Come è noto, l'area del cerchio è data dal prodotto del quadrato del raggio per il pi greco (numero irrazionale, non radicale).
Consegue da ciò il seguente fatto: il quadrato che avesse l'area di un cerchio qualsiasi, dovrebbe avere il lato uguale al raggio di quel cerchio per la radice quadrata di pi greco.
Ora, tale valore è impossibile da ricavarsi per la semplice ragione che non è possibile estrarre la radice quadrata di un numero che non può essere ricondotto a frazione oppure al valore della radice di un qualsiasi altro rapporto tra numeri interi).

Chiunque abbia seguito fin qui, continui: gli altri, prego si astengano, perchè il resto sarà, per un bel tratto, noioso.

Ora vediamo cosa accade se proviamo a risolvere la questione in termini esclusivamente geometrici.
1) immaginiamo il cerchio come una forma costituita di un numero infinito di cerchi concentrici, sempre più piccoli, ciascuno racchiuso nel precedente. Qualcosa di simile ad una "matrioska" di circonferenze, di cui le più piccole convergono a quel punto che costituisce il centro del cerchio originario.
2) Ora, immaginiamo di "srotolare" lungo un piano ciascuna "circonferenza, procedendo dalla più grande ("esterna" fino alla più piccola ( il punto centrale, il quale resta fisso al suo posto).
3) Fatto? Bene. Allora: ciascuna "circonferenza srotolata" si disporrà al di sopra della precedente, ma ognuna sarà di un frammento, piccolo quanto si vuole, più "corta" della precedente.
Tutto questo procedimento andrà ripetuto fino a quando non si giunga alla più "piccola" di tutte, la quale è costituita dal punto centrale del cerchio, che, essendo un punto, non si "srotola".
4) Si sarà così formato un triangolo rettangolo, avente per cateto minore il raggio del cerchio e, per maggiore, la sua circonferenza.
(Ne risulterà l'ovvia conseguenza che l'area di quel triangolo, equivalente al cerchio, sarà il prodotto del raggio per la circonferenza, diviso due, ossia il quadrato del raggio per pi greco).
5) Bisechiamo, ora, con un compasso, il cateto maggiore di quel triangolo, quindi solleviamo la normale a quel punto, fino ad incontrare la parallela al cateto che passa per il centro del cerchio.
6) Il rettangolo così ottenuto equivarrà all'area del triangolo ottenuto dal cerchio, infatti il triangolo rettangolo escluso da quest'ultimo è uguale a quello aggiunto nel rettangolo in oggetto (ometto, perchè ovvia, la dimostrazione).
7) A questo punto, disponiamo un altro rettangolo uguale a quello così ottenuto, "al di sopra" del precedente, in modo che il lato più corto, che equivale al raggio del cerchio, abbia origine dal centro del cerchio stesso e collimi con il lato maggiore dell'altro, lato maggiore che è uguale a metà della circonferenza.
8) Il lato maggiore del poligono così ottenuto sarà uguale alla somma del raggio e di metà della circonferenza del cerchio di origine.
9) Bisechiamo questo lato con un compasso, quindi, dal punto centrale di questo segmento, tracciamo un semicerchio in modo che esso incontri il lato maggiore del rettangolo di cui al 6).
10) Si vuole dimostrare che: il segmento che si ritraccia dal centro del cerchio di partenza, fino al punto in cui il semicerchio di cui al 9) incontra il lato maggiore del rettangolo in cui è stato trasformato il cerchio E' ESATTAMENTE IL LATO DEL QUADRATO la cui area equivale al cerchio stesso.

Dimostrazione: è lunga, ma banale. Chiunque voglia cimentarvisi, lo faccia, e vedrà che è così. Altrimenti, sarò lieto di fornirla ai curiosi.

La questione filosoficamente serissima che ne discende è la seguente:
quel segmento sta lì, ben tracciato, sul piano.
Come è possibile che non possegga alcuna misura possibile?
Esso è uguale al raggio per la radice di pi greco: si tratta di un calcolo che nessun computer potrebbe mai eseguire in un tempo non infinito.
Eppure, alcuni ragionamenti, ed alcuni disposizioni geometriche, ci permettono di tracciarlo sulla carta, di costruirvi intorno la figura piana di un quadrato, la cui area possiamo nominare (una semicirconferenza per un raggio) oppure di lasciarlo così: nudo e senza misura e definizione possibile...

E' questo uno scandalo, un mistero o un ulteriore enigma?

...si inciampa gia'..."un'altro rettangolo uguale a cosi' ottenuto...il lato maggiore del "poligono" cosi' ottenuto...non lo vedo...

...mi fermo qui...deve trattarsi per forza di una approssimazione...la stessa circonferenza come grandezza e' approssimata essendo il pi greco un numero con le decimali all'infinito (se questo e' esatto)...la vediamo tracciata sulla carta,ma la misura esatta non si calcola... l'infinito rimane inafferrabile...uno scandalo?...no,i nostri limiti...

ciao,limit klara :-))

una pagina curiosa e divertente

http://www.itccarli.it/Matematica/carlpigr.php

La prima parte del procedimento non mi è chiara:
l'area di una di una figura è definita su 2 dimensioni ma
l'unione di anche infiniti segmenti (unidimensionali) non può avere alcuna superfice; in altre parole (altisonanti) non può esservi altra continuità che quella unidimensionale interna ai segmenti (ed eventualmente interna alla loro unione).
Un modo di calcolare l'area di un disco fa uso del calcolo integrale con limite dello spessore di ogni segmento che tende a zero.




In quanto alla questione filosoficamente seria credo riguardi più che altro il fatto che la matematica può pensarsi come una bugia coerente. La geometria in particolare fa uso di concetti primitivi quali punti, piani, rette ipotizzando (secondo mia interpretazione) una molteplicità di continuità indipendenti (dimensioni) perfettamente ideali, che nulla hanno a che fare con la diretta esperienza (che secondo mio modesto parere si basa sul rapporto di tutte le qualità esistenti).

(Il concetto di continuità è trascendente e quello di definizione può forse definirsi?
..c'è da ritorcersi le cervella)

Beh, potevi evitare di spingerti così in là. Il tuo ragionamento è apparentemente logico e potevi fermarti alla costruzione del triangolo rettangolo. Già lì avevi un risultato. Infatti l'area di un triangolo è cateto al quadrato/2, di per sè un numero finito, mentre l'area del cerchio è sempre un'approssimazione.
Ma un errore logico devi averlo fatto...

Ricordiamoci sempre che la matematica parte da un insieme di assiomi e tautologie che non abbisognano di alcuna dimostrazione. E' cioè, almeno in una prima fase, frutto di una costruzione ideale. Essa è la summa della logica umana più che della natura (come pretendeva Galilei). E' il sistema di simboli con cui noi rappresentiamo il mondo che ci circonda. Non è la Verità, ma un puro strumento, dotato di logica ferrea, che si è rivelato potentissimo, permettendo all'uomo di dominare la natura...

Preciso:
si tratta di prendere il rettangolo che abbiamo ottenuto (esso ha per base la semicirconferenza e per altezza il raggio del cerchio).
Adesso immagina di "duplicarlo", perv esempio di ritagliarne un altro che collimi coi suoi bordi da un altro foglio di carta.
Ora, prendi il nuovo rettangolo ed "appoggialo" sopra il precedente, ma dopo averlo"ruotato" esattamente di 90°, ed in modo che il suo spigolo coincida con il centro del cerchio di partenza.
Può sembrare un po' complicato, ma se fai un disegno lo vedrai con chiarezza: nessuna approssimazione.
Ora, avrai ottenuto un poligono di sei lati: il più lungo di questi è quello che passa per il centro del cerchio: la sua misura, per definizione, è il raggio più la semicirconferenza.
Risolto l'inciampo?
Se sì, procedi con il resto...


La misura della circonferenza non è un'approssimazione.
Prendi un cerchio e segna un qualsiasi punto sul suo bordo (la circonferenza).
Ora, appoggialo su di un piano, in modo che il punto che hai segnato coincida con quello su cui il cerchio appoggia sul piano.
Adesso fai "rotolare" il cerchio fino a quando il punto che hai segnato incontri di nuovo il piano: quel segmento che avrai ottenuto è "esattamente" (non approssimativamente) la circonferenza.
O.k.?
Ma qui il problema è molto più semplice, Klara, perchè l'incommensurabilità riguarda solo la relazione tra i due segmenti: ossia il raggio e la circonferenza.
Cioè: il problema è che, non i segmenti sono approssimati, bensì qualsivoglia unità di misura che si voglia utilizzare per esprimere numericamente "sia" il valore del raggio "sia" quello della circonferenza.
Nessuno scandalo: è solo un problema di unità di misura.

Nel caso che propongo io, invece, la questione è l'"impossibilità" di estrarre matematicamente il parametro cui riferire il segmento (lato del quadrato) che, al contrario, può essere tracciato sul piano attraverso alcuni procedimenti geometrici.

L'altro punto, per zn etc: è chiaramente un passaggio al limite, se intendo rappresentarlo anche matematicamente.
Sotto il profilo topologico, però, puoi benissimo immaginare di "stirare" il cerchio (pensalo come se tu disponessi un filo sottilissimo intorno al cerchio: ora, immagina di puntare due "spilli, uno sul centro del cerchio e l'altro sul punto in cui il cerchio tocca il piano. Fatto? Bene. Adesso, tira! Il punto che avrai raggiunto, sul piano, oltre il quale spezzeresti il filo, bene, quello è il vertice del triangolo rettangolo la cui area è il cerchio).
Ciao

Caro Weyl, sono completamente ignorante in materia, ma il tuo percorso mi ha affascinato. Non è che il problema risiede nelle bisezioni che fai con il compasso? Leggi questo articolo e dimmi se "c'azzecca" qualcosa...
http://www.unitn.it/unitn/numero17/euclide.html

okey, così fila


Ma non era sull'incommensurabilità la questione solleticante?

interessantissima e divertente costruzione;

fa davvero impressione "vedere" qualcosa che non dovrebbe esistere!!

chissà se i matematici del futuro capiranno cosa si cela dietro i numeri trascendenti; sarebbe davvero come sbirciare dietro le quinte di questo mondo così pazzo!

chissà, forse aveva ragione russell quando parlava della bellezza della matematica;

saluti

ho inserito la mia data di nascita....ed io sarei un genio della matematica, forse incompreso?!?

non so nemmeno le tabelline...
bella questa discussione...anche se ho capito ben poco, ma mi affascinano un casino i discorsi matematici che sfociano inevitabilmente nella filosofia...
Continuerò a leggervi...

Joo