la retta allora è esterna alla circonferenza

Se trovi due soluzioni allora la retta è secante.

Vedi? Così trovi dei risultati inequivocabili, certi. Se facciamo il contrario, diamo le definizioni o facciamo le dimostrazioni partendo dai grafici, non hai la certezza.

Ovviamente questo è un discorso rigorosamente matematico.

Se tu invece vuoi fare un discorso basato su un approccio filisofico è tutta un'altra cosa.

Spero di essermi spiegata, sia in questa parte che nell'altra parte...umana.

C'eravamo già senza insulti...

Dove li hai visti gli insulti, scusa, hai forse le allucinazioni?
Andiamo in psicologia allora.

Poi, va bene l'impazienza di parlare, ma prima di rispondere fammi almeno completare il messaggio, hai risposto prima ancora che finissi le modifiche.

Quindi tu fai pernacchie a matematici riconosciuti a livello nazionale, che scrivono libri di matematica ritenuti fra i migliori in circolazione, che vengono invitati a consegnare premi a studenti che vincono gare di matematica, ecc...

perchè è questo il caso, ti assicuro, anche se non mi va di fare nomi in un forum.

Guarda che hai qualche problemino psicologico nel confronto con chi è più in alto di te e hai qualche problemino a riconoscere il valore delle persone.

Fai una capatina in psicologia, te lo consiglio.

Ciao.

Vi prego di riportare la discussione sull'interessante problema sollevato da Weyl.

epicurus

P.S. com'è noto, ci sono i messaggi privati per le chiacchere.

Però, melany, cosa ne pensi della seguente costruzione, puramente geometrica, della tangente ad una circonferenza di raggio=n ?
Allora:
tracciamo il segmento n su di un piano, quindi eleviamo la normale ad uno dei suoi estremi.
Ora, la retta che prolunga tale normale è una delle tangenti alla circonferenza di raggio n.
Ogni altra tangente alla circonferenza, nel piano, sarà fornita da una rotazione del sistema così ottenuto.

Tu non pensi che anche questa costruzione sia rigorosa?
Naturalmente, essa è ottenuta per via intuitiva, ma risulta ovvio che, una volta assegnate delle coordinate al piano e ottenute, con facilità, le due equazioni descriventi, rispettivamente, la retta e il cerchio in oggetto, lo sviluppo del sistema delle due equazioni mostrerà che non vi è che una soluzione (nelle coordinate del punto di tangenza).

Vedi, io penso che l'una e l'altra modalità posseggano pari valore euristico.
E, nel caso in oggetto, il loro accordo è addirittura perfetto.
In altri casi, invece, non è così: ed è questo, a parer mio, l'argomento "filosofico" della questione.
Perchè? Come è possibile che due modalità conoscitive degli enti geometrici, i quali, pure, rappresentano estrapolazioni astratte di enti reali, possano risultare a volte reciprocamente intraducibili?

Naturalmente, il discorso vale anche al contrario.
E', infatti, praticamente impossibile dare una dimostrazione geometricamente intuitiva anche solo di una banale tangente ad un'ipersfera: mentre è semplicissimo individuare l'equazione della retta in oggetto in uno spazio euclideo a quattro dimensioni, proprio mediante gli strumenti della geometria analitica.
Ecco, la mia posizione è tutt'altro che avversa alla matematica, anzi!
Però mi chiedo se davvero non esistano nel nostro cervello "strutture" neurali che noi impieghiamo inconsciamente, allo scopo di interpretare gli oggetti del mondo, e che solo in parte sono contemperabili, mentre in sostanza non lo sono affatto.

Per la costruzione della tg ok, ci sono.
Per il resto, vediamo se ho capito quello che vuoi dire.
Tu vuoi dire che a volte hai da un lato una definizione matematica di qualcosa - nel nostro caso la tg alla circonferenza - poi tu ti poni il problema di trovare una costruzione geometrica basata sulla tua intuizione che corrisponda alla def matematica. Riesci a trovare questa via intuitiva geometrica, poi verifichi con la matematica e trovi la conferma matematica che la via intuitiva che hai trovato è quella giusta.

Altre volte invece la nostra mente non riesce a trovare questa strada basata sull'intuizione.... allora tu ti chiedi perchè a volte non ci riusciamo? E qui entra in gioco il lato filosofico della faccenda.
Ho capito bene?


Ora passiamo al caso particolare della ipersfera: se vuoi procedere per la via che hai indicato, basta considerare tutti i piani che sezionano la ipersfera e che passano per il centro della ipersfera. Se ripeti il ragionamento che hai fatto su ogni singolo piano, riferendoti alla sezione della ipersfera, che è una circonferenza, trovi le varie tang alla ipersfera. Devi considerare che su infinite dimensioni questi piani sono infiniti. Per trovare poi un'equazione quando aumenti il numero di dimensioni, bisognerebbe assumere un piano come piano di riferimento e considerare le equazioni dei vari piani rispetto al piano di rif. Ogni piano risulterebbe ruotato rispetto al piano di rif..
ecc.....

Ovvio che se estendi il ragionamento, poi non sono più cose che puoi fare carta e penna, ti serve il calcolatore e poi ha un limite anche il calcolatore. Ti fermi quando arrivi a una certa approssimazione che cinsideri buona.


Ciao.

Direi di sì, direi che ci stiamo capendo.
Salvo il fatto che, secondo me, l'"evidenza intuitiva" non ha un valore conoscitivo, quando sia fondata sull'applicazione razionale di alcuni assiomi geometrici, inferiore a quella ottenibile con lo sviluppo degli studi di funzione.

Prendiamo il caso dell'ipersfera.
Anche questa particolare figura geometrica offre alcuni spunti di geometria intuitiva che non sono imediatamente accessibili all'analisi, ed a cui, peraltro, quest'ultima dovrebbe uniformarsi.
Infatti, a mio parere, la sua equazione si dovrebbe ottenere attraverso un'estensione del teorema di pitagora ad uno spazio ordinato di quattro dimensioni.
L'equazione dovrebbe essere la seguente:
x^2 + y^2+ z^2+ s^2 = r^2 (dove r= raggio).
Le equazioni delle rette sono , ovviamente, le solite.
Ora, a mio pare, in ogni punto sulla superficie dell'ipersfera dovrebbero passare Aleph1 rette tangenti.
Infatti, un intero spazio euclideo tridimensionale è intuitivamente tangente a ciascun punto A(x,y,z,s) della superficie dell'ipersfera.
All'interno di tale spazio, ciascun piano ne fornisce in numero infinito, ma tale spazio contiene un numero infinito di piani.
Conseguentemente, applicando il teorema del continuo di Cantor, risulta che l'infinito relativo al numero di tangenti per quel punto, risulta di un ordine superiore all'infinito unitario.

Ma le possibilità dell'intuizione terminano qui!
Infatti, poniamo il seguente problema:
"possono essere tangenti al punto A dell'ipersfera due rette prive di punti in comune?"

Personalmente, ho l'impressione di sì, ma per risolvere la questione non esiste altra possibilità se non quella di impostare un sistema di equazioni coerente con il problema posto!