Domanda.
Una spedizione alpinistica himalaiana attesta il suo campo base a 5.000 m di quota.
Tre alpinisti attaccano la vetta e si portano a 8000 m. e, grazie a tecnologie innovative, rimangono in vetta per un anno.
Orologi di precisione possono comunicare istantaneamente tra il campo base e la vetta.
Per la RG gli orologi dei tre alpinisti dovrebbero scorrere più velocemente di quelli che si trovano nel campo base....In un anno si dovrebbe, quindi, accumulare un "anticipo" tale che i tre alpinisti avrebbero perso qualche minuto (o secondo) di vita, rispetto al caso in cui fossero rimasti al campo base.

Estremizziamo il problema e pensiamo di trovarci in orbita ravvicinata a una stella a neutroni (spaventoso campo gravitazionale secondo solo a quello di un buco nero) Qui due orbite diverse sarebbero soggette a gradienti gravitazionali molto più intensi, quindi stare un anno (misurato in entrambi i sistemi di riferimento) sull'orbita più esterna dovrebbe significare invecchiare molto più rapidamente rispetto a chi sta sull'orbita più interna. Nel momento in cui si ritorna all'orbita interna si avrebbero dei vecchi signori che avrebbero vissuto molte più esperienze di quelli nell'orbita sottostante.......E sarebbero anche tecnologicamente più evoluti......

Aggiungo la considerazione che, per non collassare sulla stella, l'orbita più interna dovrebbe essere percorsa con una velocità tangenziale maggiore di quella dell'orbita esterna, ma trovandoci in condizioni non inerziali questo non dovrebbe comportare la necessità di ulteriori correzioni in termini di RS sulla misurazione dei tempi relativi tra i due sistemi di riferimento.....
Sicchè potrebbe verificarsi che un figlio, dopo un tempo di stazionamento sull'orbita esterna, tornando su quella interna potrebbe essere più vecchio di suo padre.....

Io per la verità intendevo una cosa un pochino diversa, non in contrasto con la 'tua' spiegazione, ma che anzi la può integrare fornendo un'intepretazione dal punto di vista di un solo osservatore (a quanto pare questo è il mio cruccio...).
Mi spiego. Immaginiamo due osservatori su due treni A e B della medesima lunghezza (poniamo 1 tale lunghezza quando i treni sono in quiete rispetto alla banchina), viaggianti in senso opposto, a velocità costante, su due linee parallele. Definiamo un evento che entrambi gli osservatori vogliono misurare: l'evento è il completo attraversamento del treno A da parte del treno B. Per completo attraversamento intendo il percorso compiuto dalla testa del treno B per tutta la lunghezza del treno A. Ora, la misura che i due osservatori A e B vogliono effettuare è, cronometro alla mano, il tempo impiegato per il completamento di tale evento.
Non ci sono dubbi che se l'evento viene osservato dall'esterno, cioè da un osservatore fermo sulla banchina, vale l'interpretazione fornita da Eretiko: uguale contrazione della lunghezza dei due treni, uguale dilatazione dei tempi sui due treni: risultato: uguale responso cronometrico.
Ma mettiamoci dal punto di vista di A. Il percorso compiuto dalla testa di B per completare l'attraversamento di A misura ovviamente 1. Ora, calcoliamo il rapporto fra tale percorso e la lunghezza apparente di B, come vista da A: se la velocità è molto bassa (tendente a 0), il rapporto vale (tende a) 1, ossia il percorso della testa di B è (approx) uguale alla lunghezza apparente di B (ripeto: il tutto come visto da A); ma se la velocità diventa relativistica, il suddetto rapporto diventa maggiore di 1: infatti, il percorso è sempre 1, ma la lunghezza apparente del treno B, visto da A, è ora minore di 1. In altri termini, all'aumentare della velocità, A attribuisce a B un percorso 'relativo' sempre maggiore, tendente all'infinito: da 1 si va a 2, 3, 4... volte la lunghezza apparente del treno B. Tuttavia tale dilatazione dello spazio percorso da B, dal punto di vista di A, è esattamente compensata dalla dilatazione temporale che B subisce, sempre visto da A: pertanto il rapporto fra spazio percorso e tempo trascorso (nello spazio-tempo di B, osservato da A) resta costante, con il risultato che i cronometri di A e B segneranno lo stesso risultato.
Questa interpretazione rende ragione del fatto che gli orologi di A e B restano effettivamente sincroni (cioè segnano la stessa lettura, come imposto dalla assoluta simmetria della situazione), pur marciando a ritmo differente.
E non cè motivo per non applicare tale interpretazione al mio esperimento dei treni su linee circolari, perché come detto tale situazione, se il diametro del cerchio tende all'infinito, viene a coincidere con il caso sopra descritto.

Per concludere, è senz'altro vero come dice Eretiko che Einstein non si pose il problema del sincronismo di orologi in moto relativo, ma il mio ragionamento sembrerebbe dimostrare che tale risultato (sincronismo) è comunque implicito nella RR (e in tutte le situazioni perfettamente simmetriche).

Secondo me non è proprio così; se hai letto con attenzione la memoria di Einstein del 1905 (Elettrodinamica dei corpi in movimento), lui non si propone di dare conto del fatto che contrazioni di lunghezze e dilatazioni temporali siano effettive. Anzi, dal suo punto di vista, sembrano solo effetti relativistici (e quindi apparenti), contrariamente a Lorentz che attribuiva invece contrazione reale nel senso del moto ai corpi rigidi (e che giustificò anche con una bellissima teoria sull'elettrone). Però sempre in quella memoria Einstein ad un certo punto afferma che se abbiamo 2 orologi A e B sincroni, inizialmente vicini, ed allontaniamo B da A lungo linee spezzate (a velocità costante), è valida ancora la dilatazione del tempo (trascurando le accelerazioni). E se le linee spezzate formano una poligonale chiusa che riporta B vicino ad A, allora si potrebbe effettivamente notare che B si trova "indietro" rispetto ad A. In particolare fa notare che se la linea chiusa è una traiettoria circolare (moto circolare uniforme) si produce un reale sfasamento tra i 2 orologi (e da qui nacque il famoso paradosso dei gemelli). Il punto importante del discorso sta nel fatto (implicito) che se A e B sono inizialmente in quiete abbiamo un modo non ambiguo di sincronizzarli e se dopo T tempo in cui B si è mosso rispetto ad A, B ritorna in quiete rispetto ad A allora è lecito ancora verificare lo stato di sincronismo in modo non ambiguo (utilizzando la propagazione della luce).
Insomma viene predetto quel rallentamento dei fenomeni periodici che sarà poi formalizzato nella RG.

Ora, il tuo ragionamento qualitativo sul perchè i 2 treni A e B hanno gli orologi sincroni, è accettabile se pur approssimato nei limiti di validità della RR. Però se fai tendere all'infinito il raggio della circonferenza succede un fatto importante: l'uno e l'altro non si incontreranno più, e allontanandosi indefinitivamente non si potrà più verificare il sincronismo degli orologi (ed anzi nello spirito della RR è un'operazione che non ha senso). In tal senso siamo indotti, dalla simmetria del problema, a ritenere che viaggiando ad esempio A con velocità -V (rispetto all'ipotetico osservatore inerziale al centro della "circonferenza") e B con velocità +V, i 2 orologi restino comunque sincroni anche quando la circonferenza diventa di raggio infinito: in tal caso infatti sia A che B presenterebbero rispetto a tale osservatore uno shift identico pari a T. Però A e B, hanno velocità relativa pari a -2V oppure a +2V, il che porterebbe a calcolare (tra loro) shift temporali T' ancora identici (per la relatività) ma diversi da T, e nulla si può dire sul sincronismo (quale sarebbe lo shift temporale "vero" ? T o T' ?).

Con 1 si intende la lunghezza dei treni a riposo.(Percorso)

1) A vede B con una velocita' relativa che e' la la somma (somma relativistica)
delle velocita' di A e B.
Cio' che tu chiami percorso non vale piu' 1 perche' A ha una velocita' relativa anche sui binari che erano solidali con i treni a riposo sui quali hai fatto la determinazione 1.Cioe' il percorso si e' accorciato in funzione della velocita' di A.Daltronde B anche lui si e' accorciato rispetto A di una quantita' superiore al percorso in quanto visto da A si muove con velocita' superiore dei
"binari". Quindi il rapporto fra il percorso che diventa inferiore a 1 e la nuova misura che A fa su B e' sempre di gran lunga inferiore ad 1 a velocita' relativistica.
Quindi in sintesi la situazione dovrebbe essere questa:
A "vede" l'orologio di B rallentare per effetto relativistico legato alla velocita' di B su A.
B "vede" l'orologio di A rallentare per lo stesso effetto. E dovendo giudicare le valutazioni disgiunte e non assieme si conclude che all'atto della determinazione vedendo il rallentamento dell'altro orologio non potranno segnare la stessa ora.
Il punto cruciale e' che non bisogna vedere le valutazioni insieme ma separate c'e' la valutazione di A su B e c'e' la valutazione di B su A.Ma non c'e' una valutazione A e B insieme se non dalla banchina.
Dividere lo spazio contratto per la dilatazione temporale ci porta solo a determinare la velocita' relativistica che determinano A e B guardandosi.

Ci sono due errori.

1) Il primo è il seguente: non ci può essere alcun dubbio che la lunghezza del treno, misurata dall'osservatore che vi sta sopra, sia sempre uguale a 1, qualunque sia la velocità del treno. Se A misura il proprio treno legge 1, se B misura il proprio treno legge pure 1, sia che i treni stiano fermi sia che si muovano. Perché? Se A osserva B mentre B misura il proprio treno, vedrà il treno di B più corto, ma anche il regolo di B è più corto, nella medesima proporzione: il risultato non cambia, sarà sempre 1, qualunque sia la velocità relativa di B rispetto ad A. E viceversa, se B osserva A fare la stessa cosa. Se così non fosse, si giungerebbe alla conclusione paradossale che le misure che io effettuo su oggetti che sono in quiete nel mio sistema, sarebbero influenzate dalla velocità relativa fra me ed eventuali infiniti osservatori di cui ignoro perfino l'esistenza. Quale sarebbe allora il valore 'giusto' che dovrebbe uscire dalle mie operazioni di misura?

2) Il secondo errore è meramente matematico. Tu dici che A si accorcia (ma rispetto a chi?) e che B si accorcia ancora di più; da ciò concludi che il rapporto fra A-accorciato e B-più-accorciato è "di gran lunga minore di 1"... Ma è esattamente il contrario: se calcoli il rapporto, ad esempio, fra 0,8 (meno di 1) e 0,5 (ancora meno di 1), il risultato è 1,6, maggiore di 1. Resta vero quello che sostenevo: se misuriamo il percorso effettuato dal treno viaggiante con un regolo pari alla lunghezza del treno viaggiante stesso, otteniamo un valore maggiore di 1: la dilatazione del percorso di cui parlavo. Ma la durata di un percorso più lungo, misurata con un orologio che marcia proporzionalmente più lento, dà luogo sempre alla stessa lettura, equivalente a quella effettuata dall'osservatore in quiete.

Ciao Loris
Ritengo che ci siano si due errori ma di interpretazione.
Devo prendere atto comunque della volonta' di capire questa parte della fisica che e' veramente affascinante.
Detto questo:

1) Abbiamo detto che la lunghezza "propria" del treno sia uguale ad 1Certamente in tutti i sistemi inerziali e all'interno di essi sara' sempre 1 in quanto indistinguibili e cio' e' contemplato oltre che dal principio di relativita' anche dal buon senso.

2) I guai ,a quanto ho letto, nascono qui.
Se io osservo un sistema inerziale e in questo caso il treno che mi passa davanti io vedro' contratto, a velocita' relativistica come dice Lorentz,il mio treno ,ma non solo il treno vedro' contratto tutto cio' che sta all'interno del treno stesso e quindi anche il regolo a cui tu fai riferimento.
Se poi voglio utilizzare il regolo contratto per calcolare la lunghezza del treno B faro' lo stesso numero di determinazioni che all'interno del treno B potrebbe fare l'osservatore con il suo regolo non contratto.Ripeto lo stesso numero di determinazioni.Ma questo non vuol dire nulla,avro' sempre un treno piu' corto e un regolo piu' corto.
Se l'osservatore in B si misura il suo treno e trova es: 10 metri con un regolo di 1 metro.A,a seconda della velocita' relativa di B rispetto ad A potrebbe calcolare ad es: una lunghezza di B di 5 metri e il regolo di 0.5 metri cio' che non cambierebbe e' il numero di determinazioni uguale a 10 ma con un regolo piu' corto e un treno piu' corto.

3) Anche qui ci sono dei guai.
Se prendiamo A come riferimento io ho detto che B si accorcia e si accorciano anche le rotaie.
B rispetto ad A e visto da A si accorcia molto di piu' rispetto le rotaie in quanto la sua velocita' relativa e' la somma relativistica delle velocita' di A e B.
Per cui se il rapporto delle grandezze a cui tu fai riferimento sono al numeratore lunghezza delle rotaie e al denominatore la lunghezza del treno vedi che e' inferiore ad 1.(Ho preso in considerazione l'accorciamento e non la misura residua delle rotaie e del treno).Ho indicato con 1 una situazione in cui
rotaie e treno potessero avere lo stesso accorciamento.

a) Per percorso intendi indicando con w la testa del treno e k il margine coda opposto del treno la posizione di questi due punti sulle rotaie quando B passa davanti ad A?
In questa situazione se utilizzo il regolo del treno per misurare la posizione w/k sulle rotaie devo tenere presente che le stesse rispetto ad A sono accorciate....

Riprendo queste osservazioni per cercare di esprimermi meglio.

1) Chiaro.
2) Chiaro.
3) Non chiaro...Il percorso compiuto dalla testa di A per attraversare tutto B visto da B coincide con 1 corretto con Lorentz agendo sulla sommatoria relativistica delle velocita' di A e B.
4) Lunghezza apparente e percorso sono in questo caso la stessa cosa se per lunghezza apparente intendi come viene visto B da A quando attraversa A.

Comunque francamente o non ti sei spiegato bene o io ho inteso un'altra cosa.
Non ci vedo nulla di misterioso se non le applicazioni di Lorentz.

Ciao Simmetria,
mi rendo conto che è molto difficile intendersi a parole su questioni così complesse, e che per questo nascano molti malintesi.
Vediamo punto per punto il tuo discorso.

Punto 1) - Siamo d'accordo.

Punto 2) - Mi sembra di capire che la differenza sia nel fatto che tu attribuisci in qualche modo un valore assoluto al concetto di lunghezza, indipendentemente dalla misura che se ne ricava. Mi spiego. Per me, la lunghezza non è altro che la misura che io ne ricavo, punto e basta: non mi interessa sapere se ciò che ho misurato possa apparire più o meno lungo ad altri osservatori. Al contrario, mi pare che tu sostenga questo: anche se le misure della lunghezza di un oggetto, in condizioni differenti, possono essere numericamente identiche, resta il fatto che l'oggetto è in effetti, relativisticamente parlando, di lunghezza differente nelle diverse condizioni. Mi sono spiegato? Per me la lunghezza è la misura; per te, la misura è una cosa, la lunghezza è un'altra cosa. Mi piacerebbe conoscere altre opinioni in merito.

Punto 3) - Ripeto cosa intendo per 'percorso': intendo semplicemente la lunghezza del treno A, dalla testa alla coda, cioè 1: perché l'osservatore (per ipotesi) è su A, che si trova su un sistema inerziale, e pertanto non ha bisogno di riferisi ad altro se non a ad A stesso; e abbiamo convenuto che la lunghezza di A, nel sistema di A, è 1 (quindi 1 è il numeratore del rapporto di cui parlavo). Ribadisco: per percorso intendo quello compiuto dalla testa di B per passare dalla testa di A alla coda di A.
Ora, tale percorso, che è 1, io lo metto in rapporto con la lunghezza di B come osservata da A: tale lunghezza, non ci piove, è inferiore a 1, perché B si muove rispetto ad A. Non interessa in questa sede sapere quanto minore di 1, ma solo che è minore di 1. In definitiva abbiamo un rapporto con 1 al numeratore e x<1 al denominatore: il risultato è maggiore di 1.

Ora mi riallaccio alla conclusione del tuo secondo messaggio.
Infatti non intendevo evocare nulla di misterioso o paradossale: cercavo solamente una intepretazione ortodossa che consentisse di mettere insieme la dilatazione del tempo (richiesta dalla trasformata di Lorentz) con il permanere del sincronismo dei due orologi (richiesto dall'assoluta simmetria di situazione).
La mia interpretazione potrebbe dire questo: per effetto della velocità relativa si verifica uno sdoppiamento dello spazio-tempo (non so se reale o apparente), quello di A e quello di B. Dal punto di vista di A (il nostro riferimento) B compie nel proprio spazio-tempo (cioè intendo nello spazio tempo di B) un percorso relativo che è maggiore di 1 (tende a 1 al diminuire della velocità). Questo fatto, unito al rallentamento del ritmo dell'orologio di B, conserva l'apparente sincronismo dei due orologi.

1) La lunghezza e' in funzione del riferimento.
La lunghezza di una barra misurata dal sistema di riferimento solidale con la barra stessa e ' cosi' solo in quel sistema.
La barra osservata da un altro sistema inerziale in movimento parallelo alla barra stessa risultera' sempre piu' corta cioe' non e' piu' lei, diventa relativa.

2 a) Quindi per percorso intendi la lunghezza del treno A misurata nel suo sistema di riferimento.Uguale ad 1.
2 b) E qui non ci siamo. Il "percorso" che fa la testa di B per "attraversare "
A non e' il percorso misurato da A sul suo sistema di riferimento A.
Sara' un percorso minore valutato da A in funzione delle velocita' relative.
Se dici che B "attraversa" A lo fara' con una certa velocita'.
Il rapporto giusto sarebbe Lunghezza del treno A nel riferimento A (=1)
fratto nuova lunghezza del treno B visto da A.
E qui non ci piove che sia maggiore di 1 tanto piu' quanto le velocita' saranno alte.

3) Se parli di dilatazione del tempo osservata da A guardando B stai dicendo che A osserva l'orologio di B andare piu' piano e quindi gli orologi non potranno essere sincronizzati.La simmetria della situazione "inerziale" vuol dire che A vede B come B vede A ,A vede l' orologio di B indietro come B osserva su A.
Era questo il paradosso dei "gemelli".Chiamato cosi' perche' non si era tenuto conto della non inerzialita' di tratti della "missione".
4) In sintesi stai dicendo che A vede B contratto.Bene accanto a questa contrazione come detto si accompagna un rallentamento del tempo di B visto da A.