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 Riflessioni sulle Scienze - Commenti sugli articoli della omonima rubrica presente su WWW.RIFLESSIONI.IT - Indice articoli rubrica
Vecchio 08-06-2009, 08.21.10   #81
nexus6
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Riferimento: Achille e la Tartaruga e altri paradossi

A tutto ciò che ho scritto hai destato poca attenzione, non ci sei proprio entrato in effetti. Ti ho invitato a ragionare sul senso del paradosso che non cogli affatto, parlando sostanzialmente d'altro. Inoltre continui ad affermare che non si possa misurare, in senso sperimentale, il momento del sorpasso, ma anche questo è banalmente falso: proprio con il fotofinish puoi, con un certo ineliminabile margine di errore, misurare il momento del sorpasso. E, come scritto nei post precedenti (vedi pure citazione di Ghirardi), non ha alcun senso, alcuna rilevanza, il fatto che non si possa misurare con precisione “assoluta” (ovvero inesistente) questo istante, perché sarebbe impossibile scendere sotto certe scale. E' chiaro che è impossibile farlo, non fosse altro per il fatto che sotto le scale di cui parli le teorie attuali non ci aiutano, ma tutto ciò è irrilevante ai fini di affermare che sperimentalmente/quantitativamente Achille abbia raggiunto e superato la tartaruga.

Il punto, tuttavia, non è questo, cioè il fatto che non si riesce ad apprezzare il momento del sorpasso con inusitata precisione: anche se fosse possibile, il paradosso continuerebbe a sussistere, visto che da argomento logico-razionale quale è, ha bisogno di un argomento dello stesso tipo per essere confutato. Il paradosso di Zenone dimostra, dati certi assunti (matematici), che Achille non può raggiungere la tartaruga; devi mostrare con analogo ragionamento che invece ce la fa, non appellandoti ai sensi né all'esperimento (né certo assumendo tra le tue ipotesi la tesi da dimostrare!) Un paradosso di questo tipo non si può affrontare dicendo: lo confuto poiché vedo e misuro il contrario di quello che il paradosso dimostra... è proprio questo il senso di un paradosso! Leggi quanto ho scritto nel post precedente e te ne potrai rendere conto.

Se vuoi sta tutto scritto, non so che altro dire.

Ciao.
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Vecchio 08-06-2009, 11.54.26   #82
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Exclamation Il paradosso di Zenone, senza entrare nella sua mente...

... ma almeno ragionando da una base comune.

Aristotele lo descrive così:

Citazione:
Questo sostiene che il più lento non sarà mai raggiunto nella sua corsa dal più veloce. Infatti è necessario che chi insegue giunga in precedenza là di dove si mosse chi fugge, di modo che necessariamente il più lento avrà sempre un qualche vantaggio. Questo ragionamento è lo stesso di quello della dicotomia, ma ne differisce per il fatto che la grandezza successivamente assunta non viene divisa per due. Dunque il ragionamento ha per conseguenza che il più lento non viene raggiunto ed ha lo stesso fondamento della dicotomia (infatti la conclusione di entrambi i ragionamenti è che non si arriva al termine, divisa che si sia in qualche modo la grandezza data; ma c'è di più nel secondo, che la cosa non può essere realizzata neppure dal più veloce corridore immaginato drammaticamente nell'inseguimento del più lento), di modo che la soluzione sarà, per forza, la stessa .

Simplicio:
Citazione:
Anche questo argomento basa la sua tentata dimostrazione sulla divisibilità infinita, ma è svolto in maniera diversa. Esso procede come segue: se esistesse il movimento, il più lento non potrebbe mai essere raggiunto dal più veloce: ma questo è impossibile pertanto il moto non esiste. [...] L'argomento è chiamato l'Achille a causa dell'introduzione in esso di Achille, il quale, dice l'argomento, non può mai raggiungere la tartaruga che sta inseguendo, perché l'inseguitore deve, prima di raggiungere l'inseguito, giungere al punto dal quale l'inseguitore è partito. Ma nel tempo impiegato dall'inseguitore per raggiungere questo punto, l'inseguito avanza di una certa distanza e anche se questa distanza è minore di quella coperta dall'inseguitore, a cagione del fatto che l'inseguito è il più lento dei due, ciò nonostante egli avanza perché non è fermo. E ancora nel tempo che l'inseguitore impiega per coprire questa distanza di cui l'inseguito è avanzato, l'inseguito ancora avanza di una certa distanza che è in proporzione più piccola della precedente, in conformità al fatto che la sua velocità è minore di quella dell'inseguitore. E così in ogni intervallo di tempo nel quale l'inseguitore copre la distanza di cui l'inseguito, movendosi alla sua velocità relativamente minore, è avanzato, l'inseguito avanza ancora un altro poco, perché benché questa distanza decresca ad ogni passo, pure, a cagione del fatto che l'inseguito è sempre supposto in moto, egli avanza di qualche distanza positiva. E così considerando distanze decrescenti in una data proporzione all'infinito a causa dell'infinita divisibilità delle grandezze, arriviamo alla conclusione che non solo Ettore non sarà mai raggiunto da Achille, ma neppure la tartaruga.
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Vecchio 08-06-2009, 11.56.50   #83
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Riepilogo...

Il caos e la marea di parole fatte permettono di comprendere quanta sia la forza sottile e sfuggente degli argomenti di Zenone ed anche in che modo il pensiero dell'uomo sia mutato da duemila anni fa. La mutazione che qui viene evidenziata è l'entrata in campo della scienza moderna, come disciplina a sé stante, separata dalla filosofia e dal modo di osservare la natura che faceva degli scienziati antichi i cosiddetti “filosofi della natura”. Il ragionamento di Zenone è di una semplicità quasi disarmante; quando invece si tenta di applicarvi la scienza, fisica in particolare, ecco che tutto diventa fosco e confuso, compaiono approssimazioni, effetti che non si sa bene se considerare, dubbi e pareri su cosa sia opportuno fare. Ebbene tutto questo complesso apparato, necessario alla scienza, diventa un accrocchio inutile ed inutilizzabile quando si tenta di caricarlo sulle spalle di Zenone, poiché copre tutta la sua semplicità di ragionamento; quello di Zenone è un esperimento puramente ideale (Achille e la tartaruga vanno considerati come punti su una retta) e l'argomento che utilizza è matematico-geometrico procedendo con una dimostrazione per assurdo. E disturba il fatto che, data la semplicità razionale, quasi si possa essere convinti razionalmente che Achille, o qualsiasi cosa arbitrariamente più veloce, non possa raggiungere la tartaruga! Tentare di rendere reale l'esperimento, come anch'io ho cercato in parte di fare per discutere sul campo della fisica le vostre proposte, non solo complica inutilmente le cose, come abbiamo ben visto, ma mi sembra che annulli la possibilità stessa di proporre una confutazione del paradosso che possa veramente considerarsi tale.

Qui si tratta di come la mente percepisca successioni ed estensioni infinite e con uno stesso procedimento razionale bisogna tentare di confutare l'argomento di Zenone. E' fonte di confusione, come tra l'altro ho scritto pure nei confronti di Albert, pensare allo spazio che si riduce tra Achille e la tartaruga come a quello fisico, “reale”. E', invece, lo spazio ideale, mentale, la categoria dell'intelletto kantiana, quella che si riduce -a zero- e che possiamo pensare divisibile all'infinito, prescindendo completamente dall'analisi fisica, ovvero da cosa la fisica pensa avvenga al di sotto di certe scale (e non lo sa).

Ciò che mi stupisce di tutta la faccenda è che finissimi pensatori come gli eleati ed i greci non si siano accorti, anche senza inventare l'analisi infinitesimale, che la somma di infiniti segmenti spaziali, in questo caso, dia un risultato finito. Probabilmente si tratta proprio di un riorientamento psichico, come la questione della prospettiva nella pittura: ci sono voluti millenni per arrivarci, eppure ora ci sembra una banalità e si farebbe, dunque, un torto agli antichi pensare che lo sia davvero. Forse anche cose che ora ci appaiono totalmente assurde o non riusciamo a visualizzare, tra qualche millennio verranno considerate banali, tanto che saranno i nostri successori a domandarsi come all'epoca, cioè ora, gli uomini non si accorsero di cose per loro “evidenti”. D'altronde al giorno d'oggi abbiamo più strumenti per maneggiare quantità infinite, mentre millenni fa erano molto più prudenti a riguardo.

Ciao.
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Vecchio 08-06-2009, 20.53.59   #84
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A tutto ciò che ho scritto hai destato poca attenzione, non ci sei proprio entrato in effetti. Ti ho invitato a ragionare sul senso del paradosso che non cogli affatto, parlando sostanzialmente d'altro. Inoltre continui ad affermare che non si possa misurare, in senso sperimentale, il momento del sorpasso, ma anche questo è banalmente falso: proprio con il fotofinish puoi, con un certo ineliminabile margine di errore, misurare il momento del sorpasso. E, come scritto nei post precedenti (vedi pure citazione di Ghirardi), non ha alcun senso, alcuna rilevanza, il fatto che non si possa misurare con precisione “assoluta” (ovvero inesistente) questo istante, perché sarebbe impossibile scendere sotto certe scale. E' chiaro che è impossibile farlo, non fosse altro per il fatto che sotto le scale di cui parli le teorie attuali non ci aiutano, ma tutto ciò è irrilevante ai fini di affermare che sperimentalmente/quantitativamente Achille abbia raggiunto e superato la tartaruga.

A me questo tuo modo di pensare al paradosso non piace, e credo che tu non abbia nemmeno letto quello che dico.
Il paradosso non ci sta chiedendo di misurare al foto finish chi arriva per primo (è banale), ma ci sta chiedendo di ammettere che se frazionassimo all'infinito lo spazio ed il il tempo non potremmo mai vedere Achille superare la tartaruga (e per vedere si intende "misurare"). E su questo, secondo me, Zenone ha ragione. In effetti io per dimostrare che non ha ragione dovrei poter misurare l'ultimo saltello (nemmeno tutti, non ce n'è bisogno) che compie Achille per raggiungere la tartaruga. E guarda che ho già detto che il punto di vista matematico (di due serie che convergono) non mi interessa. Non solo non soddisfa ma nemmeno si può provare. La matematica è solo uno strumento, non può avere l'ultima parola.
Quando tu dici che è banalmente falso che non si può misurare quando Achille raggiunge la tartaruga, non ti stai mettendo dalla parte di Zenone che propone un paradosso, che può essere "risolto" (per modo di dire) con la matematica ma non con la fisica classica (cosa che invece sei propenso ad affermare, ridicolizzando il paradosso).

apro una parentesi
[Utilissimo questo paradosso anche perchè ci fa riflettere sulla natura dello spazio e del tempo.
Chiediamoci, per la fisica classica relativista cos'è lo spazio tempo?
Se proprio vogliamo complicarci la vita, secondo la nuova nozione di spaziotempo einsteniano, non esiste un contenitore chiamato spazio-tempo in cui si muovono gli oggetti fisici, ma sono loro stessi (gli oggetti e le loro masse) che creano lo spazio-tempo (io questo l'ho sempre visto come una cosa arcana). Mentre in m.q. il tempo e lo spazio cosa sono? La funzione d'onda, si dice, si evolve nel tempo. Credo che il tempo e lo spazio, in m.q., siano intesi come "punti" (senza alcuna dimensione) proprio come erano intesi i corpuscoli prima dell'avvento della m.q.. Decidere se questi punti abbiano dimensioni minime o non averne affatto mi sembra del tutto arbitrario come la stessa evoluzione della f.d'onda che si muove in punti astratti (spazio di Hilbert ) di cui non si capisce la dimensionalità o consistenza fisica.
Strettamente personale è questa idea mia ben inteso, ma la tartaruga a questo mi fa pensare: ad uno spazio-tempo che emerge da una schiuma indescrivibile fatta di punti che in realtà non esistono. A me sembra assurdo pensare prima allo spazio-tempo come contenitore nella m.q. e poi invece, nella relatività, intenderla come dinamicità tra gli oggetti, corpuscoli, masse o come si voglia chiamarle. Credo che lo spazio-tempo sia inteso diversamente nelle due teorie ma ciò non porta alcun favore alla comprensione della natura dello spazio tempo. Quindi se mi capita di dover comprendere cosa succede in frazioni di tempo e di spazio non posso che riferirmi alla mq. la quale accumula in un "punto", senza dimensione alcuna, l'attimo, che quindi non è più frazionabile perchè non esiste piu (classicamente almeno). Se invece intendo lo spazio-tempo einsteniano il frazionamento è possibile (almeno questo sembra si intenda). In pratica la m.q. risulta essere il limite alla nostra conoscenza, che alcuni dicono non essere epistemica ma ontologica (parola che non piace ad Albert, e in questo contesto nemmeno a me).
Quindi, rivolgendomi all'autore della domanda, caro Zenone se pensi che Achille e la tartaruga siano corpi macroscopici che con la m.q. non hanno nulla a che fare, allora la tua domanda rimarrà senza risposta "fisica" (o giù di lì). Se invece introduco concetti quantistici, gli oggetti non si toccano, anzi non esistono, e quando si osservano essi hanno già compiuto l'ultimo saltello, proprio quello che tu avevi bisogno di vedere. Se poi anche questo non ti soddisfa è un altro discorso, ma è questo che al limite si può dire. Oltre questo ognuno può pensare quello che vuole.]
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Vecchio 09-06-2009, 09.14.15   #85
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Il paradosso non ci sta chiedendo di misurare al foto finish chi arriva per primo (è banale), ma ci sta chiedendo di ammettere che se frazionassimo all'infinito lo spazio ed il il tempo non potremmo mai vedere Achille superare la tartaruga (e per vedere si intende "misurare"). E su questo, secondo me, Zenone ha ragione.
E' qui che sbagli: se avessi letto almeno le formulazioni del paradosso te ne saresti (probabilmente) accorto. L'argomento di Zenone non afferma affatto che non possiamo mai vedere/misurare il raggiungimento (poiché questo è banalmente falso), ma dimostra con un procedimento logico-matematico che tale contatto tra i due non può esservi, nonostante sia chiaro che vediamo e possiamo misurare il contrario. Le due cose sono molto differenti, anche se la differenza sembra sottile. Capirlo fa la differenza tra comprendere cosa si intende con paradosso e parole che non c'entrano nulla.


p.s. credo al fatto che trovi arcane molte cose... pensare, in effetti, a corpi che creano lo spazio ed il tempo sconvolgerebbe chiunque. Naturalmente la relatività è un'altra cosa: "la materia dice allo spaziotempo come incurvarsi, lo spaziotempo dice alla materia come muoversi" con un celebre slogan che sintetizza molte cose di relatività generale.
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Vecchio 09-06-2009, 17.49.29   #86
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E guarda che ho già detto che il punto di vista matematico (di due serie che convergono) non mi interessa. Non solo non soddisfa ma nemmeno si può provare. La matematica è solo uno strumento, non può avere l'ultima parola.
Non si può provare...? Ma questa affermazione non ha alcun senso, poiché è proprio la conclusione a cui giunge Zenone che non si può provare (sperimentalmente)! Mentre invece quella a cui giunge l'analisi matematica si può provare eccome, visto puoi vedere e misurare il raggiungimento della tartaruga da parte di Achille. Che vorrebbe dire, dunque, che la “matematica non può avere l'ultima parola”? La matematica agisce tramite la fisica in questo caso.

E mi spiego.

Ipotizzando che Achille (A) all'inizio sia distante uno (metri, ma non importa) e che vada al doppio della velocità della tartaruga (T), la situazione è questa: quando A raggiunge il luogo dove si trovava T all'inizio (ovvero 1m), T ha percorso ½ m (viaggia con metà velocità); quando A raggiunge 1+ ½ m, T si trova in 1+ ½ + ¼ m e così via. A raggiungerà T? Sì, poiché -si dimostra- che la somma infinita 1 + ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + ...+ 1/2^n + ... fa 2, un numero finito. 2 è proprio il valore della coordinata spaziale in cui avviene il contatto tra i due (secondo quelle condizioni iniziali): te ne puoi accertare con un semplice calcoletto di fisica prima liceo (che ti risulterà banale, visto parli con disinvoltura di relatività generale e spazi di Hilbert).
Posto x_A(t) la coordinata di Achille e x_T(t) la coordinata della tartaruga, le condizioni iniziali sono (ad esempio):

x_A(0) = 0 m (fissiamo lo zero dove si trova Achille a t = 0s)
x_T(0) = 1 m (la distanza tra i due)

e le leggi orarie (ricordo x = v*t + x(0) ):

x_A(t) = 2*t (velocità Achille = 2 m/s)
x_T(t) = 1*t + 1 (velocità tartaruga = 1 m/s)

Mettendo a sistema per ricavare quando (e se!) x_A = x_T, si trova naturalmente:

x_A=x_T = 2m che raggiungono a t = 1s,

cioè con questi dati iniziali Achille, dopo un secondo, raggiunge la tartaruga a cui aveva dato 1m di vantaggio. E tutto ciò, visto è fisica, lo puoi -sperimentare- e dato che si basa sulla rappresentazione della coordinata spaziale come una retta reale (di numeri reali), ecco che hai un'evidenza del fatto che questa rappresentazione matematica è adatta per modellizzare la situazione... così come nel caso del moto dei pianeti sono adatte le ellissi.

Ho messo anche le figurine in questo mio post precedente: https://www.riflessioni.it/forum/rifl...tml#post227612

Ciao.
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Vecchio 09-06-2009, 22.27.24   #87
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E' qui che sbagli: se avessi letto almeno le formulazioni del paradosso te ne saresti (probabilmente) accorto. L'argomento di Zenone non afferma affatto che non possiamo mai vedere/misurare il raggiungimento (poiché questo è banalmente falso), ma dimostra con un procedimento logico-matematico che tale contatto tra i due non può esservi, nonostante sia chiaro che vediamo e possiamo misurare il contrario. Le due cose sono molto differenti, anche se la differenza sembra sottile. Capirlo fa la differenza tra comprendere cosa si intende con paradosso e parole che non c'entrano nulla.

Io leggo il paradosso come segue: Achille, per il senso comune e per l'esperienza che se ne fa, raggiunge e supera la tartaruga come previsto. Zenone agisce sull'evidenza proponendo questo giochetto: se frazionassimo lo spazio (e quindi anche il tempo) all'infinito, non potremmo fare l'esperienza di vedere Achille raggiungere la tartaruga (e nemmeno Achille ne farebbe esperienza).
Quindi il paradosso si snoda tra l'evidenza di vedere Achille raggiungere la tartaruga e l'impossibilità che Achille la raggiunga se "seguissimo" il frazionamento di spazio e tempo all'infinito. La risposta matematica, come ho già detto, per me non risolve nulla perchè comunque io non potrei mai fare l'esperienza di vedere Achille raggiungere la tartaruga a quelle condizioni. Sono le condizioni che impone Zenone a essere fisicamente e "classicamente" improponibili.
Se poi il significato di esperienza è dissimile è perchè tu tieni conto dell'evidenza classica (e matematica, che pur non essendo esperienza ci indica classicamente un risultato reale) mentre l'esperienza che propone Zenone è inverificabile, non se ne può fare esperienza (e quindi misurazioni oggettive), quindi non è fisica (e qui per fisica intendo fisica classica). In definitiva il "tendente" a 1 non è 1. Quando diventa 1 esso non può piu essere tendente a 1.
Quindi la stessa matematica non risolve il motivo per cui io osservo qualcosa che tendeva all'infinito verso 1. Zenone ha il merito di puntare il dito su questo paradosso. Achille non potrebbe mai raggiungere la tartaruga perchè il suo moto sarebbe frazionato all'infinito. L'1, che rappresenta il raggiungimento della tartaruga, ovvero la tua esperienza, sarebbe impossibile; tale contatto, come tu dici, non può mai esservi.
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Vecchio 10-06-2009, 00.04.58   #88
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Io leggo il paradosso come segue: Achille, per il senso comune e per l'esperienza che se ne fa, raggiunge e supera la tartaruga come previsto. Zenone agisce sull'evidenza proponendo questo giochetto: se frazionassimo lo spazio (e quindi anche il tempo) all'infinito, non potremmo fare l'esperienza di vedere Achille raggiungere la tartaruga (e nemmeno Achille ne farebbe esperienza).
Ripeto: una lettura in questo senso annulla l'aspetto paradossale dell'argomento di Zenone per due motivi, il primo dei quali l'ho già spiegato nel post precedente. Il secondo è che il ragionamento logico matematico di Zenone non dimostra una impossibilità potenziale (se dividessimo non potremmo...), ma attuale (A non raggiunge T, nonostante noi vediamo altrimenti): ciò è evidente dalla comprensione del paradosso. Capito questo, trovi risposta anche al resto, visto Zenone non propone proprio nessuna esperienza da fare (per poter, chissà, verificare qualcosa di paradossale). Il paradosso sta nel fatto che nel medesimo tempo sensi e fisica ci dicono una cosa e ragione sembra dircene un'altra. Se comprendiamo, con la ragione, che c'è un altro modo in cui essa può parlarci, solo allora possiamo risolvere la frattura tra sensi-fisica e ragione.

Comunque mi sembra non ci capiamo: io ho cercato di comprendere quanto stai affermando, tu non mi sembra proprio che hai fatto questo, né nei miei, ma soprattutto nei tuoi confronti. Per cui ci si rivede in altre discussioni.

Ciao.
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Vecchio 10-06-2009, 13.44.09   #89
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Ripeto: una lettura in questo senso annulla l'aspetto paradossale dell'argomento di Zenone per due motivi, il primo dei quali l'ho già spiegato nel post precedente. Il secondo è che il ragionamento logico matematico di Zenone non dimostra una impossibilità potenziale (se dividessimo non potremmo...), ma attuale (A non raggiunge T, nonostante noi vediamo altrimenti): ciò è evidente dalla comprensione del paradosso. Capito questo, trovi risposta anche al resto, visto Zenone non propone proprio nessuna esperienza da fare (per poter, chissà, verificare qualcosa di paradossale). Il paradosso sta nel fatto che nel medesimo tempo sensi e fisica ci dicono una cosa e ragione sembra dircene un'altra. Se comprendiamo, con la ragione, che c'è un altro modo in cui essa può parlarci, solo allora possiamo risolvere la frattura tra sensi-fisica e ragione.



A me sembra che l'incomprensione derivi dal fatto che tu attribuisci a Zenone un intendimento e valuti la sua proposta in base a quell'intendimento, mentre io lo leggo letteralmente (ho già detto che non posso stare nella mente di Zenone). Sembriamo, posto che questa supposizione sia vera, tu il giudice che deve "interpretare" la legge secondo le intenzioni del legislatore ed io l'avvocato che si affida al testo scritto così come è stato impostato per trovare una sua possibile applicazione. La mia valutazione, da avvocato, è quindi letterale. La cosa che potremmo eventualmente riscontrare entrambi, che metterebbe il testo tra le leggi inapplicabili o errate razionalmente, è l'inconsistenza razionale e fisica del ragionamento. Quindi io mi potrei chiedere: nella fisica vi è una legge che "vieta" il frazionamento infinito del tempo e dello spazio? Se non c'è alcuna legge di questo tenore, il testo è giusto, il ragionamento fila liscio ed eventualmente, potendo essere applicato, il giudice deve tenerne in conto.
Una volta che abbiamo letto il testo e ci siamo accordati che le parole non contrastano con leggi fisiche note, dobbiamo applicarlo soltanto. Vi è però un problema iniziale, che nasce dal fatto che non riusciamo ad applicarlo nonostante il testo non abbia concetti errati, ma se eventualmente volessimo applicarlo idealmente il testo sarebbe risulterebbe esatto. E qui, secondo me, nasce il paradosso.

La soluzione è unica e sola ovvero quella di pensare che non è vero che lo spazio e tempo può essere frazionato all'infinito, e quindi possiamo rimandare indietro la legge a chi l'ha formulata. Ma ne io ne tu possiamo decidere di dedurre una soluzione fisica prima che questa sia mai stata teorizzata; Zenone ce la rimanderebbe indietro poiché non noterebbe alcuna legge superiore che la invaliderebbe. L'ultima alternativa è il risultato quantistico(proposta con altri termini, piu esaustivi dei miei, da Albert): sotto certe soglie non abbiamo possibilità di conoscenza, e i singoli bit di informazione procedono a salti. Nessuna divisione all'infinito è possibile. Zenone deve al quel punto ritirare il suo testo, a prescindere dalle sue intenzioni.
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Vecchio 24-12-2011, 17.34.24   #90
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Riferimento: Achille e la Tartaruga e altri paradossi

Secondo me il problema risiede nella pragmaticità delle entità fisiche. è vero, in matematica io posso scrivere un +n che rappresenta tutti gli altri numeri, come l'idea di cane rappresenta tutti gli animali con certe caratteristiche comuni (ciò non vuol dire che pensando "cane" ho effettivamente visto tutti i cani).
Così nel pratico, se un matematico volesse smontare il paradosso, dovrebbe mostrare di poter scrivere gli infiniti numeri 1/2+1/4+1/8 e via dicendo in un tempo finito, cosa che non può fare, e invece può scrivere un +n a cui invece la presenzialità della natura non può sottostare. Sarebbe come dire che vengono posti nella natura molti punti spaziali e poi uno per tutti gli altri, la n, ma allora non sono davvero infiniti... e infatti la teoria della gravità quantistica a Loop tenta di accordare la meccanica quantistica alla teoria della relatività ammettendo proprio la quantizzazione dello spazio e del tempo alla scala di Planck. In tal senso lo spazio sarebbe suddiviso in un modo simile a quello di uno schermo con i suoi pixel; risolto il paraddo di Zenone: niente spazio infinitamente divisibile.
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